(共31张PPT)
第1课时 基本计数原理
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
[课标解读] 1.通过实例，能总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”.3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题．
新知初探·自主学习
【教材要点】
知识点一 分类加法计数原理
完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______________种不同的方法．
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝______________种不同的方法．
m1＋m2＋…＋mn
m1×m2×…×mn
【基础自测】
1．下列说法不正确的是( )
A．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同
B．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事
C．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种
D．某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种
答案：A
解析：A错误，在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．B正确，在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这件事．C正确，由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．D正确，根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14(种).
2．下列说法不正确的是( )
①在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的
②在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事
③已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个
④某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人，从中选一人担任学生会主席，共有102种不同选法
A．①③ B．①②
C．②④ D．③④
答案：C
解析：①正确，因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．
②错误，因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．
③正确，因为x从集合{2，3，7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4，8}中任取一个值共有3个不同的值，且对应x·y的值各不相同，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．
④错误，这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也可能是三班学生．依分类加法计数原理，共有50＋50＋52＝152种不同选法．
3．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
答案：B
解析：先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.
4．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不对
答案：B
解析：分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．
课堂探究·素养提升
题型1 分类加法计数原理的应用
例1 (1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
解析：分四类：
从一班中选一人，有4种选法；
从二班中选一人，有5种选法；
从三班中选一人，有6种选法；
从四班中选一人，有7种选法．
共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22(种).
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解析：方法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
方法二：按个位上的数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).
状元随笔
(1)按所选组长来自不同班级为分类标准．
(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类．
方法归纳
1．应用分类加法计数原理解题的策略
(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法．
(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏．
(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事．
2．利用分类加法计数原理解题的一般思路
(1)分类：将完成这件事的方法分成若干类；
(2)计数：求出每一类的方法数；
(3)结论：将每一类的方法数相加得出结果．
跟踪训练1
(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．4种
答案：C
解析：分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．故选C.
(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法．
15
解析：有3类不同方案：
第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；
第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；
第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．
其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．
题型2 分步乘法计数原理的应用
例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)
解析：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；
第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；
第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；
第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.
根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．
状元随笔 根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理．
方法归纳
1．应用分步乘法计数原理时，完成这件事要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，每个步骤缺一不可．
2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路
(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；
(2)计数：求出每一步中的方法数；
(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
跟踪训练2 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为( )
A．15 B．30
C．6 D．9
答案：D
解析：某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，则恰好选出1药1方的方法种数为3×3＝9.
题型3 两个计数原理的辨析
【思考探究】
1．某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？
[提示] “完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成．而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”．
2．在1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？
[提示] 要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成．只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配成套餐”这件事．
3．在1中，若要配成“一素一汤套餐”，试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？你能说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理的主要区别吗？
[提示] 5种素菜分别记为A，B，C，D，E. 3种汤分别记为a，b，c.
利用分类加法计数原理求解：
以选用5种不同的素菜分类：
选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法．
故由分类加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3 ＋3 ＋3 ＋3 ＋3 ＝15(种)不同的套餐．
利用分步乘法计数原理求解：
第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；
第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法．
由分步乘法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15(种)不同套餐．
两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事；而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事．
例3 现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人，高三年级9人．
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
解析：(1)根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况：
若选出的是高一学生，有13种情况；
若选出的是高二学生，有12种情况；
若选出的是高三学生，有9种情况；
由分类加法计数原理可得，共有12＋13＋9＝34种选法．
(2)根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；
从高二学生中选出1人，有12种情况；
从高三学生中选出1人，有9种情况；
由分步乘法计数原理，可得共有13×12×9＝1 404种选法．
(3)根据题意，分三种情况讨论：
若选出的是高一、高二学生，有13×12＝156种情况；
若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况；
若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况；
由分类计数原理可得，共有156＋117＋108＝381种选法．
状元随笔
(1)用分类加法计数原理，分3种情况讨论，①选出的是高一学生，②选出的是高二学生，③选出的是高三学生，由各年级的人数易得各种情况的选法数目，由分类计数原理，相加可得答案；
(2)用分步乘法计数原理，分3步进行，先从高一学生中选出1人，再从高二学生中选出1人，最后从高三学生中选出1人，根据各年级的人数易得每一步的选法数目，由分步乘法计数原理，相乘可得答案；
(3)用分类加法计数原理，分3种情况讨论，①若选出的是高一、高二学生，②若选出的是高一、高三学生，③若选出的是高二、高三学生，先计算各种情况的选法数目，由分类加法计数原理，相加可得答案．
方法归纳
1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：
(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；
(2)完成每一步有若干种方法；
(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
2．利用分步乘法计数原理应注意：
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．
(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．
(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事才算完成．
跟踪训练3 一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用，共有多少种不同的取法？
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
解析：(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．
根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．
(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法．
教材反思(共27张PPT)
第2课时 基本计数原理的应用
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
[课标解读] 能够结合具体实例，识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其作用，并能够运用这些原理解决简单的实际问题．
新知初探·自主学习
【教材要点】
知识点 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题 区别一 完成一件事共有n类办法，关键词是“________” 完成一件事共分n个步骤，关键词是“________”
区别二 每类办法都能完成这件事 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三 各类办法都是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互关联的、互相依存的
分类
分步
【基础自测】
1.由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为________．
2．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项．
24
36
解析：由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.
解析：该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项．由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法．由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项).
3．[2022·北京高二课时练]我校科技楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法有( )
A．10种 B．16种
C．25种 D．32种
答案：B
解析：走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共24＝16种．
4．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )
A．96种 B．24种
C．120种 D．12种
答案：A
解析：先排第1道，有4种排法，第2，3，4，5道各有4，3，2，1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．
课堂探究·素养提升
题型1 抽取(分配)问题
例1 (1)3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种．
64
解析：每名同学都有4种不同的报名方案，共有4×4×4＝64种不同的报名方案．
(2)某地政府召集5家企业的负责人召开扶贫会议，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A．14 B．16
C．20 D．48
答案：B
解析：按题意分成两类：第一类：甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人出自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理知有N1＝2×6＝12(种)情况；第二类：3人全来自其余4家企业，有N2＝4(种)情况．综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16(种).
方法归纳
求解抽取(分配)问题的方法
1．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．
2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
跟踪训练1
(1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( )
A．53种 B．35种
C．8种 D．15种
答案：B
解析：每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法．
(2)某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．
①推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？
②每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？
③从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？
解析：①分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法．由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法．
②分三步：第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法；第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法；第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法．由分步乘法计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法．
③分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法．因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(种)不同的选法．
题型2 组数问题
例2 用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的：
(1)银行存折的四位密码？
(2)四位整数？
(3)比2 000大的四位偶数？
解析：(1)分步解决．
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；
第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；
第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；
第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．
由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有
6×5×4×3＝360(个).
(2)分步解决．
第一步：首位数字有5种选取方法；
第二步：百位数字有5种选取方法；
第三步：十位数字有4种选取方法；
第四步：个位数字有3种选取方法．
由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5×5×4×3＝300(个).
(3)方法一：按末位是0，2，4分为三类：
第一类：末位是0的有4×4×3＝48个；
第二类：末位是2的有3×4×3＝36个；
第三类：末位是4的有3×4×3＝36个．
则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个).
方法二：按千位是2，3，4，5分四类：
第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；
第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；
第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；
第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个).
则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个).
方法三：间接法．
用0，1，2，3，4，5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：
第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)；
第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个).
共有60＋96＝156(个).
其中比2 000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)，
所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个).
状元随笔
(1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解；(3)可以按个位是0，2，4分三类，也可以按首位是2，3，4，5分四类解决，也可以用间接法求解．
方法归纳
1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．
2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．
跟踪训练2 由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：
(1)无重复数字的三位数？
(2)可以有重复数字的三位数？
解析：(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个).
(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．
由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个).
题型3 涂色问题
例3 用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，
(1)有多少种不同的涂色方案？
(2)若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？
(3)若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？
A B C D
解析：(1)涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24(种)不同方案．
(2)恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(种)不同的方案．
(3)若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色．先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6(种)不同的涂色方案．
方法归纳
求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：
1．按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
2．以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；
3．对于涂色问题，将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．
跟踪训练3 用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔．问：该板报有多少种书写方案？
解析：第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有5种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有4种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有5种不同的选法，共有6×5×4×5＝600种不同的书写方案．
教材反思(共35张PPT)
第1课时 排列与排列数
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
【教材要点】
知识点一 排列的概念
1．一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照____________排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．
2．两个排列相同的含义为：________________，并且____________ ________．
一定的顺序
组成排列的对象相同
对象的排列顺序也相同
知识点二 排列数与排列数公式
排列数定 义及表示
全排列的概念 n个不同对象_________的一个排列
阶乘的概念 把_____________记作n！，读作：n的阶乘
排列数公式
特殊情况
排列的个数
全部取出
n·(n－1)·…·2·1
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n！
1
1
【基础自测】
1．已知下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组． ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动． ③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母． ④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．
其中是排列问题的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
解析：①是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关．②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关．③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关．④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．
2．A24＝________，＝________．
12
6
解析：＝4×3＝12；
＝3×2×1＝6.
3．9×10×11×…×20可表示为( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：＝20×19×18×…×(20－12＋1)
＝20×19×18×…×9.
4．由1，2，3这三个数字组成的三位数分别是________________ __________．
123，132，213，231，312，321
解析：用树形图表示为
由“树形图”可知组成的三位数为123，132，213，231，312，321，共6个．
课堂探究·素养提升
题型1 排列的概念
例1 判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
解析：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
状元随笔 判断是否为排列问题关键是选出的对象在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
方法归纳
1．解决本题的关键有两点：一是“取出对象不重复”，二是“与顺序有关”．
2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出对象后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换对象的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．
跟踪训练1 判断下列问题是否是排列问题．
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？
(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
解析：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．
(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．
题型2 排列的列举问题
例2 写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数．
(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数，试全部列出．
解析：(1)画出树形图，如图所示：
所有两位数是12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个不同的两位数．
(2)画出树形图，如图所示：
由上面的树形图可知，所有的四位数为：
1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个四位数．
状元随笔
(1)直接列举数字．
(2)先画树形图，再结合树形图写出．
方法归纳
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将对象按一定顺序排出，然后以先安排哪个对象为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的对象在前面对象不变的情况下确定第二个对象，再按此对象分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．
跟踪训练2 写出下列问题的所有排列．
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票．
(2) 写出从4个对象a，b，c，d中任取3个对象的所有排列．
解析：(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：
北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．
(2)由题意作树形图，如图．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．
题型3 排列数公式的推导及应用
【思考探究】 你能写出的值吗？有什么特征？若m ＝n呢？
[提示] ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N＋，m≤n).
(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数；
(2)全排列：当n ＝m时，即n个不同对象全部取出的一个排列．
全排列数：＝n(n－1)(n－2)·…·2·1 ＝n！(叫做n的阶乘).
另外，我们规定0! ＝1.
所以＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝＝.
例3 (1)计算：①；②－.
(2)求3＝4中的x.
解析：(1)①方法一：＝＝＝.
方法二：＝＝＝＝.
②＝
＝·
＝·
＝m·
＝，
＝.
(2)原方程＝可化为＝，
即＝，化简，
得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
由题意知，解得x≤8.
所以原方程的解为x＝6.
(3)若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )
A．180种 B．360种
C．15种 D．30种
答案：B
解析：由排列定义知选派方案有＝6×5×4×3＝360(种)．
(4)2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有( )
A．64种 B．48种
C．24种 D．12种
答案：C
解析：对四个医疗小组进行全排列分配到四个国家，故有＝24种．
状元随笔 第①题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第②题首先分析各项的关系，利用＝进行变形推导．
方法归纳
排列数的计算方法
1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列对象的总个数，而正整数(因式)的个数是选取对象的个数，这是排列数公式的逆用．
2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
跟踪训练3 (1)计算；
(2)解方程3＝2＋6.
(3)利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解析：
＝
＝＝1.
(2)由，
得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．
因为x≥3，且x∈N*，
所以3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0.解得x＝5，x＝(舍去)．所以x＝5.
(3)本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故有＝4×3×2＝24种排法，即可以组成24个没有重复数字的三位数．
教材反思(共32张PPT)
第2课时 排列数的应用
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
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【教材要点】
知识点 应用排列知识解决实际问题
1．解简单的排列应用题的基本思想
2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的对象指的是什么，以及从n个不同的对象中任取m个对象的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．
【基础自测】
1．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
48
解析：从2，4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有＝48个．
2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．
24
解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共＝24种．
3．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A．6 B．4
C．8 D．10
答案：B
解析：列树形图如下：
共4种．
4．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36 B．120
C．720 D．240
答案：C
解析：由于6人排两排，没有什么特殊要求的对象，故排法种数为＝720.
课堂探究·素养提升
题型1 无限制条件的排列问题
例1 (1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解析：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同对象中任取3个对象的一个排列，因此不同送法的种数是＝5×4×3＝60种，所以共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的送法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125种，所以共有125种不同的送法．
状元随笔
(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，每人得到的书不同，属于求排列数问题；
(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，每人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．
方法归纳
1．没有限制的排列问题，即对所排列的对象或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清对象和位置即可．
2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．
跟踪训练1 (1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．
(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种．
720
60
解析：(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为＝10×9×8＝720种．
(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有＝5×4×3＝60种选法．
题型2 排队问题(“在”与“不在”“邻”与“不邻”“ 定序”问题)
例2 (1)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？
①老师甲必须站在中间或两端；
②2名女生必须相邻而站；
③4名男生互不相邻；
④若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．
解析：(1)①先考虑甲有种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：＝2 160(种)．
②2名女生站在一起有站法种，视为一个对象与其余5人全排，有种排法，所以有不同站法＝1 440(种)．
③先站老师和女生，有站法种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法种，所以共有不同站法＝144(种)．
④7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法＝420(种)．
(2)从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．
240
解析：翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有种选法，由分步乘法计数原理知共有＝240种选派方案．
状元随笔 解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊对象或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的对象影响另一个位子的对象个数时，应分类讨论．
方法归纳
解决排队问题时应注意的问题
1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的对象作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列．
2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的对象，再将不相邻的对象以插空的方式排入．
3．对于顺序给定的对象的排列问题只需考虑其余对象的排列即可．
4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从对象入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．
跟踪训练2 3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．
(1)甲不站中间，也不站两端；
(2)甲、乙两人必须站两端；
(3)男、女各站在一起；
(4)男生必须排在一起；
(5)男生不能排在一起；
(6)男生互不相邻，且女生也互不相邻；
(7)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(8)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(9)从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列， 甲不在首位的排法有多少种？
(10)从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？
解析：(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有种站法，然后再排其他位置，有种站法，所以共有＝2 880种不同站法．
(2)甲、乙为特殊对象，先将他们排在两头位置，有种站法，其余5人全排列，有种站法．故共有＝240种不同站法．
(3)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有种排法，全体男生、女生各看作一个对象全排列有种排法，由分步乘法计数原理知共有＝288种排法．
(4)(捆绑法)把所有男生看作一个对象，与4名女生组成5个对象全排列，故有＝720种不同的排法．
(5)(不相邻问题插空法)先排女生有种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有＝1 440种不同的排法．
(6)先排男生有种排法．让女生插空，有＝144种不同的排法．
(7)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法．
(8)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的.故有＝840(种)不同的排法．
(9)方法一：把甲同学作为研究对象．
第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有
第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有种排法．根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4× 种排法．
由分类加法计数原理，共有+4×＝2 160(种)排法．
方法二：把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种方法．
由分步乘法计数原理，可得共有＝2 160(种)排法．
方法三(间接法)：即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．
不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种；甲在首位的情况有种，所以符合要求的排法有＝2 160(种)．
(10)把位置作为研究对象，先满足特殊位置．
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有
第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种方法．
根据分步乘法计数原理，有＝1 800(种)方法．
题型3 数字排列问题
【思考探究】
1．偶数的个位数字有何特征？从1，2，3，4，5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？
[提示] 偶数的个位数字一定能被2整除．先从2，4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排法，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1，2，3，4，5中任取两个数字，能组成2×4＝8(个)不同的偶数．
2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0
[提示] 在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从对象0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．
3．如何从26，17，31，48，19中找出大于25的数？
[提示] 先找出十位数字比2大的数，再找出十位数字是2，个位数字比5大的数即可．
例3 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：
(1)六位奇数？
(2)个位数字不是5的六位数？
解析：(1)方法一：从特殊位置入手(直接法)
分三步完成，第一步先填个位，有种填法，第二步再填十万位，有种填法，第三步填其他位，有种填法，故共有＝288(个)六位奇数．
方法二：从特殊对象入手(直接法)
0不在两端有种排法，从1，3，5中任选一个排在个位有种排法，其他各位上用剩下的对象做全排列有种排法，故共有＝288(个)六位奇数．
方法三：排除法
6个数字的全排列有个，0，2，4在个位上的六位数为个，1，3，5在个位上，0在十万位上的六位数有个，故满足条件的六位奇数共有＝288(个)．
(2)方法一：排除法
0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有个，0在十万位且5在个位的六位数有个．
故符合题意的六位数共有＝504(个)．
方法二：直接法
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类：
第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有个．
第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有个．
故共有符合题意的六位数＝504(个)．
状元随笔 这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊对象或特殊位置优先安排的原则. 另外，还可以用间接法求解．
方法归纳
解排数字问题常见的解题方法
1．“两优先排法”：特殊对象优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．
2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．
3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．
4．“位置分析法”：选排列问题按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．
跟踪训练3 用0，1，2，3，4，5这六个数取不同的数字组数．
(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？
解析：(1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有个．故满足条件的五位数的个数共有＝216(个)．
(2)符合要求的比1 325大的四位数可分为三类：
第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；
第二类，形如14□□，15□□，共有个；
第三类，形如134□，135□，共有个．
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 325大的四位数共有：＝270(个)．
教材反思(共38张PPT)
第1课时 组合与组合数及组合数性质
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
[课标解读] 1.通过实例，理解组合的概念；能利用计数原理、排列定义推导组合数公式.2.能够结合具体实例，理解排列、组合与两个计数原理的关系，能够运用两个计数原理推导排列、组合的相关公式，并能够运用它们解决简单的实际问题．
新知初探·自主学习
【教材要点】
知识点一 组合的概念
一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成________，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合．
知识点二 组合数的概念
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的________的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号表示．
一组
所有组合
知识点三 组合数公式及其性质
(1)公式：＝________＝_____________．
(2)性质：＝________，＋＝________．
(3)规定：＝________．
1
【基础自测】
1.下列判断不正确的是( )
A.两个组合相同的充要条件是组成组合的对象完全相同
B．从a1，a2，a3三个不同对象中任取两个对象组成一个组合，所有组合的个数为C23
C．从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题
D．从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法
答案：C
解析：A正确．因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
B正确．由组合数的定义可知正确．
C错误．因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．
D正确．因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．
2．从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．
20
10
解析：产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数，且各不相同．产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3，5，7时，真分数的个数分别是3，2，1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数．
3．＝________，＝________．
15
18
解析：＝＝15，
＝＝18.
4．从3，5，7，11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．
6
解析：从四个数中任取两个数的取法为＝6.
课堂探究·素养提升
题型1 组合的概念
例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
解析：(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．
(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．
状元随笔 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的对象是否与顺序有关．
方法归纳
1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．
2．区分有无顺序的方法
把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
跟踪训练1 判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来．
(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？
(2)8人相互发一个电子邮件，共发了多少个邮件？
(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
(4)从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？
(5)从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？
解析：(1)已知集合的对象具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有个．
(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共发了个电子邮件．
(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有种票价．
(4)共有＝＝6(个)不同结果．
完成的“这件事”是指：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象并相乘．
(5)共有－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象并相除．
题型2 组合的列举问题(逻辑推理)
例2 已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．
解析：
四步 内容
理解题意 条件：①A，B，C，D，E五个元素；
②每次取出3个元素；
结论：所有组合．
思路探求 列举法解答，注意按顺序列举．
书写表达 方法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即
所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
书写表达 方法二：画出树形图，如图所示．
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
注意书写的规范性：
①注意是否与顺序有关；
②注意按顺序列举，不重不漏．
题后反思 列举法适合总数比较少的情形．
方法归纳
1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直观地写出组合，做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
跟踪训练2 从5个不同的对象a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．
解析：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
题型3 组合数公式的应用
例3 (1)计算－·.
(2)求证：＝.
解析：(1)原式＝＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)证明：∵右边＝＝·＝＝，
左边＝，∴左边＝右边，故原式成立．
(3)从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：分两步进行：第一步，选出两名男选手，有种方法；
第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有种．故有种．故选B.
状元随笔 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．
方法归纳
关于组合数计算公式的选取
1．涉及具体数字的可以直接用公式＝＝计算．
2．涉及字母的可以用阶乘式＝计算．
3．计算时应注意利用组合数的性质＝简化运算．
跟踪训练3 (1)可表示为( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：＝＝＝.
(2)算式可以表示为( )
A． B．
C．21 D．21
解析：＝
＝×21＝.
答案：D
(3)新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，则不同的选派方案共有________种．(用数字作答)
120
解析：根据题意，从6名男医生、4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，共有＝20×6＝120种选派方案．
题型4 组合的性质
【思考探究】
1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？
[提示] 方法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共＝ ＝10(种)选法．
方法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共＝＝10(种)不同选法．
经求解发现＝.推广到一般结论有＝.
2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？
[提示] 共有＝＝210(种)选法．
3．在2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由2，3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？
[提示] 若队长必须参加，共＝126(种)选法．若队长不能参加，共＝84(种)选法．
由2，3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得： ＝＋.
一般地：＝＋.
例4 (1)计算＋＋＋…＋的值为( )
A． B．
C．－1 D．－1
答案：C
解析：
＝+++…+
＝++…+－1＝…
+－1＝－1.
(2)解方程＝的解为________．
4或6
解析：由题意知或
解得x＝4或6.
方法归纳
1．性质“＝”的意义及作用
2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
跟踪训练4 (1)化简：－＋＝________；
(2)计算＋＝________．
(3)若＝ (n∈N＋)，则n＝( )
A．5 B．7
C．5或7 D．5或6
(4)若3－6＝4，则n＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
0
161 700
C
D
解析：(1)原式＝＝0.
(2)＝＝＝161 700.
(3)由题意知或，
即n＝5或7.
(4)由题意知，3n(n－1)(n－2)－6n(n－1)＝4×，解得n＝5.
教材反思(共37张PPT)
第2课时 组合数的应用
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
[课标解读] 能够结合具体实例，理解排列、组合与两个计数原理的关系，能够运用两个计数原理推导排列、组合的相关公式，并能够运用它们解决简单的实际问题．
新知初探·自主学习
【教材要点】
知识点一 组合与排列的异同点
共同点：排列与组合都是从n个________对象中取出m(m≤n)个对象．
不同点：排列与对象的________有关，组合与对象的________无关．
知识点二 应用组合知识解决实际问题的四个步骤
(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．
(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．
(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．
(4)结论：根据计算结果写出方案个数．
不同
顺序
顺序
【基础自测】
1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种．
120
解析：把三张票分给10个人中的3人，不同分法有＝＝120(种)．
2．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．
96
解析：甲选修2门，有＝6(种)不同方案．
乙选修3门，有＝4(种)不同选修方案．
丙选修3门，有＝4(种)不同选修方案．
由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．
3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)
36
解析：有36种满足题意的分配方案．其中表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数．
4．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．
112
解析：每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有＝112种分配方案．
课堂探究·素养提升
题型1 无限制条件的组合问题
例1 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
解析：(1)从中任选5人是组合问题，共有＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有种选法；再从另外9人中选4人，有种选法．共有＝378种不同的选法．
状元随笔 本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题．
方法归纳
解答简单的组合问题的思考方法
1．弄清要做的这件事是什么事．
2．选出的对象是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题．
3．结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果．
跟踪训练1 [2022·北京西城高二模拟]从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动．
(1)共有多少种不同的选择方法？
(2)如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
解析：(1)从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动，选择方法数为＝20.
(2)没有女生入选的选择方法数为＝4，
所以至少有1位女生入选的选择方法数为20－4＝16.
题型2 有限制条件的组合问题
例2 高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
解析：(1)从余下的34名学生中选取2名，有＝561(种)．
∴不同的选法有561种．
(2)从34名可选学生中选取3名，有＝5 984(种)．
或者＝＝5 984种．
∴不同的选法有5 984种．
(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有＝2 100(种)．
∴不同的选法有2 100种．
(4)选取2名女生有种，选取3名女生有种，共有选取方法N＝＝2 100＋455＝2 555(种)．
∴不同的选法有2 555种．
(5)选取3名的总数有，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝＝6 545－455＝6 090(种)．
∴不同的选法有6 090种．
状元随笔 可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．
方法归纳
常见的限制条件及解题方法
1．特殊对象：若要选取的对象中有特殊对象，则要以有无特殊对象，特殊对象的多少作为分类依据．
2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．
3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．
跟踪训练2 “抗震救灾，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
解析：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有种选法，所以共有＝90(种)抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．
方法一：(直接法)
按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有
②选3名外科专家，共有
③选4名外科专家，共有
＝185(种)抽调方法．
方法二：(间接法)
不考虑是否有外科专家，共有种选法，考虑选取1名外科专家参加，有种选法；没有外科专家参加，有种选法，所以共有：＝185(种)抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有
②有1名外科专家参加，有
③有2名外科专家参加，有
所以共有＝115(种)抽调方法．
题型3 组合在几何中的应用
例3 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
解析：方法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准．
第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有＝48个不同的三角形；
第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有＝112个不同的三角形；
第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有＝56个不同的三角形．
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．
方法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有＝4种．
故这12个点能构成三角形的个数为＝216个．
状元随笔 解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．
方法归纳
1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．
跟踪训练3 四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
解析：如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，不同的取法有＋3＝33种．
题型4 分组分配问题
例4 将6本不同的书分为三组，在下列条件下分别有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).
解析：(1)每组2本，均分为三组共有＝＝15(种)分配方法．
(2)一组1本，一组2本，一组3本共有＝20×3＝60(种)分配方法．
(3)一组4本，另外两组各1本共有＝＝15(种)分配方法．
方法归纳
一般地，n个不同的对象分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组元素数目相等，那么分组方法数是，简言之，部分平均分组，有“几个”平均分就除以“几”的阶乘．
跟踪训练4 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，在下列条件下分别有多少种不同的分配方法？
(1)甲2本，乙2本，丙2本；
(2)甲1本，乙2本，丙3本；
(3)甲4本，乙、丙每人1本；
(4)每人2本；
(5)一人1本，一人2本，一人3本；
(6)一人4本，其余两人每人1本．
解析：(1)(2)(3)中，由于每人分得的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得：
(1)共有＝90(种)不同的分配方法；
(2)共有＝60(种)不同的分配方法；
(3)共有＝30(种)不同的分配方法．
(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙三人．因此，
(4)共有＝90(种)不同的分配方法；
(5)共有＝360(种)不同的分配方法；
(6)共有＝90(种)不同的分配方法．
题型5 排列、组合的综合应用
【思考探究】 排列问题也可以按 “先选后排”分两步完成．
第一步，先从n个不同对象取出m个，是组合问题，方法有种；
第二步，将选出的m个对象做全排列，有种排法．
由分步乘法计数原理，则＝，所以组合数＝.
例5 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
解析：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有种，后排有种，共＝5 400种．
(2)除去该女生后，先选后排，有＝840种．
(3)先选后排，但先安排该男生，有＝3 360种．
(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其余3人全排有种，共＝360种．
状元随笔 (1)按选中女生的人数多少分类选取．
(2)采用先选后排的方法．
(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表．
(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．
方法归纳
解决排列、组合综合问题要采用先选后排的方法．
解决时通常从以下三个途径考虑：
1．以对象为主考虑，即先满足特殊对象的要求，再考虑其他对象；
2．以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
3．先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
跟踪训练5 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员．
解析：(1)第一步：选3名男运动员，有种选法；第二步：选2名女运动员，有种选法，故共有＝120(种)选法．
(2)方法一(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理知共有＝246(种)选法．
方法二(间接法)：不考虑条件，从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员种，故“至少有1名女运动员”的选法有＝246(种)．
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法；不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，故不选女队长时共有种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有＝191(种)．
教材反思(共28张PPT)
二项式定理与杨辉三角(一)
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
[课标解读] 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.能够结合具体实例，理解组合、二项式定理与两个计数原理的关系，能够运用两个计数原理、组合推导二项式定理的相关公式及性质，并能够运用它们解决简单的实际问题．
新知初探·自主学习
【教材要点】
知识点一 二项式定理及相关的概念
二项式定理 概念 公式(a＋b)n＝__________________________________________称为二项式定理
二项式系数
二项式通项
二项展开式
备注
an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N＋)
k＋1
知识点二 二项展开式的特点
1．展开式共有n＋1项．
2．各项的次数和都等于二项式的幂指数n.
3．字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.
【基础自测】
1．下列判断正确的是( )
A．(a＋b)n展开式中共有n项．
B．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．
an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．
D．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．
答案：D
解析：A错误，因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．B错误，因为二项式的第k＋1项an－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项bn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．C错误，因为an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．D正确，因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是.
2．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是( )
A. B.
C. D．
答案：D
解析：含x6的项是T5＝x6(－)4＝x6.
3．(x－)n的展开式共有11项，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．8
答案：B
解析：(x－)n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11，故n＝10.
4．二项式(1－2x)9的展开式为_______________________________．
+(－2x)＋…＋(－2x)k＋…＋(－2x)9
解析：二项式(1－2x)9＝+(－2x)＋…＋(－2x)k＋…＋(－2x)9.
课堂探究·素养提升
题型1 二项式定理的正用、逆用
例1 (1)用二项式定理展开(2x－)5；
(2)化简：(x＋1)n－(x＋1)n－1＋(x＋1)－2－…＋(－1)k(x＋1)n－k＋…＋(－1).
状元随笔 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
解析：(1)＝(2x)5＋(2x)4·(－)＋…＋(－)5＝32x5－120x2＋.
(2)原式＝(x＋1)n＋(x＋1)n－1(－1)＋(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋(x＋1)n－k(－1)k＋…＋(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
方法归纳
1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．
2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．
跟踪训练1 (1)求(3)4的展开式；
(2)化简：.
解析：(1)方法一：＝＋2＋3＋4＝81x2＋108x＋54＋.
方法二：＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋.
(2)原式＝+…＋2n＝(1＋2)n＝3n.
题型2 二项式系数与项的系数问题
例2 (1)求二项式(2)6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求(x－)9的展开式中x3的系数．
解析：(1)由已知得二项展开式的通项为Tk＋1
＝(2)6－k·
＝·26－k·，
∴T6＝26－5.
∴第6项的二项式系数为＝6，
第6项的系数为·(－1)·2＝－12.
(2)Tk＋1＝x9－k·＝·x9－2k，
∴9－2k＝3，∴k＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为·
状元随笔 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
方法归纳
1．二项式系数都是组合数(k＝0，1，2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝17－3(2x)3，其二项式系数是＝35，而第四项的系数是23＝280.
跟踪训练2 求(2)6的展开式中常数项对应的二项式系数．
解析：因为＝)6，所以展开式中的第 k＋1项为
Tk＋1＝6－k)k＝＝26－kx3－k，要得到常数项，必须有3－k＝0，从而有k＝3，因此常数项是第4项，其对应的二项式系数为＝20.
题型3 求展开式中的特定项
例3 已知在()n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解析：通项公式为：Tk＋1＝(－3)k＝(－3)k
(1)∵第6项为常数项，
∴k＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得k＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为(－3)2＝405.
(3)由题意得，令＝m(m∈Z)，
则10－2k＝3m，即k＝5－m.
∵k∈Z，∴m应为偶数，
m＝2，0，－2，即k＝2，5，8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236，295 245x－2.
状元随笔
→
→
→
例4 如何求(x＋)(2x＋1)3展开式中含x的项？
解析：(x＋)(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋中的x与分别与(2x＋1)3展开式中常数项及x2项22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·(2x)2＝x＋12x＝13x.即(x＋)(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.
状元随笔 (a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？
[提示] (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．
方法归纳
1．求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tk＝an－k＋1bk－1；
(2)求含xk的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练3 (1)求(x＋)4展开式中的常数项．
(2)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．
解析：(1)利用二项展开式的通项x4－k·＝x4－2k求解，令4－2k＝0，则k＝2，所以展开式中的常数项为＝＝6.
(2)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，
∴其系数为(－1)＝207.
207(共24张PPT)
二项式定理与杨辉三角(二)
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【教材要点】
知识点一 二项式系数的性质
1．每一行的两端都是____，其余每个数都等于________________．
即________________．
2．每一行中，与首末两端“________”的两个数相等．即＝.
3．如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项________的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项________与________的二项式系数相等且最大．
1
它“肩上”两个数的和
＝＋
等距离
＋1
＋1
4．各二项式系数的和
(1)+…＋＝________．
(2)＋…＝＋…＝________．
知识点二 杨辉三角的特点
1．在同一行中，每行两端都是____，与这两个1等距离的项的系数________．即＝.
2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的________，即________________．
2n
2n－1
1
相等
和
＝＋
【基础自测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)．( )
(2)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．( )
解析：× 二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关．
解析：× 在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和．
(3)二项展开式项的系数是先增后减的．( )
(4)杨辉三角中每行两端的数都是1.( )
解析：× 二项式系数是随n的增加先增后减的，二项式项的系数和a，b的系数有关．
解析：√ 根据杨辉三角的特点可知．
2．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．
1
64
解析：令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各项二项式系数之和为26＝64.
3．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于________．
8
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，所以n＝8.
4．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )
A．第8项 B．第7项
C．第9项 D．第10项
答案：C
解析：由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．即＝，＝，与第3项二项式系数相同的项是9项．
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题型1 有关杨辉三角的应用
例1 在杨辉三角中，除1以外每一数值是它左上角和右上角两个数值之和，三角形开头几行如表所示：
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
…… …… …… …… ……
利用杨辉三角展开(1－x)6.
解析：由杨辉三角知，第6行的二项式系数为：1，6，15，20，15，6，1.所以(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.令其中a＝1，b＝－x，得(1－x)6＝1－6x＋15x2－20x3＋15x4－6x5＋x6.
方法归纳
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
跟踪训练1 在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第__________行中从左至右第12个数与第13个数的比为1∶2.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
…… …… ……
35
解析：第n行从左到右的数分别为＝，即＝＝＝，从而有n＝35.
题型2 求展开式的系数和
例2 设(1－2x)2 019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 019x2 019(x∈R).
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 019的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 019的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 019|的值．
解析：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 019＝＝－1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 019＝32 019.②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 019)＝－1－32 019，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 019＝.
(3)∵Tk＋1＝(－2x)k＝·(2x)k，
∴a2m－1＜0(m∈N＋)，a2m＞0(m∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 019|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 019＝32 019.
方法归纳
1．解决二项式系数和问题思维流程
2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
跟踪训练2 已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.
解析：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.①
(2)令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
题型3 二项式系数性质的应用
例3 已知f(x)＝(＋3x2)n(n∈N＋)展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中二项式系数最大的项．
解析：令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
∵n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
T3＝)3(3x2)2＝90x6，
T4＝)2(3x2)3＝.
【思考探究】
1. 根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？
[提示] 对称性，因为
，并说明你得到的结论．
[提示] ＝.
当k<时>1，说明二项式系数逐渐增大；
同理，当k>时，二项式系数逐渐减小．
3．二项式系数何时取得最大值？
[提示] 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值．
方法归纳
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
跟踪训练3 (1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．
解析：T6＝(2x)5，T7＝(2x)6，依题意有25＝26，∴n＝8.
∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝(2x)4＝1 120x4.
教材反思
