安徽省合肥市合肥经济技术开发区重点学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含答案）

安徽省重点学校2023-2024学年九年级上学期12月月考
数学试题
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）抛物线的解析式y＝﹣2x2﹣1，则顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（0，﹣1） D．（0，1）
2．（4分）已知＝，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（4分）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
5．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2﹣2x﹣1 B．y＝x2+2x﹣1 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2
6．（4分）如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中y与x的部分对应值如下表，下列说法正确的是：（　　）
x ﹣1 0 1 3
y ﹣3 1 3 1
A．抛物线开口向上
B．其图象的对称轴为直线x＝1
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．方程ax2+bx+c＝0必有一个根大于4
8．（4分）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是（　　）
A．﹣1 B． C．1 D．
9．（4分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝
10．（4分）如图，点C、A、M、N在同一条直线l上．其中，△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，四边形MNPQ为正方形，且AC＝4，MN＝2，将等腰Rt△ABC沿直线l向右平移．若起始位置为点A与点M重合，终止位置为点C与点N重合．设点A平移的距离为x，两个图形重叠部分的面积为y，则y与x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝　 　度．
12．（5分）已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，A′B′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为 　 　．
13．（5分）如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，建立平面直角坐标系．当水面下降1m时，此时水面的宽度增加了　 　m（结果保留根号）．
14．（5分）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为　 　°；
（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为　 　．
三、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：4sin30°+|1﹣tan60°|﹣cos45°．
16．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若AB2＝BD BC．求证：△ABD是等腰三角形．
四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，tanB＝，AC＝5，求DE的长．
18．（8分）方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，解答问题：
（1）请按要求对△OAB作变换：以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△OA′B′．
（2）写出点A′的坐标 　 　；
（3）△OA′B'的面积为 　 　．
五、（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．
20．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过A（0，3），且对称轴是直线x＝2．
（1）求该函数解析式；
（2）在抛物线上找点P，使△PBC的面积是△ABC的面积的，求出点P的坐标．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．
（1）求k的值，并根据图象直接写出关于x的不等式ax+b＞的解集；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．
七、（本题满分12分）
22．（12分）襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y＝．
（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；
（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）求证：DM＝DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；
（3）在图②中，（2）的基础上，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B，若BG＝1，求EH的长．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．C； 2．B； 3．D； 4．D； 5．C； 6．D； 7．C； 8．A； 9．C； 10．D；二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
11．70； 12．1：3； 13．2﹣4； 14．30； ；
三、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分）
15．；
16．　解：∵AB2=BD BC，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BAD=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形．
四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分）
17．DE＝．； 18．（﹣6，﹣2）； 10；
五、（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分）
19．　解：如图，作AF⊥CD于F．设AE=x米．
∵斜坡AB的坡度为i=1：1，
∴BE=AE=x米．
在Rt△BDC中，∵∠C=90°，CD=96米，∠DBC=∠β，
∴BC==24（米），
∴EC=EB+BC=（x+24）米，
∴AF=EC=（x+24）米．
在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，∠DAF=∠α，
∴DF=AF tanα=2（x+24）米，
∵DF=DC-CF=DC-AE=（96-x）米，
∴2（x+24）=96-x,解得x=16．
故山顶A的高度AE为16米．
20．(1)　函数解析式为y=x2-4x+3　　；(2) （2±，2）
六、（本题满分12分）
21．　解：（1）延长AD交x轴于F，由题意得AF⊥x轴，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF=4，DF=3，
∴OD=5，
∴AD=5，
∴点A坐标为（4，8），
∴k=xy=4×8=32，
由图象得解集：x＞4；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，
使得点D落在函数y＝(x＞0)的图象D'点处，
∴点D'的坐标为（4+m,3），
∵点D'在y＝的图象上，
∴3＝，
解得：m＝，
∴0≤m≤．
七、（本题满分12分）
22．　解：（1）当40≤x＜60时，W=（x-30）（-2x+140）=-2x2+200x-4200，
当60≤x≤70时，W=（x-30）（-x+80）=-x2+110x-2400；
综上，W=
2x2+200x 4200(40≤x＜60) x2+110x 2400(60≤x≤70)
（2）当40≤x＜60时，W=-2x2+200x-4200=-2（x-50）2+800，
∴当x=50时，W取得最大值，最大值为800；
当60≤x≤70时，W=-x2+110x-2400=-（x-55）2+625，
∴当x＞55时，W随x的增大而减小，
∴当x=60时，W取得最大值，最大值为：-（60-55）2+625=600，
∵800＞600，
∴当x=50时，W取得最大值800，
答：该产品的售价x为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元；
（3）当40≤x＜60时，由W≥750得：-2（x-50）2+800≥750，
解得：45≤x≤55，
当60≤x≤70时，W的最大值为600＜750，
∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55．
八、（本题满分14分）
23．（1）； （1）；（3）1；