新人教B版选择性必修第一册2023版高中数学模块质量检测(含解析）

模块质量检测
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0
2．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)
A．－4B．20
C．0D．24
3．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)
A．B．
C．D．
4.
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝＝c，＝b，则可表示为(　　)
A．－a＋b＋cB．a＋b＋c
C．－a－b＋cD．a－b＋c
5．双曲线＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是(　　)
A．(－10，0) B．(－12，0)
C．(－3，0) D．(－60，－12)
6．已知椭圆＝1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于(　　)
A.2B．4
C．8D．
7．若实数k满足0A．焦距相等B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等D．离心率相等
8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤2，若将军从点A(3，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
A．2B．
C．D．3－
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知两点A(－2，－4)，B(1，5)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可能为(　　)
A．－3B．－1
C．3D．1
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是(　　)
A．1B．2
C．3D．4
11．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　)
A．△ABF是等边三角形B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3D．抛物线C的方程为y2＝6x
12．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)、B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．双曲线＝1的两条渐近线的方程为__________．
14．若直线ax－2y＋2＝0与直线x＋(a－3)y＋1＝0平行，则实数a的值为________．
15．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝__________．
16．设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC＝90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA＝2，则PA与BC的距离是________；点P到BC的距离是________.
四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)[2022·北京期末]已知抛物线C：y2＝2px经过点(1，2)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M, N, 且与抛物线的准线交于点Q.若|MN|＝2|QF|, 求直线l的方程．
18．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．
19．(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.
(1)求证：M为PB的中点；
(2)求二面角B PD A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
20．(12分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的短轴长是2，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线y＝kx＋与椭圆C交于M，N两点，点A(2，0).问在直线x＝3上是否存在点P，使得四边形PAMN是平行四边形，若存在，求出k的值．若不存在，说明理由．
21．(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.
(1)求证：PD⊥平面PAB;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22．(12分)[2022·北京期末]已知椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，一个焦点为(2，0)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为原点，直线y＝x＋m(m≠0)与椭圆E交于不同的两点A, B, 且与x轴交于点C，P为线段OC的中点，点B关于x轴的对称点为B1.证明：△PAB1是等腰直角三角形．
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1．解析：由斜截式可得直线方程为y＝－x－1，化为一般式即为x＋y＋1＝0.故选D.
答案：D
2．解析：由直线互相垂直可得－·＝－1，∴a＝10，所以第一条直线方程为5x＋2y－1＝0，又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.
答案：A
3．解析：由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴
答案：D
4．解析：∵＝＋＝c＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
答案：A
5．解析：∵双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，
∴1<<2，解得－12答案：B
6．解析：根据椭圆的定义得：|MF2|＝8，
由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，
根据中位线定理得：|ON|＝4，故选B.
答案：B
7．解析：因为0答案：A
8．解析：设点A关于直线x＋y＝4的对称点A′(a，b)，设军营所在区域的圆心为C，根据题意，|A′C|－为最短距离，先求出A′的坐标，AA′的中点为，直线AA′的斜率为1，故直线AA′为y＝x－3，由联立得a＝4，b＝1，
所以|A′C|＝＝，
故|A′C|－＝－.
答案：B
9．解析：由题意得＝，解得a＝－3或a＝3.
答案：AC
10．解析：圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，则圆心为C(2，0)，半径R＝2.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC＝R＝2，∴圆心到直线y＝k(x＋1)的距离小于或等于PC＝2，即≤2，解得k2≤8，可得－2≤k≤2，∴实数k的取值可以是1，2.
答案：AB
11．解析：∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠BAD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°，∵△ABF的面积为|BF|2＝9，∴|BF|＝6，又点F到准线的距离为|BF|·sin30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.
答案：ACD
12．解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，
直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，
圆心M到直线AB的距离为＝＝∈(4，5)，
所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，
最大值为＋4<10，A选项正确；
如图所示，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
|BM|＝＝，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝＝3，C、D选项正确．故选ACD.
答案：ACD
13．解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
14．解析：由两直线平行的条件得a(a－3)＝－2，解得a＝1或2，经检验，a＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a的值为1.
答案：1
15．解析：由(c－a)·(2b)＝－2，
即2b·c－2a·b＝－2，
即b·c－a·b＝－1，
所以1＋2＋1－(1＋2＋x)＝－1，得x＝2.
答案：2
16．解析：作AD⊥BC于点D，
∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥AD.∴AD是PA与BC的公垂线．
易得AB＝2，AC＝2，BC＝4，AD＝，连接PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD＝.
答案：　
17．解析：(1)将点(1，2)的坐标代入抛物线C的方程，
得22＝2p，即p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
准线方程为x＝－1.
(2)方法一：依题意，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0).
联立化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
易知Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
则|MN|＝x1＋x2＋2＝＋2＝.
易知Q(－1，－2k)，F(1，0)，所以|QF|＝.
因为|MN|＝2|QF|，所以＝2.
得k2＝1，即k＝±1.
所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
方法二：依题意，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0).
联立，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
易知Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.
易知Q(－1，－2k)，F(1，0)，因为|MN|＝2|QF|，所以＝2.
所以＝2，即|x1－x2|＝4.
即＝4，故＝4.
得k2＝1，即k＝±1.
所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
18．解析：
(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD∥AB1.
因为AB1 平面BC1D，OD 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，
因此＝(0，－2，2)，＝(2，0，2).
所以cos〈AB1，BC1〉＝＝＝，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ＝，由于θ∈，故θ＝.
19．解析：(1)设AC，BD交点为E，连接ME.
因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.
因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点．
(2)取AD的中点O，连接OP，OE.
因为PA＝PD，所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP 平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.
因为OE 平面ABCD，所以OP⊥OE.
因为ABCD是正方形，所以OE⊥AD.
如图建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，0，)，D(2，0，0)，B(－2，4，0)，＝(4，－4，0)，＝(2，0，－).
设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，
则，即.
令x＝1，则y＝1，z＝.于是n＝(1，1，).
平面PAD的法向量为p＝(0，1，0)，所以cos〈n，p〉＝＝.
由题知二面角B PD A为锐角，所以它的大小为.
(3)由题意知M，C(2，4，0)，＝.
设直线MC与平面BDP所成角为α，则sinα＝|cos〈n，〉|＝＝.
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.
20．解析：(1)由题意得b＝1，e＝＝，
因为a2＝b2＋c2所以c＝，a＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)若四边形PAMN是平行四边形，
则PA∥MN，且|PA|＝|MN|.
所以直线PA的方程为y＝k(x－2)，
所以P(3，k)，|PA|＝.
设M(x1，y1)，N(x2，y2).
由得(4k2＋1)x2＋8kx＋8＝0，
由Δ>0，得k2>.
且x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝.
因为|PA|＝|MN|，所以＝.
整理得16k4－56k2＋33＝0，
解得k＝±，或k＝±.
经检验均符合Δ>0，但k＝－时不满足PAMN是平行四边形，舍去．
所以k＝或k＝±.
21．解析：(1)∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，
平面PAD⊥平面ABCD，
AB⊥AD，AB 平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD.
∵PD 平面PAD，
∴AB⊥PD.
又PD⊥PA，PA∩AB＝A，∴PD⊥平面PAB.
(2)取AD中点为O，连接CO，PO.
∵CD＝AC＝，
∴CO⊥AD.
∵PA＝PD，
∴PO⊥AD.又PO 平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
以O为原点，如图建系
易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0)，
则＝(1，1，－1)，＝(0，－1，－1)，＝(2，0，－1)，＝(－2，－1，0).
设n为平面PDC的法向量，令n＝(x0，y0，1)，
n＝，则PB与平面PCD夹角θ有
sinθ＝|cos〈n，〉|＝
＝＝.
(3)假设存在M点使得BM∥平面PCD，
设＝λ，M(0，y′，z′)，
由(2)知A(0，1，0)，P(0，0，1)，＝(0，－1，1)，B(1，1，0)，＝(0，y′－1，z′)，
由＝λ M(0，1－λ，λ)，
∴＝(－1，－λ，λ)
∵BM∥平面PCD，n为平面PCD的法向量，
∴·n＝0，
即－＋λ＋λ＝0，
∴λ＝.
∴综上，存在M点使得BM∥平面PCD，此时＝.
22．解析：(1)依题意，e＝＝，c＝2
得a＝，b2＝a2－c2＝2.
得＋＝1.
(2)设点C(－m，0), 则点P.
联立方程，
可得，4x2＋6mx＋3m2－6＝0.
依题意，Δ＝36m2－16(3m2－6)>0，得－2又因为m≠0，所以－2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，B1(x2，－y2)，
得x1＋x2＝－.
设向量＝，＝
则有·＝－y1y2
＝－(x1＋m)(x2＋m)
＝－(x1＋x2)－m2
＝－＝0.
所以PA⊥PB1.
所以∠APB1＝90°.
设AB的中点为M(x0，y0), 则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
kPM＝＝－1，由题意可知kAB＝1，故PM⊥AB，所以|PA|＝|PB|.
因为点B关于x轴的对称点为B1，所以|PB|＝|PB1|.
所以|PA|＝|PB1|.
所以△APB1为等腰直角三角形．