(共34张PPT)
圆
3.3 垂径定理
北师大版九年级下册
教材分析
该节内容为1课时。圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理。
教材为教师提供了基本的教学素材，但如何使用这些素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在探索垂径定理的时候，其中一个难点在于如何证明垂径定理，这时通过类比等腰三角形的轴对称性，可以使学生对证明的思考得到突破，从而寻找出合理的证明方向。这既使学生掌握了新知识，也培养了学生的学习数学的类比思想和观察、猜想的能力．
教学目标
1知识技能目标：
理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。
2过程方法目标：
经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。学会与人合作探索获得新知识的一些方法。
3情感态度与价值观：
通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。
旧知导入
1、举例什么是轴对称图形。
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形
2、举例什么是中心对称图形。
把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
平行四边形、正方形、矩形
旧知导入
3.什么是弦？什么是弧？什么是直径？
圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧;连接圆上任意两点的部分叫做弦;经过圆心的弦叫做直径.
4.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？是中心对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
5.在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？如果弦相等呢？
探究新知
如图，AB为⊙ O的直径，CD为⊙ O的弦，AB, CD相交于点E，当弦CD在圆上运动的过程中有没有特殊情况？
直径AB和弦CD互相垂直
探究新知
在⊙O中，AB为弦，CD为直径，AB⊥CD
你在圆中还能找到那些相等的量？
AE=BE，
能证明这个结论吗？试试看
探究新知
C
.
O
A
E
B
D
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD.
证明：连结OA、OB，则OA＝OB.因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴.所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、 BD重合.因此
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
证明方法1
探究新知
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦CD⊥AB，垂足为E.求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD.
C
.
O
A
E
B
D
证明方法2
结论提炼
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
数学语言
∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径，
∴AE=BE，AD=BD，AC=BC.
C
.
O
A
E
B
D
⌒
⌒
⌒
⌒
讨论分析
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
●O
A
B
C
D
E└
得出结论
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分
弦所对的另一条弧
.
O
A
E
B
D
C
提炼升华
垂径定理的几个基本图形
典例分析
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
.
A
E
B
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
典例分析
例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
.
A
C
D
B
O
E
┐
典例分析
例3 已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD
⌒
⌒
证明：作直径MN⊥AB。
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
课堂练习
【知识技能类作业】必做题
1.判断
(1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧 ( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心( )
(3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分( )
(4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
×
√
×
×
√
课堂练习
B
C
课堂练习
B
C
课堂练习
2
5.5
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
7
课堂练习
【综合实践类作业】
课堂练习
课堂总结
谈谈这节课有何收获？！
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
B
A
A
【知识技能类作业 必做题】
作业布置
C
C
D
A
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
9．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
作业布置
作业布置
【综合实践类作业】
作业布置
作业布置
板书设计
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
数学语言
∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径，
∴AE=BE，AD=BD，AC=BC.
C
.
O
A
E
B
D
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第三章
课标要求 1.与圆有关的概念:正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系。2.与圆有关的角:掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径。3.圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理:定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的，需注意“在同圆或等圆中”中这个关系。4.与圆有关的位置关系:了解点和圆、直径和圆、圆和圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键。5.切线长定理:切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据。6.会计算圆的弧长、扇形的面积。7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。8.会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。9.在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
内容分析 与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，也是“空间与图形”的主要研究对象，是人们生活中常见的图形。在学生前面学习了一些基本的直线形一一三角形、四边形等的基础上，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，进一步研究一个基本的曲线形一一圆，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识.探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。由于本章综合性强，会与全等、相似、四边形等知识相联系，往往在考试中得分率较低，因此在讲授本章知识时，教师要注意从具体情景出发，使学生了解知识的来源和形成，加深对数学概念的理解，从而达到能熟练掌握知识技能并应用其灵活解决问题的能力。
学情分析 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质，而且把直线形里学过的一些基本图形，几何变换加以灵活运用．通过本章的学习，学生会对圆有一个较为全面系统的认识，而且对各种数学思想如分类讨论，转化思想，完全归纳、类比的思想等有很好的理解和把
单元目标 （一）教学目标1、经历探索圆及其相关结论的过程，认识圆的轴对称性和中心对称性；2、探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等的关系定理；3、探索并理解圆心角和圆周角的关系定理，三种位置关系及对应的数量关系；4、知道三角形的外心和内心；5、探索并理解直线与圆的位置关系，掌握切线的性质与判断；6、了解正多边形与圆的关系，会计算弧长和扇形的面积。（二）教学重点、难点教学重点：圆周角定理和切线的性质与判定的理解和运用.教学难点：对圆集合定义的理解，运用相关定理进行证明与计算.
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1圆的认识13.2圆的对称性13.3垂径定理13.4圆心角与圆周角的关系13.5确定圆的条件13.6圆与直线的位置关系13.7切线长定理13.8圆内接正多边形13.9弧长与扇形面积13.10回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1圆的认识1、了解圆在生活中的广泛应用，理解圆的概念及点与圆的位置关系。2、经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆的位置关系的过程，并感受观察、分析、归纳、抽象概括等获得知识重要方法。3、通过讲解点与圆的位置关系、认识弧、弦，学生操作与小组活动相结合，层层推进，潜移默化，使学生掌握知识。4、借助生活中丰富的感性图片营造出亲切，和谐的课堂气氛，激励全体学生参与整个活动。1、讨论应排成什么样的队形可以使游戏公平，并通过画圆解决问题2，并体会圆是怎样形成的。2、小组合作、自主探索，大胆发言，相互补充，突破难点。3、归纳，理解、自由发言、相互补充、形成圆的概念、及圆与点的为关系、弧、弦。环节一：旧知导入环节二：新知探究（1）认识圆（2）点与圆的位置关系（3）认识认识弧、弦。3.2圆的对称性1．知识与技能（1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；（2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题。2．过程与方法（1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；（2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧。3．情感、态度与价值观经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣。回顾旧知猜想圆的对称性并加以验证。3画圆、理解圆心、半径、弦、弦心距、优弧、劣弧。4、根据等对等定理推导4个推论。环节一：旧知导入环节二：探究等对等定理3.3垂径定理1知识技能目标： 理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。2过程方法目标： 经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。学会与人合作探索获得新知识的一些方法。3情感态度与价值观： 通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。学生回顾旧知。学生在小组讨论过后，归纳垂径定理以及推论的条件和结论，并简述证明过程3、利用垂径定理解决实际问题。环节一：回顾旧知环节二：探究垂径定理环节三：典例分析3.4圆心角与圆周角的关系一、教学知识点1.掌握圆周角定理几个推论的内容。2．会熟练运用推论解决问题。二、能力训练要求1．培养学生观察、分析及理解问题的能力。2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。三、情感与价值观要求培养学生的探索精神和解决问题的能力。复习旧知。观察、发现、总结圆周角的定义，并完成练一练。学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本环节，得出圆心角和圆周角额关系。学生完成习题环节一：旧知导入环节二：探究圆周角定义环节三：探究圆心角与圆周角的关系。环节四：典例分析3.5确定圆的条件经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程；2、了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，会过不在同一直线上三点作一个圆；3、在确定圆的条件的探究过程中，感受类比和转化的数学思想.1、学生回顾思考2、作线段的垂直平分线。3、学生按要求经过1点、点、三点画圆。然后小组讨论确定圆的条件。4、分别画直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的外接圆，理解圆心的位置环节一：回顾旧知环节二：探究确定圆的条件。3.6圆与直线的位置关系一、知识与技能：1.根据定义来判断直线和圆的三种位置关系；2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系。3.理解切线定理，并运用切线定理解决实际问题。二、过程与方法： 经历生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而体会数形结合、分类讨论等数学思想。三、情感态度与价值观： 通过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索直线和圆的位置关系中，体会运动变化的观点，及量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感。学生集体回顾点与圆的位置关系。2、学生回答相交、相切和相离三种情况，并了解割线、切线。3、比较三个图中d和r的位置，并用对应的方式得出：相交 d﹤r 相切d﹦r ；相离d﹥r。4、学生快速学习，完成5个练习。5、学生思考,总结切线的性质定理。6、利用切线定理解决实际问题。环节一：复习旧知环节二：情景导入环节三：探究圆与直线的位置关系。环节四：探究切线定理。3.7切线长定理1．使学生理解切线长定义。2．使学生掌握切线长定理，并能初步运用。3．通过本节教学，进一步培养学生的动手操作能力和创新意识。4．学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。5．通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验成功。1、学生回顾知识2、学生小组合作，尝试作图.师巡视指导，参与到学生的活动中。3、学生思考得出结论，并证明结论的正确性。4、了解切线长与切线的关系。5作三角形的内接圆，理解其性质。6、证明圆的外切四边形两组对边的和相等7、运用切线长定理解决实际问题环节一：知识回顾环节二：探究切线长定理。环节三：探究三角形、四边形的内接圆。3.8圆内接正多边形（1）掌握正多边形和圆的关系；（2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；（3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题； （4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.（5）学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力.（6）通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识.1、学生回顾知识回答3个问题并总结归纳。2、总结正n边形的中心角、边心距、面积的计算，3、总结正多边形边数、内角、中心角、外角的关系.4、利用尺规画圆内接正四、五、六边形。并总结正n边形的画法环节一：知识回顾环节二：探究圆内接正多边形相关概念。环节三：探究圆内接正多边形的画法。3.9弧长与扇形面积1.让学生通过自主探索来认识扇形，掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.2.让学生经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生自主探索的能力；在利用弧长和扇形面积公式解题中，培养学生应用知识的能力，空间想象能力和动手画图能力，体会由一般到特殊的数学思想.3.通过现实生活图片的欣赏，让学生感受到美的生活离不开数学，激发学生学习数学的兴趣；通过对弧长和扇形面积公式的自主探究，让学生获得亲自参与研究探索的情感体验；通过同桌的讨论、交流和解决问题的过程，让学生更多的展示自己，建立自信，树立正确的价值观1、学生回顾知识。2、回答3个问题，从而得出计算弧长公式，3、运用公式解决实际问题.4、根据问题导向学生推导扇形面积公式。并独自完成例题2。5、推导已知弧长和半径求扇形面积的公式。6、理解弓形面积是是扇形面积与三角形面积的和或差环节一：知识回顾环节二：探究弧长计算。环节三：探究扇形面积计算。环节四：探究弧长与三角面积的关系。回顾与反思1、了解正多边形的概念及正多边形和圆的关系；会计算圆的弧长及扇形面积2、指导学生经历观察、猜想、验证、计算，归纳平移、旋转、轴对称、割补、等积变换等方法，掌握平行线、三角形、圆的有关性质定理的运用； 3、鼓励学生在认真观察之后进行小组讨论，交流解题方法，探索最优解题途径； 4、引导学生利用知识把复杂图形转化成简单几何图形进行求解，掌握转化的思想．1、学生课前完成，课堂展示，互相补充。2、对圆的定义及相关概念等十个问题逐一梳理，3、学生归纳得出与圆有关的面积计算的问题所涉及到的有关知识和主要方法环节一：知识框架环节二：知识梳理
《圆》单元教学设计
活动一：旧知导入
活动二：新知探究
任务一：
圆的认识
圆
活动一：知识回顾
活动二：探究等对等定理
任务二：
圆的对称性
活动一：知识回顾
活动二：探究垂径定理
任务三：
垂径定理
活动三：典例分析
活动一：旧知导入
活动二：探究圆周角定义
活动三：探究圆心角与圆周角的关系
任务四：圆心角与圆周角的关系
活动四：典例分析
活动一：知识回顾
任务五：确定圆的条件
活动二：探究新知
活动一：复习旧知
圆
活动二：情景导入
任务六：圆与直线的位置关系
活动三：探究圆与直线的位置关系
活动四：探究切线定理
活动一：复习回顾
任务七：切线长定理
活动二：探究切线长定理
活动二：探究多边形内接圆
活动一：知识回顾
活动二：探究圆内接正多边形相关概念
任务八：圆内接正多边形
活动三：圆内接正多边形的画法
活动一：知识回顾
活动二：探究弧长计算
任务九：弧长与扇形面积
活动三：探究扇形面积计算
活动四：探究扇形面积弧长之间关系
圆
任务十：回顾与反思
活动一：知识框架
活动二：知识梳理
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
九年级下册分课时教学设计
第一课时《3.3垂径定理》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 该节内容为1课时。圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理。 教材为教师提供了基本的教学素材，但如何使用这些素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在探索垂径定理的时候，其中一个难点在于如何证明垂径定理，这时通过类比等腰三角形的轴对称性，可以使学生对证明的思考得到突破，从而寻找出合理的证明方向。这既使学生掌握了新知识，也培养了学生的学习数学的类比思想和观察、猜想的能力．
学习者分析 学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能。 在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力。 垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会。因此，应该让学生大胆表述，并对各人的表述严谨分析，找出漏洞，反复提炼，直至得出正确的说法，使学生得到更好的锻炼。
教学目标 1知识技能目标： 理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。 2过程方法目标： 经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。学会与人合作探索获得新知识的一些方法。 3情感态度与价值观： 通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。
教学重点 1 垂径定理以及推论的证明， 2 垂径定理的简单应用，
教学难点 垂径定理及其推论的正确区分及运用
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：旧知导入； 教师活动1： 举例什么是轴对称图形。 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形 举例什么是中心对称图形。 把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 平行四边形、正方形、矩形 什么是弦？什么是弧？什么是直径？ 圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧;连接圆上任意两点的部分叫做弦;经过圆心的弦叫做直径. 4、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？是中心对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？如果弦相等呢？ 学生活动1： 学生回顾旧知活动意图说明： 回顾学过的几何图形的对称性及有关圆的知识，为下面学习圆的对称性做铺垫， 环节二：探究新知教师活动2： 1、如图，AB为⊙ O的直径，CD为⊙ O的弦，AB, CD相交于点E，当弦CD在圆上运动的过程中有没有特殊情况？ 【直径AB和弦CD互相垂直】 在⊙O中，AB为弦，CD为直径，AB⊥CD 你在圆中还能找到那些相等的量？ 证明方法1 证明方法2 2、结论提炼 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 3、讨论分析 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧 4、得出结论 命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分 弦所对的另一条弧 提炼升华 垂径定理的几个基本图形 学生活动2： 学生在小组讨论过后，归纳垂径定理以及推论的条件和结论，并简述证明过程活动意图说明： 让学生自己找出垂径定理的条件和结论，目的是培养学生的观察能力，概括能力，分析能力，调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识。使学生把知识归入体系。发散思维，开阔学生的想象空间，从而培养学生的创造能力，和创造思维。环节三：典例分析教师活动3： 例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。 解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。 例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD 学生活动3： 利用垂径定理解决实际问题。 活动意图说明： 通过实际问题的解决，使学生会用所学的知识解决日常生活中的有关问题，从而使数学真正的为生活所用。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.判断 (1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧 ( × ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心( ) (3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分( × ) (4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） 2. 如图，在 正方形网格中，一条圆弧经过 ，， 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 如图，将半径为 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 ，则折痕 的长为 ． A. B. C. D. 4. 如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的， 米， 米，且 ， 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 第4题 第5题 5. 如图，在半径为 的圆形铁片上切下一块高为 的弓形铁片，则弦 的长为 A. B. C. D. 6. 如图， 所在的直线垂直平分线段 ，利用这样的工具，最少使用 2 次，就可以找到圆形工件的圆心． 7. 如图， 是 的直径，， 是 的弦，直径 于点 ，若点 在优弧 上，，，则 5.5 ． 【选做题：】 8. 如图，， 是半径为 的 的两条弦，，， 是直径， 于点 ， 于点 ， 为 上的任意一点，则 的最小值为 7 ． 【综合拓展类作业】 如图，在以 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 交小圆于 ， 两点．求证：． 证明：过点 作 于点 ． 为圆心，且 ． ， 同理 ． ． 10. 如图所示，圆弧形桥拱的跨度 米，拱高 米，求拱桥的半径． 解：由题意知 ，， . 由勾股定理，得 . . 答：半径为 米．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ B ） A．6 B．5 C．4 D．3 第1题 第2题 第3题 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ A ） A．4 B．6 C．2 D．8 3．如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB＝16，BC＝12，则△OBD的面积为何？（ A ） A．6 B．12 C．15 D．30 4．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ C ） A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm 5．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ C ） A．3 B．3 C． D． 6．在⊙O内有一点P，已知OP＝，且圆内过点P的最短弦长为6，则⊙O的面积是（ D ） A．6π B．8π C．10π D．12π 7．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r＝，则OA的长为（A ） A．3或5 B．5 C．4或5 D．4 选做题： 8．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE＝4，OF＝6，求⊙O的半径和CD的长． 解：∵OE⊥AB， ∴∠OEF＝90°， ∵OC为小圆的直径， ∴∠OFC＝90°， 而∠EOF＝∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC， ∴OE：OF＝OF：OC，即4：6＝6：OC， ∴⊙O的半径OC＝9； 在Rt△OCF中，OF＝6，OC＝9，∴CF＝＝3， ∵OF⊥CD，∴CF＝DF， ∴CD＝2CF＝6． 9．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC＝BD； （2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长． 解：（1）证明：过O作OE⊥AB于点E， 则CE＝DE，AE＝BE， ∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD； （2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA， ∴OE＝6， ∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8， ∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2． 【综合拓展类作业】 10已知A，B，C，D是⊙O上的四个点． （1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD； （2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径． ．解：（1）∵∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴AC、BD是⊙O的直径， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AD＝CD， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD； （2）连接DO，延长交圆O于F，连接CF、BF． ∵DF是直径，∴∠DCF＝∠DBF＝90°，∴FB⊥DB， 又∵AC⊥BD， ∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD＝90°， ∵∠FCA+∠ACD＝90°∴∠BDC＝∠FCA＝∠BAC ∴四边形ACFB是等腰梯形，∴CF＝AB． 根据勾股定理，得 CF2+DC2＝AB2+DC2＝DF2＝20，∴DF＝， ∴OD＝，即⊙O的半径为．
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
