福建省福州市仓山区2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023高二上·仓山期中）直线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．不存在
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：由直线可知直线垂直于x轴，
又由直线的倾斜角的取值范围为，
所以直线的倾斜角为。
故答案为：.
【分析】利用直线的方程得出直线垂直于x轴，进而结合直线倾斜角的取值范围得出直线的倾斜角。
2．（2023高二上·仓山期中）方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：因为方程表示一个圆，
所以，所以
则的取值范围是。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合二元二次方程判断圆的方法，进而求出实数m的取值范围。
3．（2023高二上·仓山期中）在正四面体中，是的中心，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在正四面体中，是的中心，
所以，所以所以
因为，所以PA=PB=AB=2，
所以，
所以，
，
所以。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合正四面体的结构特征和正三角形的中心的性质，得出线面垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，再由两向量垂直数量积为0的等价关系，勾股定理、三角形法则以及数量积的运算法则，从而得出的值。
4．（2023高二上·仓山期中）在下列条件中，能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：由向量共面定理，则，若A，B，C三点不共线，则M，A，B，C四点共面的充要条件是：x+y+z=1，对于A，B，D三个选项中x+y+z都不为1，所以选项A，B，D中四点都不共面，
对于C，因为，所以，则
所以，满足x+y+z=1，所以M，A，B，C四点共面。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合向量共面定理，从而判断出四点共面的充要条件，再结合四点共面的充要条件，进而找出能使空间中的四点M，A，B，C共面的选项。
5．（2023高二上·仓山期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（ ）
A． B． CD． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：在“阳马”中，平面，则以A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
因为，设AB=1，则
所以
设平面的法向量为
则，所以令z=1，所以
设直线与面所成角为，所以直线与面所成角的正弦值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，进而得出直线与面所成角的正弦值。
6．（2023高二上·仓山期中）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：不论实数取何值时，直线都过定点，
则所以
则，所以，则定点，
因为直线关于点的对称的直线方程与直线平行，
所以设所求直线为2x-y+c=0，
由对称性得出点M到直线的距离与到直线2x-y+c=0的距离相等，
所以，所以c=3（舍）或c=-3，
则直线关于点的对称直线方程为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合变形的方法，从而解方程组得出直线恒过的定点坐标，再利用直线关于点对称的直线求解方法，由两直线平行斜率相等和点到直线的距离相等，再结合点到直线的距离公式得出所求直线方程。
7．（2023高二上·仓山期中）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：在直四棱柱中，，，，
所以两两互相垂直，以A为原点，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设
则
所以
设平面AEF的一个法向量为
则，所以，
令z=1，所以x=-m，y=-n，则
显然为平面ABC的一个法向量，
因为平面与平面所成角的大小为，
所以
所以所以，
所以所以当n=0时，m取得最大值，则线段的长的最大值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合直四棱柱结构特征得出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角的平面角的余弦值，进而得出m关于n的函数关系式，再利用二次函数求最值的方法得出m的最大值，从而得出线段的长的最大值。
8．（2023高二上·仓山期中）已知圆，直线，若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：已知圆，化为圆的标准方程为，
所以圆心C(2，2)，半径r为，
由圆心C到直线的距离为：，
由圆上有四个不同的点到直线的距离为，所以，
则的取值范围为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合转化法，将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而得出圆心坐标和半径长，再由点到直线的距离公式金额和几何法，最后解绝对值不等式求出实数c的取值范围。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023高二上·仓山期中）在空间直角坐标系中，向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
，所以A对；
因为m=-4，所以，
因为，所以，所以B对；
因为m=1，所以，所以，所以C错；
因为m=2，所以，所以，所以，所以D对。
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合m的值和向量的模的坐标表示、向量共线的坐标表示、向量减法的坐标表示、数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而找出结论正确的选项。
10．（2023高二上·仓山期中）下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过，两点的所有直线，其方程均可写为
D．已知，，若直线：与线段有公共点，则
【答案】A,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的倾斜角；直线的斜率；直线的两点式方程
【解析】【解答】解：对于A，由a=-1，则直线的斜率为1，直线的斜率为-1，因为两直线的斜率之积等于-1，进而判断出两直线互相垂直，满足充分性；
因为直线与直线互相垂直，所以两直线斜率之积等于-1，进而得出解得a=0或a=-1，不满足必要性；
所以“”不是“直线与直线互相垂直”的充要条件，所以A错；
对于B，由直线得出：，
所以直线的斜率则，又因为直线的倾斜角
所以直线的倾斜角的取值范围是，所以B对；
对于C，当时，直线的方程不能写成，即平行或重合坐标轴的直线不能写成，所以C错；
对于D，由直线l转化为直线l：(x+1)k+(y-2)=0，所以直线l恒过定点C(-1，2)，
因为结合图象可知，
所以，所以D错。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出选项A；利用直线的斜率与倾斜角发关系式和倾斜角的取值范围，进而判断出选项B；利用两点式适用范围判断出选项C；利用两点求斜率公式和变形求直线恒过的定点的方法，从而结合直线和线段的图象，进而由正切和的图象的单调性，最后求出直线的斜率的取值范围，从而判断出选项D。
11．（2023高二上·仓山期中）点是直线：上的一个动点，A，B是圆：上的两个动点，则（ ）
A．点到直线的距离大于
B．点到直线的距离小于
C．存在点P，A，B，使得
D．若直线PA，PB均与圆相切，则直线AB过定点
【答案】B,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：圆：的圆心O(0，0)到直线：的距离为，
所以点A到直线l的距离的取值范围为，而
所以点A到直线l的距离小于，但不一定大于，所以A错，B对；
如图所示：
当直线PA，PB均为圆O相切，且时，最大，此时
所以所以所以
所以不存在点P，A，B，使得，所以C错；
设点是以线段PO为直径的圆上的两点，
所以圆的标准方程为，又因为A，B在圆：上，所以联立两圆方程得出弦AB所在的直线AB的方程为ax+(3-a)y=1，所以直线AB过定点，所以D对。
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式和几何法得出圆上点A到直线点到距离的取值范围，进而判断出选项A和选项B，利用已知条件结合直线与圆相切位置关系判断方法和几何法得出的最大值，再利用几何法和正弦函数的定义以及正弦函数的单调性，从而得出的取值范围，进而判断出选项C，利用直线与圆相切位置关系和两圆公共弦所在直线求解方法和直线恒过定点求解方法，进而判断出选项D。
12．（2023高二上·仓山期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形．底面，，点是棱PB上一点（不包括端点）．F是平面内一点，则（ ）
A．存在点，使平面
B．存在点，使平面
C．的最小值为
D．以为球心，半径为1的球与四棱锥的四个侧面的交线长为
【答案】B,D
【知识点】棱锥的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，过E作，且连接DG，
因为点E是棱PB上的一点（不包括端点），所以
又因为且AD=BC，，
所以且
所以AE的延长线与DG的延长线必定相交于某一点，又因为
所以AE与平面PCD相交，所以一定不存在点E，使得平面，所以A错；
对于B，因为所以PA在底面ABCD内的射影为AD，
又因为底面ABCD是正方形，所以
根据三垂线定理可得所以为直角三角形，
所以斜边PB上必定存在唯一点E，使得
因为所以PB在底面ABCD的射影为BD，
又因为底面ABCD为正方形，所以
根据三垂线定理可得又因为且
所以平面，所以B对；
对于C，由选项B可知同理可得
又因为底面ABCD是正方形，所以又因为所以
又因为所以将绕PB展开到平面PBC，
如图：
又易知，AB=BC=1，PA=PC=2，
设过A作垂足为F，且
又因为
所以所以此时AE+EF=AF最小，又易知
又因为所以的最小值为，所以C错；
对于D，在侧面PAD内，球的交线为图中的，所以AD=ID=JD=R=1，
又易知所以为正三角形，所以
又因为所以
又因为R=1，所以弧长为，即在侧面PAD内，球的交线，
由对称性同理可得在侧面PCD内，球的交线长为，过D作垂足为H，易知，
，又由选项A易知所以
又因为球心D到球在侧面PAB交线上的点的距离为R=1，所以球在侧面PAB内交线上的点到H的距离为
，由图可知，球在侧面PAB内交线是以H为圆心，半径的半圆，
所以球在侧面PAB内交线，
由对称性同理可得在侧面PBC内，球的交线长为，
所以以D为球心，半径为1的球与四棱锥P-ABCD的四个侧面的交线长为
所以D对。
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，从而判断出选项A和选项B，利用已知条件化空间为平面，再结合面面垂直的性质定理和点到平面距离最短，进而得出的最小值，从而判断出选项C，利用已知条件和对称性以及面面垂直的性质定理，从而由勾股定理和弧长公式得出以为球心，半径为1的球与四棱锥的四个侧面的交线长，进而判断出选项D。
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
13．（2023高二上·仓山期中）若直线与圆相切，则 ．
【答案】2
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆C：，所以圆心半径，
又因为直线与圆相切，
则圆心C到直线的距离等于半径，所以，
所以2
故答案为：2.
【分析】利用已知条件结合直线与圆相切位置关系判断方法，再结合点到直线的距离公式，从而解方程得出实数a的值。
14．（2023高二上·仓山期中）已知点，，，则点到直线的距离是 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：已知点，，，
所以
则
则点到直线的距离是。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示和单位向量坐标求解方法，从而由数量积的坐标表示和勾股定理得出点到直线的距离。
15．（2023高二上·仓山期中）在平面中，，，，则实数 ．
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在平面中，，，，
则，，共面，由向量共面定理，则存在实数x，y，使得，
所以，
所以a=-x-y(1)，-2=x+3y(2)，0=-x+4y(3)，
（1）（2）（3）联立得出
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合向量共面定理，再由向量的坐标运算，从而解方程组得出a的值。
16．（2023高二上·仓山期中）若直线和直线都过点，则过点和点，的直线方程为 ．
【答案】
【知识点】直线的两点式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：若直线和直线都过点，
则的交点为，所以，
由（1）和（2）可知过点和点的直线方程为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合两直线求交点坐标的方法和代入法，进而得出过点和点，的直线方程。
17．（2022高二上·湖北月考）已知实数满足，则的最大值为 .
【答案】1
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由“”和“”代入方程仍成立，所以曲线关于x轴和y轴对称，故只需考虑，的情形，
此时方程为，即，所以的轨迹如下图，
，表示点和连线的斜率，由图可知，当曲线第四象限部分半圆（圆心为，半径为）相切时，斜率最大.
设：，则，解得或（舍去），
所以的最大值为1.
故答案为：1.
【分析】利用已知条件结合图形的对称性，再结合点到直线的距离公式和圆的对称性，再结合两点求斜率公式，进而结合几何法得出的最大值。
18．（2023高二上·仓山期中）关于的不等式恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：关于的不等式恒成立，
因为，所以，所以在上恒成立，
令所以表示x轴上方的半圆，圆心为坐标原点，半径为2，
则表示半圆上的点到直线kx-y-3=0的距离不大于3，且直线恒过点（0，-3），
设坐标原点到直线的距离为d，则半圆上的点到直线kx-y-3=0的最长距离为d+r=d+2，
所以所以所以，
则的取值范围。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合直线和圆的位置关系，再结合点到直线的距离公式和几何法得出半圆上的点到直线的最大距离，再由不等式恒成立问题求解方法，进而解一元二次不等式求出实数k的取值范围。
四、解答题：本题共5小题，共60分．
19．（2023高二上·仓山期中）已知直线的方程为．
（1）若直线与平行，且过点，求直线的方程；
（2）若直线与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．
【答案】（1）解：已知直线的方程为，
由直线与平行，所以直线的斜率为-2，
又因为直线过点，所以直线的方程为y-3=-2(x+1)，即直线的方程为.
（2）解：因为直线的方程为，又因为直线与垂直，所以直线的斜率为，
设直线的斜截式方程为
又因为直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，所以直线与两坐标轴的交点为
由三角形的面积为所以
又因为所以b=2，所以直线的方程为.
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而得出所求直线的斜率，再结合点斜式和转化法得出所求直线的方程。
（2）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出所求直线的斜率，再结合三角形的面积公式得出直线的纵截距，从而得出所求直线的方程。
20．（2023高二上·仓山期中）如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）解：证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取
则，所以平面．
（2）解：由（1）知，
设平面ABD的一个法向量为，则，取，
所以点到平面ABD的距离为；
（3）解：由（1）知，，，
设平面BCD的一个法向量为，则，取，
设平面BCD与平面ABD的夹角为，则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，进而得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合向量共线定理，进而证出平面。
（2）由（1）知，的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再由数量积求出点到平面ABD的距离。
（3）由（1）知，的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面的夹角的余弦值。
21．（2023高二上·仓山期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，圆N过原点O及点且与圆C外切．
（1）求圆N的标准方程；
（2）若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程．
【答案】（1）解：由题意知，圆的圆心在直线上，
设，半径为，
因为圆与圆外切，且圆的圆心，半径为，
所以，即①
又，即②，
由①得，，代入②得，，
解得或（舍），所以，
故所求圆的标准方程为．
（2）解：当的斜率不存在时，的方程为：，与圆相离，不符合题意．
当的斜率存在时，设为，故的方程为，
则圆心到直线的距离为：；
圆心到直线的距离为：，
因为圆的弦长一半与圆心到弦的距离的平方和等于圆的半径的平方，
又被两圆截得的弦长相等，所以，
即，解得或，
故直线的方程为或．
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用代入法和圆与圆外切位置关系判断方法得出所求圆的标准方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合直线与圆的位置关系判断方法和弦长公式，进而得出直线l的方程。
22．（2023高二上·仓山期中）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，E是PA的中点．
（1）平面BDE；
（2）若，线段PC上是否存在一点，使平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为平面ABCD，平面ABCD，所以．
因为ABCD为正方形，所以．
又，且PA，平面ADP，所以平面ADP．
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，得．
由题意得．因为平面BDE，所以平面BDE．
（2）解：存在，理由如下：因为，所以，
令，所以，
，，
所以，解得，则，
故
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，所以得出点的坐标，进而得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而证出平面BDE。
（2）利用已知条件结合线面垂直的判定定理，再利用向量共线的坐标表示得出点的坐标，再结合向量的坐标表示和平面的法向量得出满足要求的点F的坐标，再由空间两点距离公式，进而得出PF的长度。
23．（2023高二上·仓山期中）在平面直角坐标系xOy中，已知，，以原点O为圆心的圆与直线AB相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l：与圆O相交于M，N两点，且，求c的值；
（3）在直线AO上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由于，，则线段AB与x轴平行，且与圆O相切．
所以圆O的圆心为，半径为1，所以圆O的方程为．
（2）解：由于，所以，，
由于三角形OMN是等腰直角三角形，所以O到直线MN的距离为，
所以．
（3）解：直线AO的方程为，假设存在符合题意的点，
设，则①，
由于P的任意性，不妨设或，
代入①得，，解得或（舍去），
所以，（负根舍去），
将，代入①得，
整理得，则P在圆O上．
所以，这样的Q点是存在的，坐标为，此时．
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点求斜率公式和两直线平行斜率相等，判断出AB与x轴平行，再利用直线与圆相切位置关系的判断方法，进而得出圆心坐标和半径长，从而得出圆的标准方程。
（2）利用已知条件结合勾股定理得出MN的长，再利用等腰三角形的结构特征结合点到直线的距离公式得出c的值。
（3）利用已知条件结合两点距离公式和点与圆的位置关系，进而判断出求出满足要求的点Q的坐标及的值。
1 / 1福建省福州市仓山区2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023高二上·仓山期中）直线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．不存在
2．（2023高二上·仓山期中）方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·仓山期中）在正四面体中，是的中心，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·仓山期中）在下列条件中，能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高二上·仓山期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（ ）
A． B． CD． C． D．
6．（2023高二上·仓山期中）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·仓山期中）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·仓山期中）已知圆，直线，若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023高二上·仓山期中）在空间直角坐标系中，向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2023高二上·仓山期中）下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过，两点的所有直线，其方程均可写为
D．已知，，若直线：与线段有公共点，则
11．（2023高二上·仓山期中）点是直线：上的一个动点，A，B是圆：上的两个动点，则（ ）
A．点到直线的距离大于
B．点到直线的距离小于
C．存在点P，A，B，使得
D．若直线PA，PB均与圆相切，则直线AB过定点
12．（2023高二上·仓山期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形．底面，，点是棱PB上一点（不包括端点）．F是平面内一点，则（ ）
A．存在点，使平面
B．存在点，使平面
C．的最小值为
D．以为球心，半径为1的球与四棱锥的四个侧面的交线长为
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
13．（2023高二上·仓山期中）若直线与圆相切，则 ．
14．（2023高二上·仓山期中）已知点，，，则点到直线的距离是 ．
15．（2023高二上·仓山期中）在平面中，，，，则实数 ．
16．（2023高二上·仓山期中）若直线和直线都过点，则过点和点，的直线方程为 ．
17．（2022高二上·湖北月考）已知实数满足，则的最大值为 .
18．（2023高二上·仓山期中）关于的不等式恒成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分．
19．（2023高二上·仓山期中）已知直线的方程为．
（1）若直线与平行，且过点，求直线的方程；
（2）若直线与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．
20．（2023高二上·仓山期中）如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）与平面的夹角的余弦值．
21．（2023高二上·仓山期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，圆N过原点O及点且与圆C外切．
（1）求圆N的标准方程；
（2）若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程．
22．（2023高二上·仓山期中）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，E是PA的中点．
（1）平面BDE；
（2）若，线段PC上是否存在一点，使平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由．
23．（2023高二上·仓山期中）在平面直角坐标系xOy中，已知，，以原点O为圆心的圆与直线AB相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l：与圆O相交于M，N两点，且，求c的值；
（3）在直线AO上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：由直线可知直线垂直于x轴，
又由直线的倾斜角的取值范围为，
所以直线的倾斜角为。
故答案为：.
【分析】利用直线的方程得出直线垂直于x轴，进而结合直线倾斜角的取值范围得出直线的倾斜角。
2．【答案】A
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：因为方程表示一个圆，
所以，所以
则的取值范围是。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合二元二次方程判断圆的方法，进而求出实数m的取值范围。
3．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在正四面体中，是的中心，
所以，所以所以
因为，所以PA=PB=AB=2，
所以，
所以，
，
所以。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合正四面体的结构特征和正三角形的中心的性质，得出线面垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，再由两向量垂直数量积为0的等价关系，勾股定理、三角形法则以及数量积的运算法则，从而得出的值。
4．【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：由向量共面定理，则，若A，B，C三点不共线，则M，A，B，C四点共面的充要条件是：x+y+z=1，对于A，B，D三个选项中x+y+z都不为1，所以选项A，B，D中四点都不共面，
对于C，因为，所以，则
所以，满足x+y+z=1，所以M，A，B，C四点共面。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合向量共面定理，从而判断出四点共面的充要条件，再结合四点共面的充要条件，进而找出能使空间中的四点M，A，B，C共面的选项。
5．【答案】A
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：在“阳马”中，平面，则以A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
因为，设AB=1，则
所以
设平面的法向量为
则，所以令z=1，所以
设直线与面所成角为，所以直线与面所成角的正弦值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，进而得出直线与面所成角的正弦值。
6．【答案】D
【知识点】恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：不论实数取何值时，直线都过定点，
则所以
则，所以，则定点，
因为直线关于点的对称的直线方程与直线平行，
所以设所求直线为2x-y+c=0，
由对称性得出点M到直线的距离与到直线2x-y+c=0的距离相等，
所以，所以c=3（舍）或c=-3，
则直线关于点的对称直线方程为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合变形的方法，从而解方程组得出直线恒过的定点坐标，再利用直线关于点对称的直线求解方法，由两直线平行斜率相等和点到直线的距离相等，再结合点到直线的距离公式得出所求直线方程。
7．【答案】B
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：在直四棱柱中，，，，
所以两两互相垂直，以A为原点，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设
则
所以
设平面AEF的一个法向量为
则，所以，
令z=1，所以x=-m，y=-n，则
显然为平面ABC的一个法向量，
因为平面与平面所成角的大小为，
所以
所以所以，
所以所以当n=0时，m取得最大值，则线段的长的最大值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合直四棱柱结构特征得出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角的平面角的余弦值，进而得出m关于n的函数关系式，再利用二次函数求最值的方法得出m的最大值，从而得出线段的长的最大值。
8．【答案】D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：已知圆，化为圆的标准方程为，
所以圆心C(2，2)，半径r为，
由圆心C到直线的距离为：，
由圆上有四个不同的点到直线的距离为，所以，
则的取值范围为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合转化法，将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而得出圆心坐标和半径长，再由点到直线的距离公式金额和几何法，最后解绝对值不等式求出实数c的取值范围。
9．【答案】A,B,D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
，所以A对；
因为m=-4，所以，
因为，所以，所以B对；
因为m=1，所以，所以，所以C错；
因为m=2，所以，所以，所以，所以D对。
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合m的值和向量的模的坐标表示、向量共线的坐标表示、向量减法的坐标表示、数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而找出结论正确的选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的倾斜角；直线的斜率；直线的两点式方程
【解析】【解答】解：对于A，由a=-1，则直线的斜率为1，直线的斜率为-1，因为两直线的斜率之积等于-1，进而判断出两直线互相垂直，满足充分性；
因为直线与直线互相垂直，所以两直线斜率之积等于-1，进而得出解得a=0或a=-1，不满足必要性；
所以“”不是“直线与直线互相垂直”的充要条件，所以A错；
对于B，由直线得出：，
所以直线的斜率则，又因为直线的倾斜角
所以直线的倾斜角的取值范围是，所以B对；
对于C，当时，直线的方程不能写成，即平行或重合坐标轴的直线不能写成，所以C错；
对于D，由直线l转化为直线l：(x+1)k+(y-2)=0，所以直线l恒过定点C(-1，2)，
因为结合图象可知，
所以，所以D错。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出选项A；利用直线的斜率与倾斜角发关系式和倾斜角的取值范围，进而判断出选项B；利用两点式适用范围判断出选项C；利用两点求斜率公式和变形求直线恒过的定点的方法，从而结合直线和线段的图象，进而由正切和的图象的单调性，最后求出直线的斜率的取值范围，从而判断出选项D。
11．【答案】B,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：圆：的圆心O(0，0)到直线：的距离为，
所以点A到直线l的距离的取值范围为，而
所以点A到直线l的距离小于，但不一定大于，所以A错，B对；
如图所示：
当直线PA，PB均为圆O相切，且时，最大，此时
所以所以所以
所以不存在点P，A，B，使得，所以C错；
设点是以线段PO为直径的圆上的两点，
所以圆的标准方程为，又因为A，B在圆：上，所以联立两圆方程得出弦AB所在的直线AB的方程为ax+(3-a)y=1，所以直线AB过定点，所以D对。
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式和几何法得出圆上点A到直线点到距离的取值范围，进而判断出选项A和选项B，利用已知条件结合直线与圆相切位置关系判断方法和几何法得出的最大值，再利用几何法和正弦函数的定义以及正弦函数的单调性，从而得出的取值范围，进而判断出选项C，利用直线与圆相切位置关系和两圆公共弦所在直线求解方法和直线恒过定点求解方法，进而判断出选项D。
12．【答案】B,D
【知识点】棱锥的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，过E作，且连接DG，
因为点E是棱PB上的一点（不包括端点），所以
又因为且AD=BC，，
所以且
所以AE的延长线与DG的延长线必定相交于某一点，又因为
所以AE与平面PCD相交，所以一定不存在点E，使得平面，所以A错；
对于B，因为所以PA在底面ABCD内的射影为AD，
又因为底面ABCD是正方形，所以
根据三垂线定理可得所以为直角三角形，
所以斜边PB上必定存在唯一点E，使得
因为所以PB在底面ABCD的射影为BD，
又因为底面ABCD为正方形，所以
根据三垂线定理可得又因为且
所以平面，所以B对；
对于C，由选项B可知同理可得
又因为底面ABCD是正方形，所以又因为所以
又因为所以将绕PB展开到平面PBC，
如图：
又易知，AB=BC=1，PA=PC=2，
设过A作垂足为F，且
又因为
所以所以此时AE+EF=AF最小，又易知
又因为所以的最小值为，所以C错；
对于D，在侧面PAD内，球的交线为图中的，所以AD=ID=JD=R=1，
又易知所以为正三角形，所以
又因为所以
又因为R=1，所以弧长为，即在侧面PAD内，球的交线，
由对称性同理可得在侧面PCD内，球的交线长为，过D作垂足为H，易知，
，又由选项A易知所以
又因为球心D到球在侧面PAB交线上的点的距离为R=1，所以球在侧面PAB内交线上的点到H的距离为
，由图可知，球在侧面PAB内交线是以H为圆心，半径的半圆，
所以球在侧面PAB内交线，
由对称性同理可得在侧面PBC内，球的交线长为，
所以以D为球心，半径为1的球与四棱锥P-ABCD的四个侧面的交线长为
所以D对。
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，从而判断出选项A和选项B，利用已知条件化空间为平面，再结合面面垂直的性质定理和点到平面距离最短，进而得出的最小值，从而判断出选项C，利用已知条件和对称性以及面面垂直的性质定理，从而由勾股定理和弧长公式得出以为球心，半径为1的球与四棱锥的四个侧面的交线长，进而判断出选项D。
13．【答案】2
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆C：，所以圆心半径，
又因为直线与圆相切，
则圆心C到直线的距离等于半径，所以，
所以2
故答案为：2.
【分析】利用已知条件结合直线与圆相切位置关系判断方法，再结合点到直线的距离公式，从而解方程得出实数a的值。
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：已知点，，，
所以
则
则点到直线的距离是。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示和单位向量坐标求解方法，从而由数量积的坐标表示和勾股定理得出点到直线的距离。
15．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在平面中，，，，
则，，共面，由向量共面定理，则存在实数x，y，使得，
所以，
所以a=-x-y(1)，-2=x+3y(2)，0=-x+4y(3)，
（1）（2）（3）联立得出
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合向量共面定理，再由向量的坐标运算，从而解方程组得出a的值。
16．【答案】
【知识点】直线的两点式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：若直线和直线都过点，
则的交点为，所以，
由（1）和（2）可知过点和点的直线方程为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合两直线求交点坐标的方法和代入法，进而得出过点和点，的直线方程。
17．【答案】1
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由“”和“”代入方程仍成立，所以曲线关于x轴和y轴对称，故只需考虑，的情形，
此时方程为，即，所以的轨迹如下图，
，表示点和连线的斜率，由图可知，当曲线第四象限部分半圆（圆心为，半径为）相切时，斜率最大.
设：，则，解得或（舍去），
所以的最大值为1.
故答案为：1.
【分析】利用已知条件结合图形的对称性，再结合点到直线的距离公式和圆的对称性，再结合两点求斜率公式，进而结合几何法得出的最大值。
18．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：关于的不等式恒成立，
因为，所以，所以在上恒成立，
令所以表示x轴上方的半圆，圆心为坐标原点，半径为2，
则表示半圆上的点到直线kx-y-3=0的距离不大于3，且直线恒过点（0，-3），
设坐标原点到直线的距离为d，则半圆上的点到直线kx-y-3=0的最长距离为d+r=d+2，
所以所以所以，
则的取值范围。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合直线和圆的位置关系，再结合点到直线的距离公式和几何法得出半圆上的点到直线的最大距离，再由不等式恒成立问题求解方法，进而解一元二次不等式求出实数k的取值范围。
19．【答案】（1）解：已知直线的方程为，
由直线与平行，所以直线的斜率为-2，
又因为直线过点，所以直线的方程为y-3=-2(x+1)，即直线的方程为.
（2）解：因为直线的方程为，又因为直线与垂直，所以直线的斜率为，
设直线的斜截式方程为
又因为直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，所以直线与两坐标轴的交点为
由三角形的面积为所以
又因为所以b=2，所以直线的方程为.
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而得出所求直线的斜率，再结合点斜式和转化法得出所求直线的方程。
（2）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出所求直线的斜率，再结合三角形的面积公式得出直线的纵截距，从而得出所求直线的方程。
20．【答案】（1）解：证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取
则，所以平面．
（2）解：由（1）知，
设平面ABD的一个法向量为，则，取，
所以点到平面ABD的距离为；
（3）解：由（1）知，，，
设平面BCD的一个法向量为，则，取，
设平面BCD与平面ABD的夹角为，则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，进而得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合向量共线定理，进而证出平面。
（2）由（1）知，的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再由数量积求出点到平面ABD的距离。
（3）由（1）知，的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面的夹角的余弦值。
21．【答案】（1）解：由题意知，圆的圆心在直线上，
设，半径为，
因为圆与圆外切，且圆的圆心，半径为，
所以，即①
又，即②，
由①得，，代入②得，，
解得或（舍），所以，
故所求圆的标准方程为．
（2）解：当的斜率不存在时，的方程为：，与圆相离，不符合题意．
当的斜率存在时，设为，故的方程为，
则圆心到直线的距离为：；
圆心到直线的距离为：，
因为圆的弦长一半与圆心到弦的距离的平方和等于圆的半径的平方，
又被两圆截得的弦长相等，所以，
即，解得或，
故直线的方程为或．
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用代入法和圆与圆外切位置关系判断方法得出所求圆的标准方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合直线与圆的位置关系判断方法和弦长公式，进而得出直线l的方程。
22．【答案】（1）解：因为平面ABCD，平面ABCD，所以．
因为ABCD为正方形，所以．
又，且PA，平面ADP，所以平面ADP．
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，得．
由题意得．因为平面BDE，所以平面BDE．
（2）解：存在，理由如下：因为，所以，
令，所以，
，，
所以，解得，则，
故
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，所以得出点的坐标，进而得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而证出平面BDE。
（2）利用已知条件结合线面垂直的判定定理，再利用向量共线的坐标表示得出点的坐标，再结合向量的坐标表示和平面的法向量得出满足要求的点F的坐标，再由空间两点距离公式，进而得出PF的长度。
23．【答案】（1）解：由于，，则线段AB与x轴平行，且与圆O相切．
所以圆O的圆心为，半径为1，所以圆O的方程为．
（2）解：由于，所以，，
由于三角形OMN是等腰直角三角形，所以O到直线MN的距离为，
所以．
（3）解：直线AO的方程为，假设存在符合题意的点，
设，则①，
由于P的任意性，不妨设或，
代入①得，，解得或（舍去），
所以，（负根舍去），
将，代入①得，
整理得，则P在圆O上．
所以，这样的Q点是存在的，坐标为，此时．
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点求斜率公式和两直线平行斜率相等，判断出AB与x轴平行，再利用直线与圆相切位置关系的判断方法，进而得出圆心坐标和半径长，从而得出圆的标准方程。
（2）利用已知条件结合勾股定理得出MN的长，再利用等腰三角形的结构特征结合点到直线的距离公式得出c的值。
（3）利用已知条件结合两点距离公式和点与圆的位置关系，进而判断出求出满足要求的点Q的坐标及的值。
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