2023-2024 第一学期高二年级数学第三次月考
目标大学：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知向量a (2, 4, x)，b (2, y, 2)，若 | a | 6，a b，则 x y的值为( )
A.-3 或 1 B.-2 C.1 或-2 D.2
2.已知点 A 2,3 在抛物线C : y 2 2px的准线上，记 C的焦点为 F，则直线 AF 的
斜率为( )
4 3 1
A. B.-1 C. D.
3 4 2
3.圆O 2 21 : x y 2x 0与圆O2 : x2 y2 4y 0的公共弦所在的直线方程是( )
A. x 2y 0 B. x 2y 0 C. 2x y 0 D. 2x y 0
4.若一入射光线经过点M (2,6)，被直线 l : x y 3 0反射，反射光线经过点
N ( 3,4)，则反射光线所在的直线方程为( )
A. 2x y 13 0 B.6x y 22 0
C. x 3y 15 0 D. x 6y 27 0
(3,0) 65 已知椭圆 C过点 ，且离心率为 ，则椭圆 C的标准方程为( )
3
x2 y2 y2 x2
A. 1 B. 1
9 3 27 9
x2 y2 x2 y2 2 2 2 2
C. 1或 1 x y y xD. 1或 1
9 3 3 9 9 3 27 9
x2 y
2
6.设双曲线 1上的点 P到点 (5,0)的距离为 15，则点 P到点 ( 5,0)的距离是
16 9
( ).
A.7 B.23 C.5 或 23 D.7 或 23
7.已知圆C1 : x2 y2 4x 2y 10 0与圆C2 : (x 3)2 (y 3)2 6 .若圆C1，C2 的公
共弦恰好是圆 C的直径，则圆 C的面积为( )
11 26 130 104
A. B. C. D.
5 5 5 5
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
8.已知正三棱柱 ABC A1B1C1的棱长均为 a，D是侧棱CC1的中点，则平面 ABC 与
平面 AB1D所成角的余弦值为( )
1 2 3
A. B. C. D.0
2 2 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的
选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部
分选对的得 2 分.
9.已知圆 C： x2 y2 Dx Ey 3 0的圆心坐标为 2,0 ，则( )
A.D 4，E 0
B.圆 C 的半径为 2
3 1
C.圆 C 上的点到直线 y x距离的最小值为
4 5
y 3 x 6D.圆 C 上的点到直线 距离的最小值为
4 5
10.已知直线 l :mx m 2 y 2m 2 0,圆C : x2 y2 4x 0 ,则下列结论正确的
是( )
A.直线 l恒过定点 1,1
B.直线 l与圆 C恒有两个公共点
C.直线 l与圆 C的相交弦长的最大值为2 2
D.当m 1时,圆 C与圆 x2 y 2 2 4关于直线 l对称
2
y11.已知F1， F2是双曲线 x
2 1的上、下焦点，M是该双曲线的一条渐近线上一
2
点，且以线段 F1F2 为直径的圆过点 M，则下列说法正确的有( )
A.双曲线 C的渐近线方程为 y 2x
B.以 F1F2 为直径的圆的方程为 x
2 y2 2
C.点 M 的横坐标为 2
D.△MF1F2的面积为 3
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
12.已知抛物线 E : y2 4x的焦点为 F，准线为 l，过 F的直线与 E交于 A，B两
点，C，D分别为 A，B在 l上的射影，且 | AF | 3 | BF |，M为 AB 中点，则下列结论正确
的是( )
A. CFD 90 B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线 AB 的斜率为 3 D.△AOB的面积为 4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.
13.设a ( 1,2,m)，b (2,n, 4)，若b a，则 | a b | ___________.
2 2
x y14.已知双曲线 2 2 1(a 0，b 0)的两条渐近线互相垂直,则离心率e ( )a b
15.已知圆C : x2 y2 4x 2ay 3 0关于直线 x 2y 6 0对称,圆 C交 y于 A、B
两点,则 AB _____________.
16.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体
(如图)，其中四边形 ABCD 为矩形，EF //AB，若 AB 3EF，△ADE和△BCF都是正
三角形，且 AD 2EF，则异面直线 AE 与 CF 所成角的大小为__________.
四、解答题：本题共 6 题，17 题 10 分，18-22 每题 12 分，共 70 分.解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知直线 l1 : 2x my 1 0与 l2 : 4mx m 1 y 2 0 .
(1)若 l1 l2，求m的值；
(2)若 l1 / /l2 ，求m的值.
18.已知a (x,1,1)，b (1, y,1)， c (2, 4,2)， x, y R ，且a b，b//c .
(1)求 | a b |；
(2)求向量a b与2a b c夹角的大小.
e 219.（1）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率 ，短轴长为8 5，求椭圆的方
3
程；
（2）已知椭圆的两焦点为 F1( 4,0)，F2 (4,0)，点 P在椭圆上，若△PF1F2 面积的最大
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
值为 12，求此椭圆的方程.
20.如图,在四棱锥 S ABCD中,底面 ABCD 为菱形,点 E在 SD 上,且 SE :ED 2 :1.
(1)若 M,N 分别为 SA,SC 的中点,证明：平面BMN∥平面 ACE;
(2)若 AB 4 , AS 3, BAD 120 , SA 平面 ABCD,求直线 BS 与平面 ACE 所成角
的正弦值.
21.已知圆 C关于直线 x y 2 0对称，且过点 P( 2,2)和原点 O.
(1)求圆 C的方程；
(2)相互垂直的两条直线 l1， l2都过点 A( 1,0)，若 l1， l2被圆 C所截得的弦长相
等，求此时直线 l1的方程.
22.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 的体积为 4，△A1BC的面积2 2 .
（1）求 A到平面 A1BC的距离；
（2）设 D为 A1C的中点， AA1 AB，平面 A1BC 平面 ABB1A1，求二面角
A BD C的正弦值.
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}答案以及解析
1.答案：A
解析： | a | 4 16 x2 6， x 4 .又a b， a b 4 4y 2x 0 .当 x 4
时， y 1，此时 x y 3；当 x 4时， y 3，此时 x y 1.故选 A.
2.答案：C
3 0 3
解析：由已知，得准线方程为 x 2，所以点 F的坐标为 (2,0)，所以直线 AF 的斜率为 .
2 2 4
3.答案：A
x2 y2 2x 0 x2 y2解析:因为 , 4y 0 ,所以 x2 y2 2x x2 y2 4y 0 ,所以
x 2y 0 ,即所求直线方程为 x 2y 0 .
4 答案：D
y 6 1,
x 2
解析：设点 M 关 4 于直线 l : x y 3 0的对称点为M (x, y)，则 解
x 2 y 6 3 0,
2 2
x 3, M (3,5) 4 5 1得 所以 .因为反射光线经过点 N ( 3,4)，所以 kM N ，所以反
y 5, 3 3 6
射光线所在直线M N 的方程为 y 4 1 (x 3)，即 x 6y 27 0 .故选 D.
6
5 答案：D
c 6 2 2 2
解析：若焦点在 x 轴上，则 a 3.由 e ，得 c 6，所以b a c 3，此
a 3
x2 y2
时椭圆 C 的标准方程为 1.若焦点在 y 轴上，则b 3 .由
9 3
e c 1 b
2
1 9 6 y
2 x2
2 2 ，得 a
2 27，此时椭圆 C 的标准方程为 1.综
a a a 3 27 9
x2 y2 y2 x2
上所述，椭圆 C的标准方程为 1或 1.故选 D.
9 3 27 9
6.答案：D
解析：由 PF2 15， || PF1 | | PF2 || 8，得 PF1 7或 23.
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
7 答案：B
2 2
解析：将 x y 4x 2y 10 0和 (x 3)2 (y 3)2 6 相减并化简，得圆C1，C2的
公共弦所在直线方程为 x 2y 11 0，所以C2 ( 3,3)到 x 2y 11 0的距离
2
d | 3 2 3 11| 2 5
2 6 2 5
2 130
，故公共弦长为 ，所以圆 C 的半径12 ( 2)2 5 5 5
130 26
为 ，故圆 C 的面积为 .选 B.
5 5
8.答案：B
3 a
解析：以 A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B1 a, ,a ，
2 2
D a
0,a, ，所以 AB
3
1 ( a,
a ,a) ， AD 0,a,
a
，设平面 AB2 2 2 2 1
D的一个法向量为
n AB
3a a
1 x y az 0,
n (x, y, z)，则 2 2
取 y 1，得 n ( 3,1, 2) .又平面 ABC
a
n AD ay z 0, 2
的一个法向量为m (0,0,1)，
| cos m,n | |m n | 2 2所以 ，即平面 ABC 与平面 AB D所成角的余弦
|m || n | 3 1 4 1 2 1
2
值为 .
2
9.答案：AC
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
2 D E
解析：由圆 C： x y2 Dx Ey 3 0的圆心坐标为 2,0 得 2， 0，
2 2
所以D 4，E 0，故 A 正确，
2
r D
2 2 E 2 4F 4 0 4 3
圆的半径 1，故 B 错误，
2 2
3
0
2,0 y 3 x d 2 6圆心 到直线 的距离为 ，
4 2
1 3
5
4
3 6 1
故圆 C上的点到直线 y x距离的最小值为 d r 1 ，
4 5 5
故 C正确，D错误，
故选：AC.
10.答案：ABD
解 析 : 对 于 A 选 项 , 因 为 直 线 l :mx m 2 y 2m 2 0 可 变 形 为
l :m x y 2 2y 2 0 ,所以直线 l恒过定点 1,1 ,故 A 选项正确;
对于 B选项,因为12 12 4 0 ,所以点 1,1 在圆C : x2 y2 4x 0内,故直线 l与圆 C相交,由两
个公共点,故 B选项正确;
对于 C选项,对于圆C : x2 y2 4x 0 ,圆心为C 2,0 ,半径为 r 2 ,当直线线 l与圆 C相交,故相
交弦长的最大值为圆 C的直径,即为 2r 4 ,故 C 选项错误;
对于 D 选项,当 m 1时,直线 l : x y 0 ,故圆 C : x2 y2 4x 0 的圆心 C 2,0 关于
l : x y 0对称的点的坐标为 0,2 ,所以圆C : x2 y2 4x 0 关于 l : x y 0对称的圆的方
程为 x2 y 2 2 4 ,故 D 选项正确.
故选:ABD
11.答案：AD
解析：A 项，双曲线的实半轴长 a 2，虚半轴长b 1，其渐近线方程为 y 2x，故
A项正确；
B项，半焦距 c 3 ，F1(0, 3)，F2 (0, 3)
2
，以F1F2 为直径的圆的方程为 x y
2 3，
故 B 项错误；
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
y 2x,
C 项， x 1，即点 M的横坐标 xM 1，故 C 项错误；
x
2 y2 3
1 1
D 项， S△MF F F1F2 xM 2 3 1 3，故 D 项正确.1 2 2 2
12.答案：AC
y2解析：由 4x，得 2p 4，即 p 2，
焦点 F (1,0)，准线 l : x 1.
设直线 AB的方程为 x my 1， A x1 , y1 ， B x2 , y2 .
y2 4x,
由 得 y2 4my 4 0，
x my 1
y1 y2 4m， y1 y2 4，
从而 x1 x2 4m
2 2， x1 x2 1.
又 | AF | 3 | BF | x p 3 x p， 1
2 ，即 x1 3x2 2 .2 2
x m2 2因此 2 ，且3x2 2x2 1 0 x
1
2 或 x 1（舍去）.3 2
m2 1 3 ， m ，即直线 AB的斜率为 3 ，C正确；
3 3
选项 A中，C 1, y1 ，D 1, y2 ，
FC FD 4 y1y2 4 4 0 ，从而 CFD 90 ，A 正确；
2
选项 B中，M 2m 1,2m ，
2
CM DM 16 4 m2 1 4m2 2m y1 y2 y 4 21y2 4m 4m ，结合图形知△CMD不9
是直角三角形，B错误；
S 1 |OF | y y 1 2 4 3选项 D中， △AOB 1 2 16m 16 ，D错误.故选 AC.2 2 3
13.答案：9
解析：由b a ，得 (2,n, 4) ( 1,2,m)，
2 , 2,
n 2 ,
解得 m 2, a ( 1,2, 2)，b (2, 4, 4) ， a b ( 3,6,6)，
4 m, n 4,
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
| a b | ( 3)2 62 62 9 .
14. 2
b b 1 b
2
2 1
由题设 a a ，所以， a ，则
e c c
2 a2 b2 b2
2 2 1 2 2a a a a .
15.答案：2
解析：圆C : x2 y2 4x 2ay 3 0 ,即 x 2 2 y a 2 a2 1,
圆心C 2, a ,半径 r a2 1 ,
因为圆 C关于直线 x 2y 6 0对称,所以2 2 a 6 0 ,解得 a 2 ,
所以 x 2 2 y 2 2 5 ,圆心C 2,2 ,半径 r 5 ,
则圆心C 2,2 到 y轴的距离d 2 ,所以 AB 2 r2 d 2 2 .
16.答案：
2
解析：方法一(建系法)如图，以矩形 ABCD 的中心 O 为坐标原点，CB，DC的方向分别为
3
x，y 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.设 AB 3，则 EF 1，AD 2，A 1, ,0
，
2
E 0, 1 , 2 C 3 1, ,0 1
， ，F 0, , 2 ，所以 AE ( 1,1, 2)，CF (1, 1, 2)，
2 2 2
所以 AE CF 1 1 1 ( 1) 2 2 0，所以 AE CF ，所以异面直线 AE 与 CF
所成的角为 .
2
方法二：如图，在平面 ABFE 中，过点 F作 FG//AE交 AB 于点 G，连接 CG，则 CFG或其
补角为异面直线 AE 与 CF 所成的角.设 EF 1，则 AB 3，AD BC 2.因为 EF //AB，
AE//FG，所以四边形 AEFG 为平行四边形，所以 FG AE AD 2，AG 1，BG 2 .
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
又 AB BC 2，所以CG BG BC2 2 2，又CF BC 2，所以CG2 FG2 CF 2 ，
CFG 所以 ，即异面直线 AE 与 CF 所成的角为 .
2 2
17.答案：(1)m 0或m 9 .
m 1(2) .
2
解析：(1)因为 l1 l2，所以 2 4m m(m 1) 0 ，
解得m 0或m 9 .
2(m 1) 4m2 0
(2)因为 l1 //l2 ，所以 ，
2m (m 1) 0
1
解得m .
2
18.答案：(1) | a b | 3
(2)向量a b 与 2a b c 夹角的大小为
2
解析：(1) b//c 1 y， ， y 2， b (1, 2,1) .
2 4
a b， a b x 2 1 0， x 1， a (1,1,1)，
a b (2, 1,2)， | a b | 4 1 4 3 .
(2) 2a b c (1, 4,1)，
(a b) (2a b c) 2 1 ( 1) 4 2 1 0，
向量a b 与2a b c 垂直，即向量 a b与 2a b c 夹角的大小为 .
2
x2 y2 1 y
2 x2
19.答案：（1） 或 1
144 80 144 80
x2 y2
（2） 1
25 9
解析：（1）令a 3t，c 2t，则b 5t 4 5 ，所以 t 4，
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
x2 y2 2 2
椭圆的方程为 1 y x或 1.
144 80 144 80
（2）由条件知 c 4，△PF1F2 的面积的最大值为bc 12，
2 2
所以b 3 x y，a 5，椭圆的方程为 1.
25 9
20.答案：(1)证明见解析
(2) 6 19
95
解析：（1）证明：连接 BD交 AC 于点 O,连接 ND 交 CE 于 G,取 SE 的中点 F,连接 NF,
因为 M,N 分别为 SA,SC 的中点,
所以MN //AC ,
因为MN 平面 ACE, AC 平面 ACE,
所以MN //平面 ACE,
因为 SE :ED 2 :1,F 为 SE的中点,
所以 SF FE ED ,
因为 N为 SC的中点,所以NF //CE ,
所以 G为 ND的中点,
因为底面 ABCD 为菱形,所以 O为 BD的中点,
所以OG//BN ,
因为BN 平面 ACE,OG 平面 ACE,
所以BN //平面 ACE,
因为MN BN N ,所以平面BMN //平面 ACE,
（2）取 BC 的中点 H,连接 AH,
因为 SA 平面 ABCD,AH, AD 平面 ABCD,
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
所以 SA AH , SA AD
因为底面 ABCD 为菱形, BAD 120
所以△ABC 为等边三角形,所以 AH BC ,
因为 AD//BC ,
所以 AH AD ,
所以以 A为原点,AH,AD,AS 所在的直线分别为 x,y,z 建立空间直角坐标系,
如图所示,
则 A(0,0,0) , B(2 3, 2,0) ,C(2 3, 2,0) ,D(0, 4,0) , S(0,0,3)
因为 SE :ED 8 2 :1,所以 E(0, ,1) ,
3
8
所以 BS ( 2 3,2,3) , AC (2 3,2,0) , AE (0, ,1)
3
设平面 ACE 的一个法向量为m (x, y, z) ,
m AC 2 3x 2y 0
则 8 ,令 x 3 ,则m ( 3, 3,8) ,
m AE y z 0 3
设直线 BS与平面 ACE 所成角为 ,
m BS 6 6 24
sin cos 6 19则 ,
m BS 12 4 9 3 9 64 95
所以直线 BS与平面 ACE 所成角的正弦值为 6 19
95
2
21.答案：(1) (x 2) y2 4
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
(2) x y 1 0或 x y 1 0
解析：(1)由题意知，直线 x y 2 0过圆 C的圆心，则设圆心为C(a, a 2)，
所以 (a 2)2 ( a 2 2)2 a2 ( a 2)2 ，解得 a 2 .
所以圆心为C( 2,0)，半径 r 2，
2 2
所以圆 C 的方程为 (x 2) y 4 .
(2)由题意知，直线 l1， l2的斜率存在且不为 0.
设 l 11的斜率为 k，则 l2的斜率为 ，k
所以 l1 : y k(x 1)，即 kx y k 0，
l2 : y
1
(x 1)，即 x ky 1 0 .
k
由题意，得圆心 C 到直线 l1， l2的距离相等，
| 2k k | | 2 1|
所以 ，解得 k 1，
k 2 1 k 2 1
所以直线 l1的方程为 x y 1 0或 x y 1 0 .
22.答案：（1）点 A 到平面 A1BC的距离为 2
（2）二面角 A BD C 3的正弦值为
2
解析：（1）设点 A 到平面 A1BC的距离为 h，
因为直三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 4，
1 1
所以V A A BC S AA V
4
三棱锥 1 3 △ABC 1 3 三棱锥ABC A B
，
1 1C1 3
又△A1BC的面积为 2 2，V
1 1 4
A A BC S h 2 2h ，所以 h 2，三棱锥 1 3 △A1BC 3 3
即点 A到平面 A1BC的距离为 2 .
（2）取 A1B的中点 E，连接 AE，则 AE A1B，
因为平面 A1BC 平面 ABB1A1，平面 A1BC 平面 ABB1A1 A1B，
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
所以 AE 平面 A1BC，所以 AE BC，
又 AA1 平面 ABC，
所以 AA1 BC，因为 AA1 AE A，所以 BC 平面 ABB1A1，
所以 BC AB .
以 B 为坐标原点，分别以 BC，BA，BB1 的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系，
由（1）知， AE 2，所以 AA1 AB 2， A1B 2 2，
1
因为△A1BC的面积为 2 2，所以 2 2 A2 1
B BC，
所以 BC 2，
所以 A(0, 2,0)， B(0,0,0)，C(2,0,0)， A1(0, 2, 2)，D(1,1,1)， E(0,1,1)，
则 BD (1,1,1)，BA (0, 2,0)，
设平面 ABD 的一个法向量为n (x, y, z)，
n BD 0, x y z 0,
则 即
n BA 0, 2y 0,
令 x 1，得n (1,0, 1)，
又平面 BDC 的一个法向量为 AE (0, 1,1)，
所以 cos AE,n A E n 1 1 ，
| AE || n | 2 2 2
设二面角 A BD C的平面角为 ，
则 sin 1 cos2 AE,n 3 3 ，所以二面角 A BD C的正弦值为 .
2 2
{#{QQABBYCUogiAQgAAARgCQQG6CgAQkAACCCoOABAMMAABgRNABAA=}#}
