浙江省绍兴市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高二上·绍兴期中）已知直线，则该直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：已知直线，则该直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，
因为，所以，
又因为，所以该直线的倾斜角是。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而由直线的倾斜角的取值范围得出直线的倾斜角。
2．（2023高二上·绍兴期中）圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由圆得出圆心半径为3，由圆得出圆心半径为，
因为，
又因为，所以，
所以圆与圆的位置关系为相交。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合圆心距和半径之和与半径之差的关系，进而判断出圆与圆的位置关系。
3．（2023高二上·绍兴期中）过两点，的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的两点式方程
【解析】【解答】解：过两点，的直线方程为，
所以所求直线的一般式方程为：。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合两点式得出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。
4．（2023高二上·绍兴期中）平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为平面的一个法向量，点在内，又因为，
所以，
则点到平面的距离为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求点到平面的距离公式，进而得出点到平面的距离。
5．（2023高二上·绍兴期中）“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆C：的圆心C(0，0)，半径为1，
又因为直线与圆相交，
所以圆心C(0，0)到直线的距离小于半径，
所以，所以，
所以“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合直线与圆位置关系判断方法，从而由充分条件和必要条件的判断方法，进而找出正确选项。
6．（2023高二上·绍兴期中）已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，
因为椭圆：的上、下顶点分别为(0，4)，(0，-4)，
所以双曲线的焦点分别为(0，4)，(0，-4)，所以c=4，所以双曲线的焦点在y轴，
设双曲线的标准方程为，所以
因为椭圆：中且焦点在y轴，
所以又因为，所以焦点分别为(0，-3)，(0，3)，
所以，
（1）和（2）联立得出，
则双曲线的标准方程为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合椭圆的上、下顶点得出双曲线的焦点坐标，从而确定焦点的位置，进而设出双曲线的标准方程，再结合椭圆的焦点和代入法以及a，b，c的关系式，进而解方程组得出a，b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
7．（2020高二下·宜春期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，P为双曲线右支上一点，且满足 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得 ， ，
即有 ，
可得 ， ，
P为双曲线右支上一点，
可得 ，
又 ，
可得 ，
则 的周长为 ，
故答案为：C
【分析】 由双曲线的方程可得b，c，运用双曲线的离心率公式，解方程可得a，c，运用双曲线的定义和三角形的周长，可得所求值．
8．（2023高二上·绍兴期中）已知椭圆的左 右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：椭圆的左 右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，若为正三角形，所以，AB垂直于x轴，且，则设正三角形边长为m，因为
又因为三角形的周长为，
所以4a=3m，所以，，
在三角形中，
所以，所以，又因为，所以该椭圆的离心率。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正三角形的结构特征、椭圆的定义和正三角形与椭圆的位置关系以及对称性，进而由余弦定理和椭圆的离心率公式以及离心率的取值范围，从而得出椭圆的离心率的值。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高二上·绍兴期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．在轴上的截距为 B．过定点
C．若，则或 D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：已知直线，直线，
对于A，当a-1=0时，则a=1，所以直线为直线x=-1，
所以直线在轴上的截距为；
当时，则
将直线转化为直线的截距式方程为直线，
所以直线在轴上的截距为，综上所述，直线在轴上的截距为，所以A对；
对于B，将直线转化为直线，所以，
所以所以直线过定点，所以B对；
对于C，因为，所以，所以，则或，
当a=2时，直线和直线重合，所以a=2舍去，所以a=-1，所以C错；
对于D，因为，所以，所以，所以D对。
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合直线方程的转化法、直线的点斜式方程求定点的方法、两直线平行与斜率和纵截距之间的关系、两直线垂直与斜率之间的关系，从而找出结论正确的选项。
10．（2023高二上·绍兴期中） 关于曲线C：x2+y2-2mx+2y+2m=0，下列说法正确的是（ ）
A．若曲线C表示圆，则m≠1
B．若m=1，曲线C表示两条直线
C．若m=2，过点(1，1)与曲线C相切的直线有两条
D．若m=3，则直线x+y=0被曲线C截得弦长等于
【答案】A,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；二元二次方程表示圆的条件；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：关于曲线C：x2+y2-2mx+2y+2m=0，
对于A，若曲线C表示圆，则，
所以，则m≠1，所以A对；
对于B，当m=1时，曲线C：x2+y2-2x+2y+2=0为，
所以，所以曲线C表示点C(1，-1)，所以B错；
对于C，当m=2时，曲线C：x2+y2-2mx+2y+2m=0为x2+y2-4x+2y+4=0，
所以曲线C：，所以曲线C为圆心为C(2，-1)，半径为1的圆，
当直线的斜率存在时，
设过点(1，1)的直线为：，所以直线的一般式方程为：kx-y+1-k=0，
若直线与曲线C相切，则圆心C到直线的距离等于半径，
所以圆心C到直线的距离，
所以，则，所以，
当直线的斜率不存在时，设过点(1，1)的直线为：x=1，
所以直线的一般式方程为：x-1=0，
所以圆心C到直线的距离，所以此时直线与圆相切，
综上所述，直线与曲线C相切的直线有两条，所以C对；
对于D， 当m=3时，曲线C：x2+y2-2mx+2y+2m=0为x2+y2-6x+2y+6=0，
则曲线C：，所以曲线C为圆心为C(3，-1)，半径r为2的圆，
所以点C(3，-1)到直线x+y=0的距离为，
由弦长公式，得出直线x+y=0被曲线C截得弦长等于，所以D对。
故答案为：ACD.
【分析】利用圆的判断方法结合曲线的方程，从而得出m的取值范围，进而判断出选项A；利用m的值得出曲线C的方程，进而得出曲线C表示点，从而判断出选项B；利用m的值得出曲线C的方程，再利用分类讨论的方法设出直线的方程，再结合点到直线的距离公式和直线与圆相切位置关系判断方法，进而得出过点(1，1)与曲线C相切的直线的条数，从而判断出选项C；利用m的值得出曲线C的方程，再结合点到直线的距离公式和弦长公式得出直线x+y=0被曲线C截得弦长，进而判断出选项D，从而找出说法正确的选项。
11．（2023高二上·绍兴期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．离心率e＝
B．
C．面积的最大值为
D．直线与以线段为直径的圆相切
【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，
所以又因为所以
因为，又因为所以，所以，，
对于A，椭圆的离心率，所以A错；
对于B，由椭圆的定义可知：，所以B对；
对于C， 的面积为，
要使面积，则最大，所以所以面积的最大值为，所以C对；
对于D，以线段为直径的圆的圆心，半径，
所以以线段为直径的圆C为，
由圆心到直线的距离为
又因为d=r=1，所以直线与以线段为直径的圆相切，所以D对。
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程求出a，b的值，再结合勾股定理得出c的值，从而得出焦点坐标，再结合椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率；利用椭圆的定义得出的值；利用三角形的面积公式和几何法得出三角形面积的最大值；利用中点坐标公式和两点距离公式得出圆的标准方程，进而得出圆心坐标和半径长，再结合点到直线的距离公式和直线与圆位置关系判断方法，进而判断出直线与以线段为直径的圆的位置关系，从而找出结论正确的选项。
12．（2023高二上·绍兴期中）矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论正确的有（ ）
A．四面体的体积为
B．点与之间的距离为
C．异面直线与所成角为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】A,C,D
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：分别作垂足为E，F，
在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，则
由已知可得，因为
所以，
所以，所以B错；
因为AB=CD=2，所以所以同理
又因为，则
所以四面体ABCD的体积为所以A对；
由题意可得，则
则所以，
所以，异面直线与所成角为，所以C对；
设D到平面ABC为d，则
所以所以，
设直线与平面所成角为，所以
所以直线与平面所成角的正弦值为，所以D对。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合矩形的结构特征，再结合勾股定理证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，再由空间向量基本定理和向量的模的平方等于向量的平方，从而得出BD的长；再由三棱锥的体积公式得出四面体的体积；利用三角形法则和数量积的运算法则以及数量积求向量夹角公式，进而得出异面直线与所成角；利用等体积法和三棱锥的体积公式，进而得出点D到平面ABC的距离，再结合正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二上·绍兴期中） 已知，是椭圆：的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为 .
【答案】9
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解： 已知，是椭圆：的两个焦点，点在椭圆上，
所以又因为所以
则，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为9。
故答案为：9.
【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程得出a，b的值，再结合均值不等式求最值的方法和椭圆的定义，进而得出的最大值.
14．（2023高二上·绍兴期中）在平面直角坐标系内，点关于直线对称的点坐标为 .
【答案】（-2，2）
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系内，因为点关于直线对称点为，
所以设B(a，b)，
由中点坐标公式和代入法得出，所以a-b+4=0(1)，
由两直线垂直斜率之积等于-1，所以所以a+b=0（2），
（1）（2）联立得出，所以点B的坐标为（-2，2）。
故答案为：（-2，2）.
【分析】利用已知条件结合中点坐标公式和代入法以及两直线垂直斜率之积等于-1，从而建立关于点B的坐标的方程组，再解方程组得出点B的坐标。
15．（2023高二上·绍兴期中）已知，，，若、、、四点共面，则 ．
【答案】5
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：已知，，，若、、、四点共面，
则，所以，所以，
故答案为：5.
【分析】利用已知条件结合四点共面判断方法，从而由平面向量基本定理，进而由向量的坐标运算得出的值。
16．（2023高二上·绍兴期中）若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则 .
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用
【解析】 【解答】解：由，
当t=0时，则需要a=b=0与矛盾，所以t=0（舍）；
当时，由得出点(a，b)到直线x+y+1=0的距离为
由得出点(a，b)在圆上，
因为对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式
等价于圆上恰有三个点满足到直线x+y+1=0的距离为，
则需要圆的半径，
过O(0，0)作垂直于直线x+y+1=0于H，交圆于点P，
则
则要使圆上恰有三个点满足到直线x+y+1=0的距离为，
则，所以所以。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式和点与圆的位置关系，再结合几何法得出满足要求的实数t的值。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二上·绍兴期中）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且.
（1）求直线和直线的交点坐标；
（2）已知不过原点的直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
【答案】（1）解：由题意知，∵，∴．
又因为直线在轴上的截距为，所以直线过点（，0）.
所以直线的方程为，即：.
联立，得，即交点为（2，1）.
（2）解：因直线不过原点，设其在轴上的截距为，方程为，
因为过（2，1），所以，解得，
所以直线的方程.
【知识点】直线的截距式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1得出直线的斜率，再结合直线的截距式方程得出直线的方程，再联立直线和直线的方程得出两直线的交点坐标.
（2）利用联立两直线方程求交点的方法得出交点坐标，再结合代入法和已知条件得出直线的截距，从而得出直线的截距式方程，再转化为直线的一般式方程.
18．（2023高二上·绍兴期中）已知空间向量，.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若与所成角是锐角，求实数的范围．
【答案】（1）解：由已知可得，．
因为与共线，所以，解得．
（2）解：由（1）知，．
所以，∴．
又当时，与共线，
所以实数的范围为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出实数k的值。
（2）利用已知条件转化为数量积大于0 ，注意剔除共线的情况，进而得出实数k的取值范围。
19．（2023高二上·绍兴期中）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.
【答案】（1）解：设，由，得，
化简得，
所以动点P的轨迹C的方程为.
（2）解：由（1）知轨迹C：表示圆心为，半径为2的圆．
当直线l的斜率不存在时，方程为，此时直线l与圆C相切．
当直线l的斜率存在时，设，即，
于是有，解得，因此直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为或．
【知识点】圆的切线方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式得出动点P的轨迹C的方程。
（2）由（1）得出点P的轨迹方程得出圆心坐标和半径长，再结合直线与圆相切位置关系判断方法，进而得出满足要求的直线l的方程。
20．（2023高二上·绍兴期中）如下图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD，又.
（1）求点到平面的距离；
（2）设，，，平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为，求BC的长．
【答案】（1）解：如图，在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，
，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
，所以，又，
所以．同理，又，，
所以及，点P到平面ABCD的距离为.
（2）解：如图所示，以A点为原点，分别以AD，AB， AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则B（0，1，0），D（2，0，0），P（0，0，2），
∴，，设，则
，．
设平面的法向量为，则
则，令，得．
同理可得平面的法向量为．
由题意知，解得，
所以BC的长为．
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，，再利用面面垂直的性质定理证出线面垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，从而得出点P到平面ABCD的距离.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出BC的长.
21．（2023高二上·绍兴期中）已知双曲线：（，）与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
【答案】（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为
（2）解：联立直线AB与双曲线C的方程，得，
经整理得，
设，，则AB的中点坐标为，
由韦达定理，，，
∴AB的中点坐标为，
又的中点在圆上，
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的渐近线方程和代入法，从而建立关于a，b的方程组，再解方程组得出a，b的值，从而得出双曲线C的标准方程。
（2）利用已知条件联立直线与双曲线方程，根据中点坐标公式和韦达定理可以写出用m表示的弦中点，将弦中点代入圆方程得出实数m的值。
22．（2023高二上·绍兴期中）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为．
（i）求的值；
（ii）若，求面积的取值范围．
【答案】（1）解：由于椭圆的离心率为，故．
又，所以，，，
所以椭圆C的方程为．
（2）解：（i）设与轴交点为D，由于直线交椭圆C于两点（在轴的两侧），故直线的的斜率不为0，直线l的方程为，联立，则，
则，
设，，则，，
又，
故．
同理 ．
（ii）因为，则，．
又直线交与轴不垂直可得，所以，即．
所以，．
于是，
，
整理得，解得．
因为在轴的两侧，所以，．
又时，直线与椭圆C有两个不同交点，因此，直线恒过点．
此时，，
，
设，由直线交与轴不垂直可得，
故．
因为在上为减函数，所以面积的取值范围为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和两点距离公式以及勾股定理，进而得出a，b，c的值，从而得出椭圆C的标准方程。
（2）（i）利用已知条件联立直线与椭圆方程得出交点P，Q的坐标，再结合两点求斜率公式得出的值；
（ii）利用已知条件联立直线与椭圆方程和韦达定理，从而由两点求斜率公式和代入法以及在轴的两侧确定m的取值范围的方法，进而得出m的值，从而得出直线恒过的定点坐标，再利用三角形的面积公式和函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出三角形面积的取值范围。
1 / 1浙江省绍兴市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高二上·绍兴期中）已知直线，则该直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·绍兴期中）圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
3．（2023高二上·绍兴期中）过两点，的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·绍兴期中）平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·绍兴期中）“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023高二上·绍兴期中）已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高二下·宜春期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，P为双曲线右支上一点，且满足 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·绍兴期中）已知椭圆的左 右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高二上·绍兴期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．在轴上的截距为 B．过定点
C．若，则或 D．若，则
10．（2023高二上·绍兴期中） 关于曲线C：x2+y2-2mx+2y+2m=0，下列说法正确的是（ ）
A．若曲线C表示圆，则m≠1
B．若m=1，曲线C表示两条直线
C．若m=2，过点(1，1)与曲线C相切的直线有两条
D．若m=3，则直线x+y=0被曲线C截得弦长等于
11．（2023高二上·绍兴期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．离心率e＝
B．
C．面积的最大值为
D．直线与以线段为直径的圆相切
12．（2023高二上·绍兴期中）矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论正确的有（ ）
A．四面体的体积为
B．点与之间的距离为
C．异面直线与所成角为
D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二上·绍兴期中） 已知，是椭圆：的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为 .
14．（2023高二上·绍兴期中）在平面直角坐标系内，点关于直线对称的点坐标为 .
15．（2023高二上·绍兴期中）已知，，，若、、、四点共面，则 ．
16．（2023高二上·绍兴期中）若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二上·绍兴期中）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且.
（1）求直线和直线的交点坐标；
（2）已知不过原点的直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
18．（2023高二上·绍兴期中）已知空间向量，.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若与所成角是锐角，求实数的范围．
19．（2023高二上·绍兴期中）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.
20．（2023高二上·绍兴期中）如下图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD，又.
（1）求点到平面的距离；
（2）设，，，平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为，求BC的长．
21．（2023高二上·绍兴期中）已知双曲线：（，）与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
22．（2023高二上·绍兴期中）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为．
（i）求的值；
（ii）若，求面积的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：已知直线，则该直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，
因为，所以，
又因为，所以该直线的倾斜角是。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而由直线的倾斜角的取值范围得出直线的倾斜角。
2．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由圆得出圆心半径为3，由圆得出圆心半径为，
因为，
又因为，所以，
所以圆与圆的位置关系为相交。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合圆心距和半径之和与半径之差的关系，进而判断出圆与圆的位置关系。
3．【答案】A
【知识点】直线的两点式方程
【解析】【解答】解：过两点，的直线方程为，
所以所求直线的一般式方程为：。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合两点式得出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。
4．【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为平面的一个法向量，点在内，又因为，
所以，
则点到平面的距离为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求点到平面的距离公式，进而得出点到平面的距离。
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆C：的圆心C(0，0)，半径为1，
又因为直线与圆相交，
所以圆心C(0，0)到直线的距离小于半径，
所以，所以，
所以“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合直线与圆位置关系判断方法，从而由充分条件和必要条件的判断方法，进而找出正确选项。
6．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，
因为椭圆：的上、下顶点分别为(0，4)，(0，-4)，
所以双曲线的焦点分别为(0，4)，(0，-4)，所以c=4，所以双曲线的焦点在y轴，
设双曲线的标准方程为，所以
因为椭圆：中且焦点在y轴，
所以又因为，所以焦点分别为(0，-3)，(0，3)，
所以，
（1）和（2）联立得出，
则双曲线的标准方程为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合椭圆的上、下顶点得出双曲线的焦点坐标，从而确定焦点的位置，进而设出双曲线的标准方程，再结合椭圆的焦点和代入法以及a，b，c的关系式，进而解方程组得出a，b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
7．【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得 ， ，
即有 ，
可得 ， ，
P为双曲线右支上一点，
可得 ，
又 ，
可得 ，
则 的周长为 ，
故答案为：C
【分析】 由双曲线的方程可得b，c，运用双曲线的离心率公式，解方程可得a，c，运用双曲线的定义和三角形的周长，可得所求值．
8．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：椭圆的左 右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，若为正三角形，所以，AB垂直于x轴，且，则设正三角形边长为m，因为
又因为三角形的周长为，
所以4a=3m，所以，，
在三角形中，
所以，所以，又因为，所以该椭圆的离心率。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正三角形的结构特征、椭圆的定义和正三角形与椭圆的位置关系以及对称性，进而由余弦定理和椭圆的离心率公式以及离心率的取值范围，从而得出椭圆的离心率的值。
9．【答案】A,B,D
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：已知直线，直线，
对于A，当a-1=0时，则a=1，所以直线为直线x=-1，
所以直线在轴上的截距为；
当时，则
将直线转化为直线的截距式方程为直线，
所以直线在轴上的截距为，综上所述，直线在轴上的截距为，所以A对；
对于B，将直线转化为直线，所以，
所以所以直线过定点，所以B对；
对于C，因为，所以，所以，则或，
当a=2时，直线和直线重合，所以a=2舍去，所以a=-1，所以C错；
对于D，因为，所以，所以，所以D对。
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合直线方程的转化法、直线的点斜式方程求定点的方法、两直线平行与斜率和纵截距之间的关系、两直线垂直与斜率之间的关系，从而找出结论正确的选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；二元二次方程表示圆的条件；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：关于曲线C：x2+y2-2mx+2y+2m=0，
对于A，若曲线C表示圆，则，
所以，则m≠1，所以A对；
对于B，当m=1时，曲线C：x2+y2-2x+2y+2=0为，
所以，所以曲线C表示点C(1，-1)，所以B错；
对于C，当m=2时，曲线C：x2+y2-2mx+2y+2m=0为x2+y2-4x+2y+4=0，
所以曲线C：，所以曲线C为圆心为C(2，-1)，半径为1的圆，
当直线的斜率存在时，
设过点(1，1)的直线为：，所以直线的一般式方程为：kx-y+1-k=0，
若直线与曲线C相切，则圆心C到直线的距离等于半径，
所以圆心C到直线的距离，
所以，则，所以，
当直线的斜率不存在时，设过点(1，1)的直线为：x=1，
所以直线的一般式方程为：x-1=0，
所以圆心C到直线的距离，所以此时直线与圆相切，
综上所述，直线与曲线C相切的直线有两条，所以C对；
对于D， 当m=3时，曲线C：x2+y2-2mx+2y+2m=0为x2+y2-6x+2y+6=0，
则曲线C：，所以曲线C为圆心为C(3，-1)，半径r为2的圆，
所以点C(3，-1)到直线x+y=0的距离为，
由弦长公式，得出直线x+y=0被曲线C截得弦长等于，所以D对。
故答案为：ACD.
【分析】利用圆的判断方法结合曲线的方程，从而得出m的取值范围，进而判断出选项A；利用m的值得出曲线C的方程，进而得出曲线C表示点，从而判断出选项B；利用m的值得出曲线C的方程，再利用分类讨论的方法设出直线的方程，再结合点到直线的距离公式和直线与圆相切位置关系判断方法，进而得出过点(1，1)与曲线C相切的直线的条数，从而判断出选项C；利用m的值得出曲线C的方程，再结合点到直线的距离公式和弦长公式得出直线x+y=0被曲线C截得弦长，进而判断出选项D，从而找出说法正确的选项。
11．【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，
所以又因为所以
因为，又因为所以，所以，，
对于A，椭圆的离心率，所以A错；
对于B，由椭圆的定义可知：，所以B对；
对于C， 的面积为，
要使面积，则最大，所以所以面积的最大值为，所以C对；
对于D，以线段为直径的圆的圆心，半径，
所以以线段为直径的圆C为，
由圆心到直线的距离为
又因为d=r=1，所以直线与以线段为直径的圆相切，所以D对。
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程求出a，b的值，再结合勾股定理得出c的值，从而得出焦点坐标，再结合椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率；利用椭圆的定义得出的值；利用三角形的面积公式和几何法得出三角形面积的最大值；利用中点坐标公式和两点距离公式得出圆的标准方程，进而得出圆心坐标和半径长，再结合点到直线的距离公式和直线与圆位置关系判断方法，进而判断出直线与以线段为直径的圆的位置关系，从而找出结论正确的选项。
12．【答案】A,C,D
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：分别作垂足为E，F，
在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，则
由已知可得，因为
所以，
所以，所以B错；
因为AB=CD=2，所以所以同理
又因为，则
所以四面体ABCD的体积为所以A对；
由题意可得，则
则所以，
所以，异面直线与所成角为，所以C对；
设D到平面ABC为d，则
所以所以，
设直线与平面所成角为，所以
所以直线与平面所成角的正弦值为，所以D对。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合矩形的结构特征，再结合勾股定理证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，再由空间向量基本定理和向量的模的平方等于向量的平方，从而得出BD的长；再由三棱锥的体积公式得出四面体的体积；利用三角形法则和数量积的运算法则以及数量积求向量夹角公式，进而得出异面直线与所成角；利用等体积法和三棱锥的体积公式，进而得出点D到平面ABC的距离，再结合正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值。
13．【答案】9
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解： 已知，是椭圆：的两个焦点，点在椭圆上，
所以又因为所以
则，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为9。
故答案为：9.
【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程得出a，b的值，再结合均值不等式求最值的方法和椭圆的定义，进而得出的最大值.
14．【答案】（-2，2）
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系内，因为点关于直线对称点为，
所以设B(a，b)，
由中点坐标公式和代入法得出，所以a-b+4=0(1)，
由两直线垂直斜率之积等于-1，所以所以a+b=0（2），
（1）（2）联立得出，所以点B的坐标为（-2，2）。
故答案为：（-2，2）.
【分析】利用已知条件结合中点坐标公式和代入法以及两直线垂直斜率之积等于-1，从而建立关于点B的坐标的方程组，再解方程组得出点B的坐标。
15．【答案】5
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：已知，，，若、、、四点共面，
则，所以，所以，
故答案为：5.
【分析】利用已知条件结合四点共面判断方法，从而由平面向量基本定理，进而由向量的坐标运算得出的值。
16．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用
【解析】 【解答】解：由，
当t=0时，则需要a=b=0与矛盾，所以t=0（舍）；
当时，由得出点(a，b)到直线x+y+1=0的距离为
由得出点(a，b)在圆上，
因为对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式
等价于圆上恰有三个点满足到直线x+y+1=0的距离为，
则需要圆的半径，
过O(0，0)作垂直于直线x+y+1=0于H，交圆于点P，
则
则要使圆上恰有三个点满足到直线x+y+1=0的距离为，
则，所以所以。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式和点与圆的位置关系，再结合几何法得出满足要求的实数t的值。
17．【答案】（1）解：由题意知，∵，∴．
又因为直线在轴上的截距为，所以直线过点（，0）.
所以直线的方程为，即：.
联立，得，即交点为（2，1）.
（2）解：因直线不过原点，设其在轴上的截距为，方程为，
因为过（2，1），所以，解得，
所以直线的方程.
【知识点】直线的截距式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1得出直线的斜率，再结合直线的截距式方程得出直线的方程，再联立直线和直线的方程得出两直线的交点坐标.
（2）利用联立两直线方程求交点的方法得出交点坐标，再结合代入法和已知条件得出直线的截距，从而得出直线的截距式方程，再转化为直线的一般式方程.
18．【答案】（1）解：由已知可得，．
因为与共线，所以，解得．
（2）解：由（1）知，．
所以，∴．
又当时，与共线，
所以实数的范围为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出实数k的值。
（2）利用已知条件转化为数量积大于0 ，注意剔除共线的情况，进而得出实数k的取值范围。
19．【答案】（1）解：设，由，得，
化简得，
所以动点P的轨迹C的方程为.
（2）解：由（1）知轨迹C：表示圆心为，半径为2的圆．
当直线l的斜率不存在时，方程为，此时直线l与圆C相切．
当直线l的斜率存在时，设，即，
于是有，解得，因此直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为或．
【知识点】圆的切线方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式得出动点P的轨迹C的方程。
（2）由（1）得出点P的轨迹方程得出圆心坐标和半径长，再结合直线与圆相切位置关系判断方法，进而得出满足要求的直线l的方程。
20．【答案】（1）解：如图，在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，
，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
，所以，又，
所以．同理，又，，
所以及，点P到平面ABCD的距离为.
（2）解：如图所示，以A点为原点，分别以AD，AB， AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则B（0，1，0），D（2，0，0），P（0，0，2），
∴，，设，则
，．
设平面的法向量为，则
则，令，得．
同理可得平面的法向量为．
由题意知，解得，
所以BC的长为．
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，，再利用面面垂直的性质定理证出线面垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，从而得出点P到平面ABCD的距离.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出BC的长.
21．【答案】（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为
（2）解：联立直线AB与双曲线C的方程，得，
经整理得，
设，，则AB的中点坐标为，
由韦达定理，，，
∴AB的中点坐标为，
又的中点在圆上，
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的渐近线方程和代入法，从而建立关于a，b的方程组，再解方程组得出a，b的值，从而得出双曲线C的标准方程。
（2）利用已知条件联立直线与双曲线方程，根据中点坐标公式和韦达定理可以写出用m表示的弦中点，将弦中点代入圆方程得出实数m的值。
22．【答案】（1）解：由于椭圆的离心率为，故．
又，所以，，，
所以椭圆C的方程为．
（2）解：（i）设与轴交点为D，由于直线交椭圆C于两点（在轴的两侧），故直线的的斜率不为0，直线l的方程为，联立，则，
则，
设，，则，，
又，
故．
同理 ．
（ii）因为，则，．
又直线交与轴不垂直可得，所以，即．
所以，．
于是，
，
整理得，解得．
因为在轴的两侧，所以，．
又时，直线与椭圆C有两个不同交点，因此，直线恒过点．
此时，，
，
设，由直线交与轴不垂直可得，
故．
因为在上为减函数，所以面积的取值范围为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和两点距离公式以及勾股定理，进而得出a，b，c的值，从而得出椭圆C的标准方程。
（2）（i）利用已知条件联立直线与椭圆方程得出交点P，Q的坐标，再结合两点求斜率公式得出的值；
（ii）利用已知条件联立直线与椭圆方程和韦达定理，从而由两点求斜率公式和代入法以及在轴的两侧确定m的取值范围的方法，进而得出m的值，从而得出直线恒过的定点坐标，再利用三角形的面积公式和函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出三角形面积的取值范围。
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