(共33张PPT)
第1课时 导数与函数的单调性
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 用函数的导数判定函数单调性的法则
(1)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；
(2)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．
f′(x)>0
f′(x)<0
知识点二 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系
函数的单调性 导数
单调递增 ________
单调递减 ________
常函数 ________
f′(x)≥0
f′(x)≤0
f′(x)＝0
基 础 自 测
1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
解析：∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.
答案：D
2.已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3)
B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2)
D．f(e)＜f(3)＜f(2)
答案：A
3.函数y＝f(x)的图象如图所示，则( )
A．f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的正负不确定
解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.
答案：B
4.已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．
解析：∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，
故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞).
(1，＋∞)
课堂探究·素养提升
函数单调性与导数的正负的关系——函数图象与导函数图象的关系
例1 (1)函数y＝f(x)的图象如图所示，给出以下说法：
①函数y＝f(x)的定义域是[－1，5]；
②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪ [2，4]；
③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；
④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.
其中正确的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【解析】由图象可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故①②正确，选A.
【答案】A
(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
【解析】由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
【答案】D
(3)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是所给选项中的( )
【答案】C
【解析】∵导数的正负确定了函数的单调性，
∴从函数f′(x)的图象可知，令f′(x)＝0，
得x＝0或x＝a(a>0)，
∴函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，故选C.
状元随笔
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
方法归纳
1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．
2．通过图象研究函数单调性的方法
(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
跟踪训练1 (1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
解析：由函数y＝f(x)的图象可知其单调性从左向右依次为单调递增、单调递减、单调递增、单调递减，所以其导函数y＝f′(x)的图象从左向右依次在x轴上方、下方、上方、下方．通过观察可知，只有选项A符合题意．
答案：A
(2)函数y＝f(x)在定义域R上可导，其导函数的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为__________________________．
解析：函数y＝f(x)的单调递增区间为其导函数的图象在x轴上方的部分对应的区间，观察图象知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－2，－1)，(1，3)，(4，＋∞).
(－2，－1)，(1，3)，(4，＋∞)
(3)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( )
解析：由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x∈(0，2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.
答案：D
利用导数求函数的单调区间
例2 (1)求函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间．
【解析】f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.∴f(x)的单调减区间为(1，2).
(2)求函数f(x)＝x＋(a≠0)的单调区间．
(3)求函数f(x)＝sin x－x(0
【解析】f′(x)＝cos x－1.
因为0故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)，无单调递增区间．
状元随笔
求出导数f ′(x)，分a＞0和a＜0两种情况．由f ′(x)＞0求得单调增区间，由f ′(x)＜0求得单调减区间．
方法归纳
利用导数求函数单调区间的步骤
1．确定函数f(x)的定义域．
2．求导数f′(x)．
3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
4．结合定义域写出单调区间．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
解析：∵f′(x)＝(ex－ex)′＝ex－e，
由f′(x)＝ex－e>0，可得x>1.
即函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调增区间为(1，＋∞)，故选D.
答案： D
(2)函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是( )
A．(－∞，1) B．(0，1)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－1，
由f′(x)＝－1>0，得0所以函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是(0，1)，故选B.
答案： B
判断函数的单调性
例3 利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)＝x3－x2＋2x－5；
【解析】因为f(x)＝x3－x2＋2x－5，
所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以函数f(x)＝x3－x2＋2x－5在R上是增函数．
(2)f(x)＝x－－ln x；
(3)f(x)＝x－ex(x>0)．
【解析】因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上是减函数．
方法归纳
利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论．
跟踪训练3 利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)＝x2－2x＋a ln x(a>)；
(2)f(x)＝(x>e)．(共26张PPT)
第2课时 导数与函数的单调性的应用
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
基 础 自 测
1．已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有( )
A.f′(x)>0，g′(x)>0
B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0
D．f′(x)<0，g′(x)<0
解析：由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(－∞，0)上单调递减，∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
答案：B
2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－]∪ []，＋∞)
B．[－]，]]
C．(－∞，－])∪ (]，＋∞)
D．(－]，])
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1，由题意，可知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，∴(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－≤a≤.
答案：B
3．函数f(x)＝x3－ (2a＋1)x2＋(a2＋a)x＋4的单调减区间是________．
解析：f′(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝[x－(a＋1)](x－a)，令f′(x)<0，得a答案：(a，a＋1)
4．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是[－，1]，则实数m的值为________．
－
课堂探究·素养提升
求含参数的函数的单调区间
例1 讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
方法归纳
1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点
跟踪训练1 求函数f(x)＝＋a ln x(a∈R)的单调递减区间．
已知函数的单调性求参数的取值范围
【思考探究】
1．已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，如何求实数a的取值范围．
[提示] 由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a＜3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a＜0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
2．若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，如何求a的取值范围．
[提示] 由f′(x)＝3x2－a，
①当a≤0时，f′(x)≥0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
∴f(x)在(－，)上为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为(－，)，
∴＝1，即a＝3.
例2 已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.
(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围；
【解析】 y′＝3x2－a.
(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数．
则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，
即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，
则a≤(3x2)min.
因为x>1，所以3x2>3.
所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3].
(2)若函数y＝x3－ax＋b的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值．
【解析】(2)令y′>0，得x2>.
若a≤0，则x2>恒成立，即y′>0恒成立，
此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符．
若a>0，令y′>0，得x> 或x<－ .
因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以 ＝1，即a＝3.
状元随笔
(1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围．
(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值．
方法归纳
1．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)．
跟踪训练2 (1)函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立，
∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1.
答案： D
(2)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上不单调，求a的取值范围．
解析：y′＝3x2－a，
当a≤0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．
当a＞0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝ 或x＝－ (舍去).
依题意，有 >1，∴a>3，
所以a的取值范围是(3，＋∞).
利用导数证明不等式
例3 证明ex≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)．
【证明】 令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，
∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，
令g(x)＝x－sin x(x≥0)，g′(x)＝1－cos x≥0，
∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴g(x)≥g(0)，即x－sin x≥0，
∴x＋1≥sin x＋1(x≥0).
综上，ex≥x＋1≥sin x＋1(x≥1).
方法归纳
用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤
(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b].
(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.
(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．这是因为F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.
跟踪训练3 证明不等式ln x≤x－1.
证明：由题意知x>0，令f(x)＝x－1－ln x，
所以f′(x)＝1－＝，
所以当f′(x)>0时，x>1；当f′(x)<0时，0故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)有最小值f(1)＝0，
故有f(x)＝x－1－ln x≥f(1)＝0，即ln x≤x－1成立．
教材反思
1．牢记利用导数法解决取值范围问题的2个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，再利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．掌握恒成立问题的重要思路
利用函数的单调性求参数的取值范围的关键是转化为不等式的恒成立问题或存在问题，再利用分离参数法或函数的性质求解．
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max；
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
3．注意1个易错点
对于含参数的导数的单调性，要清楚分类讨论的标准，做到不重不漏．(共35张PPT)
第1课时 导数与函数的极值
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点 极值点和极值的概念
名称 定义 表示法
极值 极大值 已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有________，则称函数f(x)在点x0处取极大值 记作________
极小值 已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有________，则称函数f(x)在点x0处取极小值 记作________
极值点 ________统称为极值点 f(x)≤f(x0)
y极大＝f(x0)
f(x)≥f(x0)
y极小＝f(x0)
极大值点与极小值点
基 础 自 测
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )
A.1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.
答案：B
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )
A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0.
∴当x＝－1时，函数有极大值5；3 (－2，2)，故无极小值．
答案：C
3．已知函数f(x)＝x3－mx2＋mx＋9在R上无极值，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，0)∪ (1，+∞) B.( －∞，0]∪[1，+∞)
C．(0，1) D．[0，1]
解析：函数f(x)＝x3－mx2＋mx＋9在R上无极值 f′(x)＝x2－2mx＋m在R上无变号零点 Δ＝4m2－4m≤0 0≤m≤1，故选D.
答案：D
4．若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a的值为( )
A． B． C．2 D．
答案：A
课堂探究·素养提升
函数极值概念的理解
例1 函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(3，5)内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增；
④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值；
⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的序号是________．
③⑤
【解析】 对于①，当x∈(3，4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(4，5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
对于②，当x∈(－，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(2，3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误；
对于③，当x∈(－2，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确；
对于④，当x∈(－2，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝－时，f(－)不是极大值，所以④错误；
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确．
方法归纳
1．解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
2．注意点：
(1)极值点不是点；
(2)极值是函数的局部性质；
(3)函数的极值不唯一；
(4)极大值与极小值两者的大小不确定；
(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；
(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点．
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中c所以此时函数f(x)在(－∞，c)，(d，b)上单调递增，
在(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在(c，d)上单调递减，
所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值．
则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.
答案：A
求函数的极值
例2 求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x2－2x－1；
【解析】f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1.
因为当x<1时，f′(x)<0，
当x>1时，f′(x)>0，
所以函数在x＝1处有极小值，且y极小＝－2.
(2)f(x)＝－x3＋－6；
【解析】f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1.
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小＝－6.
(3)f(x)＝|x|；
【解析】显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导，
当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
故当x＝0时，函数取得极小值，且y极小＝0.
(4)f(x)＝x－a ln x(a∈R)．
方法归纳
1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．
点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
①f′(x0)＝0；
②点x0两侧f′(x)的符号不同．
(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝√(x)，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．
跟踪训练2 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x2－2ln x；
解析：∵f′(x)＝2x－，
且函数定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.
(2)f(x)＝x3－x；
(3)f(x)＝x2e－x.
解析：函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)取得极大值，
且极大值为f(2)＝4e－2＝.
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调 递减 0 单调 递增 4e－2 单调递减
利用函数的极值求参数的值或者范围
例3 (1)已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值．
①求a，b的值；
②若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．
状元随笔
①求导函数f ′(x)，则由x＝1和x＝－是f ′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.
②由f(－1)＝求出c，再列表求解．
(2)已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是( )
A．[0，1]
B．(－∞，0]∪ [1，+∞)
C．[0，2]
D．(－∞，0]∪ [2，+∞)
【解析】由f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1得f′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1，
根据题意得[2(a－1)]2－4≤0，解得0≤a≤2.
故选C.
【答案】C
状元随笔
求导得f ′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1，再解不等式[2(a－1)]2－4≤0即得解．
方法归纳
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
1．根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
2．因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练3 (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
(2)已知函数f(x)＝+＋ax＋1既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是( )
A．(0，4)
B．[0，4]
C．(－∞，0)∪ (4，+∞)
D．(－∞，0]∪ [4，+∞)
解析：由题意知，f′(x)＝x2＋ax＋a，
由函数f(x)有极小值和极大值，
得方程f′(x)＝0有两个不同的实根，
所以Δ＝a2－4a>0 a<0或a>4，
即a的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞).故选C.
(3)若函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．(共36张PPT)
第2课时 导数与函数的最值
能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、 极值、最大 (小)值的关系．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点 函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得________与________，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．
最大值
最小值
基 础 自 测
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
解析：函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．
答案：D
2．函数y＝x－sin x，x∈[，π]的最大值是( )
A.π－1 B．－1 C．π D．π＋1
解析：y′＝1－cos x，当x∈[，π]时，y′>0，
则函数在区间[，π]上是增函数，
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
答案：C
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最值，但无极值
B．有最值，也有极值
C．既无最值，也无极值
D．无最值，但有极值
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－1，1)上单调递减，
无最大值和最小值，也无极值．
答案：C
4．函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________．
解析：f(x)＝(x＋1)ex f′(x)＝(x＋2)ex，
当x>－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
因此当x＝－2时，函数有最小值，最小值为f(－2)＝(－2＋1)e－2＝－.
答案：－
课堂探究·素养提升
求函数的最值
【思考探究】
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
1．观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
[提示] f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
2．结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
2．结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
[提示] 存在．f(x)的最小值为f(a)，f(x)的最大值为(f(x_(3)))．
3．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？
[提示] 不一定．也可能是区间端点的函数值．
例1 求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝ln x－x, x∈(0，e]；
【解析】 (1)f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1.无极小值．~
(2)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]；
【解析】(2)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如表：
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
(3)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；
【解析】f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∴f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上为增函~数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12；
当x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
(4)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π].
方法归纳
求函数最值的四个步骤
第一步，求函数的定义域；
第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；
第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；
第四步，求极值、端点值，确定最值．
跟踪训练1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]；
解析：因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]，
所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，
解得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
f()＝－8，f(－)＝8，
所以当x＝时，
f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，
f(x)取得最大值18.~
(2)f(x)＝x＋cos x，x∈[0，2π]；
(3)f(x)＝.
求含参数的函数的最值
例2 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
【解析】 f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
①当a>0时，f(x)在[0，a)上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．所以f(x)min＝f(a)＝－a3.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝0.
③当a<0时，f(x)在[0，－)上是减函数，
在[－，＋∞)上是增函数．
所以f(x)min＝f(－)＝a3.
综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f(x)的最小值为0；
当a<0时，f(x)的最小值为a3.~
状元随笔 不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论
方法归纳
含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练2 已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值．
解析：f(x)＝x3－ax2，则f′(x)＝x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a.
令g(a)＝f(x)max，
①当2a≤0，即a≤0时，f′(x)≥0恒成立，
f(x)在[0，2]上是增函数，
从而g(a)＝f(x)max＝f(2)＝－4a.
②当2a≥2，即a≥1时，f(x)在[0，2]上是减函数，
从而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0.
③当0<2a<2，即0f(x)在 [0，2a]上是减函数，在(2a，2]上是增函数，
从而g(a)＝
综上所述，f(x)max＝
由最值求参数的值或范围
例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
【解析】 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
①当a>0，且当x变化时，
f′(x)，f(x)的变化情况如表：
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值，
∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，
解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
方法归纳
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
跟踪训练3 (1)已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围．
(2)已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.
①当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
②是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如表：
∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；
当x＝1时，h(x)取极小值－4.
而h(2)＝3∴如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.
∴k的取值范围为(－∞，－3].
与最值有关的恒成立问题
例4 已知2x ln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围为________．
(－∞，4]
方法归纳
1．分离参数法求解不等式恒成立问题的步骤
2．构造新函数，利用导数求新函数的最值，若参数影响单调性，需对参数讨论，利用最值解决恒成立问题，即f(x)≥0恒成立 f(x)min≥0，f(x)≤0恒成立 f(x)max≤0.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
解析：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).
若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则由f′(x)＝0得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增．若a<0，则由f′(x)＝0，
得x＝ln (－).当x∈(－∞，ln (－))时，f′(x)＜0；
当x∈(ln (－)，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，ln (－))上单调递减，
在(ln (－)，＋∞)上单调递增．~
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
解析：(2)若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.符合题意．
若a>0，则由(1)得，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a2ln a，从而当且仅当－a2ln a≥0，即0若a<0，则由(1)得，当x＝ln (－)时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln (－))＝a2(－ln (－))，从而当且仅当a2[－ln (－)]≥0，即0>a≥－时f(x)≥0.
综上，a的取值范围是[－，1].~(共35张PPT)
第3课时 导数与函数的极值、最值综合问题
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点
利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性，极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围．
基 础 自 测
1．函数f(x)＝ln x＋的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：A
2．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f′(x)的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．不确定
解析：由题意得，f′(x)＝(x2＋2x＋a)ex，
因为函数f(x)有最小值，且当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，
所以函数存在减区间，即f′(x)<0有解，
所以x2＋2x＋a＝0有两个不相等的实根，
所以函数y＝f′(x)的零点个数为2.
答案：C
3．若曲线y＝xe－x与直线y＝a恰有两个交点，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，] B．(0，) C．(0，＋∞) D．[0，]
答案：B
4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．
解析：令y＝f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
因为当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2.函数f(x)＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－2(－2，2)
课堂探究·素养提升
利用导数解决函数的零点或方程的根问题
例1 给定函数f(x)＝ex－x.
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；
【解析】 (1)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝ex－1，
令f′(x)＝0，解得x＝0.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞).
(2)画出函数f(x)的大致图象；
【解析】由(1)可知，函数的最小值为1.
函数的图象经过特殊点f(－1)＝＋1，f(2)＝2－2，f(0)＝1，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞；
当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示．
(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1，2]上的根的个数．
【解析】截取函数f(x)在区间[－1，2]上的图象如图所示．
由图象知，当f(0)当m<1或m>e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1，2]上无实根．
方法归纳
判断零点的个数问题的思路
(1)求出函数的定义域．
(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点．
(3)用f′(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值．
(4)确定f(x)的图象经过一些特殊点，根据零点存在性定理分析图象的变化趋势．
(5)画出f(x)的大致图象．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝－1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数．
由函数的零点个数求参数的范围
例2 已知函数f(x)＝x3－kx＋k2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．
方法归纳
利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性以及零点存在性定理判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)，
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
解析：(1)f(x)的定义域为R.当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，
令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0，
所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．~
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
(2)f′(x)＝ex－a.
①当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
故f(x)至多存在一个零点，不符合题意．
②当a>0时，由f′(x)＝0，可得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上是减函数，在(ln a，＋∞)上是增函数．
故当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a(1＋ln a).
(ⅰ)若0(ⅱ)若a>，f(ln a)<0.
因为f(－2)＝e－2>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上存在唯一零点．
由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0.
所以当x>4且x>2ln (2a)时，f(x)＝·－a(x＋2)>eln (2a)·(＋2)－a(x＋2)＝2a>0.
故f(x)在(ln a，＋∞)上存在唯一零点．
从而f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点．
综上，a的取值范围是(，＋∞).
二次求导问题
例3 已知函数f(x)＝ex－ax.(a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间；
【解析】 (1)f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，
当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
所以a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)若a＝3，证明：当x＞0时，f(x)＞x2－3x＋1恒成立．
解析：证明：令g(x)＝f(x)－(x2－3x＋1)＝ex－x2－1，
则g′(x)＝ex－2x.
令h(x)＝ex－2x，则h′(x)＝ex－2，
当0＜x＜ln 2时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
当x＞ln 2时，h′(x)＞ 0，h(x)单调递增；
所以h(x)≥h(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－2ln 2＞0，即g′(x)＞0恒成立．
所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以g(x)＞g(0)＝1－0－1＝0，
所以ex－x2－1＞0，即当x＞0时，f(x)＞x2－3x＋1恒成立．~
方法归纳
解决此系列问题的步骤：
(1)求定义域且求导；
(2)要判断f′(x)的符号，只需要判断优化后的函数的符号但不确定；
(3)构造函数，二次求导，直接判断导函数的符号．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ex cos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
解析：因为f(x)＝ex cos x－x，所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.~
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
解析：设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2ex sin x．
当x∈(0，)时，h′(x)＜0，
所以h(x)在区间[0，]上单调递减．
所以对任意x∈(0，]有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.
所以函数f(x)在区间[0，]上单调递减．
因此f(x)在区间[0，]上的最大值为f(0)＝1，最小值为f()＝－.
二次求导虚设零点问题
例4 已知函数f(x)＝. 求证：函数f(x)＝有极大值．
方法归纳
零点存在性定理——虚设零点，此时g(x)在(0，＋∞)上有没有零点，我们继续列表分析．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝ex(ln x－a)
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝ex(ln x－1)，
所以f′(x)＝ex(ln x－1)＋ex＝ex(ln x＋－1)，
所以f(1)＝－e，f′(1)＝0，
曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－e.~
(2)若a＞1，求证：函数f(x)存在极小值．(共28张PPT)
6．3 利用导数解决实际问题
1.应引导学生通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义．
2．能够利用导数解决简单的实际问题．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 最优化问题
生活中经常遇到求________、________、________等问题，这些问题通常称为最优化问题．
知识点二 用导数解决最优化问题的基本思路
利润最大
用料最省
效率最高
函数
导数
基 础 自 测
1.做一个容积为256 m3底为正方形的无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m
C．4 m D．2 m
解析：设底面边长为x m，高为h m时用料最省，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m).
答案：C
2.某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2()(0A．30 B．40
C．50 D．60
解析：V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，
此时V(x)单调递增；
当40答案：B
3.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当0＜x＜9时，y′＞0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．
答案：C
4.某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6 000，
S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．
答案：115
课堂探究·素养提升
面积、体积的最值问题
例1 请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【解析】 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
状元随笔 弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．
方法归纳
1．解决面积、体积最值问题的思路
要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
2．解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
跟踪训练1 将一张2×6 m的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)x取何值时，水箱的容积最大．
解析：(1)由水箱的高为x m，
得水箱底面的宽为(2－2x) m，长为＝(3－x) m.
故水箱的容积为y＝2x3－8x2＋6x(0(2)由y′＝6x2－16x＋6＝0，
解得x＝(舍去)或x＝.
因为y＝2x3－8x2＋6x(0所以当x的值为时，水箱的容积最大．
用料最省、成本(费用)最低问题
例2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
【解析】 (1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0当50，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值70万元．
方法归纳
1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练2 甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
解析：(1)Q＝P·
＝·
＝·400
＝v2＋6 000(0(2)Q′＝－5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当0当800，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值＝Q(80)＝(元)．
利润最大、效率最高问题
【思考探究】
在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
[提示] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．
例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【解析】 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，故a＝2.
(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6，
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)·(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
x (3，4) 4 (4，6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增? 极大值42 单调递减?
状元随笔
(1)根据x ＝5时，y ＝11，求a的值．
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．
方法归纳
1．经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
2．关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练3 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24 200-x2))，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
解析：每月生产x吨时的利润为
f(x)＝x－(50 000＋200x)
＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)，
由f′(x)＝－x2＋24 000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．
因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．