河北省石家庄市名校联考2023-2024学年高三上学期数学期中试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高三上·石家庄期中）若集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法等差集合A，再利用对数型函数的定义域求解方法得出集合B，再结合补集和交集的运算法则，进而得出集合。
2．（2023高三上·石家庄期中）设复数，则=（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数，所以，
所以， 则
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数与共轭复数的关系得出复数z的共轭复数，再结合复数乘法运算法则，进而得出的值。
3．（2023高三上·石家庄期中）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：利用圆锥的底面半径r为2，高为，
由勾股定理得出圆锥母线l的长为
因为圆锥的底面圆周长为
则该圆锥的侧面积为。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合勾股定理得出圆锥的母线的长，再结合圆的周长公式得出圆锥底面圆的周长，进而得出圆锥侧面对应的扇形的弧长，再由扇形面积公式得出该圆锥的侧面积。
4．（2023高三上·石家庄期中）已知是单位向量，若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：已知，是单位向量，若，则
所以所以
则在上的投影向量为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积求投影向量的方法，进而得出在上的投影向量。
5．（2023高三上·石家庄期中）定义在R上的函数满足，则下列是周期函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：因为定义在R上的函数满足，
对于A，令，则，
所以函数g(x)是以2为周期函数，符合题意；
对于B，令，，
所以函数g(x)不是周期函数，不符合题意；
对于C，令，，
所以函数m(x)不是周期函数，不符合题意；
对于D，令，，
所以函数g(x)不是周期函数，不符合题意。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合周期函数的定义，进而找出满足要求的周期函数。
6．（2023高三上·石家庄期中）已知圆，是圆上的两点，O为坐标原点，且，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．5
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：已知圆，所以圆心半径r=2，
因为，所以直线PQ过原点，又因为圆与y轴不相交，由是圆上的两点，O为坐标原点，所以直线PQ的斜率存在，
不妨设直线PQ为y=kx，
则
将直线PQ代入圆的一般方程，整理得：
又因为是圆上的两点，所以，
解得，
由韦达定理可得：
所以。
故答案为：D.
【分析】利用圆的方程求出圆心坐标和半径长，再利用向量共线定理判断出直线PQ过原点，又因为圆与y轴不相交，由是圆上的两点，O为坐标原点，所以直线PQ的斜率存在，进而设出直线方程，再结合点的坐标求出向量的坐标，再联立直线与圆的方程结合判别式法和韦达定理以及数量积的坐标表示，进而得出的取值范围和的值.
7．（2023高三上·石家庄期中）小明先后投掷两枚骰子，已知有一次投掷时朝上的点数为偶数，则两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：小明先后投掷两枚骰子，记“有一次投掷时朝上的点数为偶数”为事件A，包含27种情况，“两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为事件B，包含11种情况，
则
所以，
所以有一次投掷时朝上的点数为偶数，则两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为。
故答案为：B.
【分析】记“有一次投掷时朝上的点数为偶数”为事件A，“两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为事件B，利用古典概型求概率公式得出p(A)和P(B)以及P(AB)的值，进而根据条件概率公式求解得出答案。
8．（2023高三上·石家庄期中）人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线，现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由课本”探究与发现“可知函数的图象的两条渐近线分别为y=3x，x=0，
所以该函数对应的双曲线的焦点在y=3x与x=0的夹角（锐角）的角平分线l上，
设直线l：y=kx，
设分别为y=kx，y=3x的倾斜角，故
故为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，
因为y=kx是y=3x与x=0夹角（锐角）的角平分线，所以
由又因为
整理得出可得，
因为所以，所以
设焦点位于x轴上的双曲线方程为：，则双曲线的一条渐近线方程的斜率为，
所以
所以函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C的离心率为：
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与倾斜角的关系式、角平分线的定义、两角差的正切公式、一元二次方程求解方法，进而得出k的值，从而得出双曲线渐近线的斜率的值，再由双曲线的离心率与的关系式，进而得出双曲线C的离心率的值。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023高三上·石家庄期中）下列结论中正确的是（ ）
A．“”的否定为“，”
B．设是两个不同的平面，m是直线且，则“”是“”的充要条件
C．若随机变量X服从正态分布，则
D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本的中心为，则实数m的值是2
【答案】A,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；回归分析的初步应用；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，“”的否定为“，”，所以A对；
对于B，设是两个不同的平面，m是直线且，由“”推出“”，满足充分性，由“”不一定推出“”，有可能推出也有可能推出与是非垂直的相交关系，所以不满足必要性，所以B错；
对于C，因为随机变量X服从正态分布，所以正态曲线关于x=10对称，则，所以C错；
对于D，对具有线性相关关系的变量x，y，因为样本的中心为，所以将样本中心代入线性回归方程得出2=2m-m，则实数m的值是2。
故答案为：AD.
【分析】利用全称命题与特称命题互为否定的关系判断选项A，利用充分条件和必要条件的判断方法，从而判断出选项B，利用正态曲线的对称性，进而得出概率关系，从而判断出 选项C，利用线性回归直线恒过样本中心点结合代入法，进而得出实数m的值，从而判断出选项D。
10．（2023高三上·石家庄期中）将函数图象上点的横坐标缩短为原来的，然后将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象．则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．的单调递增区间为
D．为图象的一条对称轴
【答案】A,B,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为将函数图象上点的横坐标缩短为原来的，得出的图象，然后将所得图象向右平移个单位，得到的图象，
因为，所以，由于且，
故，所以所以所以A、B都对；
对于选项C，由所以
所以函数的单调递增区间为，所以C错；
对于选项D，因为所以为图象的一条对称轴，所以D对。
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合三角型函数的图象变换得出函数g(x)的图象与的关系式，进而得出的值，从而得出函数g(x)和f(x)的解析式，再利用正弦型函数的图象的对称轴与最值的关系，进而求出正弦型函数g(x)的一条对称轴，再由换元法和正弦型函数的单调性，进而得出其单调区间，从而找出结论正确的选项.
11．（2023高三上·石家庄期中）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线在处的切线方程为
B．在上的最大值与最小值之和为0
C．若在R上为增函数，则a的取值范围为（，2]
D．在R上至多有3个零点
【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，当a=0时，函数，则
则由点斜式方程得出切线方程为：y=2x，所以A错；
对于B，因为所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，
所以函数f(x)在上的最大值与最小值之和为0，所以B对；
对于C，若在R上为增函数，所以在R上恒成立，
可得在R上恒成立，
由基本不等式和得出，当且仅当x=0时成立，
所以a的取值范围为，所以C对；
对于D，令，解得或，
令，，
令，则，可得，
所以，当时，，所以函数g(x)在上单调递增，
又因为g(-x)=g(x)，所以g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，
所以函数g(x)在上单调递增，函数g(x)在上单调递减，
因此直线与最多有2个交点，
所以在R上至多有3个零点，所以D对。
故答案为：BCD.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线方程，从而判断出选项A；利用已知条件结合奇函数的定义判断出函数为奇函数，再结合奇函数的图象对称性和最值的关系，进而判断出选项B；利用求导的方法判断函数的单调性和基本不等式求最值的方法以及平方数的取值范围，从而结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围，进而判断出选项C；利用函数的零点的定义和函数的单调性和奇偶性，从而判断出函数在R上的零点个数，进而判断出选项D。
12．（2023高三上·石家庄期中）如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则下列结论中正确的是（ ）
A．青蛙跳跃2次后位于B点的概率共
B．数列是等比数列
C．青蛙跳动奇数次后只能位于点A的概率始终小于
D．存在整数，使得青蛙跳动n次后位于C点和D点的概率相等
【答案】A,B,C
【知识点】等比数列概念与表示；概率的应用
【解析】【解答】解：对于A，青蛙跳跃2次后位于B点的路线为和，
所以青蛙跳跃2次后位于B点的概率，所以A对；
对于B，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点B，C，D上的概率分别为
所以，，
所以，
，，
所以，
所以，则，
所以，所以，
所以数列是等比数列，所以B对；
对于C，
当n为奇数时，所以C对；
对于D，，因为由对称性可得，所以D错。
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合分类加法计数原理何分步乘法计数原理求出概率，从而判断出选项A；利用等比数列的定义和变形法结合已知条件判断出选项B；利用等比数列的通项公式和放缩法判断出选项C；利用已知条件和数列的通项公式以及对称性，从而判断出选项D。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023高三上·石家庄期中）已知抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则p= .
【答案】4
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：已知抛物线的焦点为，又因为点A在抛物线上，所以，
因为到x轴距离为2，抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，
所以
所以，因为，则p=4。
故答案为：4.
【分析】利用已知条件结合抛物线方程确定焦点位置，进而得出焦点坐标，再结合代入法和抛物线方程得出点A的坐标，再由两点距离公式和点到x轴的距离求解方法，进而解一元二次方程和p的取值范围，从而得出满足要求的p的值。
14．（2023高三上·石家庄期中）设等差数列的前n项和为，公差，，则当取最小值时，n= .
【答案】7
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的前n项和为，，
所以所以
所以
因为公差，所以是开口向上的二次函数，所以当n=7时，取最小值，为
故答案为：7.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式，进而得出首项和公差的关系式，再结合等差数列前n项和公式和首项和公差的关系式，进而得出关于n的二次函数，再结合公差大于0，从而得出取最小值时对应的n的值。
15．（2023高三上·石家庄期中）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具。为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成。米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品。如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是 .
【答案】200π
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】解：由已知条件得出米斗的示意图如下：
设棱台上底面中心为，下底面中心为，由棱台的性质可知，外接球的球心O落在线段上，
由题意可知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则
所以
设外接球的半径为R，则
因为垂直于上、下底面，所以即
又因为即
联立（1）(2)得出
所以该米斗的外接球的表面积为
故答案为：.
【分析】根据正四棱台的对称性得到外接球的球心的位置，再根据垂直关系结合勾股定理得出方程组，从而解方程组得出外接球的半径，最后由球的半径结合球的表面积公式得出该米斗的外接球的表面积。
16．（2023高三上·石家庄期中）若，，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：若，，且，不等式恒成立，
所以，不等式恒成立，所以，不等式恒成立，
令，
所以
，
当且仅当 时等式成立，即即等号成立，
所以，所以，则m的取值范围为
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合”1“的灵活运用和基本不等式变形求最值的方法，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2023高三上·石家庄期中）已知等差数列公差为2，且恰为等比数列的前三项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前n项和.
【答案】（1）解：由题意：，解得：.
所以，所以.
（2）解：
.
.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等比中项公式，再结合等差数列和等比数列的项与项的关系，从而得出等比数列的首项和公比的值，再结合等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式等差数列的通项公式。
（2）利用（1）求出的等比数列的通项公式和等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法，进而得出数列的前n项和。
18．（2023高三上·石家庄期中）在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
（1）求角C的大小；
（2）若，的平分线与的平分线交于点I，求周长的最大值．
【答案】（1）解：
于是.
在中，由正弦定理得，
因为，则，即
因为，因此即又
所以
（2）解：由(1)知，，有
而与的平分线交于点I，即有
于是
设，则且
在中，由正弦定理得，．
所以，
所以的周长为
．．
由，得
则当，即时，的周长取得最大值
所以周长的最大值为
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和正弦定理，再结合两角和的正弦公式和三角形内角和为180°的性质，从而由诱导公式和同角三角函数基本关系式，再由三角形中角的取值范围，进而得出角C的值。
（2）由（1）得出的角C的值和三角形内角和为180°的性质，从而得出的值，而与的平分线交于点I，进而得出的值，从而得出的值，设，则且再利用正弦定理和三角形的周长公式以及辅助角公式，进而由三角型函数的图象求最值的方法，从而得出三角形周长的最大值。
19．（2023高三上·石家庄期中）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图。
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，
，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
【答案】（1）解：，
（2）解：由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为
，10人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
；
；
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望
（3）解：用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率，则
令，解得
所以当或，最大．
所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名.
【知识点】分层抽样方法；概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，列出关系式，求解从而得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出随机变量X的可能的取值，再利用超几何分布分别求出随机变量X分别取0，1，2，3时的概率，进而得出随机变量X的分布列，再由随机变量分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（3）先求出周平均阅读时间在内的概率，进而求出，再由解出实数k的取值范围，进而得出周平均阅读时间在内的学生最可能的人数。
20．（2023高三上·石家庄期中）如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面平面ABCD，，，G是CF的中点．
（1）证明：平面AEF；
（2）求直线AE与平面BDER所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：取DE中点L，DC中点K，AD中点M，DB中点J
是平行四边形
，
是平行四边形，
平面.
（2）解：由(1)知，直线AE与平面BDEF所成角等于直线GB与平面BDEF所成角
作，，连结IF，
，G都是所在棱的中点，平面DBEF，
点到平面DBEF的距离等于H点到平面DBEF的距离d，
，，
由等面积法可知：即，解得
则角为锐角，故
所以直线AE与平面BDER所成角的余弦值为。
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点作中位线的方法，进而由中位线的性质得出线线平行，再结合平行四边形的定义判断出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的定义得出线线平行，从而由线线平行结合线面平行的判定定理，进而证出平面AEF。
（2）由(1)结合线面角的定义知，直线AE与平面BDEF所成角等于直线GB与平面BDEF所成角，作，，连结IF，再利用中点作中位线的方法，从而由中位线的性质证出线面平行，所以点G到平面DBEF的距离等于H点到平面DBEF的距离d，再结合三角函数的定义得出HI的长，再由等面积法可知d的值，最后由正弦函数的定义和同角三角函数基本关系式得出直线AE与平面BDER所成角的余弦值。
21．（2023高三上·石家庄期中）已知在平面直角坐标系中，点，，的周长为定值.
（1）设动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）过点A作直线l交C于M、N两点，连接分别与y轴交于D、E两点，若
，求直线l的方程．
【答案】（1）解：周长为
可得为定值，
所以点P的轨迹是一个椭圆（去掉左右顶点），
于是，
又因为是所以点P不能位于x轴上，
所以点P的轨迹方程为；
（2）解：由题意，直线l的斜率不为0，设直线，
将直线l与椭圆联立得到
由韦达定理，得
直线，令可得，同理．
由可得
化简得到
即亦即
代入韦达定理整理得，，解得
所以直线l的方程为
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形的周长公式和椭圆的定义，进而得出点P的轨迹方程。
（2）由题意，直线l的斜率不为0，设直线，将直线l与椭圆联立和韦达定理以及赋值得出点的坐标的方法，从而由三角形的面积公式和等面积法，进而得出直线l的方程。
22．（2023高三上·石家庄期中）设函数，其中.
（1）若，求的最大值；
（2）若存在两个零点
①求a的取值范围；
②设为的极值点，试探究是否存在实数，使得成等差数列，若存在，
求出a的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：
注意到在定义域上单调递减，且可知在单调递增，在
单调递减
则的最大值为
（2）解：①因存在两个零点故不是单调函数，于是有解，即
，此时
注意到恒成立
设则在单调递增，在单调递减，
由(1)可知而当时，在仅有1个零点
当时，此时，
取，有，结合，可知
故在上存在一个零点；
当时，，此时，
取，有，结合，可知，故在上存在一个零点
综上可知，当时，存在两个零点，
②不妨取，当时，由(i)可知若成等差数列，则有因在单调，故
而
令
当时，
令
则
故在单调递减，而故，使得
即不存在，使得故不存在这样的a。
【知识点】函数的最大（小）值；函数在某点取得极值的条件；等差数列概念与表示；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值。
（2）①利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理，从而求出满足要求的实数a的取值范围；
②设为的极值点，由(i)可知再利用等差中项公式和函数求导判断单调性的方法，从而得出不存在，使得故不存在这样的a。
1 / 1河北省石家庄市名校联考2023-2024学年高三上学期数学期中试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高三上·石家庄期中）若集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三上·石家庄期中）设复数，则=（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2023高三上·石家庄期中）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三上·石家庄期中）已知是单位向量，若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高三上·石家庄期中）定义在R上的函数满足，则下列是周期函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·石家庄期中）已知圆，是圆上的两点，O为坐标原点，且，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．5
7．（2023高三上·石家庄期中）小明先后投掷两枚骰子，已知有一次投掷时朝上的点数为偶数，则两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·石家庄期中）人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线，现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023高三上·石家庄期中）下列结论中正确的是（ ）
A．“”的否定为“，”
B．设是两个不同的平面，m是直线且，则“”是“”的充要条件
C．若随机变量X服从正态分布，则
D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本的中心为，则实数m的值是2
10．（2023高三上·石家庄期中）将函数图象上点的横坐标缩短为原来的，然后将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象．则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．的单调递增区间为
D．为图象的一条对称轴
11．（2023高三上·石家庄期中）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线在处的切线方程为
B．在上的最大值与最小值之和为0
C．若在R上为增函数，则a的取值范围为（，2]
D．在R上至多有3个零点
12．（2023高三上·石家庄期中）如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则下列结论中正确的是（ ）
A．青蛙跳跃2次后位于B点的概率共
B．数列是等比数列
C．青蛙跳动奇数次后只能位于点A的概率始终小于
D．存在整数，使得青蛙跳动n次后位于C点和D点的概率相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023高三上·石家庄期中）已知抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则p= .
14．（2023高三上·石家庄期中）设等差数列的前n项和为，公差，，则当取最小值时，n= .
15．（2023高三上·石家庄期中）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具。为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成。米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品。如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是 .
16．（2023高三上·石家庄期中）若，，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 .
四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2023高三上·石家庄期中）已知等差数列公差为2，且恰为等比数列的前三项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前n项和.
18．（2023高三上·石家庄期中）在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
（1）求角C的大小；
（2）若，的平分线与的平分线交于点I，求周长的最大值．
19．（2023高三上·石家庄期中）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图。
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，
，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
20．（2023高三上·石家庄期中）如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面平面ABCD，，，G是CF的中点．
（1）证明：平面AEF；
（2）求直线AE与平面BDER所成角的余弦值．
21．（2023高三上·石家庄期中）已知在平面直角坐标系中，点，，的周长为定值.
（1）设动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）过点A作直线l交C于M、N两点，连接分别与y轴交于D、E两点，若
，求直线l的方程．
22．（2023高三上·石家庄期中）设函数，其中.
（1）若，求的最大值；
（2）若存在两个零点
①求a的取值范围；
②设为的极值点，试探究是否存在实数，使得成等差数列，若存在，
求出a的值，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法等差集合A，再利用对数型函数的定义域求解方法得出集合B，再结合补集和交集的运算法则，进而得出集合。
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数，所以，
所以， 则
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数与共轭复数的关系得出复数z的共轭复数，再结合复数乘法运算法则，进而得出的值。
3．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：利用圆锥的底面半径r为2，高为，
由勾股定理得出圆锥母线l的长为
因为圆锥的底面圆周长为
则该圆锥的侧面积为。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合勾股定理得出圆锥的母线的长，再结合圆的周长公式得出圆锥底面圆的周长，进而得出圆锥侧面对应的扇形的弧长，再由扇形面积公式得出该圆锥的侧面积。
4．【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：已知，是单位向量，若，则
所以所以
则在上的投影向量为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积求投影向量的方法，进而得出在上的投影向量。
5．【答案】A
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：因为定义在R上的函数满足，
对于A，令，则，
所以函数g(x)是以2为周期函数，符合题意；
对于B，令，，
所以函数g(x)不是周期函数，不符合题意；
对于C，令，，
所以函数m(x)不是周期函数，不符合题意；
对于D，令，，
所以函数g(x)不是周期函数，不符合题意。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合周期函数的定义，进而找出满足要求的周期函数。
6．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：已知圆，所以圆心半径r=2，
因为，所以直线PQ过原点，又因为圆与y轴不相交，由是圆上的两点，O为坐标原点，所以直线PQ的斜率存在，
不妨设直线PQ为y=kx，
则
将直线PQ代入圆的一般方程，整理得：
又因为是圆上的两点，所以，
解得，
由韦达定理可得：
所以。
故答案为：D.
【分析】利用圆的方程求出圆心坐标和半径长，再利用向量共线定理判断出直线PQ过原点，又因为圆与y轴不相交，由是圆上的两点，O为坐标原点，所以直线PQ的斜率存在，进而设出直线方程，再结合点的坐标求出向量的坐标，再联立直线与圆的方程结合判别式法和韦达定理以及数量积的坐标表示，进而得出的取值范围和的值.
7．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：小明先后投掷两枚骰子，记“有一次投掷时朝上的点数为偶数”为事件A，包含27种情况，“两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为事件B，包含11种情况，
则
所以，
所以有一次投掷时朝上的点数为偶数，则两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为。
故答案为：B.
【分析】记“有一次投掷时朝上的点数为偶数”为事件A，“两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为事件B，利用古典概型求概率公式得出p(A)和P(B)以及P(AB)的值，进而根据条件概率公式求解得出答案。
8．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由课本”探究与发现“可知函数的图象的两条渐近线分别为y=3x，x=0，
所以该函数对应的双曲线的焦点在y=3x与x=0的夹角（锐角）的角平分线l上，
设直线l：y=kx，
设分别为y=kx，y=3x的倾斜角，故
故为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，
因为y=kx是y=3x与x=0夹角（锐角）的角平分线，所以
由又因为
整理得出可得，
因为所以，所以
设焦点位于x轴上的双曲线方程为：，则双曲线的一条渐近线方程的斜率为，
所以
所以函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C的离心率为：
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与倾斜角的关系式、角平分线的定义、两角差的正切公式、一元二次方程求解方法，进而得出k的值，从而得出双曲线渐近线的斜率的值，再由双曲线的离心率与的关系式，进而得出双曲线C的离心率的值。
9．【答案】A,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；回归分析的初步应用；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，“”的否定为“，”，所以A对；
对于B，设是两个不同的平面，m是直线且，由“”推出“”，满足充分性，由“”不一定推出“”，有可能推出也有可能推出与是非垂直的相交关系，所以不满足必要性，所以B错；
对于C，因为随机变量X服从正态分布，所以正态曲线关于x=10对称，则，所以C错；
对于D，对具有线性相关关系的变量x，y，因为样本的中心为，所以将样本中心代入线性回归方程得出2=2m-m，则实数m的值是2。
故答案为：AD.
【分析】利用全称命题与特称命题互为否定的关系判断选项A，利用充分条件和必要条件的判断方法，从而判断出选项B，利用正态曲线的对称性，进而得出概率关系，从而判断出 选项C，利用线性回归直线恒过样本中心点结合代入法，进而得出实数m的值，从而判断出选项D。
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为将函数图象上点的横坐标缩短为原来的，得出的图象，然后将所得图象向右平移个单位，得到的图象，
因为，所以，由于且，
故，所以所以所以A、B都对；
对于选项C，由所以
所以函数的单调递增区间为，所以C错；
对于选项D，因为所以为图象的一条对称轴，所以D对。
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合三角型函数的图象变换得出函数g(x)的图象与的关系式，进而得出的值，从而得出函数g(x)和f(x)的解析式，再利用正弦型函数的图象的对称轴与最值的关系，进而求出正弦型函数g(x)的一条对称轴，再由换元法和正弦型函数的单调性，进而得出其单调区间，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，当a=0时，函数，则
则由点斜式方程得出切线方程为：y=2x，所以A错；
对于B，因为所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，
所以函数f(x)在上的最大值与最小值之和为0，所以B对；
对于C，若在R上为增函数，所以在R上恒成立，
可得在R上恒成立，
由基本不等式和得出，当且仅当x=0时成立，
所以a的取值范围为，所以C对；
对于D，令，解得或，
令，，
令，则，可得，
所以，当时，，所以函数g(x)在上单调递增，
又因为g(-x)=g(x)，所以g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，
所以函数g(x)在上单调递增，函数g(x)在上单调递减，
因此直线与最多有2个交点，
所以在R上至多有3个零点，所以D对。
故答案为：BCD.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线方程，从而判断出选项A；利用已知条件结合奇函数的定义判断出函数为奇函数，再结合奇函数的图象对称性和最值的关系，进而判断出选项B；利用求导的方法判断函数的单调性和基本不等式求最值的方法以及平方数的取值范围，从而结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围，进而判断出选项C；利用函数的零点的定义和函数的单调性和奇偶性，从而判断出函数在R上的零点个数，进而判断出选项D。
12．【答案】A,B,C
【知识点】等比数列概念与表示；概率的应用
【解析】【解答】解：对于A，青蛙跳跃2次后位于B点的路线为和，
所以青蛙跳跃2次后位于B点的概率，所以A对；
对于B，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点B，C，D上的概率分别为
所以，，
所以，
，，
所以，
所以，则，
所以，所以，
所以数列是等比数列，所以B对；
对于C，
当n为奇数时，所以C对；
对于D，，因为由对称性可得，所以D错。
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合分类加法计数原理何分步乘法计数原理求出概率，从而判断出选项A；利用等比数列的定义和变形法结合已知条件判断出选项B；利用等比数列的通项公式和放缩法判断出选项C；利用已知条件和数列的通项公式以及对称性，从而判断出选项D。
13．【答案】4
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：已知抛物线的焦点为，又因为点A在抛物线上，所以，
因为到x轴距离为2，抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，
所以
所以，因为，则p=4。
故答案为：4.
【分析】利用已知条件结合抛物线方程确定焦点位置，进而得出焦点坐标，再结合代入法和抛物线方程得出点A的坐标，再由两点距离公式和点到x轴的距离求解方法，进而解一元二次方程和p的取值范围，从而得出满足要求的p的值。
14．【答案】7
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的前n项和为，，
所以所以
所以
因为公差，所以是开口向上的二次函数，所以当n=7时，取最小值，为
故答案为：7.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式，进而得出首项和公差的关系式，再结合等差数列前n项和公式和首项和公差的关系式，进而得出关于n的二次函数，再结合公差大于0，从而得出取最小值时对应的n的值。
15．【答案】200π
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】解：由已知条件得出米斗的示意图如下：
设棱台上底面中心为，下底面中心为，由棱台的性质可知，外接球的球心O落在线段上，
由题意可知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则
所以
设外接球的半径为R，则
因为垂直于上、下底面，所以即
又因为即
联立（1）(2)得出
所以该米斗的外接球的表面积为
故答案为：.
【分析】根据正四棱台的对称性得到外接球的球心的位置，再根据垂直关系结合勾股定理得出方程组，从而解方程组得出外接球的半径，最后由球的半径结合球的表面积公式得出该米斗的外接球的表面积。
16．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：若，，且，不等式恒成立，
所以，不等式恒成立，所以，不等式恒成立，
令，
所以
，
当且仅当 时等式成立，即即等号成立，
所以，所以，则m的取值范围为
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合”1“的灵活运用和基本不等式变形求最值的方法，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
17．【答案】（1）解：由题意：，解得：.
所以，所以.
（2）解：
.
.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等比中项公式，再结合等差数列和等比数列的项与项的关系，从而得出等比数列的首项和公比的值，再结合等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式等差数列的通项公式。
（2）利用（1）求出的等比数列的通项公式和等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法，进而得出数列的前n项和。
18．【答案】（1）解：
于是.
在中，由正弦定理得，
因为，则，即
因为，因此即又
所以
（2）解：由(1)知，，有
而与的平分线交于点I，即有
于是
设，则且
在中，由正弦定理得，．
所以，
所以的周长为
．．
由，得
则当，即时，的周长取得最大值
所以周长的最大值为
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和正弦定理，再结合两角和的正弦公式和三角形内角和为180°的性质，从而由诱导公式和同角三角函数基本关系式，再由三角形中角的取值范围，进而得出角C的值。
（2）由（1）得出的角C的值和三角形内角和为180°的性质，从而得出的值，而与的平分线交于点I，进而得出的值，从而得出的值，设，则且再利用正弦定理和三角形的周长公式以及辅助角公式，进而由三角型函数的图象求最值的方法，从而得出三角形周长的最大值。
19．【答案】（1）解：，
（2）解：由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为
，10人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
；
；
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望
（3）解：用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率，则
令，解得
所以当或，最大．
所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名.
【知识点】分层抽样方法；概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，列出关系式，求解从而得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出随机变量X的可能的取值，再利用超几何分布分别求出随机变量X分别取0，1，2，3时的概率，进而得出随机变量X的分布列，再由随机变量分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（3）先求出周平均阅读时间在内的概率，进而求出，再由解出实数k的取值范围，进而得出周平均阅读时间在内的学生最可能的人数。
20．【答案】（1）证明：取DE中点L，DC中点K，AD中点M，DB中点J
是平行四边形
，
是平行四边形，
平面.
（2）解：由(1)知，直线AE与平面BDEF所成角等于直线GB与平面BDEF所成角
作，，连结IF，
，G都是所在棱的中点，平面DBEF，
点到平面DBEF的距离等于H点到平面DBEF的距离d，
，，
由等面积法可知：即，解得
则角为锐角，故
所以直线AE与平面BDER所成角的余弦值为。
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点作中位线的方法，进而由中位线的性质得出线线平行，再结合平行四边形的定义判断出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的定义得出线线平行，从而由线线平行结合线面平行的判定定理，进而证出平面AEF。
（2）由(1)结合线面角的定义知，直线AE与平面BDEF所成角等于直线GB与平面BDEF所成角，作，，连结IF，再利用中点作中位线的方法，从而由中位线的性质证出线面平行，所以点G到平面DBEF的距离等于H点到平面DBEF的距离d，再结合三角函数的定义得出HI的长，再由等面积法可知d的值，最后由正弦函数的定义和同角三角函数基本关系式得出直线AE与平面BDER所成角的余弦值。
21．【答案】（1）解：周长为
可得为定值，
所以点P的轨迹是一个椭圆（去掉左右顶点），
于是，
又因为是所以点P不能位于x轴上，
所以点P的轨迹方程为；
（2）解：由题意，直线l的斜率不为0，设直线，
将直线l与椭圆联立得到
由韦达定理，得
直线，令可得，同理．
由可得
化简得到
即亦即
代入韦达定理整理得，，解得
所以直线l的方程为
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形的周长公式和椭圆的定义，进而得出点P的轨迹方程。
（2）由题意，直线l的斜率不为0，设直线，将直线l与椭圆联立和韦达定理以及赋值得出点的坐标的方法，从而由三角形的面积公式和等面积法，进而得出直线l的方程。
22．【答案】（1）解：
注意到在定义域上单调递减，且可知在单调递增，在
单调递减
则的最大值为
（2）解：①因存在两个零点故不是单调函数，于是有解，即
，此时
注意到恒成立
设则在单调递增，在单调递减，
由(1)可知而当时，在仅有1个零点
当时，此时，
取，有，结合，可知
故在上存在一个零点；
当时，，此时，
取，有，结合，可知，故在上存在一个零点
综上可知，当时，存在两个零点，
②不妨取，当时，由(i)可知若成等差数列，则有因在单调，故
而
令
当时，
令
则
故在单调递减，而故，使得
即不存在，使得故不存在这样的a。
【知识点】函数的最大（小）值；函数在某点取得极值的条件；等差数列概念与表示；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值。
（2）①利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理，从而求出满足要求的实数a的取值范围；
②设为的极值点，由(i)可知再利用等差中项公式和函数求导判断单调性的方法，从而得出不存在，使得故不存在这样的a。
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