广东省东莞市七校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（2023高二上·佛山期末）如图，直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·佛山期末）已知向量，，满足，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
3．（2023高二上·佛山期末）已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023高二上·东莞期中） 抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·东莞期中） 直线与直线平行，那么该两平行线之间距离是（ ）
A．0 B． C． D．
6．（2023高二上·东莞期中） 如图，四边形ABCD为平行四边形，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·东莞期中）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（ ）.
A． B． C． D．
8．（2023高二上·东莞期中）如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高二上·东莞期中） 已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ）
A．实轴长为6 B．焦距为5
C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为4
10．（2023高二上·东莞期中） 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
11．（2023高二上·东莞期中） 设圆，点，若圆O上存在两点到A的距离为2，则的可能取值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2023高二上·东莞期中）在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得
C．三棱锥的体积为
D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二上·东莞期中） 若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为 .
14．（2023高二上·深圳期中）已知分别是平面的法向量，且，则 .
15．（2023高二上·东莞期中） 设半径为3的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程 .
16．（2023高二上·东莞期中） 已知实数，满足，则代数式的最大值为 .
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17．（2023高二上·东莞期中）在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点.
（1）求点的坐标；
（2）求过点且与直线垂直的直线.
18．（2023高二上·东莞期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．（2023高二上·东莞期中） 已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上.
（1）求双曲线方程；
（2）若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积.
20．（2023高二上·东莞期中） 党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.
（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门？并说明理由.
21．（2023高二上·东莞期中）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
22．（2023高二上·东莞期中）已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角的求解方法和两角互补的关系，进而得出直线l的倾斜角的值。
2．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】，，
，
解得
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出实数x的值。
3．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为，
圆的半径为，
故所求圆的方程为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合中点坐标公式得出圆心坐标，再结合两点距离公式得出圆的半径长，从而得出圆的标准方程。
4．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【解答】解：由题意得，抛物线可化为标准方程，焦点在y轴的正半轴上，
则，所以准线方程为，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解.
5．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以且，解得，
所以两直线方程为直线与直线，
即与.
故两平行线之间距离为.
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行可得关于m的方程，从而求得值，再利用两平行直线间的距离公式求出答案.
6．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为平行四边形，
所以、不共线，
选取、为基底，由题可知，
则，
由知，，所以.
则，，
又因为
，
所以，
又向量，不共线，所以.
故答案为：D.
【分析】利用向量的减法得到，再利用向量的加法与数乘运算可得，根据向量、不共线可得，.
7．【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：设椭圆标准方程为，则，
可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为，
故离心率，
则，，，
由，则.
故答案为：C.
【分析】利用椭圆的几何性质，结合的等量关系以及离心率的计算公式，通过比较大小，可得出结论.
8．【答案】B
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
因为几何体为 正方体，
所以⊥平面，平面，
所以⊥，
由于平面平面，
所以直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面所成角，
故为直线BP与上底面所成角，
则，
因为，所以，
故点P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，
故轨迹长度为.
故答案为：B.
【分析】先证⊥，可得为直线BP与上底面所成角，从而得到P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，求出轨迹长度即可.
9．【答案】A,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由双曲线，
可得，则，
可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为，
所以A正确，B、C不正确；
又由双曲线的渐近线方程为，
即，且焦点，
不妨设右焦点，渐近线为，
则焦点到渐近线的距离为，所以D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
10．【答案】B,D
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量坐标表示的应用；数量积表示两个向量的夹角；平面的法向量
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，，，
对于A：若存在实数使得，则，显然方程组无解，所以不存在使得，
即与不共线，故A错误；
对于B：因为，所以与同向的单位向量，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：设平面的法向量，
则，取，得，故D正确；
故答案为：BD
【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意设以为圆心，为半径的圆为圆，
所以圆，圆心为，半径为，则两圆圆心距为：
因为圆O上存在两点到A的距离为，所以圆与圆相交
所以，解得：.
所以r的取值范围是：.
故答案为：BCD.
【分析】将问题转化为以为圆心，为半径的圆为圆与圆相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案.
12．【答案】A,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间向量基本定理；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意得，
向量，故A正确；
假设存在点，设，，
所以.
若，
所以.解得.故B错误；
因为正三棱柱，所以，
所以，
所以，故C正确；
设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱，
所以平面，所以即与平面所成的角，
则.故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用空间向量运算求解判断A；利用空间向量运算求解判断B；利用等体积法求解判断C；利用线面角的求解判断D.
13．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，
，解得，
故答案为：.
【分析】根据双曲线的性质即可求解.
14．【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，所以，解得.
故答案为：-3.
【分析】根据平面法向量的定义以及面面平行的性质可知，利用向量平行的坐标表示即可求得的值.
15．【答案】或
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意设所求的圆的方程为：.
圆心到直线的距离为，
圆被直线：截得的弦的中点为，，
解得或，
即所求的圆的方程为：或.
故答案为：或.
【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆C的方程．
16．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的应用；圆锥曲线的轨迹问题；椭圆的参数方程
【解析】【解答】解：因实数，满足，，
故可知点的轨迹是以为两焦点的椭圆，轨迹方程为：，
故可设该椭圆的参数方程为：（为参数）
则，
故当时，取得最大值为
故答案为：.
【分析】先根据方程判断点的轨迹方程，再将其转化为参数方程，代入所求式，利用正弦型函数的有界性求解即得.
17．【答案】（1）解：四边形为菱形，轴，
轴，可设，
，
，
解得：（舍或，．
，中点坐标为，
由于，且是中点，
点坐标为，
（2）解：，，由中点坐标公式得，
又，，
则过点且与直线垂直的直线斜率为：，
所求直线方程为：，即．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式；直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）根据题意可设，利用，求的坐标，利用中点坐标公式求出，
（2）先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为求出直线斜率，进而可得到答案．
18．【答案】（1）证明：，所以得，又，所以，
又，，平面，所以平面，
（2）解：知，，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，，，，1，
则，0，，，1，，，，，
设平面的一个法向量，，，
则有，令，则有，，
平面的一个法向量，0，，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用勾股定理得，进而证平面，
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值．
19．【答案】（1）解：由题知，解得，，
所以双曲线C的方程为：
（2）解：
根据双曲线的定义得，
解方程得，
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质以及待定系数法，解方程组即可得出双曲线的方程；
（2）根据双曲线定义和列方程组求解，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案.
20．【答案】（1）解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，
设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，
因为点、在圆上，则，解得，。
所以，圆弧所在圆的方程为，
因此，圆弧的方程为.
（2）解：不能，理由如下，
此火车不能通过该路口，
由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米，
所以货车右侧的最高点的坐标为，
因为，因此，该货车不能通过该路口.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为，将点、的坐标代入圆的方程，求出、的值，结合图形可得出圆弧的方程；
（2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧的方程，可得出结论.
21．【答案】（1）证明：取中点，连接，
为的中点，
，又，
，
四边形为平行四边形：
，
平面平面，
平面；
（2）解：平面平面，平面平面平面，平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
，平面与平面所成的夹角的余弦为.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
22．【答案】（1）解：由题意可得：，
解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）解：因为左焦点，
由题意可得直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为为不等于0的实数），，，，，
由，可得，
则，，，
所以，
所以的中点为，，
所以线段的中垂线方程为：，
令，则，即点纵坐标为，
又因为是与轴交于负半轴，所以，，
又因为点的纵坐标的最大值为，
所以，解得，
又因为
，
因为，
令，，由于函数在单调递增，
所以在，上单调递增，
所以，，
所以，，
即的取值范围为：，．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；圆锥曲线的综合；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【分析】（1）由题意列出方程组，求解即可；
（2）设直线的方程为为不等于0的实数），联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得中点坐标，进而得线段的中垂线方程，求出的纵坐标，结合题意求得，由弦长公式可得，令，，根据函数的单调性求出其值域即得答案．
1 / 1广东省东莞市七校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（2023高二上·佛山期末）如图，直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角的求解方法和两角互补的关系，进而得出直线l的倾斜角的值。
2．（2023高二上·佛山期末）已知向量，，满足，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】，，
，
解得
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出实数x的值。
3．（2023高二上·佛山期末）已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为，
圆的半径为，
故所求圆的方程为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合中点坐标公式得出圆心坐标，再结合两点距离公式得出圆的半径长，从而得出圆的标准方程。
4．（2023高二上·东莞期中） 抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【解答】解：由题意得，抛物线可化为标准方程，焦点在y轴的正半轴上，
则，所以准线方程为，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解.
5．（2023高二上·东莞期中） 直线与直线平行，那么该两平行线之间距离是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以且，解得，
所以两直线方程为直线与直线，
即与.
故两平行线之间距离为.
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行可得关于m的方程，从而求得值，再利用两平行直线间的距离公式求出答案.
6．（2023高二上·东莞期中） 如图，四边形ABCD为平行四边形，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为平行四边形，
所以、不共线，
选取、为基底，由题可知，
则，
由知，，所以.
则，，
又因为
，
所以，
又向量，不共线，所以.
故答案为：D.
【分析】利用向量的减法得到，再利用向量的加法与数乘运算可得，根据向量、不共线可得，.
7．（2023高二上·东莞期中）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：设椭圆标准方程为，则，
可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为，
故离心率，
则，，，
由，则.
故答案为：C.
【分析】利用椭圆的几何性质，结合的等量关系以及离心率的计算公式，通过比较大小，可得出结论.
8．（2023高二上·东莞期中）如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
因为几何体为 正方体，
所以⊥平面，平面，
所以⊥，
由于平面平面，
所以直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面所成角，
故为直线BP与上底面所成角，
则，
因为，所以，
故点P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，
故轨迹长度为.
故答案为：B.
【分析】先证⊥，可得为直线BP与上底面所成角，从而得到P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，求出轨迹长度即可.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高二上·东莞期中） 已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ）
A．实轴长为6 B．焦距为5
C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为4
【答案】A,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由双曲线，
可得，则，
可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为，
所以A正确，B、C不正确；
又由双曲线的渐近线方程为，
即，且焦点，
不妨设右焦点，渐近线为，
则焦点到渐近线的距离为，所以D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
10．（2023高二上·东莞期中） 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
【答案】B,D
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量坐标表示的应用；数量积表示两个向量的夹角；平面的法向量
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，，，
对于A：若存在实数使得，则，显然方程组无解，所以不存在使得，
即与不共线，故A错误；
对于B：因为，所以与同向的单位向量，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：设平面的法向量，
则，取，得，故D正确；
故答案为：BD
【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D.
11．（2023高二上·东莞期中） 设圆，点，若圆O上存在两点到A的距离为2，则的可能取值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B,C,D
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意设以为圆心，为半径的圆为圆，
所以圆，圆心为，半径为，则两圆圆心距为：
因为圆O上存在两点到A的距离为，所以圆与圆相交
所以，解得：.
所以r的取值范围是：.
故答案为：BCD.
【分析】将问题转化为以为圆心，为半径的圆为圆与圆相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案.
12．（2023高二上·东莞期中）在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得
C．三棱锥的体积为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】A,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间向量基本定理；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意得，
向量，故A正确；
假设存在点，设，，
所以.
若，
所以.解得.故B错误；
因为正三棱柱，所以，
所以，
所以，故C正确；
设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱，
所以平面，所以即与平面所成的角，
则.故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用空间向量运算求解判断A；利用空间向量运算求解判断B；利用等体积法求解判断C；利用线面角的求解判断D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二上·东莞期中） 若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，
，解得，
故答案为：.
【分析】根据双曲线的性质即可求解.
14．（2023高二上·深圳期中）已知分别是平面的法向量，且，则 .
【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，所以，解得.
故答案为：-3.
【分析】根据平面法向量的定义以及面面平行的性质可知，利用向量平行的坐标表示即可求得的值.
15．（2023高二上·东莞期中） 设半径为3的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程 .
【答案】或
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意设所求的圆的方程为：.
圆心到直线的距离为，
圆被直线：截得的弦的中点为，，
解得或，
即所求的圆的方程为：或.
故答案为：或.
【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆C的方程．
16．（2023高二上·东莞期中） 已知实数，满足，则代数式的最大值为 .
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的应用；圆锥曲线的轨迹问题；椭圆的参数方程
【解析】【解答】解：因实数，满足，，
故可知点的轨迹是以为两焦点的椭圆，轨迹方程为：，
故可设该椭圆的参数方程为：（为参数）
则，
故当时，取得最大值为
故答案为：.
【分析】先根据方程判断点的轨迹方程，再将其转化为参数方程，代入所求式，利用正弦型函数的有界性求解即得.
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17．（2023高二上·东莞期中）在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点.
（1）求点的坐标；
（2）求过点且与直线垂直的直线.
【答案】（1）解：四边形为菱形，轴，
轴，可设，
，
，
解得：（舍或，．
，中点坐标为，
由于，且是中点，
点坐标为，
（2）解：，，由中点坐标公式得，
又，，
则过点且与直线垂直的直线斜率为：，
所求直线方程为：，即．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式；直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）根据题意可设，利用，求的坐标，利用中点坐标公式求出，
（2）先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为求出直线斜率，进而可得到答案．
18．（2023高二上·东莞期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：，所以得，又，所以，
又，，平面，所以平面，
（2）解：知，，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，，，，1，
则，0，，，1，，，，，
设平面的一个法向量，，，
则有，令，则有，，
平面的一个法向量，0，，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用勾股定理得，进而证平面，
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值．
19．（2023高二上·东莞期中） 已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上.
（1）求双曲线方程；
（2）若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积.
【答案】（1）解：由题知，解得，，
所以双曲线C的方程为：
（2）解：
根据双曲线的定义得，
解方程得，
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质以及待定系数法，解方程组即可得出双曲线的方程；
（2）根据双曲线定义和列方程组求解，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案.
20．（2023高二上·东莞期中） 党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.
（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门？并说明理由.
【答案】（1）解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，
设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，
因为点、在圆上，则，解得，。
所以，圆弧所在圆的方程为，
因此，圆弧的方程为.
（2）解：不能，理由如下，
此火车不能通过该路口，
由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米，
所以货车右侧的最高点的坐标为，
因为，因此，该货车不能通过该路口.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为，将点、的坐标代入圆的方程，求出、的值，结合图形可得出圆弧的方程；
（2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧的方程，可得出结论.
21．（2023高二上·东莞期中）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取中点，连接，
为的中点，
，又，
，
四边形为平行四边形：
，
平面平面，
平面；
（2）解：平面平面，平面平面平面，平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
，平面与平面所成的夹角的余弦为.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
22．（2023高二上·东莞期中）已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得：，
解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）解：因为左焦点，
由题意可得直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为为不等于0的实数），，，，，
由，可得，
则，，，
所以，
所以的中点为，，
所以线段的中垂线方程为：，
令，则，即点纵坐标为，
又因为是与轴交于负半轴，所以，，
又因为点的纵坐标的最大值为，
所以，解得，
又因为
，
因为，
令，，由于函数在单调递增，
所以在，上单调递增，
所以，，
所以，，
即的取值范围为：，．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；圆锥曲线的综合；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【分析】（1）由题意列出方程组，求解即可；
（2）设直线的方程为为不等于0的实数），联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得中点坐标，进而得线段的中垂线方程，求出的纵坐标，结合题意求得，由弦长公式可得，令，，根据函数的单调性求出其值域即得答案．
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