(共30张PPT)
素养提升课三 电磁感应中的电路及图像问题
关键能力·合作探究
随堂演练·达标自测
关键能力·合作探究
探究一 电磁感应中的电路问题
【情境探究】
用均匀导体做成的正方形线圈边长为l，正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图所示，当磁场以的变化率增强时，思考下列问题：
(1)感应电流的方向是逆时针还是顺时针？
(2)感应电动势多大？整个闭合回路中哪部分电路
是电源，哪部分是外电路？
(3)A、B两点哪点电势高？两点间的电势差为多
大？
提示：(1)根据楞次定律可知感应电流的方向是逆时针．
(2)感应电动势E＝，ACB部分是电源．ADB部分为外电路．
(3)B点电势高，电势差U＝.
【核心归纳】
1.电磁感应中电路知识的关系图
2．电磁感应现象中通过闭合电路中某横截面的电荷量q＝Δt，而＝＝n，则q＝n，所以q只和线圈匝数、磁通量变化量ΔΦ及回路的总电阻有关，与经历的时间无关．
【应用体验】
例1 [2022·宁夏高二检测]如图所示，匀强磁场的
磁感应强度B＝0.1 T，金属棒AD长0.4 m，与框架
宽度相同，电阻r＝1.3 Ω，框架电阻不计．电阻R1
＝2 Ω，R2＝3 Ω，当金属棒以5 m/s速度匀速向右
运动时，求：
(1)流过金属棒的感应电流为多大？
(2)若图中电容器C为0.3 μF，则电容器中储存多少电荷量？
解析：(1)棒产生的电动势：E＝Blv＝0.2 V
外电阻R＝＝1.2 Ω
通过棒的感应电流
I＝＝ A＝0.08 A.
(2)电容器两板间的电压U＝IR＝0.096 V
电容器带电荷量
Q＝CU＝0.3×10－6×0.096 C＝2.88×10－8 C.
【针对训练】
1.(多选)如图甲所示，在虚线所示的区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场变化规律如图乙所示，面积为S的单匝金属线框处在磁场中，线框与阻值为R的电阻相连．若金属线框的电阻为，其余电阻不计，则下列说法正确的是( )
A．流过电阻R的感应电流方向为由a到b
B．线框cd边受到的安培力方向向下
C.感应电动势大小为
D．a、b间电压大小为
答案：ABD
解析：由图乙可知，磁感应强度随时间均匀增加，根据楞次定律及安培定则可知，流过电阻R的感应电流方向为由a到b，故A正确；由于通过cd边的电流方向为由c→d，根据左手定则可判断出，线框cd边受到的安培力方向向下，故B正确；由法拉第电磁感应定律E＝可得，回路中感应电动势E＝＝，故C错误；因为I＝＝，解得U＝，故D正确．
规律方法
电磁感应中电路问题的分析方法
(1)明确电路结构，分清内、外电路，画出等效电路图．
(2)根据产生感应电动势的方式计算感应电动势的大小，如果是磁场变化，由E＝n计算；如果是导体切割磁感线，由E＝Blv计算．
(3)根据楞次定律或右手定则判断感应电流的方向．
(4)根据电路结构列出相应的方程式进行求解．
探究二 电磁感应中的图像问题
【情境探究】
如图甲所示，abcd中的磁场按
图乙的形式随时间变化，磁场
垂直纸面向里为正方向，则矩
形线框内的感应电流方向是怎
样的，以及bc边受到的安培力
的方向是怎样的？
提示：0～1 s电流的方向为逆时针方向，1 s～3 s为顺时针方向，3 s～4 s为逆时针方向；0～1 s内bc边受到的安培力向左，1 s～2 s内向右，2 s～3 s内向左，3 s～4 s内向右．
【核心归纳】
1.定性分析物理图像
(1)要明确图像坐标轴的意义；
(2)借助有关物理概念、公式、定理和定律作出分析判断．
2．定量计算
(1)确定图像所揭示的物理规律或物理量间的关系；
(2)挖掘图像中的隐含条件，明确有关图线所包围的面积、图线的斜率(或其绝对值)、截距所表示的物理意义．
3．电磁感应中图像类选择题的两种常见解法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是物理量的正负，排除错误的选项．
(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像作出分析和判断，这未必是最简洁的方法，但却是最有效的方法．
【应用体验】
例2 边长为a的闭合金属正三角形框架，左边竖直且与磁场右边界平行，完全处于垂直框架平面向里的匀强磁场中．现把框架匀速水平向右拉出磁场，如图所示，则下列图像与这一过程相符合的是( )
答案：B
解析：该过程中，框架切割磁感线的有效长度等于框架与磁场右边界两交点的间距，根据几何关系有l有效＝x，所以E电动势＝Bl有效v＝Bvx∝x，A错误，B正确；框架匀速运动，故F外＝F安＝＝∝x2，C错误；P外＝F外v∝F外∝x2，D错误．
例3 通过某单匝闭合线圈的磁通量Φ随时间t的变化规律如图所示，下列说法正确的是( )
A．0～0.3 s内线圈中的感应电动势在均匀增加
B．第0.6 s末线圈中的感应电动势是4 V
C．第0.9 s末线圈中的瞬时感应电动势比第0.2 s末的小
D．第0.2 s末和第0.4 s末的瞬时感应电动势的方向相同
答案：B
解析：根据法拉第电磁感应定律有E＝，0～0.3 s内，E1＝ V＝ V，保持不变，故A错误；第0.6 s末线圈中的感应电动势E2＝ V＝4 V，故B正确；第0.9 s末线圈中的感应电动势E3＝ V＝30 V，大于第0.2 s末的感应电动势，故C错误；由图分析易知，第0.2 s末和第0.4 s末的瞬时感应电动势方向相反，故D错误．
【针对训练】
2.如图所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L.现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图中所示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，则在该过程中，下列选项中能正确反映线圈中所产生的感应电流或其所受的安培力随时间变化的图像是( )
答案：D
解析：当矩形闭合线圈进入磁场时，由法拉第电磁感应定律判断，感应电流的大小在中间时是最大的，所以A、B错误；由楞次定律可知，当矩形闭合线圈进入磁场和出磁场时，磁场力总是阻碍线圈的运动，方向始终向左，所以外力始终水平向右，因安培力的大小不同且在中间时最大，由左手定则知，在中间时安培力的方向也向左，故C错误，D正确．
3．[2022·吉林高二检测]如图甲所示，矩形导线框abcd固定在变化的磁场中，产生了如图乙所示的电流(电流方向abcda为正方向)．若规定垂直纸面向里的方向为磁场正方向，能够产生如图乙所示电流的磁场为( )
答案：D
解析：由题图乙可知，0～t1时间内，导线框中的电流的大小与方向都不变，根据法拉第电磁感应定律可知，导线框中的磁通量的变化率相同，故0～t1时间内磁感应强度与时间的关系图线是一条倾斜直线，A、B错误；又由于0～t1时间内电流的方向为正，即沿abcda方向，由楞次定律可知，电路中感应电流的磁场方向向里，故0～t1时间内原磁场方向向里减小或向外增大，C错误，D正确．
随堂演练·达标自测
1.如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为L和2L的两只闭合正方形线框a和b，以相同的速度从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外，不考虑线框的重力，若闭合线框拉出磁场时的电流分别为Ia、Ib，则Ia∶Ib为( )
A．1∶4 B．1∶2
C．1∶1 D．不能确定
答案：C
解析：由法拉第电磁感应定律得，产生的感应电动势为E＝Blv，由闭合电路欧姆定律得I＝，又lb＝2la，由电阻定律知Rb＝2Ra，故Ia∶Ib＝1∶1，选项C正确．
2．如图所示的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.一个电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴匀速转动(O轴位于磁场边界)，周期为T，t＝0时刻线框置于如图所示位置，则线框内产生的感应电流的图像为(规定电流顺时针方向为正)( )
答案：A
解析：由于扇形导线框匀速转动，因此导线框进入磁场的过程中产生的感应电动势是恒定的，线框在进入磁场和离开磁场时，有感应电流产生，当完全进入时，由于磁通量不变，故无感应电流产生，由右手定则可判断导线框进入磁场时，电流方向为逆时针，出磁场时电流方向为顺时针，故A正确．
3．一个匀强磁场的边界是MN，MN左侧无磁场，右侧是范围足够大的匀强磁场区域，如图甲所示．现有一个金属线框沿ab方向以恒定速度从MN左侧垂直进入匀强磁场区域，线框中的电流随时间变化的I t图像如图乙所示，则可能的线框是下列选项图中的( )
答案：D
解析：金属线框切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv，设线框总电阻是R，则感应电流I＝，由题图乙所示图像可知，感应电流先均匀变大，后均匀变小，由于B、v、R是定值，故金属线框的有效长度L应先变大，后变小，且L随时间均匀变化．闭合圆环匀速进入磁场时，有效长度L先变大，后变小，但L随时间不是均匀变化，不符合题意，A错误；正方形线框进入磁场时，有效长度L不变，感应电流不变，不符合题意，B错误；梯形线框匀速进入磁场时，有效长度L先均匀增大，后不变，最后均匀减小，不符合题意，C错误；三角形线框匀速进入磁场时，有效长度L先增大，后减小，且随时间均匀变化，符合题意，D正确．
4．[2022·湖北华师期中]如图所示，半径为a的圆环电阻不计，放置在垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中，环内有一导体棒电阻为r，可以绕环匀速转动．将平行板电容器、电阻R、开关S分别连接到环上和棒的O端，将电容器极板水平放置，并联在R和开关S两端，整个装置处在竖直面内．开关S断开，极板间有一带电荷量为＋q、质量为m的油滴恰好静止，板间距离为d，当开关S闭合时，该带电粒子将以g的加速度运动，则下列说法正确的是( )
A．导体棒沿顺时针方向转动
B．导体棒转动的角速度为
C．R是r的4倍
D．当开关S闭合时，带电油滴将向上加速
答案：B
解析：开关S断开时，油滴恰好静止在电容器极板间，由于油滴带正电，则电容器上极板带负电，由右手定则判断可知，导体棒应绕O沿逆时针方向转动，选项A错误；当开关S断开时，油滴受力平衡，有mg＝q，U＝E，又导体棒转动产生的感应电动势E＝Ba2ω，解得ω＝，选项B正确；当开关S闭合时，两极板间电压减小，场强减小，则油滴将向下做加速运动，根据牛顿第二定律得mg－q＝m，又U′＝R，解得R＝3r，选项C、D错误．素养提升课三电磁感应中的电路及图像问题
关键能力·合作探究——突出综合性 素养形成
探究一 电磁感应中的电路问题
【情境探究】
用均匀导体做成的正方形线圈边长为l，正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图所示，当磁场以的变化率增强时，思考下列问题：
(1)感应电流的方向是逆时针还是顺时针？
(2)感应电动势多大？整个闭合回路中哪部分电路是电源，哪部分是外电路？
(3)A、B两点哪点电势高？两点间的电势差为多大？
【核心归纳】
1.电磁感应中电路知识的关系图
2．电磁感应现象中通过闭合电路中某横截面的电荷量q＝Δt，而＝＝n，则q＝n，所以q只和线圈匝数、磁通量变化量ΔΦ及回路的总电阻有关，与经历的时间无关．
【应用体验】
例1[2022·宁夏高二检测]如图所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0.1 T，金属棒AD长0.4 m，与框架宽度相同，电阻r＝1.3 Ω，框架电阻不计．电阻R1＝2 Ω，R2＝3 Ω，当金属棒以5 m/s速度匀速向右运动时，求：
(1)流过金属棒的感应电流为多大？
(2)若图中电容器C为0.3 μF，则电容器中储存多少电荷量？
[试解]
【针对训练】
1.(多选)如图甲所示，在虚线所示的区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场变化规律如图乙所示，面积为S的单匝金属线框处在磁场中，线框与阻值为R的电阻相连．若金属线框的电阻为，其余电阻不计，则下列说法正确的是( )
A．流过电阻R的感应电流方向为由a到b
B．线框cd边受到的安培力方向向下
C.感应电动势大小为
D．a、b间电压大小为
规律方法
电磁感应中电路问题的分析方法
(1)明确电路结构，分清内、外电路，画出等效电路图．
(2)根据产生感应电动势的方式计算感应电动势的大小，如果是磁场变化，由E＝n计算；如果是导体切割磁感线，由E＝Blv计算．
(3)根据楞次定律或右手定则判断感应电流的方向．
(4)根据电路结构列出相应的方程式进行求解．
探究二 电磁感应中的图像问题
【情境探究】
如图甲所示，abcd中的磁场按图乙的形式随时间变化，磁场垂直纸面向里为正方向，则矩形线框内的感应电流方向是怎样的，以及bc边受到的安培力的方向是怎样的？
【核心归纳】
1.定性分析物理图像
(1)要明确图像坐标轴的意义；
(2)借助有关物理概念、公式、定理和定律作出分析判断．
2．定量计算
(1)确定图像所揭示的物理规律或物理量间的关系；
(2)挖掘图像中的隐含条件，明确有关图线所包围的面积、图线的斜率(或其绝对值)、截距所表示的物理意义．
3．电磁感应中图像类选择题的两种常见解法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是物理量的正负，排除错误的选项．
(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像作出分析和判断，这未必是最简洁的方法，但却是最有效的方法．
【应用体验】
例2 边长为a的闭合金属正三角形框架，左边竖直且与磁场右边界平行，完全处于垂直框架平面向里的匀强磁场中．现把框架匀速水平向右拉出磁场，如图所示，则下列图像与这一过程相符合的是( )
[试解]
例3 通过某单匝闭合线圈的磁通量Φ随时间t的变化规律如图所示，下列说法正确的是( )
A．0～0.3 s内线圈中的感应电动势在均匀增加
B．第0.6 s末线圈中的感应电动势是4 V
C．第0.9 s末线圈中的瞬时感应电动势比第0.2 s末的小
D．第0.2 s末和第0.4 s末的瞬时感应电动势的方向相同
[试解]
【针对训练】
2.如图所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L.现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图中所示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，则在该过程中，下列选项中能正确反映线圈中所产生的感应电流或其所受的安培力随时间变化的图像是( )
3．[2022·吉林高二检测]如图甲所示，矩形导线框abcd固定在变化的磁场中，产生了如图乙所示的电流(电流方向abcda为正方向)．若规定垂直纸面向里的方向为磁场正方向，能够产生如图乙所示电流的磁场为( )
随堂演练·达标自测——突出创新性 素养达标
1.如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为L和2L的两只闭合正方形线框a和b，以相同的速度从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外，不考虑线框的重力，若闭合线框拉出磁场时的电流分别为Ia、Ib，则Ia∶Ib为( )
A．1∶4 B．1∶2
C．1∶1 D．不能确定
2．如图所示的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.一个电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴匀速转动(O轴位于磁场边界)，周期为T，t＝0时刻线框置于如图所示位置，则线框内产生的感应电流的图像为(规定电流顺时针方向为正)( )
3．一个匀强磁场的边界是MN，MN左侧无磁场，右侧是范围足够大的匀强磁场区域，如图甲所示．现有一个金属线框沿ab方向以恒定速度从MN左侧垂直进入匀强磁场区域，线框中的电流随时间变化的I t图像如图乙所示，则可能的线框是下列选项图中的( )
4．[2022·湖北华师期中]如图所示，半径为a的圆环电阻不计，放置在垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中，环内有一导体棒电阻为r，可以绕环匀速转动．将平行板电容器、电阻R、开关S分别连接到环上和棒的O端，将电容器极板水平放置，并联在R和开关S两端，整个装置处在竖直面内．开关S断开，极板间有一带电荷量为＋q、质量为m的油滴恰好静止，板间距离为d，当开关S闭合时，该带电粒子将以g的加速度运动，则下列说法正确的是( )
A．导体棒沿顺时针方向转动
B．导体棒转动的角速度为
C．R是r的4倍
D．当开关S闭合时，带电油滴将向上加速
素养提升课(三) 电磁感应中的电路及图像问题
关键能力·合作探究
探究一
情境探究
提示：(1)根据楞次定律可知感应电流的方向是逆时针．
(2)感应电动势E＝，ACB部分是电源．ADB部分为外电路．
(3)B点电势高，电势差U＝.
应用体验
[例1] 解析：(1)棒产生的电动势：E＝Blv＝0.2 V
外电阻R＝＝1.2 Ω
通过棒的感应电流
I＝＝ A＝0.08 A.
(2)电容器两板间的电压U＝IR＝0.096 V
电容器带电荷量
Q＝CU＝0.3×10－6×0.096 C＝2.88×10－8 C.
答案：(1)0.08 A (2)2.88×10－8 C
针对训练
1．解析：由图乙可知，磁感应强度随时间均匀增加，根据楞次定律及安培定则可知，流过电阻R的感应电流方向为由a到b，故A正确；由于通过cd边的电流方向为由c→d，根据左手定则可判断出，线框cd边受到的安培力方向向下，故B正确；由法拉第电磁感应定律E＝可得，回路中感应电动势E＝＝，故C错误；因为I＝＝，解得U＝，故D正确．
答案：ABD
探究二
情境探究
提示：0～1 s电流的方向为逆时针方向，1 s～3 s为顺时针方向，3 s～4 s为逆时针方向；0～1 s内bc边受到的安培力向左，1 s～2 s内向右，2 s～3 s内向左，3 s～4 s内向右．
应用体验
[例2] 解析：该过程中，框架切割磁感线的有效长度等于框架与磁场右边界两交点的间距，根据几何关系有l有效＝x，所以E电动势＝Bl有效v＝Bvx∝x，A错误，B正确；框架匀速运动，故F外＝F安＝＝∝x2，C错误；P外＝F外v∝F外∝x2，D错误．
答案：B
[例3] 解析：根据法拉第电磁感应定律有E＝，0～0.3 s内，E1＝ V＝ V，保持不变，故A错误；第0.6 s末线圈中的感应电动势E2＝ V＝4 V，故B正确；第0.9 s末线圈中的感应电动势E3＝ V＝30 V，大于第0.2 s末的感应电动势，故C错误；由图分析易知，第0.2 s末和第0.4 s末的瞬时感应电动势方向相反，故D错误．
答案：B
针对训练
2．解析：当矩形闭合线圈进入磁场时，由法拉第电磁感应定律判断，感应电流的大小在中间时是最大的，所以A、B错误；由楞次定律可知，当矩形闭合线圈进入磁场和出磁场时，磁场力总是阻碍线圈的运动，方向始终向左，所以外力始终水平向右，因安培力的大小不同且在中间时最大，由左手定则知，在中间时安培力的方向也向左，故C错误，D正确．
答案：D
3．解析：由题图乙可知，0～t1时间内，导线框中的电流的大小与方向都不变，根据法拉第电磁感应定律可知，导线框中的磁通量的变化率相同，故0～t1时间内磁感应强度与时间的关系图线是一条倾斜直线，A、B错误；又由于0～t1时间内电流的方向为正，即沿abcda方向，由楞次定律可知，电路中感应电流的磁场方向向里，故0～t1时间内原磁场方向向里减小或向外增大，C错误，D正确．
答案：D
随堂演练·达标自测
1．解析：由法拉第电磁感应定律得，产生的感应电动势为E＝Blv，由闭合电路欧姆定律得I＝，又lb＝2la，由电阻定律知Rb＝2Ra，故Ia∶Ib＝1∶1，选项C正确．
答案：C
2．解析：由于扇形导线框匀速转动，因此导线框进入磁场的过程中产生的感应电动势是恒定的，线框在进入磁场和离开磁场时，有感应电流产生，当完全进入时，由于磁通量不变，故无感应电流产生，由右手定则可判断导线框进入磁场时，电流方向为逆时针，出磁场时电流方向为顺时针，故A正确．
答案：A
3．解析：金属线框切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv，设线框总电阻是R，则感应电流I＝，由题图乙所示图像可知，感应电流先均匀变大，后均匀变小，由于B、v、R是定值，故金属线框的有效长度L应先变大，后变小，且L随时间均匀变化．闭合圆环匀速进入磁场时，有效长度L先变大，后变小，但L随时间不是均匀变化，不符合题意，A错误；正方形线框进入磁场时，有效长度L不变，感应电流不变，不符合题意，B错误；梯形线框匀速进入磁场时，有效长度L先均匀增大，后不变，最后均匀减小，不符合题意，C错误；三角形线框匀速进入磁场时，有效长度L先增大，后减小，且随时间均匀变化，符合题意，D正确．
答案：D
4．解析：开关S断开时，油滴恰好静止在电容器极板间，由于油滴带正电，则电容器上极板带负电，由右手定则判断可知，导体棒应绕O沿逆时针方向转动，选项A错误；当开关S断开时，油滴受力平衡，有mg＝q，U＝E，又导体棒转动产生的感应电动势E＝Ba2ω，解得ω＝，选项B正确；当开关S闭合时，两极板间电压减小，场强减小，则油滴将向下做加速运动，根据牛顿第二定律得mg－q＝m，又U′＝R，解得R＝3r，选项C、D错误．
答案：B(共39张PPT)
素养提升课四 电磁感应中的动力学、
能量和动量问题
关键能力·合作探究
随堂演练·达标自测
关键能力·合作探究
探究一 电磁感应中的动力学问题
【核心归纳】
1.导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件(合外力等于0)列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为0.
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．力学对象和电学对象的相互关系
【应用体验】
例1 如图所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是不计电阻、水平放置的平行长直导轨，其间距l＝0.2 m，电阻R＝0.3 Ω接在导轨一端．ab是跨接在导轨上质量m＝0.1 kg、电阻r＝0.1 Ω、长度与导轨间距相等的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好．(g取10 m/s2)
(1)求导体棒所能达到的最大速度．
(2)试定性画出导体棒运动的速度—时间图像．
解析：ab棒在拉力F作用下运动，随着ab棒切割磁感线运动的速度增大，棒中的感应电动势增大，棒中感应电流增大，棒受到的安培力也增大，最终达到匀速运动时棒的速度达到最大值．外力在克服安培力做功的过程中，消耗了其他形式的能，转化成了电能，最终转化成了焦耳热．
(1)导体棒切割磁感线运动，产生的感应电动势E＝Blv①
I＝②
导体棒受到的安培力F安＝IlB③
导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，根据牛顿第二定律得F－μmg－F安＝ma④
由①②③④得F－μmg－＝ma⑤
由上式可以看出，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大．
此时有F－μmg－＝0⑥
可得vm＝＝10 m/s.⑦
(2)导体棒运动的速度—时间图像如图所示．
【针对训练】
1.(多选)如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆．开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像可能是( )
答案：ACD
解析：设ab棒的有效长度为l，S闭合时，若>mg，先减速再匀速，D项有可能；若＝mg，匀速，A项有可能；若2．如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN，PQ平行放置．两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．
(1)由b向a方向看到的装置如图乙，在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
(2)在加速下滑时，当ab杆的速度
大小为v时，求此时ab杆中的电流
及其加速度的大小；
(3)求在下滑过程中，ab杆可以达
到的速度最大值．
解析：(1)如图所示，重力mg，竖直向下；支持力FN，垂直斜面向上；安培力F，沿斜面向上．
(2)当ab杆速度为v时，感应电动势E＝BLv，此时电路中电流I＝＝，
ab杆受到的安培力F＝ILB＝.
根据牛顿运动定律，有mg sin θ－F＝ma，
解得a＝g sin θ－.
(3)当a＝0时，杆达到最大速度vm，
即g sin θ＝时，vm＝.
探究二 电磁感应中的能量问题
【核心归纳】
1.能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功实现的．安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通常为机械能)；克服安培力做功，则是其他形式的能(通常为机械能)转化为电能的过程．
2．求解焦耳热Q的几种方法
公式法 Q＝I2Rt
功能关系法 焦耳热等于克服安培力做的功
能量转化法 焦耳热等于其他形式能的减少量
【应用体验】
例2 如图所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨道间距为d.空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B.P、M间所接电阻阻值为R.质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r.现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离x时，达到最大速度．若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g.求：
(1)金属杆ab运动的最大速度；
(2)金属杆ab运动的加速度为g sin θ时，
电阻R上的电功率；
(3)金属杆ab从静止到具有最大速度的过
程中，克服安培力所做的功．
解析：(1)当杆达到最大速度时安培力F＝mg sin θ 安培力F＝IdB
感应电流I＝
感应电动势E＝Bdvmax
联立上式解得最大速度vmax＝.
(2)当金属杆ab运动的加速度为g sin θ时，根据牛顿第二定律，有mg sin θ－I′dB＝m·g sin θ
电阻R上的电功率P＝I′2R解得P＝.
(3)根据动能定理mgx sinθ－WF＝－0
解得WF＝mgx sin θ－·.
教你解决问题
第一步：抓关键点
关键点 获取信息
光滑金属轨道与水平面成θ角固定 金属杆不受摩擦力，且沿轨道向下的分力为mg sin θ
P、M间所接电阻阻值为R；金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r；轨道足够长且电阻不计 金属杆与轨道、电阻R所组成的闭合回路的内电阻为r，外电阻为R
金属杆ab沿轨道下滑距离x时，达到最大速度 金属杆高度降低了x sin θ，此后受力平衡以最大速度继续下滑
第二步：找突破口
(1)根据受力平衡列方程，安培力F＝mg sin θ；
(2)根据牛顿第二定律，求解加速度为g sin θ时的安培力；
(3)根据动能定理，求解此过程中克服安培力所做的功．
【针对训练】
3.如图所示，间距为L的竖直平行金属导轨MN、PQ上端接有电阻R，质量为m、电阻为r的金属棒ab垂直于平行导轨放置，垂直导轨平面向里的水平匀强磁场的磁感应强度大小为B，不计导轨电阻及一切摩擦，且ab与导轨接触良好．若金属棒ab在竖直向上的外力F作用下以速度v匀速上升，则以下说法正确的是( )
A．a、b两端的电势差为BLv
B．b端电势高于a端电势
C．作用在金属棒ab上的各个力的合力做的功等于零
D．拉力F所做的功等于电路中产生的热量
答案：C
解析：金属棒做切割磁感线运动产生的感应电动势为E＝BLv，则a、b两点间的电压为U＝BLv，故A错误．根据右手定则可知，金属棒中的电流方向为b到a，所以b端为电源的负极，a端为电源的正极，a端的电势高于b端，故B错误．由于金属棒做匀速直线运动，根据动能定理可知作用在金属棒上的各个力的合力做功等于零，故C正确．根据功能关系可知，拉力F做功等于电路中产生的热量与重力势能的增加量之和，故D错误．故选C.
4.[2022·江苏泗洪高二检测]如图所示，两根间距L＝1.0 m、电阻不计的足够长的光滑平行金属导轨ab、cd水平放置，一端与阻值R＝2.0 Ω的电阻相连，质量m＝0.2 kg的导体棒ef在恒定外力F＝1 N作用下由静止开始运动，导体棒电阻为r＝1.0 Ω，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝1 T，当ef棒由开始运动6.9 m时，速度达到最大(g取10 m/s2)，求：
(1)导体棒的速度达到最大时，回路中电流的大小；
(2)导体棒能够达到的最大速度；
(3)在此运动过程中电阻R上产生的焦耳热．
解析：(1)当安培力等于拉力时，速度最大，则有F＝F安＝ILB
代入数据解得I＝＝A＝1 A.
(2)当导体棒速度为vmax时，产生的感应电动势为E＝BLvmax，通过导体棒的电流为I＝，
解得vmax＝3 m/s.
(3)由功能关系得Fx＝
根据串联电路特点，有QR＝Q
联立解得QR＝4 J.
探究三 电磁感应中的动量问题
【核心归纳】
1.对于单杆模型，一般与动量定理结合．例如在光滑水平轨道上运动的单杆(水平方向不受其他力作用)，由于在磁场中运动的单杆为变速运动，故运动过程所受的安培力为变力，依据动量定理有Δt＝Δp，又Δt＝lBΔt＝Blq，q＝N，Δp＝mv2－mv1，由以上四式将流经杆的电 安培力的冲量中藏着电荷量
荷量q、杆位移x及速度变化结合在一起．
2．对于双杆模型，在受到安培力之外，其他外力之和为零时，则考虑应用动量守恒定律处理问题．
3．由lB·Δt＝m·Δv、q＝·Δt可知，当题目中涉及电荷量或平均电流时，可应用动量定理来解决问题．
【应用体验】
例3 两足够长且不计电阻的光滑金属轨道如图甲所示放置，间距为d＝1 m，在左端弧形轨道部分高h＝1.25 m处放置一金属杆a，弧形轨道与平直轨道的连接处光滑无摩擦，在平直轨道右端放置另一金属杆b，杆a、b的电阻分别为Ra＝2 Ω、Rb＝5 Ω，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2 T．现杆b以初速度大小v0＝5 m/s开始向左滑动，同时由静止释放杆a，杆a由静止滑到水平轨道的过程中，通过杆b的平均电流为0.3 A；从a下滑到水平轨道时开始计时，a、b运动的速度—时间图像如图乙所示(以a运动方向为正方向)．其中ma＝2 kg，mb＝1 kg，g取10 m/s2.求：
(1)杆a在弧形轨道上运动的时间；
(2)杆a在水平轨道上运动的过程中通过其截面的电荷量；
(3)在整个运动过程中杆b产生的焦耳热．
解析：(1)设杆a由静止滑至弧形轨道与平直轨道连接处时杆b的速度大小为vb0，对杆b运用动量定理，
有dB·Δt＝mb(v0－vb0)
其中vb0＝2 m/s.
解得Δt＝5 s.
(2)对杆a由静止下滑到平直导轨上的过程中，由机械能守恒定律有magh＝
设最后a、b两杆共同的速度为v′，由动量守恒定律得mava－mbvb0＝(ma＋mb)v′
杆a动量的变化量等于它所受安培力的冲量，设杆a的速度从va到v′的运动时间为Δt′
由动量定理得′dB·Δt′＝ma(va－v′)，而q＝′·Δt′
联立解得q＝ C.
(3)由能量守恒定律可知杆a、b中产生的焦耳热
Q＝－(mb＋ma)v′2
杆b中产生的焦耳热Q′＝Q
解得Q′＝ J.
【针对训练】
5.(多选)如图所示，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上．t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动．运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示．下列图像中可能正确的是( )
答案：AC
解析：以两导体棒为研究对象，在导体棒运动过程中，两导体棒所受的安培力大小相等，方向相反，且不受其他水平外力作用，在水平方向两导体棒组成的系统动量守恒，对系统有mv0＝2mv，解得两导体棒运动的末速度v＝v0，棒ad做变减速运动，棒cd做变加速运动，稳定时两导体棒的加速度均为零，一起向右做匀速运动，故A正确，B错误；ab棒和cd棒最后做匀速运动，棒与导轨组成的回路磁通量不变化，不会产生感应电流，故C正确，D错误．
随堂演练·达标自测
1.(多选)在与水平面平行的匀强磁场上方有三个线圈，从同一高度同时由静止下落，三个线圈都是材料相同、边长一样的正方形，A线圈有一个缺口，B、C线圈闭合，但B线圈的导线比C线圈的粗，则( )
A．三个线圈同时落地 B．A线圈最先落地
C．C线圈最后落地 D．B、C线圈同时落地
答案：BD
解析：A线圈不受安培力，所以最先落地，A错误，B正确；要想比较出B、C线圈的下落时间，先比较加速度，得出加速度a与导线横截面积S的关系，a＝＝g－，其中R＝ρ电，m＝ρV＝4lρS，所以有a＝g－，可知加速度a与l和S均无关，即B、C线圈同时落地，C错误，D正确．
2．(多选)如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的两条平行金属导轨电阻不计，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒ab(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中( )
A．恒力F做的功等于电路产生的电能
B．克服安培力做的功等于电路中产生的电能
C．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的
电能
D．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和
答案：BD
解析：由功能关系可得，克服安培力做的功等于电路中产生的电能，A错误，B正确；根据动能定理可知，恒力F、安培力与摩擦力的合力做的功等于ab棒获得的动能，即WF－Wf－W安＝Ek，则恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和，C错误，D正确．
3.[2022·四川宜宾高二检测](多选)如图，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B.将质量为m的导体棒由静止释放，当速度达到v时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率为P，导体棒最终以2v的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g，下列选项中正确的是( )
A．v＝
B．P＝2mgv sin θ
C．当导体棒速度达到时，加速度大小为
D．在速度达到2v以后匀速运动的过程中，R上产
生的焦耳热等于拉力所做的功
答案：BC
解析：当导体棒以速度v匀速运动时＝mg sin θ，解得v＝，故A错误；当导体棒以速度2v匀速运动时F＝，根据平衡条件有＝F＋mg sin θ，解得F＝mg sin θ，所以拉力的功率为P＝F·2v＝2mgv sin θ，故B正确；当导体棒速度达到时，根据牛顿第二定律有mg sin θ－＝ma，解得a＝，故C正确；在速度达到2v以后匀速运动的过程中，由能量守恒知R上产生的焦耳热等于牵引力做的功和重力势能减少的代数和，故D错误．
4.如图所示，两根光滑导轨平行放置，导轨的水平部分放在绝缘水平面上，水平部分所在空间有竖直向上的磁场，磁感应强度为B.导轨的水平部分和倾斜部分由光滑圆弧连接．两根完全相同的金属棒ab和cd质量均为m、接入电路的电阻均为R，将cd置于导轨的水平部分与导轨垂直放置，将ab置于导轨的倾斜部分与导轨垂直放置，ab离水平面的高度为h，重力加速度为g，现将ab由静止释放，求：
(1)cd棒最终的速度大小；
(2)整个过程中产生的焦耳热Q.
解析：(1)ab下落过程，mgh＝，
ab和cd动量守恒，mv1＝2mv2，
.
(2)整个过程中产生的焦耳热
Q＝＝mgh.
5.如图所示，在与水平面成θ＝30°夹角的平面内放置两条平行、光滑且足够长的金属导轨，其电阻可忽略不计．空间存在着匀强磁场，磁感应强度B＝0.20 T，方向垂直导轨平面向上．导体棒ab、cd垂直于导轨放置，且与导轨接触良好构成闭合回路，导体棒的质量均为m＝2.0×10－2 kg，回路中导体棒电阻均为r＝5.0×10－2 Ω，金属导轨间距l＝0.50 m．现对导体棒ab施加平行于导轨向上的拉力，使之匀速向上运动，在导体棒ab匀速向上运动过程中，导体棒cd始终能静止在导轨上，g取10 m/s2，求：
(1)通过导体棒cd的电流I；
(2)导体棒ab受到的外力F的大小；
(3)导体棒cd产生Q＝0.1 J的热量时，力F做
的功W.
解析：(1)导体棒cd受到的安培力Fcd＝IlB
导体棒cd受力平衡，则Fcd＝mg sin θ
联立以上两式代入数据，解得I＝1 A，方向由左手定则可知由d到c.
(2)导体棒ab与cd受到的安培力大小相等，即Fab＝Fcd对导体棒ab，由平衡条件有F＝mg sin θ＋IlB
代入数据解得F＝0.2 N.
(3)设在时间t内导体棒cd产生Q＝0.1 J的热量，由焦耳定律可知Q＝I2rt
设导体棒ab匀速运动的速度大小为v，则产生的感应电动势E＝Blv，由闭合电路欧姆定律知I＝
由运动学公式知，在时间t内，导体棒ab沿导轨的位移x＝vt，力F做的功W＝Fx
综合上述各式，代入数据解得W＝0.4 J.素养提升课四 电磁感应中的动力学、能量和动量问题
关键能力·合作探究——突出综合性 素养形成
探究一 电磁感应中的动力学问题
【核心归纳】
1.导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件(合外力等于0)列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为0.
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．力学对象和电学对象的相互关系
【应用体验】
例1 如图所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是不计电阻、水平放置的平行长直导轨，其间距l＝0.2 m，电阻R＝0.3 Ω接在导轨一端．ab是跨接在导轨上质量m＝0.1 kg、电阻r＝0.1 Ω、长度与导轨间距相等的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好．(g取10 m/s2)
(1)求导体棒所能达到的最大速度．
(2)试定性画出导体棒运动的速度—时间图像．
[试解]
【针对训练】
1.(多选)如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆．开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像可能是( )
2．如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN，PQ平行放置．两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．
(1)由b向a方向看到的装置如图乙，在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
(2)在加速下滑时，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；
(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．
探究二 电磁感应中的能量问题
【核心归纳】
1.能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功实现的．安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通常为机械能)；克服安培力做功，则是其他形式的能(通常为机械能)转化为电能的过程．
2．求解焦耳热Q的几种方法
公式法 Q＝I2Rt
功能关系法 焦耳热等于克服安培力做的功
能量转化法 焦耳热等于其他形式能的减少量
【应用体验】
例2 如图所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨道间距为d.空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B.P、M间所接电阻阻值为R.质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r.现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离x时，达到最大速度．若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g.求：
(1)金属杆ab运动的最大速度；
(2)金属杆ab运动的加速度为g sin θ时，电阻R上的电功率；
(3)金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功．
教你解决问题
第一步：抓关键点
关键点 获取信息
光滑金属轨道与水平面成θ角固定 金属杆不受摩擦力，且沿轨道向下的分力为mg sin θ
P、M间所接电阻阻值为R；金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r；轨道足够长且电阻不计 金属杆与轨道、电阻R所组成的闭合回路的内电阻为r，外电阻为R
金属杆ab沿轨道下滑距离x时，达到最大速度 金属杆高度降低了x sin θ，此后受力平衡以最大速度继续下滑
第二步：找突破口
(1)根据受力平衡列方程，安培力F＝mg sin θ；
(2)根据牛顿第二定律，求解加速度为g sin θ时的安培力；
(3)根据动能定理，求解此过程中克服安培力所做的功．
[试解]
【针对训练】
3.如图所示，间距为L的竖直平行金属导轨MN、PQ上端接有电阻R，质量为m、电阻为r的金属棒ab垂直于平行导轨放置，垂直导轨平面向里的水平匀强磁场的磁感应强度大小为B，不计导轨电阻及一切摩擦，且ab与导轨接触良好．若金属棒ab在竖直向上的外力F作用下以速度v匀速上升，则以下说法正确的是( )
A．a、b两端的电势差为BLv
B．b端电势高于a端电势
C．作用在金属棒ab上的各个力的合力做的功等于零
D．拉力F所做的功等于电路中产生的热量
4.[2022·江苏泗洪高二检测]如图所示，两根间距L＝1.0 m、电阻不计的足够长的光滑平行金属导轨ab、cd水平放置，一端与阻值R＝2.0 Ω的电阻相连，质量m＝0.2 kg的导体棒ef在恒定外力F＝1 N作用下由静止开始运动，导体棒电阻为r＝1.0 Ω，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝1 T，当ef棒由开始运动6.9 m时，速度达到最大(g取10 m/s2)，求：
(1)导体棒的速度达到最大时，回路中电流的大小；
(2)导体棒能够达到的最大速度；
(3)在此运动过程中电阻R上产生的焦耳热．
探究三 电磁感应中的动量问题
【核心归纳】
1.对于单杆模型，一般与动量定理结合．例如在光滑水平轨道上运动的单杆(水平方向不受其他力作用)，由于在磁场中运动的单杆为变速运动，故运动过程所受的安培力为变力，依据动量定理有Δt＝Δp，又Δt＝lBΔt＝Blq，q＝N，Δp＝mv2－mv1，由以上
安培力的冲量中藏着电荷量
四式将流经杆的电荷量q、杆位移x及速度变化结合在一起．
2．对于双杆模型，在受到安培力之外，其他外力之和为零时，则考虑应用动量守恒定律处理问题．
3．由lB·Δt＝m·Δv、q＝·Δt可知，当题目中涉及电荷量或平均电流时，可应用动量定理来解决问题．
【应用体验】
例3 两足够长且不计电阻的光滑金属轨道如图甲所示放置，间距为d＝1 m，在左端弧形轨道部分高h＝1.25 m处放置一金属杆a，弧形轨道与平直轨道的连接处光滑无摩擦，在平直轨道右端放置另一金属杆b，杆a、b的电阻分别为Ra＝2 Ω、Rb＝5 Ω，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2 T．现杆b以初速度大小v0＝5 m/s开始向左滑动，同时由静止释放杆a，杆a由静止滑到水平轨道的过程中，通过杆b的平均电流为0.3 A；从a下滑到水平轨道时开始计时，a、b运动的速度—时间图像如图乙所示(以a运动方向为正方向)．其中ma＝2 kg，mb＝1 kg，g取10 m/s2.求：
(1)杆a在弧形轨道上运动的时间；
(2)杆a在水平轨道上运动的过程中通过其截面的电荷量；
(3)在整个运动过程中杆b产生的焦耳热．
[试解]
【针对训练】
5.(多选)如图所示，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上．t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动．运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示．下列图像中可能正确的是( )
随堂演练·达标自测——突出创新性 素养达标
1.(多选)在与水平面平行的匀强磁场上方有三个线圈，从同一高度同时由静止下落，三个线圈都是材料相同、边长一样的正方形，A线圈有一个缺口，B、C线圈闭合，但B线圈的导线比C线圈的粗，则( )
A．三个线圈同时落地 B．A线圈最先落地
C．C线圈最后落地 D．B、C线圈同时落地
2．(多选)如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的两条平行金属导轨电阻不计，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒ab(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中( )
A．恒力F做的功等于电路产生的电能
B．克服安培力做的功等于电路中产生的电能
C．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能
D．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和
3.[2022·四川宜宾高二检测](多选)如图，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B.将质量为m的导体棒由静止释放，当速度达到v时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率为P，导体棒最终以2v的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g，下列选项中正确的是( )
A．v＝
B．P＝2mgv sin θ
C．当导体棒速度达到时，加速度大小为
D．在速度达到2v以后匀速运动的过程中，R上产生的焦耳热等于拉力所做的功
4.如图所示，两根光滑导轨平行放置，导轨的水平部分放在绝缘水平面上，水平部分所在空间有竖直向上的磁场，磁感应强度为B.导轨的水平部分和倾斜部分由光滑圆弧连接．两根完全相同的金属棒ab和cd质量均为m、接入电路的电阻均为R，将cd置于导轨的水平部分与导轨垂直放置，将ab置于导轨的倾斜部分与导轨垂直放置，ab离水平面的高度为h，重力加速度为g，现将ab由静止释放，求：
(1)cd棒最终的速度大小；
(2)整个过程中产生的焦耳热Q.
5.如图所示，在与水平面成θ＝30°夹角的平面内放置两条平行、光滑且足够长的金属导轨，其电阻可忽略不计．空间存在着匀强磁场，磁感应强度B＝0.20 T，方向垂直导轨平面向上．导体棒ab、cd垂直于导轨放置，且与导轨接触良好构成闭合回路，导体棒的质量均为m＝2.0×10－2kg，回路中导体棒电阻均为r＝5.0×10－2Ω，金属导轨间距l＝0.50 m．现对导体棒ab施加平行于导轨向上的拉力，使之匀速向上运动，在导体棒ab匀速向上运动过程中，导体棒cd始终能静止在导轨上，g取10 m/s2，求：
(1)通过导体棒cd的电流I；
(2)导体棒ab受到的外力F的大小；
(3)导体棒cd产生Q＝0.1 J的热量时，力F做的功W.
素养提升课(四) 电磁感应中的动力学、能量和动量问题
关键能力·合作探究
探究一
应用体验
[例1] 解析：ab棒在拉力F作用下运动，随着ab棒切割磁感线运动的速度增大，棒中的感应电动势增大，棒中感应电流增大，棒受到的安培力也增大，最终达到匀速运动时棒的速度达到最大值．外力在克服安培力做功的过程中，消耗了其他形式的能，转化成了电能，最终转化成了焦耳热．
(1)导体棒切割磁感线运动，产生的感应电动势
E＝Blv①
I＝②
导体棒受到的安培力F安＝IlB③
导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，根据牛顿第二定律得
F－μmg－F安＝ma④
由①②③④得
F－μmg－＝ma⑤
由上式可以看出，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大．
此时有F－μmg－＝0⑥
可得vm＝＝10 m/s.⑦
(2)导体棒运动的速度—时间图像如图所示．
答案：(1)10 m/s (2)见解析图
针对训练
1．解析：设ab棒的有效长度为l，S闭合时，若>mg，先减速再匀速，D项有可能；若＝mg，匀速，A项有可能；若答案：ACD
2．解析：
(1)如图所示，重力mg，竖直向下；支持力FN，垂直斜面向上；安培力F，沿斜面向上．
(2)当ab杆速度为v时，感应电动势E＝BLv，此时电路中电流I＝＝，
ab杆受到的安培力F＝ILB＝.
根据牛顿运动定律，有mg sin θ－F＝ma，
解得a＝g sin θ－.
(3)当a＝0时，杆达到最大速度vm，即g sin θ＝时，vm＝.
答案：(1)图见解析 (2) g sin θ－ (3)
探究二
应用体验
[例2] 解析：(1)当杆达到最大速度时安培力F＝mg sin θ
安培力F＝IdB
感应电流I＝
感应电动势E＝Bdvmax
联立上式解得最大速度vmax＝.
(2)当金属杆ab运动的加速度为g sin θ时，根据牛顿第二定律，有mg sin θ－I′dB＝m·g sin θ
电阻R上的电功率P＝I′2R
解得P＝.
(3)根据动能定理mgx sinθ－WF＝－0
解得WF＝mgx sin θ－·.
答案：(1) (2)
(3)mgx sinθ－·
针对训练
3．解析：金属棒做切割磁感线运动产生的感应电动势为E＝BLv，则a、b两点间的电压为U＝BLv，故A错误．根据右手定则可知，金属棒中的电流方向为b到a，所以b端为电源的负极，a端为电源的正极，a端的电势高于b端，故B错误．由于金属棒做匀速直线运动，根据动能定理可知作用在金属棒上的各个力的合力做功等于零，故C正确．根据功能关系可知，拉力F做功等于电路中产生的热量与重力势能的增加量之和，故D错误．故选C.
答案：C
4．解析：(1)当安培力等于拉力时，速度最大，则有F＝F安＝ILB
代入数据解得I＝＝A＝1 A.
(2)当导体棒速度为vmax时，产生的感应电动势为E＝BLvmax，通过导体棒的电流为I＝，
解得vmax＝3 m/s.
(3)由功能关系得Fx＝
根据串联电路特点，有QR＝Q
联立解得QR＝4 J.
答案：(1)1 A (2)3 m/s (3)4 J
探究三
应用体验
[例3] 解析：(1)设杆a由静止滑至弧形轨道与平直轨道连接处时杆b的速度大小为vb0，对杆b运用动量定理，
有dB·Δt＝mb(v0－vb0)
其中vb0＝2 m/s.
解得Δt＝5 s.
(2)对杆a由静止下滑到平直导轨上的过程中，由机械能守恒定律有magh＝
设最后a、b两杆共同的速度为v′，由动量守恒定律得mava－mbvb0＝(ma＋mb)v′
杆a动量的变化量等于它所受安培力的冲量，设杆a的速度从va到v′的运动时间为Δt′
由动量定理得′dB·Δt′＝ma(va－v′)，而q＝′·Δt′
联立解得q＝ C.
(3)由能量守恒定律可知杆a、b中产生的焦耳热
Q＝－(mb＋ma)v′2
杆b中产生的焦耳热Q′＝Q
解得Q′＝ J.
答案：(1)5 s (2) C (3) J
针对训练
5．解析：以两导体棒为研究对象，在导体棒运动过程中，两导体棒所受的安培力大小相等，方向相反，且不受其他水平外力作用，在水平方向两导体棒组成的系统动量守恒，对系统有mv0＝2mv，解得两导体棒运动的末速度v＝v0，棒ad做变减速运动，棒cd做变加速运动，稳定时两导体棒的加速度均为零，一起向右做匀速运动，故A正确，B错误；ab棒和cd棒最后做匀速运动，棒与导轨组成的回路磁通量不变化，不会产生感应电流，故C正确，D错误．
答案：AC
随堂演练·达标自测
1．解析：A线圈不受安培力，所以最先落地，A错误，B正确；要想比较出B、C线圈的下落时间，先比较加速度，得出加速度a与导线横截面积S的关系，a＝＝g－，其中R＝ρ电，m＝ρV＝4lρS，所以有a＝g－，可知加速度a与l和S均无关，即B、C线圈同时落地，C错误，D正确．
答案：BD
2．解析：由功能关系可得，克服安培力做的功等于电路中产生的电能，A错误，B正确；根据动能定理可知，恒力F、安培力与摩擦力的合力做的功等于ab棒获得的动能，即WF－Wf－W安＝Ek，则恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和，C错误，D正确．
答案：BD
3．解析：当导体棒以速度v匀速运动时＝mg sin θ，解得v＝，故A错误；当导体棒以速度2v匀速运动时F＝，根据平衡条件有＝F＋mg sin θ，解得F＝mg sin θ，所以拉力的功率为P＝F·2v＝2mgv sin θ，故B正确；当导体棒速度达到时，根据牛顿第二定律有mg sin θ－＝ma，解得a＝，故C正确；在速度达到2v以后匀速运动的过程中，由能量守恒知R上产生的焦耳热等于牵引力做的功和重力势能减少的代数和，故D错误．
答案：BC
4．解析：(1)ab下落过程，mgh＝，
ab和cd动量守恒，mv1＝2mv2，
.
(2)整个过程中产生的焦耳热
Q＝＝mgh.
答案：(1) (2)mgh
5．解析：(1)导体棒cd受到的安培力Fcd＝IlB
导体棒cd受力平衡，则Fcd＝mg sin θ
联立以上两式代入数据，解得I＝1 A，方向由左手定则可知由d到c.
(2)导体棒ab与cd受到的安培力大小相等，即Fab＝Fcd对导体棒ab，由平衡条件有F＝mg sin θ＋IlB
代入数据解得F＝0.2 N.
(3)设在时间t内导体棒cd产生Q＝0.1 J的热量，由焦耳定律可知Q＝I2rt
设导体棒ab匀速运动的速度大小为v，则产生的感应电动势E＝Blv，由闭合电路欧姆定律知I＝
由运动学公式知，在时间t内，导体棒ab沿导轨的位移x＝vt，力F做的功W＝Fx
综合上述各式，代入数据解得W＝0.4 J.
答案：(1)1 A d→c (2)0.2 N (3)0.4 J
