2.4 曲线与方程
[课标解读] 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念.3.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.4.掌握求轨迹方程的几种常用方法.5.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质．
教材要点
知识点一 曲线与方程的概念
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的________．
一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
①________________都是方程F(x，y)＝0的解；
②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在________C上．
那么，方程F(x，y)＝0叫做__________；曲线C叫做__________．
状元随笔
1．如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明．
[提示] 如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆．
2．如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
[提示] 若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0.
知识点二 两条曲线的交点坐标
曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为____________的实数解．
知识点三 解析几何研究的主要问题
(1)由曲线求它的________．
(2)利用方程研究曲线的________．
知识点四 求曲线的方程的步骤
状元随笔 求曲线方程的步骤是否可以省略．
[提示] 可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“证明”，如有特殊情况，可以适当说明．
基础自测
1．方程x2y2＝1的曲线是( )
2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )
A B C D
3．下列各点中，在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上的是( )
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(－1，－2) D．(－2，3)
4．平面上有三点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________．
题型1 曲线与方程的概念
例1 (1)命题“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是命题“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)若曲线C的方程为y＝2x－1(1
A．(0，0) B．(7，15)
C．(2，3) D．(4，4)
方法归纳
解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
跟踪训练1 下列命题正确的是________．(填序号)
①设点A(2，0)，B(0，2)，则线段AB的方程是x＋y－2＝0；
②到原点的距离等于5的动点的轨迹是y＝；
③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2－y2＝0.
题型2 由方程研究曲线的性质
例2 写出方程y2－4x－4＝0的曲线的主要性质．
方法归纳
利用方程研究曲线性质的一般过程
跟踪训练2 画出到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹图形．
题型3 直接法求曲线方程
例3 已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．9π B．8π
C．4π D．π
方法归纳
直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．
跟踪训练3 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．
题型4 代入法求曲线的方程
【思考探究】
1．为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？
[提示] 只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题．
2．常见的建系原则有哪些？
[提示] (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系．
(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．
3．求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？
[提示] 在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”．同时注意题中隐含信息，比如“三点不能共线”，若共线就不能取．
例4 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
状元随笔 所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得．
方法归纳
代入法求解曲线方程的步骤
1．设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；
2．利用条件求出两动点坐标之间的关系
3．代入相关动点的轨迹方程；
4．化简、整理，得所求轨迹方程．
其步骤可总结为“一设二找三代四整理”．
跟踪训练4 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
状元随笔 方法一：由平行四边形性质可知|MP|＝|ON|＝2，满足圆的定义，注意去掉不满足条件的点；
方法二：根据对角线互相平分，利用代入法可求出轨迹方程．
2．4 曲线与方程
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
轨迹方程 曲线C上点的坐标 曲线 曲线的方程
方程的曲线
知识点二
方程组
知识点三
方程 性质
知识点四
有序实数对(x，y) P＝{M|p(M)} p(M) f(x，y)＝0 f(x，y)＝0 方程的解
[基础自测]
1．解析：方程x2y2＝1，化为xy＝±1，
即y＝±.所以曲线为D.
答案：D
2．答案：D
3．解析：将各点代入验证，得点(1，－2)满足．
答案：A
4．解析：＝＝，由⊥得2x－＝0，即y2＝8x(x≠0)．
答案：y2＝8x(x≠0)
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)根据曲线方程的概念，“曲线C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义．
(2)由y＝2x－1(1答案：(1)B (2)C
跟踪训练1 解析：命题①中方程x＋y－2＝0表示一条直线，坐标满足该方程的点如(－1，3)不在线段AB上，故命题①错误．
命题②中到原点的距离等于5的动点的轨迹方程为x2＋y2＝25，方程y＝表示的曲线是圆x2＋y2＝25除去x轴下半部分的曲线，故命题②错误．
命题③中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为|x|＝|y|，满足x2－y2＝0，反过来坐标满足方程x2－y2＝0的点到两坐标轴的距离相等，故命题③正确．
答案：③
例2 解析：(1)曲线变化情况：∵y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切实数，x逐渐增大时，|y|无限增大．
∴曲线在直线x＝－1的右侧，向上向下无限伸展．
(2)对称性：用－y代y方程不变，故曲线关于x轴对称．
(3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2，
∴曲线的与x轴交点的横坐标为－1，与y轴交点的纵坐标为±2.
(4)画方程的曲线：
列表：
x －1 0 1 2 3 …
y 0 ±2 ±2.83 ±3.46 ±4 …
描点作图如图所示．
跟踪训练2 解析：到两坐标轴距离之差等于1的点(x，y)，满足的方程是||x|－|y||＝1，
其中以－x代x，或－y代y，方程都不变，所以方程的曲线关于坐标轴对称，同时也关于原点对称，需画出x≥0，y≥0的图形后，利用对称性完成画图，如图．
例3 解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，知＝2，化简整理，得(x－2)2＋y2＝4，
所以，动点P的轨迹是圆心为(2，0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π.
答案：C
跟踪训练3 解析：设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.
则|8－x|＝2，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
例4 解析：设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点．
∴即
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，
∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
跟踪训练4 解析：方法一：(定义法)|MP|＝|ON|＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上．
又因为四边形MONP为平行四边形，
所以O，M，P不共线．当点P在直线OM上时有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
除去点和点.
方法二：(代入法)如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为()．
由于平行四边形的对角线互相平分，故＝＝，从而又点N(x＋3，y－4)在圆上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.∵O、M、P三点不共线，∴当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点和点.2．5.1 椭圆的标准方程
[课标解读] 1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程.2.能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题 (图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题．
教材要点
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．
2．相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的________，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的________．
状元随笔 椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
[提示] 2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件 结论
2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2
2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在
知识点二 椭圆的标准方程
焦点位置 在x轴上 在y轴上
标准方程 1(a>b>0) =1(a＞b＞0)
图形
焦点坐标 (±c，0) (0，±c)
a，b，c的关系 a2＝__________
状元随笔 确定椭圆标准方程需要知道哪些量？
[提示] a，b的值及焦点所在的位置．
基础自测
1．已知点M到两个定点A(－1，0)和B(1，0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是( )
A．一个椭圆
B．线段AB
C．线段AB的垂直平分线
D．直线AB
2．以下方程表示椭圆的是( )
A．＝1
B．2x2－3y2＝2
C．－2x2－3y2＝－1
D．＝0
3．已知椭圆+＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则它到另一个焦点的距离为( )
A．1 B．5
C．2 D．7
4．以坐标轴为对称轴，两个焦点间的距离是2，且过点(0，2)的椭圆的标准方程是( )
A．＝1
B．+＝1
C．＝1或＝1
D．＝1或＝1
题型1 求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
状元随笔 求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算．
方法归纳
确定椭圆方程的“定位”与“定量”
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)；
(2)经过两点(2，－)，(－1，))．
状元随笔 若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
题型2 椭圆的定义及其应用
【思考探究】
1．如何用集合语言描述椭圆的定义？
[提示] P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}.
2．如何判断椭圆的焦点位置？
[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要通过看椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．
3．椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？
[提示] 椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，
可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2(如图所示)．
例2 如图所示，已知椭圆的方程为+＝1.
(1)若点P为椭圆上的点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积；
(2)在题设条件不变的情况下，求点P的坐标．
状元随笔 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用三角形面积公式求解．
方法归纳
椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量．且＝b2tan (其中θ＝∠F1PF2)．
跟踪训练2 已知椭圆C： +＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且∠PF1F2＝60°，则△PF1F2的面积是( )
A．5 B．
C．5 D．
题型3 与椭圆定义有关的轨迹问题
例3 如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
方法归纳
在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法．
跟踪训练3 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
2．5 椭圆及其方程
2．5.1 椭圆的标准方程
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
2．焦点 焦距
知识点二
b2＋c2
[基础自测]
1．解析：定值2等于|AB|，故点M只能在线段AB上．
答案：B
2．解析：A中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程．
答案：C
3．解析：由|PF1|＋|PF2|＝10可知到另一焦点的距离为7.
答案：D
4．解析：若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是＝1.
答案：C
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
∵2a＝＝10，∴a＝5.
又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＝1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
∴?
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)方法一：①当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
因为a>b>0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为＝1.
方法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
依题意有解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
跟踪训练1 解析：(1)方法一：因为椭圆的焦点在y轴上，
所以可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知2a＝＝12，所以a＝6.
又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＝1.
方法二：因为椭圆的焦点在y轴上，
所以可设其标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为＝1.
(2)方法一：若椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在．
综上，所求椭圆的标准方程为＝1.
方法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
例2 解析：(1)由已知a＝2，b＝，
得c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|. ②
②代入①解得|PF1|＝.
所以＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝×2×＝，
即△PF1F2的面积是.
(2)设P点坐标为(x0，y0)．
由(1)可知＝|F1F2|·|y0|＝，
解得|y0|＝，即y0＝±，
将y0＝±代入＝1得x0＝±，
所以点P的坐标为(±，±)．
跟踪训练2 解析：由题意可得a＝3，c＝＝2.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝6①，
由余弦定理得，cos ∠PF1F2＝＝，即m2－n2－4m＋16＝0②，由①②解得m＝，n＝，故△PF1F2的面积是m|F1F2|sin 60°＝×4×＝.
答案：D
例3 解析：由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，
|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|.
∴|CM|＋|MA|＝5.且5>|AC|＝2，
∴M点的轨迹为椭圆，其中2a＝5，
焦点为C(－1，0)，A(1，0)，
∴a＝，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝－1＝.
∴所求轨迹方程为＝1.
跟踪训练3 解析：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
由题意动圆M内切于圆C1，
∴|MC1|＝13－r.
圆M外切于圆C2，
∴|MC2|＝3＋r.
∴|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8，
∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
b2＝a2－c2＝64－16＝48，
故所求轨迹方程为＝1.2.5.2 椭圆的几何性质
[课标解读] 1.经历从椭圆标准方程和代数运算得到椭圆的简单几何性质，并给出几何解释，解决问题，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.2.能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题 (图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.3.了解椭圆的简单应用．
教材要点
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0)
图形
对称性 对称轴__________，对称中心________
范围 x∈________，y∈________ x∈________，y∈________
顶点 __________ __________
轴长 短轴长|B1B2|＝________，长轴长|A1A2|＝________
焦点 ________ ________
焦距 |F1F2|＝______
离心率 e＝________(0＜e＜1)
状元随笔
1．椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？
[提示] 最大距离：a＋c；最小距离：a－c.
2．椭圆方程+＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？
[提示] 在方程＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．
基础自测
1．椭圆+＝1的焦距为( )
A．8 B．4
C． D．2
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1，0)(1，0)
B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )
A． B．
C． D．
4．若椭圆C：+＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值、最小值分别为( )
A．3，1 B．2＋，2－
C．2，1 D．＋1，－1
题型1 由椭圆方程求椭圆的几何性质
例1 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
状元随笔 化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．
方法归纳
解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1 求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
题型2 由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程
例2 (1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
①长轴长是10，离心率是；
②在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
状元随笔 先判断焦点位置并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.
(2)已知椭圆＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为( )
A．3 B．或3
C． D．或
方法归纳
利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的方程，解方程(组)求得参数．
跟踪训练2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)①已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
②短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
(2)已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于( )
A．2 B．2或
C．2或6 D．2或8
状元随笔 当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定焦点位置的量有焦点、顶点；而不能确定焦点位置的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．
题型3 求椭圆的离心率
【思考探究】
1．求椭圆离心率的关键是什么？
[提示] 根据e＝，a2－b2＝c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系．
2．a，b，c对椭圆形-状有何影响？
[提示] (1)e＝＝＝.
(2)
例3 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
状元随笔 由题设求得A、B点坐标，根据△ABC是正三角形得出a，b，c的关系，从而求出离心率．
方法归纳
求椭圆离心率的方法
1．直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解．
2．若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．
跟踪训练3 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－ B．2－
C．D．－1
题型4 椭圆的几何性质中范围的应用
例4 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，0)，点P是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则|PA|的最大值与最小值的积为________．
方法归纳
设出椭圆上任一点，满足椭圆的方程，利用椭圆的方程，转化为二次函数，利用几何性质中范围求最值．
跟踪训练4 已知P是椭圆+＝1上一点，A(0，5)，求|PA|的最小值与最大值．
2．5.2 椭圆的几何性质
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点
x轴和y轴 (0，0) [－a，a] [－b，b] [－b，b] [－a，a] A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 2b 2a F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c
[基础自测]
1．解析：a2＝25，b2＝9，所以c＝＝4，焦距为2c＝8.
答案：A
2．解析：x2＋＝1焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．
答案：D
3．答案：A
4．解析：椭圆C：＝1，a＝2，c＝1，
可得该椭圆上的点到焦点距离的最大值、最小值分别为a＋c＝3，a－c＝1.
答案：A
课堂探究·素养提升
例1 解析：把已知方程化成标准方程＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，两个焦点分别是F1(－3，0)和F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4)．
跟踪训练1 解析：椭圆的标准方程为＝1，则a＝9，b＝3，c＝＝6，长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为(0，6)，(0，－6)，顶点坐标为(0，9)，(0，－9)，(3，0)，(－3，0)，离心率e＝＝.
例2 解析：(1)①设椭圆的方程为
＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝10，a＝5.e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆方程为＝1或＝1.
②依题意可设椭圆方程为
＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＝1.
(2)由题意知m>0，
当5>m时，a＝，b＝，c＝，
所以e＝＝＝，解得m＝3；
当5所以e＝＝＝，解得m＝.
答案：(1)见解析 (2)B
跟踪训练2 解析：(1)①依题意可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＝1.
②设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)．
由已知得
∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＝1或＝1.
(2)若焦点在x轴上时，a2＝，b2＝，根据e＝＝?＝?＝?＝，即＝?m＝2；若焦点在y轴上时，a2＝，b2＝即＝?m＝8，所以m等于2或8.
答案：(1)见解析 (2)D
例3 解析：不妨设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．
依题意设A点坐标为，
则B点坐标为，
∴|AB|＝.
由△ABF2是正三角形得2c＝，
即b2＝2ac，
又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2－2ac＝0，
∴c2＋2ac－a2＝0，
两边同除以a2，得＋2＝0，
解得e＝＝.
跟踪训练3 解析：在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，
设|PF2|＝m，则2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝m，
又由椭圆定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)m，
则离心率e＝＝＝＝－1.
答案：D
例4 解析：设点P的坐标为(x，y)，则－2≤x≤2，y2＝1－，
所以|PA|＝＝＝＝ .
当x＝－时，|PA|取最小值；当x＝2时，|PA|取最大值3.因此|PA|的最大值与最小值的积为3×＝.
答案：
跟踪训练4 解析：由题意知椭圆标准方程为＝1，
所以a＝6，b＝2，c＝4并且椭圆焦点在y轴上，
P点是椭圆上任意一点，设P点坐标为(x0，y0)，
那么P点满足椭圆方程，即
＝1 ①
根据两点间距离公式得：
|PA|＝ ②
根据①式和②式得：
|PA|＝，
设z＝－10y0＋29
＝＋(－6≤y0≤6)，
因为∈[－6，6]，则当y0＝时，
zmin＝，即|PA|min＝，
当y0＝－6时，
|PA|max＝
＝11.2．6.1 双曲线的标准方程
[课标解读] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题 (图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题．
教材要点
知识点一 双曲线的定义
知识点二 双曲线的标准方程
焦点所在的坐标轴 x轴 y轴
标准方程 ＝1(a＞0，b＞0) ＝1(a＞0，b＞0)
图形
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系式 c2＝a2＋b2
状元随笔
1．双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
[提示] 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．
2．如何确定双曲线标准方程的类型？
[提示] 焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
基础自测
1．若点M在双曲线-＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于( )
A．2 B．4
C．8 D．12
2．双曲线-＝1的焦距为( )
A．3 B．4
C．3D．4
3．已知双曲线的两焦点坐标是F1(3，0)，F2(－3，0)，2b＝4，则双曲线的标准方程是( )
A．-＝1 B．-＝1
C．-＝1 D．-＝1
4．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________________．
题型1 求双曲线的标准方程
例1 (1)已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )
A．－y2＝1 B．－x2＝1
C．－y2＝1 D．-＝1
(2)求经过点(3，0)，(－6，－3)的双曲线的标准方程．
状元随笔 先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组求解．
方法归纳
1．求双曲线标准方程的两个关注点
2．待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤
(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能．
(2)设方程：根据焦点位置，设其方程为-＝1或-＝1(a＞0，b＞0)，焦点位置不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程．
跟踪训练1 根据条件求双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A(1，－)；
(2)与椭圆+＝1共焦点且过点(3，)．
状元随笔 求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式．
题型2 双曲线定义的应用
【思考探究】
1．如何理解双曲线定义中的“大于零且小于|F1F2|”？
[提示] (1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；
(2)若将“小于|F1F2|改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；
(3)若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．若|MF1|－|MF2|<|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？
[提示] (1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．
设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，
①若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；
②若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
(2)双曲线定义的双向运用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线；
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.
例2 已知F1，F2是双曲线-＝1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积．
状元随笔 根据双曲线的定义及余弦定理求出∠F1PF2即可．
方法归纳
双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有
1．定义：|r1－r2|＝2a.
2．余弦公式：4c2＝+－2r1r2cos θ.
3．面积公式：＝r1r2sin θ.一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．
跟踪训练2 已知P是双曲线-＝1(a>0)上的点，F1、F2是其左、右焦点，且·＝0，若△PF1F2的面积为9，则a等于( )
A．2 B．1
C．3 D．4
题型3 与双曲线定义有关的轨迹问题
例3 如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
方法归纳
1．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：
(1)列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：
(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；
(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；
(3)特殊点是否满足，比如“顶点”．
跟踪训练3 如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
题型4 与双曲线定义有关的含参数问题
例4 (1)若方程+＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．m＜4 B．m＞9
C．4＜m＜9 D．m＜4或m>9
(2)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值．
状元随笔 根据双曲线的定义可知，要使方程表示双曲线，需9－m和4－m异号，进而求得m的范围．
方法归纳
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程+＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程-＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
跟踪训练4 (1)若k∈R，则“k>5”是“方程-＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)椭圆+＝1与双曲线-＝1有相同的焦点，求a的值．
2．6 双曲线及其方程
2．6.1 双曲线的标准方程
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
距离的差的绝对值 定点F1，F2 两焦点间
[基础自测]
1．解析：双曲线中a2＝16，a＝4，2a＝8，由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.
答案：B
2．解析：a2＝10，b2＝2，c2＝a2＋b2＝12，c＝2，2c＝4，故选D.
答案：D
3．答案：A
4．解析：b2＝c2－a2＝49－25＝24，∴双曲线方程为＝1或＝1.
答案：＝1或＝1
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)依题意可设双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)，则有解得
故双曲线标准方程为－y2＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵双曲线经过点(3，0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为＝1.
答案：(1)A (2)见解析
跟踪训练1 解析：(1)当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝－<0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，
设所求标准方程为＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝9.
故所求双曲线的标准方程为＝1.
(2)椭圆＝1的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，则a2＋b2＝20.
又∵双曲线过点(3)，∴＝1.
∴a2＝20－2，b2＝2.
∴所求双曲线的标准方程为＝1.
例2 解析：由＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5.
由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得
|PF1|－|PF2|＝－6，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
又∵|PF1|·|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝100，
由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
＝|PF1|·|PF2|＝16.
跟踪训练2 解析：由＝0得PF1⊥PF2，
由勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝100a2.
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8a，
所以64a2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝100a2－2|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝18a2，则△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|＝9a2＝9，因为a>0，所以a＝1.
答案：B
例3 解析：
以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，
∴2a＋c＝2b，即b－a＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为＝1(x＞)．
跟踪训练3 解析：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
∴动圆圆心M的轨迹方程为＝1.
例4 解析：(1)因为方程＝1表示双曲线，
所以(9－m)(4－m)＜0，解得4＜m＜9.
(2)若焦点在x轴上，则方程可化为＝1，
所以＋k＝32，即k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为＝1，
所以－k＋＝32，即k＝－6.
综上所述，k的值为6或－6.
答案：(1)C (2)见解析
跟踪训练4 解析：(1)当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k>5或k<2.故是充分不必要条件．
(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0)．
由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，
即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．
因此a的值为1.
答案：(1)A (2)见解析2.6.2 双曲线的几何性质
[课标解读] 1.经历从双曲线标准方程和代数运算得到双曲线的简单几何性质、几何图形，并给出几何解释，解决问题，了解它们的简单几何性质.2.能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题 (图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题．
教材要点
知识点一 双曲线的几何性质
标准方程 性质 ＝1(a＞0，b＞0) ＝1(a＞0，b＞0)
图形
焦点 ________ ________
焦距 ________
范围 ______或______，y∈R ____或____，x∈R
对称性 对称轴：________；对称中心：______
顶点 ________ ________
轴 实轴：线段______，长：______；虚轴：线段________，长：________；实半轴长：____，虚半轴长：____
离心率 e＝∈________
渐近线 ________ ________
状元随笔
1．能否用a，b表示双曲线的离心率？
[提示] e＝＝＝.
2．离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？
[提示] 有影响，因为e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
知识点二 等轴双曲线
实轴和虚轴________的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是________，离心率e＝.
基础自测
1.下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
2．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±xB．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
3．双曲线＝1的焦点坐标为____________，离心率为____________．
4．双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，且a2＝b2，则其标准方程为________．
题型1 已知双曲线的标准方程求其简单几何性质
例1 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
方法归纳
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
跟踪训练1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
题型2 由双曲线的几何性质确定标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
状元随笔
方法归纳
1．根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
2．巧设双曲线方程的六种方法与技巧
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为＝1(a>0，b>0)．
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为＝1(a>0，b>0)．
(3)与双曲线＝1共焦点的双曲线方程可设为＝1(λ≠0，－b2<λ(4)与双曲线＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)．
(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
状元随笔 利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．
题型3 求双曲线离心率的值(范围)
例3 (1)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与C在第一象限交于点P.若∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A．＋1 B．
C． D．－1
(2)已知F为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
状元随笔
1．先设|F1F2|＝2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，利用∠PF1F2＝30 °，求出|PF1|，|PF2|，根据双曲线的定义求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．
2．根据双曲线的几何性质可知，|BF|＝，|AF|＝c－a，即可根据斜率列出等式求解即可．
方法归纳
求双曲线离心率的常见方法
1．依据条件求出a，c，再计算e＝；
2．依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求离心率．
跟踪训练3 (1)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1，2)
(2)若双曲线y2－4x2＝－m的焦距等于10，则实数m的值等于( )
A．20 B．－20
C．±20 D．±80
2．6.2 双曲线的几何性质
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
(－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) 2c x≤－a x≥a y≤－a y≥a 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0, －a)，A2(0, a) A1A2 2a B1B2 2b a b (1，＋∞) y＝±x y＝±x
知识点二
相等 y＝±x
[基础自测]
1．解析：由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.
答案：A
2．解析：e＝＝，又因为在双曲线中，c2＝a2＋b2，
所以e2＝＝1＋＝，故＝，
所以双曲线C：＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：C
3．答案：(±7，0)
4．解析：因为等轴双曲线的一个焦点为(－6，0)，
所以c＝6，
所以2a2＝36，a2＝18.
所以双曲线的标准方程为＝1.
答案：＝1
课堂探究·素养提升
例1 解析：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n>0)化为标准方程为＝1(m＞0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝ ，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x.
跟踪训练1 解析：双曲线的方程化为标准形式是
＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
例2 解析：(1)设双曲线的标准方程为
＝1或＝1(a＞0，b＞0)．
由题知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴标准方程为＝1或＝1.
(2)方法一：当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，
∴b＝.
∴所求双曲线方程为＝1.
当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，
∴b＝2.
∴所求双曲线方程为＝1.
方法二：设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为
＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝，
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的方程为＝1和＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为＝1.
跟踪训练2 解析：(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，
故其标准方程为＝1.
(2)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，则＝. ①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴＝1. ②
由①②联立，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴＝1.④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为＝1.
例3 解析：(1)设|F1F2|＝2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，又因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝c，|PF2|＝c，
所以|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1.
(2)依题意可得，＝3，而|BF|＝，|AF|＝c－a，即＝3，变形得c2－a2＝3ac－3a2，化简可得，e2－3e＋2＝0，解得e＝2或e＝1(舍去)．
答案：(1)A (2)2
跟踪训练3 解析：(1)c2＝a2＋1，e2＝＝＝1＋.因为a>1，所以0<<1，1(2)当m>0时，方程化为＝1，双曲线的焦点在x轴上，则a2＝，b2＝m，依题意，有＋m＝，解得m＝20；当m<0时，方程化为＝1，双曲线的焦点在y轴上，则a2＝－m，b2＝－，依题意有－m＋＝，解得m＝－20.综上，m＝±20.故选C.
答案：(1)C (2)C2.7 抛物线及其方程
2．7.1 抛物线的标准方程
[课标解读] 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题 (图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题．
教材要点
知识点一 抛物线的定义
状元随笔
平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？
[提示] 不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
知识点二 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
________ (，0) x＝－
________ (－，0) x＝
________ (0，) y＝－
________ (0，－) y＝
状元随笔
1．抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？
[提示] 焦点到准线的距离．
2．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
[提示] 一次项变量为x (或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
基础自测
1.抛物线x＝－y2的焦点坐标是( )
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(0，) D．(0，－)
2．抛物线x2＝4y的准线方程是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．y＝1 D．y＝－1
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
4．以F(0，－)为焦点的抛物线的标准方程是_______．
题型1 求抛物线的标准方程
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
方法归纳
求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．
跟踪训练1 根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
题型2 抛物线定义的应用
【思考探究】
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？
[提示] 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线．
2．如何通过抛物线定义实现距离转化？
[提示] 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
3．如何利用抛物线定义解决与抛物线有关的最值问题？
[提示] 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
例2 (1)抛物线y2＝2px(p＞0)过点M(2，2)，则点M到抛物线准线的距离为________；
(2)已知定点A(2，3)，F为抛物线y2＝6x的焦点，P为抛物线上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为( )
A．5 B．4.5
C．3.5 D．不能确定
(3)若位于y轴右侧的动点M到F(，0)的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
状元随笔 把|MF|比M到y轴的距离大，转化为|MF|与点M到x＝－的距离相等，从而利用抛物线定义求解．
方法归纳
利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中，垂线段最短等．
跟踪训练2 (1)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3
C．6 D．9
(2)若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程；
(3)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
题型3 与抛物线有关的应用问题
例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？
状元随笔 建立平面直角坐标系得出抛物线方程，借助抛物线方程分析求解．
方法归纳
涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决，建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．
跟踪训练3
如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米．
2．7 抛物线及其方程
2．7.1 抛物线的标准方程
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
相等 定点F 定直线l
知识点二
y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
[基础自测]
1．答案：A
2．答案：D
3．答案：B
4．答案：x2＝－3y
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，又＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为
y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p×3，32＝－2p1×(－4)，
即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．
∴所求抛物线的标准方程为
x2＝－20y或y2＝－60x.
跟踪训练1 解析：(1)双曲线方程可化为＝1，左顶点为(－3，0)，
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3，
∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义得5＝|AF|＝.
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
例2 解析：(1)y2＝2px过点M(2，2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.
(2)如图所示，过点P作PM⊥准线l，垂足为M，
则|PF|＝|PM|，当且仅当A，P，M三点共线时，
|PF|＋|PA|取得最小值|AM|＝2＋＝3.5.
(3)由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，
所以p＝1，2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x.
答案：(1) (2)C (3)见解析
跟踪训练2 解析：(1)设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|＝xA＋＝12，即12＝9＋，解得p＝6.
(2)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得圆C圆心为C(2，0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
(3)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P点、(0，2)点和抛物线的焦点三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝ ＝.
答案：(1)C (2)见解析 (3)见解析
例3 解析：
如图所示，以拱桥的拱顶为原点，
以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时，小船开始不能通航．
跟踪训练3 解析：如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，
使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径．
由已知，得A点坐标是(2，6)，
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则36＝2p×2，p＝9.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x，
焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处，
所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长．
|AF|＝ ＝6.5，或|AF|＝＋2＝6.5.
故每根铁筋的长度是6.5米．第一章空间向量与立体几何
2.7.2 抛物线的几何性质
[课标解读] 1.经历从抛物线标准方程和代数运算得到抛物线的简单几何性质、几何图形，并给出几何解释，解决问题，了解它们的简单几何性质.2.能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题 (图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.3.了解抛物线的简单应用．
教材要点
知识点一 抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
图形
性质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 ________
离心率 e＝________
状元随笔 参数p对抛物线开口大小有何影响？
[提示] 参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．
知识点二 焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
y2＝2px(p＞0) |AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p＞0) |AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p＞0) |AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p＞0) |AB|＝p－(y1＋y2)
基础自测
1.四种标准方程对应的抛物线有相同的( )
A．顶点 B．焦点
C．准线 D．对称轴
2．顶点在原点，焦点为F(，0)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝x B．y2＝3x
C．y2＝6x D．y2＝－6x
3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是( )
A．8 B．6
C．4 D．2
4．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是 ( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
题型1 由抛物线的几何性质求标准方程
例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
状元随笔 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．
方法归纳
用待定系数法求抛物线方程的步骤
跟踪训练1 已知双曲线方程是＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
题型2 抛物线几何性质的应用
例2 已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
状元随笔 (1)利用抛物线对应性质的公式求解；
(2)利用抛物线的对称性即重心的性质求解．
例3 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值．
状元随笔 方法一：(代数法)设出抛物线上的动点，转化为函数求最值；
方法二：(几何法)数形结合思想转化为两条平行线间的距离求解．
方法归纳
抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质．
跟踪训练2 (1)已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________；
(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．
题型3 焦点弦问题
【思考探究】 以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，回答下列问题：
1．过焦点F的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？
[提示] (1)|AB|＝2(+)(焦点弦长与中点M(x0，y0)关系)．
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2.
2．以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系？
[提示] 如图，AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的一条弦，
设A(x1，y1)，B (x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.
所以以AB为直径的圆必与准线l相切．
例4 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．
状元随笔 根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程．
方法归纳
1．由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解．
2．焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根与系数的关系求解．
3．求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公式，但由于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长为x1＋x2＋p，同时由弦长x1＋x2＋p≥2＋p＝2p知，通径是所有弦中最短的弦．
跟踪训练3 过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，求弦长|AB|.
2．7.2 抛物线的几何性质
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
(0，0) 1
[基础自测]
1．答案：A
2．解析：顶点在原点，焦点为F(，0)的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，由题意知＝，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x.
答案：C
3．解析：∵抛物线的方程为y2＝8x，∴其准线l的方程为x＝－2，设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|，即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，∵点P到y轴的距离是6，∴x0＝6，∴|PF|＝6＋2＝8.
答案：A
4．解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.
答案：D
课堂探究·素养提升
例1 解析：椭圆的方程可化为+＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3，x＝3.
跟踪训练1 解析：因为双曲线-＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以所求抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
例2 解析：(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，
则|OF|＝|OM|.
因为F(2，0)，所以|OM|＝|OF|＝3，
所以M(3，0)，故设A(3，m)．
代入y2＝8x得m2＝24，
所以m＝2或m＝－2，
所以A(3，2)，B(3，－2)，
所以|OA|＝|OB|＝，
所以△OAB的周长为2＋4.
例3 解析：方法一：设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝|3-+8|＝×3＋×＝＋.
所以当t＝时，d有最小值.
方法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由消去y得3x2－4x－m＝0，
所以Δ＝16＋12m＝0，所以m＝－.
所以最小距离为＝＝.
跟踪训练2 解析：(1)设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以
|AB|＝＝
＝ ＝.
所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.
(2)抛物线的焦点为F(，0)，
因为抛物线关于x轴对称，|OA|＝|OB|，
所以△ABO为等腰三角形，所以A，B两点关于x轴对称，
设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，
因为△ABO的垂心恰为抛物线的焦点，
所以BF⊥OA.则kBF·kOA＝－1，
即·＝-1.∴＝1.
又因为＝2px0，所以x0＝p，所以直线AB的方程为x＝p.
答案：(1) (2)见解析
例4 解析：∵过焦点的弦长|AB|＝p，
∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，
设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵y2＝2px的焦点为F(，0).
∴直线方程为y＝k(x-).
由
k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p2＝0(k≠0)，
∴x1＋x2＝p，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p，
又|AB|＝p，
∴＋p＝p，
∴k＝±2.
∴所求直线方程为y＝2(x-)或y＝－2(x-).
跟踪训练3 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得抛物线的焦点是F(1，0)，p＝2，
所以直线AB的方程是y＝x－1，
联立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
[课标解读] 1.能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题.2.重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养．
教材要点
知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.
方程特征 交点个数 位置关系
直线与椭圆 a≠0，Δ＞0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ＜0 0 相离
直线与双曲线 a＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交
a≠0，Δ＞0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ＜0 0 相离
直线与抛物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交
a≠0，Δ＞0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ＜0 0 相离
状元随笔 直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？
[提示] 不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．
知识点二 弦长公式
当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
|AB|＝ |x1－x2|
＝
＝|y1－y2|
＝.
基础自测
1.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k值为( )
A．1 B．1或3
C．0 D．1或0
2．若直线y＝kx＋1与椭圆＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m＞1
B．m≥1或0＜m＜1
C．0＜m＜5且m≠1
D．m≥1且m≠5
3．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
4．直线y＝a与椭圆＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
题型1 直线与圆锥曲线的位置关系
【思考探究】 直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？
[提示] 可以．当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法．
例1 已知椭圆E：＝1，直线l：y＝x＋m与椭圆E有两个公共点，则实数m的取值范围是________________．
状元随笔 联立方程组，消元后利用判别式求解．
例2 设点M是椭圆C：＝1(a>b>0)上一动点，椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求点M到直线l1：x＋y－5＝0距离的最大值及此时点M的坐标．
状元随笔 (1)利用长轴长、离心率求a，c，再求出b.
(2)利用与直线l1平行且与椭圆相切的直线求最大值．
方法归纳
直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
跟踪训练1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
状元随笔 过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．
题型2 弦长问题
例3 已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．
方法归纳
直线和圆锥曲线相交弦问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系用设而不求的方法解决(要考虑特殊情形)．
跟踪训练2 已知点A(－1，0)，B(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且kMA·kMB＝－2.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过定点(0，1)作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，且|PQ|＝，求直线PQ的方程．
题型3 中点弦问题
例4 已知P(1，1)为椭圆＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．
状元随笔 本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解．
方法归纳
解决中点弦问题的两种常用方法
1．联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算解题；
2．利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解．
跟踪训练3 过椭圆＝1内一点P(2，1)作一条直线交椭圆于A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程．
题型4 圆锥曲线中的最值及范围问题
例5 已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程．
方法归纳
1．求参数范围的方法
据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围．
2．求最值问题的方法
(1)几何法
题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决．
(2)代数法，题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等．
跟踪训练4 已知向量a＝(x，y)，b＝(1，0)，且(a＋b)⊥(a－b)．
(1)求满足上述条件的点M(x，y)的轨迹C的方程；
(2)设曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0，－1)，当|AP|＝|AQ|时，求实数m的取值范围．
题型5 定值、定点问题
例6 已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(－2，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P(4，0)，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆相交于M，N两点(点P，M，N三点不共线)，记直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.试判断k1＋k2是否是定值？若是定值，请求出此定值；若不是定值，请说明理由．
方法归纳
1．直曲联立时，用k表示两根与系数的关系．
2．两点坐标表示直线斜率，多元化为一元．
3．定值问题往往利用韦达定理设而不求，通过约分或抵消而得．
跟踪训练5 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
2．8 直线与圆锥曲线的位置关系
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．答案：D
2．解析：直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，当(0，1)在椭圆上或椭圆内时直线与椭圆总有公共点．∴0<≤1，解得m≥1.当m＝5时＝1表示圆．故选D.
答案：D
3．解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1，0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条．过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．
答案：B
4．答案：(－)
课堂探究·素养提升
例1 解析：由消去y得3x2＋4mx＋2m2－8＝0.
因为直线l与椭圆E有两个公共点，
所以Δ＝16m2－12(2m2－8)>0，
解得－2＜m＜2，
所以实数m的取值范围是(－2，2)．
答案：(－2，2)
例2 解析：(1)由题意可知2a＝4，则a＝2，
离心率e＝＝，则c＝2，b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆的标准方程为＝1.
(2)由直线l1的方程与椭圆的方程可以设直线l1与椭圆不相交，设直线m平行于直线l1，
则直线m的方程可以设为x＋y＋k＝0，
由方程组消去y，得4x2＋6kx＋3k2－12＝0①，
令方程①的根的判别式Δ＝0，得36k2－4×4(3k2－12)＝0②，
解方程②得k1＝4或k2＝－4，
由图可知，当k＝4时，直线m与椭圆的交点到直线l1的距离最远，此时直线m的方程为x＋y＋4＝0，
直线m与直线l1的距离d＝＝，所以点M到直线l1：x＋y－5＝0距离的最大值为.
此时由方程4x2＋6kx＋3k2－12＝0，
即x2＋6x＋9＝0，解得x＝－3，所以y＝－1.
故点M的坐标是(－3，－1)．
跟踪训练1 解析：联立两方程得
整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
因为Δ＝24(3k2－2)，
当Δ>0时，即k>或k<－时，直线与曲线有两个公共点．
当Δ＝0时，即k＝±时，直线与曲线有一个公共点．
当Δ<0时，即－例3 解析：因为a2＝4，b2＝1，所以c＝＝，
所以右焦点F(，0)，
所以直线l的方程为y＝x－.
由消去y并整理得5x2－8x＋8＝0.
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝
＝
＝ ＝
＝ ＝，
即弦AB的长为.
跟踪训练2 解析：(1)设M(x，y)，
则kMA＝，kMB＝(x≠±1)，
∴＝－2，
∴x2＋＝1(x≠±1)．
(2)当直线PQ的斜率不存在，即PQ是椭圆的长轴时，其长为2，显然不合题意，即直线PQ的斜率存在，
设直线PQ的方程是y＝kx＋1，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1－y2＝k(x1－x2)，
联立
消去y得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
∵Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)＞0，∴k∈R，
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|PQ|＝
＝
＝2·，
∴|PQ|＝＝2·，
k2＝2，k＝±，
∴直线PQ的方程是y＝±x＋1.
例4 解析：方法一：易知此弦所在直线的斜率存在，
所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
所以x1＋x2＝，
又因为x1＋x2＝2，
所以＝2，解得k＝－.
故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
方法二：易知此弦所在直线的斜率存在，
所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1①，
＝1②，
①－②得＝0，
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＋y1－y2＝0，
所以k＝＝－，经检验k＝－满足题意．
所以此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
跟踪训练3 解析：方法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k，
代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1、x2是(*)方程的两个根，
所以x1＋x2＝.
因为P为弦AB的中点，
所以2＝＝.
解得k＝－，
所以所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为P为弦AB的中点，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又因为A、B在椭圆上，
所以
)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
所以＝＝－，
即kAB＝－.
所以所求直线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
例5 解析：(1)由已知得抛物线的焦点为(0，－)，故设椭圆方程为＝1(a>)．
将点A(1，)代入方程得＝1，
整理得a4－5a2＋4＝0，
解得a2＝4或a2＝1(舍去)，
故所求椭圆方程为＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由∴(x＋m)2＋2x2－4＝0，
得4x2＋2mx＋m2－4＝0，则Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，得－2由x1＋x2＝－m，x1x2＝，得|BC|＝|x1－x2|＝.
又点A到BC的距离为d＝，
故S△ABC＝|BC|·d＝≤·＝，
当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号．
当m＝±2时，满足－2故直线l的方程为y＝x±2.
跟踪训练4 解析：(1)∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴a2－3b2＝0，∴x2＋3y2＝3，
即点M(x，y)的轨迹C的方程为＋y2＝1.
(2)由
得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.
∵曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点，
∴Δ＝(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝12(3k2－m2＋1)>0，即3k2－m2＋1>0. ①
且x1＋x2＝－，x1x2＝.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(x0，y0)，则
∵|AP|＝|AQ|，∴PQ⊥AN.设kAN表示直线AN的斜率，
又k≠0，∴kAN·k＝－1.即·k＝－1，
得3k2＝2m－1. ②
∵3k2>0，∴m>.
将②代入①得2m－1－m2＋1>0，即m2－2m<0，
解得0例6 解析：(1)依题意得＝1，所以a＝2.
因为e＝＝，所以c＝1.
所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)k1＋k2＝0是定值．
由题意可知，椭圆的右焦点F(1，0)．
①当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，此时M，N，
所以k1＝＝－，k2＝＝，
所以k1＋k2＝0.
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k(x－1)(k≠0)．
由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以k1＋k2＝＝
＝
因为(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8
＝＋8
＝＝0.
所以k1＋k2＝0.
综上所述，k1＋k2＝0.
跟踪训练5 解析：(1)由题意设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，
由已知得：a＋c＝3，a－c＝1，a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆的标准方程为＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，则
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，
∴kADkBD＝－1，即·＝－1.
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
∴＋4＝0.
∴7m2＋16mk＋4k2＝0.
解得：m1＝－2k，m2＝－，且均满足3＋4k2－m2>0.
当m1＝－2k时，l的方程y＝k(x－2)，直线过点(2，0)，与已知矛盾；
当m2＝－时，l的方程为y＝k，直线过定点.
所以，直线l过定点，定点坐标为.