上海市上海中学东校2023-2024学年高三上学期数学期中试卷
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第 1 6 题每题4分,第7-12题每题5分）
1．（2023高三上·上海市期中）函数的定义域为 ．
2．（2023高三上·上海市期中）函数（且）的图象桓过定点P，则点P的坐标为 ．
3．（2023高三上·上海市期中）若函数是奇函数．则实数 ．
4．（2023高三上·上海市期中）已知，若函数的一个零点为，则 ．
5．（2023高三上·上海市期中）设等差数列的前n项之和满足，那么 ．
6．（2023高三上·上海市期中）设n是正整数，若的二项展开式中项的系数是常数项的5倍，则 ．
7．（2023高三上·上海市期中）实于x的不等式的解是．则实数a的取值范围为 ．
8．（2023高三上·上海市期中）设正数x、y满足，则的最小值为 ．
9．（2023高三上·上海市期中）已知是定义在R上的奇函数，且对于任意均有，若当时，，则 ．
10．（2023高三上·上海市期中）在中，，，若，，其中，则的最小值为 ．
11．（2023高三上·上海市期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值为 ．
12．（2023高三上·上海市期中）若a，，且对于时，不等式均成立，则实数对 ．
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13．（2023高三上·上海市期中）下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
14．（2023高三上·上海市期中）如图，弧、、、是圆上的四段弧，点P在其中一段上，角以为始边，为终边．若，则P所在的圆弧可以是（ ）
A．弧 B．弧 C．弧 D．弧
15．（2023高三上·上海市期中）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023高三上·上海市期中）将函数，的图像绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图形，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)
17．（2023高三上·上海市期中）在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且，，．
求：
（1）a的值；
（2）和的面积．
18．（2023高三上·上海市期中）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
19．（2023高三上·上海市期中）已知数列的前n项和为，满足：（，n为正整数）．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，数列满足，，，（，为正整数），记为的前n项和，比较与的大小．
20．（2023高三上·上海市期中）已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率．设过右焦点的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线、分别与直线交于M、N两点，证明为定值；
（3）是否存在常数，使得恒成立 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
21．（2023高二下·青浦期末）已知函数，，令．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当为正数且时，，求的最小值；
（3）若对一切都成立，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，所以，所以函数的定义域为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合对数型函数的定义域求解方法，进而得出函数的定义域。
2．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数（且）的图象桓过定点P，
则2x-1=1，所以x=1，再由x=1代入f(x)中得出f(1)=1，所以点P的坐标为（1，1）。
故答案为：（1，1）.
【分析】利用已知条件结合对数型函数的图象恒过定点的性质，再结合换元法和代入法得出定点坐标。
3．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解： 因为函数是奇函数，且函数的定义域为R，则f(0)=0，
所以，所以a=1。
故答案为：1.
【分析】利用已知条件结合奇函数的性质f(0)=0，再结合代入法得出实数a的值。
4．【答案】
【知识点】函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：已知，又因为函数的一个零点为，
所以，所以a=1，则，
所以
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合函数的零点求解方法得出实数a，进而得出函数的解析式，再结合代入法和函数的解析式，进而得出函数的值。
5．【答案】4
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为等差数列的前n项之和满足，
所以，
所以，
所以。
故答案为：4.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，进而得出等差数列第八项的值。
6．【答案】10
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：因为展开后的通项公式为，
令n-r=2，则r=n-2，所以的二项展开式中项的系数为，
令n-r=0，则r=n，所以的常数项系数为，
因为的二项展开式中项的系数是常数项的5倍，所以=，
所以，所以，所以n=-9或n=10，
因为n是正整数，则。
故答案为：10.
【分析】利用已知条件结合二项展开式的通项公式得出 的二项展开式中项的系数和常数项的值，从而得出关于n的一元二次方程，进而解一元二次方程结合n的取值范围，从而得出n的值。
7．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为x的不等式的解集是，所以的解集为R，
令，，则，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以实数a的取值范围为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合构造法和基本不等式求最值的方法得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
8．【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为正数x、y满足，
所以，所以x+y+3=xy，
由基本不等式得出，当且仅当等号成立，
即等号成立，即，则，
所以，
由基本不等式得出，当且仅当x=y=3时等号成立，
所以x+y的最小值为6。
故答案为：6.
【分析】利用已知条件结合基本不等式求最值的方法，进而得出x+y的最小值。
9．【答案】-1
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：对于任意均有，则，
因为是定义在R上的奇函数，所以
所以，则函数f(x)的周期为4，
当时，，
所以
在中，令可得所以
则
因为，
所以
故答案为：-1.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义得出函数的周期，再利用代入法和奇函数的性质以及函数的周期性，进而得出的值。
10．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：根据题意，画出图象如下：
在中，，由平面向量的加法的三角形法则，则为点A到BC的距离，因为，所以则为等腰直角三角形，斜边为4，
因为，其中，
所以点P在线段DE上，且D，E为BC的四等分点，
因为，则
当点P在点D时，最小，
由余弦定理得：，所以，
所以的最小值
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和几何法得出点P和点D，点E的位置，再结合共线定理和几何法找出当点P在点D时，最小，再利用余弦定理得出的最小值。
11．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，
因为
所以
因为
则由余弦定理得出，
所以
所以所以
记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，
所以，则，
则的最小值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义和双曲线的定义，从而得出的值，再结合焦距和余弦定理以及离心率公式变形得出为定值，再由均值不等式求最值的方法，进而得出的最小值。
12．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，不等式均成立，
则恒成立，
令
则f(x)表示圆心为半径为1的圆在上的圆弧；
g(x)表示圆心为半径为1的圆在上的圆弧，如下图所示：
其中
根据题意，y=ax+b要满足题意，其图象需在圆弧CD以及圆弧AB之间，数形结合可知，连接AB后形成的直线恰好满足题意，且唯一，
所以直线的斜率为则直线的方程为：
故实数对。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合直线与圆的位置关系，从而由数形结合和不等式恒成立问题求解方法，进而可知实数对。
13．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：对于A，对于的解集为的解集，
所以与的解集不相同；
对于B，对于的解集为的解集，所以与的解集不相同；
对于C，对于的解集为的解集，即的解集为，所以与的解集不相同；
对于D，对于，，所以的解集为的解集，所以与的解集相同。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合分式不等式求解方法和分母不为0的性质以及二次函数的值域求解方法，进而判断出各组不等式解集完全相同的选项。
14．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由已知条件可得下图：
由上图可知：有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线，
当P在AB上时，即，故选项A错误；
当P在上时，因为即，故选项B错误；
当P在上时，且，所以，故选项C正确；
当P在上时且GH在第三象限，所以
所以故选项D错误。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三角函数线与三角函数值的关系，进而比较出三角函数值的大小关系，从而找出正确的选项。
15．【答案】D
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：由函数的导函数的图像得出导函数先为负，再为正，再为负，最后为正，所以函数先单调递减，再单调递增，再单调递减，最后单调递增，则函数的图像可能是A。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合导数的正负与函数单调性的关系，进而找出函数的图象。
16．【答案】A
【知识点】反三角函数
【解析】【解答】解：因为函数，，所以
当时，则函数在上单调递增，
当时，则函数在上单调递减，
因为可得在x=1处切线的倾斜角为
因此，要使函数，的图象绕点顺时针旋转角得到曲线，且曲线仍是一个函数的图形，则旋转后的切线倾斜角最多，
也就是最大旋转角为则的最大值为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用函数旋转后的图象仍然是一个函数的图形，得出旋转后的切线倾斜角最多，再利用x=1处的倾斜角求出的最大值。
17．【答案】（1）解：在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且，，，则，(1)(2)(3)联立得出，所以a=8。
（2）解：由（1）得出，所以，
在三角形中，所以，
因为所以
由三角形面积公式得出三角形的面积为：
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，从而建立方程组得出a，b，c的值。
（2）利用（1）中求出a的值和已知条件，再结合正弦定理和三角形的面积公式，进而得出和三角形的面积的值。
18．【答案】（1）解：当a=2时，函数，
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得；
综上所述，不等式的解集为。
（2）解：，
当且仅当时取等号，
所以解得：，
所以实数a的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数f(x)的解析式，再利用零点分段法得出绝对值不等式的解集。
（2）利用已知条件结合零点分段法和分类讨论的方法，从而由不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
19．【答案】（1）证明：已知数列的前n项和为，满足：（，n为正整数），
所以，则，
（2）-（1），得出即
由可得，
两式相减可得
化简可得所以
所以数列为等差数列。
（2）解：由可得，所以
因为，所以
因为数列满足所以
所以数列为等比数列且，所以
因为为的前n项和，所以
所以
所以。
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合与的关系式和等差数列的定义，进而证出数列为等差数列。
（2）利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合数列的第一项和第三项的值得出数列的第一项和第三项的值，再利用对数的运算法则证出数列是等比数列，再结合等比数列的前n项和公式得出数列 的前n项和，进而得出和，再结合不等式并集大小的方法，从而比较出与的大小。
20．【答案】（1）解：依题意，得出，解得，所以双曲线的标准方程为：；
（2）证明：设直线的方程为：，，
联立双曲线与直线的方程，消去并整理可得，，
，
又直线的方程为，代入，解得，
可得同理可得，
故为定值，即得证.
（3）解：当直线l的方程为x=2时，解得P（2，3），
易知此时为等腰直角三角形，其中，
即，也即是：，
接下来证明：对直线!存在斜率的情形也成立，
又，则
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的离心率公式和顶点坐标得出a，c的值，再利用勾股定理得出b的值，进而得出双曲线的标准方程。
（2）利用已知条件联立直线与双曲线的方程和韦达定理，得出和，再由代入法得出点M和N的坐标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合向量的数量积的坐标表示和韦达定理证出为定值。
（3）当直线的方程为时，得出点P的坐标，易知此时为等腰直角三角形，再利用二倍角的正切公式和两点求斜率公式以及双曲线的标准方程，进而得出使得恒成立的实数的值。
21．【答案】（1）解：当时，，
∴，，，
∴在处的切线方程为.
（2）解：函数的定义域为，
当时，.
令，解得或.
①当，即时，，故在上单调递增.
所以在上的最小值为，符合题意；
②当，即时，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为，不符合题意；
当，即，同理在上单调递增，
所以在上的最小值为，不符合题意；
综上，实数a的取值范围是.
故的最小值为1.
（3）解：设，则，
因为，
所以对任意，，，且恒成立，
等价于在上单调递增.而，
当时，，此时在单调递增；
当时，只需在恒成立，
因为，只要，则需要，
对于函数，过定点，对称轴
只需，即，
综上可得：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1） 当时，，分别求出，，利用点斜式写出函数在处的切线方程 ；
（2）利用导数判断函数的单调性，分析取得最小值的条件，进而求出的最小值；
(3)分析将问题转化为 在上单调递增，进而分析求解的取值范围 .
1 / 1上海市上海中学东校2023-2024学年高三上学期数学期中试卷
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第 1 6 题每题4分,第7-12题每题5分）
1．（2023高三上·上海市期中）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，所以，所以函数的定义域为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合对数型函数的定义域求解方法，进而得出函数的定义域。
2．（2023高三上·上海市期中）函数（且）的图象桓过定点P，则点P的坐标为 ．
【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数（且）的图象桓过定点P，
则2x-1=1，所以x=1，再由x=1代入f(x)中得出f(1)=1，所以点P的坐标为（1，1）。
故答案为：（1，1）.
【分析】利用已知条件结合对数型函数的图象恒过定点的性质，再结合换元法和代入法得出定点坐标。
3．（2023高三上·上海市期中）若函数是奇函数．则实数 ．
【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解： 因为函数是奇函数，且函数的定义域为R，则f(0)=0，
所以，所以a=1。
故答案为：1.
【分析】利用已知条件结合奇函数的性质f(0)=0，再结合代入法得出实数a的值。
4．（2023高三上·上海市期中）已知，若函数的一个零点为，则 ．
【答案】
【知识点】函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：已知，又因为函数的一个零点为，
所以，所以a=1，则，
所以
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合函数的零点求解方法得出实数a，进而得出函数的解析式，再结合代入法和函数的解析式，进而得出函数的值。
5．（2023高三上·上海市期中）设等差数列的前n项之和满足，那么 ．
【答案】4
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为等差数列的前n项之和满足，
所以，
所以，
所以。
故答案为：4.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，进而得出等差数列第八项的值。
6．（2023高三上·上海市期中）设n是正整数，若的二项展开式中项的系数是常数项的5倍，则 ．
【答案】10
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：因为展开后的通项公式为，
令n-r=2，则r=n-2，所以的二项展开式中项的系数为，
令n-r=0，则r=n，所以的常数项系数为，
因为的二项展开式中项的系数是常数项的5倍，所以=，
所以，所以，所以n=-9或n=10，
因为n是正整数，则。
故答案为：10.
【分析】利用已知条件结合二项展开式的通项公式得出 的二项展开式中项的系数和常数项的值，从而得出关于n的一元二次方程，进而解一元二次方程结合n的取值范围，从而得出n的值。
7．（2023高三上·上海市期中）实于x的不等式的解是．则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为x的不等式的解集是，所以的解集为R，
令，，则，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以实数a的取值范围为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合构造法和基本不等式求最值的方法得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
8．（2023高三上·上海市期中）设正数x、y满足，则的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为正数x、y满足，
所以，所以x+y+3=xy，
由基本不等式得出，当且仅当等号成立，
即等号成立，即，则，
所以，
由基本不等式得出，当且仅当x=y=3时等号成立，
所以x+y的最小值为6。
故答案为：6.
【分析】利用已知条件结合基本不等式求最值的方法，进而得出x+y的最小值。
9．（2023高三上·上海市期中）已知是定义在R上的奇函数，且对于任意均有，若当时，，则 ．
【答案】-1
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：对于任意均有，则，
因为是定义在R上的奇函数，所以
所以，则函数f(x)的周期为4，
当时，，
所以
在中，令可得所以
则
因为，
所以
故答案为：-1.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义得出函数的周期，再利用代入法和奇函数的性质以及函数的周期性，进而得出的值。
10．（2023高三上·上海市期中）在中，，，若，，其中，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：根据题意，画出图象如下：
在中，，由平面向量的加法的三角形法则，则为点A到BC的距离，因为，所以则为等腰直角三角形，斜边为4，
因为，其中，
所以点P在线段DE上，且D，E为BC的四等分点，
因为，则
当点P在点D时，最小，
由余弦定理得：，所以，
所以的最小值
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和几何法得出点P和点D，点E的位置，再结合共线定理和几何法找出当点P在点D时，最小，再利用余弦定理得出的最小值。
11．（2023高三上·上海市期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，
因为
所以
因为
则由余弦定理得出，
所以
所以所以
记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，
所以，则，
则的最小值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义和双曲线的定义，从而得出的值，再结合焦距和余弦定理以及离心率公式变形得出为定值，再由均值不等式求最值的方法，进而得出的最小值。
12．（2023高三上·上海市期中）若a，，且对于时，不等式均成立，则实数对 ．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，不等式均成立，
则恒成立，
令
则f(x)表示圆心为半径为1的圆在上的圆弧；
g(x)表示圆心为半径为1的圆在上的圆弧，如下图所示：
其中
根据题意，y=ax+b要满足题意，其图象需在圆弧CD以及圆弧AB之间，数形结合可知，连接AB后形成的直线恰好满足题意，且唯一，
所以直线的斜率为则直线的方程为：
故实数对。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合直线与圆的位置关系，从而由数形结合和不等式恒成立问题求解方法，进而可知实数对。
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13．（2023高三上·上海市期中）下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：对于A，对于的解集为的解集，
所以与的解集不相同；
对于B，对于的解集为的解集，所以与的解集不相同；
对于C，对于的解集为的解集，即的解集为，所以与的解集不相同；
对于D，对于，，所以的解集为的解集，所以与的解集相同。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合分式不等式求解方法和分母不为0的性质以及二次函数的值域求解方法，进而判断出各组不等式解集完全相同的选项。
14．（2023高三上·上海市期中）如图，弧、、、是圆上的四段弧，点P在其中一段上，角以为始边，为终边．若，则P所在的圆弧可以是（ ）
A．弧 B．弧 C．弧 D．弧
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由已知条件可得下图：
由上图可知：有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线，
当P在AB上时，即，故选项A错误；
当P在上时，因为即，故选项B错误；
当P在上时，且，所以，故选项C正确；
当P在上时且GH在第三象限，所以
所以故选项D错误。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三角函数线与三角函数值的关系，进而比较出三角函数值的大小关系，从而找出正确的选项。
15．（2023高三上·上海市期中）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：由函数的导函数的图像得出导函数先为负，再为正，再为负，最后为正，所以函数先单调递减，再单调递增，再单调递减，最后单调递增，则函数的图像可能是A。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合导数的正负与函数单调性的关系，进而找出函数的图象。
16．（2023高三上·上海市期中）将函数，的图像绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图形，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反三角函数
【解析】【解答】解：因为函数，，所以
当时，则函数在上单调递增，
当时，则函数在上单调递减，
因为可得在x=1处切线的倾斜角为
因此，要使函数，的图象绕点顺时针旋转角得到曲线，且曲线仍是一个函数的图形，则旋转后的切线倾斜角最多，
也就是最大旋转角为则的最大值为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用函数旋转后的图象仍然是一个函数的图形，得出旋转后的切线倾斜角最多，再利用x=1处的倾斜角求出的最大值。
三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)
17．（2023高三上·上海市期中）在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且，，．
求：
（1）a的值；
（2）和的面积．
【答案】（1）解：在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且，，，则，(1)(2)(3)联立得出，所以a=8。
（2）解：由（1）得出，所以，
在三角形中，所以，
因为所以
由三角形面积公式得出三角形的面积为：
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，从而建立方程组得出a，b，c的值。
（2）利用（1）中求出a的值和已知条件，再结合正弦定理和三角形的面积公式，进而得出和三角形的面积的值。
18．（2023高三上·上海市期中）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当a=2时，函数，
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得；
综上所述，不等式的解集为。
（2）解：，
当且仅当时取等号，
所以解得：，
所以实数a的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数f(x)的解析式，再利用零点分段法得出绝对值不等式的解集。
（2）利用已知条件结合零点分段法和分类讨论的方法，从而由不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
19．（2023高三上·上海市期中）已知数列的前n项和为，满足：（，n为正整数）．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，数列满足，，，（，为正整数），记为的前n项和，比较与的大小．
【答案】（1）证明：已知数列的前n项和为，满足：（，n为正整数），
所以，则，
（2）-（1），得出即
由可得，
两式相减可得
化简可得所以
所以数列为等差数列。
（2）解：由可得，所以
因为，所以
因为数列满足所以
所以数列为等比数列且，所以
因为为的前n项和，所以
所以
所以。
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合与的关系式和等差数列的定义，进而证出数列为等差数列。
（2）利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合数列的第一项和第三项的值得出数列的第一项和第三项的值，再利用对数的运算法则证出数列是等比数列，再结合等比数列的前n项和公式得出数列 的前n项和，进而得出和，再结合不等式并集大小的方法，从而比较出与的大小。
20．（2023高三上·上海市期中）已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率．设过右焦点的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线、分别与直线交于M、N两点，证明为定值；
（3）是否存在常数，使得恒成立 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：依题意，得出，解得，所以双曲线的标准方程为：；
（2）证明：设直线的方程为：，，
联立双曲线与直线的方程，消去并整理可得，，
，
又直线的方程为，代入，解得，
可得同理可得，
故为定值，即得证.
（3）解：当直线l的方程为x=2时，解得P（2，3），
易知此时为等腰直角三角形，其中，
即，也即是：，
接下来证明：对直线!存在斜率的情形也成立，
又，则
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的离心率公式和顶点坐标得出a，c的值，再利用勾股定理得出b的值，进而得出双曲线的标准方程。
（2）利用已知条件联立直线与双曲线的方程和韦达定理，得出和，再由代入法得出点M和N的坐标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合向量的数量积的坐标表示和韦达定理证出为定值。
（3）当直线的方程为时，得出点P的坐标，易知此时为等腰直角三角形，再利用二倍角的正切公式和两点求斜率公式以及双曲线的标准方程，进而得出使得恒成立的实数的值。
21．（2023高二下·青浦期末）已知函数，，令．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当为正数且时，，求的最小值；
（3）若对一切都成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
∴，，，
∴在处的切线方程为.
（2）解：函数的定义域为，
当时，.
令，解得或.
①当，即时，，故在上单调递增.
所以在上的最小值为，符合题意；
②当，即时，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为，不符合题意；
当，即，同理在上单调递增，
所以在上的最小值为，不符合题意；
综上，实数a的取值范围是.
故的最小值为1.
（3）解：设，则，
因为，
所以对任意，，，且恒成立，
等价于在上单调递增.而，
当时，，此时在单调递增；
当时，只需在恒成立，
因为，只要，则需要，
对于函数，过定点，对称轴
只需，即，
综上可得：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1） 当时，，分别求出，，利用点斜式写出函数在处的切线方程 ；
（2）利用导数判断函数的单调性，分析取得最小值的条件，进而求出的最小值；
(3)分析将问题转化为 在上单调递增，进而分析求解的取值范围 .
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