上海市浦东新区华二附中2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．已知，用有理数指数幂的形式表示 .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据有理数指数幂运算化简即可.
2．已知“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件；必要条件
【解析】【解答】解：记集合，集合B为，因为是的充分非必要条件可得集合A是集合B的真子集，所以，故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用充分条件和必要条件得到集合A，B的关系，从而求得实数的取值范围.
3．已知，，则 1（填“”或“”）
【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：因为，所以函数为减函数，又因为，所以.
故答案为：.
【分析】根据指数函数的单调性直接判断即可.
4．函数，的值域为 .
【答案】
【知识点】函数的值域；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：根据对勾函数的单调性可知，当时，函数取最大值，最大值为；当时，函数取最小值，最小值为2，故函数，的值域为.
故答案为：.
【分析】根据对勾函数的单调性求解即可.
5．集合，则的子集的个数是 .
【答案】8
【知识点】子集与真子集；集合中元素的个数问题；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：集合，集合的元素个数为，
所以集合的子集个数为.
故答案为：8.
【分析】先求集合A，确定集合A中的元素个数，再求集合A的子集个数即可.
6．已知函数，且，则 .
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：令，定义域为，满足，故函数为奇函数，，所以，则，故.
故答案为：.
【分析】令，判断函数的奇偶性，利用函数的奇偶性求值即可.
7．已知（a为常数，，），则的最小值是 .
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【分析】由已知条件可得，再利用基本不等式求解即可.
8．若，则 .
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，所以，则，故.
故答案为：.
【分析】根据对数指数互化可得，则，再利用对数的性质化简求值即可.
9．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则 年我国人口将超过20亿（，，）
【答案】2037
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：设年我国人口将超过20亿，由题意可得：，则，
则，即.
故答案为：2037.
【分析】根据题意列不等式，两边取对数求解即可.
10．设，表示不大于的最大整数，例如：，，，则使成立的x的取值范围是 .
【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，可得，所以或，解得或，
所以成立的的范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意，将成立转化为解绝对值不等式即可求得x的取值范围.
11．已知函数，，若关于x的方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可得有两个不同的实数根，设，此函数在上单调递减，在上单调递增，值域为，所以原方程可化为，
因为有两个不同的根，即在上只有一个根，所以或，
即或，解得或，故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】问题转化为有两个不同的实数根，设，结合此函数的单调性求得值域，即在上只有一个解，即或列不等式求解即可得实数的取值范围.
12．已知实数x、y满足，若的值与x，y无关，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】其他不等式的解法；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为实数，满足，所以设，又因为的值与无关，
所以与同号，所以，即，
由，所以，解得.
故答案为：.
【分析】由题意设，根据的值与无关得到，从而利用三角函数求的范围，即可求得实数的取值范围.
二、选择题（本大题共4题.满分20分）
13．用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上不一定有零点
B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度，应该接着计算
D．没有达到精确度，应该接着计算
【答案】D
【知识点】二分法求函数零点近似值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，，根据零点存在性定理可知，函数在区间上存在零点，故A错误；
因为1.5-1.375=0.125>0.1，所以没有达到精确度，应该接着计算，故D正确，BC错误.
故答案为：D.
【分析】利用二分法的判断函数零点分布的区间，再利用精确度判断是否达到精确度，从而确定近似值和接着要计算的值.
14．已知是定义在上的函数，根据下列条件，可以断定是严格增函数的是（ ）
A．对任意，都有
B．对任意，都有
C．对任意、，且，都有
D．对任意、，且，都有
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：A、函数，，对任意的，都有，但函数为减函数，故A错误；
B、对任意，都有，不满足函数单调性的定义，故B错误；
C、当函数为常函数时，对任意的，，都有，但函数不是增函数，故C错误；
D、 对任意、，且， 设，根据则必有，所以函数在上为增函数，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意，利用函数的单调性定义逐项分析即可.
15．已知函数，，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数恰有两个零点，则，即，则，
作函数与的图象如图所示：
当时，函数的图象过点，可得，由图象可知时，与的图象有两个交点；
当时，与的图象恒有两个交点；
综上可得：实数a的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，将问题转化为函数和的图象有两个不同的交点，画函数的图象，分和讨论求解a的取值范围即可.
16．若定义域为的函数同时满足以下两个条件：（1）对任意的，恒有；（2）若，，则有成立，我们就称为“函数”.现有下列判断：
①若为“函数”，则；
②若为“函数”，则在上为严格增函数；
③函数在上是“函数”；
④函数在上是“函数”
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：①若函数为函数，则满足，时，成立，
当时，成立，故①正确；
②当，满足条件（1），（2），但在不是增函数，故②错误；
③显然函数满足条件，当时，有，故，
当时，设，，则，故③错误；
④显然函数的最小值为0，满足条件，
，所以，满足条件（2），故④正确.
故答案为：C.
【分析】对于①取求解判断即可；对于②当满足题干条件但不是增函数判断②；当时取计算即可判断③；显然满足，再根据即可判断满足条件（2）判断④即可.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．
（1）已知正数a满足，，求的值；
（2）已知a、b、c均为正数，且，求的值.
【答案】（1）解：因为，所以.
所以：
（2）解：因为a、b、c均为正数，设，则，
所以，，，，
所以，；
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据，求得，再利用指数幂运算求解即可；
（2）设，利用指数对数互化，求得 a、b、c ，再根据对数的运算性质化简求值即可.
18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：因为为奇函数，所以，
设，则，
由为奇函数有
又时满足
故
（2）解：当时，为单调递增函数，
由奇函数可知是定义在上的增函数，
又因为，
所以，
故有即故.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据已知区间上的函数解析式，结合函数的奇偶性求整个定义域上的解析式即可；
（2）先判断函数在区间的单调性，从而得函数在区间的单调性，在利用单调性和奇偶性列不等式组求解即可.
19．如图，建立平面直角坐标系，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，若炮弹可以击中它，求k的取值范围.
【答案】（1）解：令，则或，
∵，，∴，当且仅当，即时等号成立，
故当时，炮的射程最大，最大射程为10千米；
（2）解：炮弹可以击中目标等价于存在，使得成立，
即关于x的方程有正根，解得，此时方程恰有两个正根，符合题意，因此.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系；二次函数模型
【解析】【分析】（1）令，则或0（舍去），再利用基本不等式求解最大射程即可；
（2）原问题等价于存在，使得成立，等价于关于x的方程有正根，利用判别式求解即可.
20．已知函数（，常数）.
（1）求函数的零点；
（2）根据a的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围，证明函数在上有且仅有1个零点.
【答案】（1）解：当时，无零点：当时，的零点为；
（2）解：，
当时，且对任意，，因此是偶函数
当时，且，因此是非奇非偶函数；
（3）解：在上任取，恒成立，
即恒成立，∴，
时，在上严格递减，因此在该区间上至多1个零点……①，
又在上的图像是一条连续的曲线，
且，
由零点存在定理并结合①，在区间上有且仅有1个零点.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）分和解方程即可求函数的零点；
（2）先求函数的定义域，再分和利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；
（3）利用单调性的定义，将问题转化为恒成立，求a的范围，根据函数的单调性结合零点存在性定理证明即可.
21．（2023高一上·魏县期末）对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函数．
（1）判断是否是函数在区间上的弱渐近函数，并说明理由．
（2）若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在函数，使得是函数在区间上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：
因为为恒正函数且在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故当时取得最大值，最大值为
故，得证．
（2）解：因为函数是函数在区间上的弱渐近函数，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
整理得：在区间上恒成立，
因为在上的最小值为，
得．
（3）解：不存在.
假设存在，则有
即，对任意成立，
等价于，对任意成立．
等价于，对任意成立
令，令，得，
当时，取得最大值，最大值为；
令，令，得，
易知
可得，不存在．
所以，假设不成立，不存在函数是函数在区间上的弱渐近函数．
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和弱渐近函数定义以及函数的单调性求最值的方法，进而判断出函数 是函数在区间上的弱渐近函数。
（2）利用已知条件和弱渐近函数定义以及函数的最值求解方法，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
（3）利用已知条件和弱渐近函数定义结合反证法，再结合函数的单调性得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而判断出不存在函数是函数在区间上的弱渐近函数。
1 / 1上海市浦东新区华二附中2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．已知，用有理数指数幂的形式表示 .
2．已知“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 .
3．已知，，则 1（填“”或“”）
4．函数，的值域为 .
5．集合，则的子集的个数是 .
6．已知函数，且，则 .
7．已知（a为常数，，），则的最小值是 .
8．若，则 .
9．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则 年我国人口将超过20亿（，，）
10．设，表示不大于的最大整数，例如：，，，则使成立的x的取值范围是 .
11．已知函数，，若关于x的方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是 .
12．已知实数x、y满足，若的值与x，y无关，则实数a的取值范围是 .
二、选择题（本大题共4题.满分20分）
13．用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上不一定有零点
B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度，应该接着计算
D．没有达到精确度，应该接着计算
14．已知是定义在上的函数，根据下列条件，可以断定是严格增函数的是（ ）
A．对任意，都有
B．对任意，都有
C．对任意、，且，都有
D．对任意、，且，都有
15．已知函数，，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．若定义域为的函数同时满足以下两个条件：（1）对任意的，恒有；（2）若，，则有成立，我们就称为“函数”.现有下列判断：
①若为“函数”，则；
②若为“函数”，则在上为严格增函数；
③函数在上是“函数”；
④函数在上是“函数”
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．
（1）已知正数a满足，，求的值；
（2）已知a、b、c均为正数，且，求的值.
18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数a的取值范围.
19．如图，建立平面直角坐标系，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，若炮弹可以击中它，求k的取值范围.
20．已知函数（，常数）.
（1）求函数的零点；
（2）根据a的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围，证明函数在上有且仅有1个零点.
21．（2023高一上·魏县期末）对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函数．
（1）判断是否是函数在区间上的弱渐近函数，并说明理由．
（2）若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在函数，使得是函数在区间上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据有理数指数幂运算化简即可.
2．【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件；必要条件
【解析】【解答】解：记集合，集合B为，因为是的充分非必要条件可得集合A是集合B的真子集，所以，故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用充分条件和必要条件得到集合A，B的关系，从而求得实数的取值范围.
3．【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：因为，所以函数为减函数，又因为，所以.
故答案为：.
【分析】根据指数函数的单调性直接判断即可.
4．【答案】
【知识点】函数的值域；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：根据对勾函数的单调性可知，当时，函数取最大值，最大值为；当时，函数取最小值，最小值为2，故函数，的值域为.
故答案为：.
【分析】根据对勾函数的单调性求解即可.
5．【答案】8
【知识点】子集与真子集；集合中元素的个数问题；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：集合，集合的元素个数为，
所以集合的子集个数为.
故答案为：8.
【分析】先求集合A，确定集合A中的元素个数，再求集合A的子集个数即可.
6．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：令，定义域为，满足，故函数为奇函数，，所以，则，故.
故答案为：.
【分析】令，判断函数的奇偶性，利用函数的奇偶性求值即可.
7．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【分析】由已知条件可得，再利用基本不等式求解即可.
8．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，所以，则，故.
故答案为：.
【分析】根据对数指数互化可得，则，再利用对数的性质化简求值即可.
9．【答案】2037
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：设年我国人口将超过20亿，由题意可得：，则，
则，即.
故答案为：2037.
【分析】根据题意列不等式，两边取对数求解即可.
10．【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，可得，所以或，解得或，
所以成立的的范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意，将成立转化为解绝对值不等式即可求得x的取值范围.
11．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可得有两个不同的实数根，设，此函数在上单调递减，在上单调递增，值域为，所以原方程可化为，
因为有两个不同的根，即在上只有一个根，所以或，
即或，解得或，故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】问题转化为有两个不同的实数根，设，结合此函数的单调性求得值域，即在上只有一个解，即或列不等式求解即可得实数的取值范围.
12．【答案】
【知识点】其他不等式的解法；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为实数，满足，所以设，又因为的值与无关，
所以与同号，所以，即，
由，所以，解得.
故答案为：.
【分析】由题意设，根据的值与无关得到，从而利用三角函数求的范围，即可求得实数的取值范围.
13．【答案】D
【知识点】二分法求函数零点近似值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，，根据零点存在性定理可知，函数在区间上存在零点，故A错误；
因为1.5-1.375=0.125>0.1，所以没有达到精确度，应该接着计算，故D正确，BC错误.
故答案为：D.
【分析】利用二分法的判断函数零点分布的区间，再利用精确度判断是否达到精确度，从而确定近似值和接着要计算的值.
14．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：A、函数，，对任意的，都有，但函数为减函数，故A错误；
B、对任意，都有，不满足函数单调性的定义，故B错误；
C、当函数为常函数时，对任意的，，都有，但函数不是增函数，故C错误；
D、 对任意、，且， 设，根据则必有，所以函数在上为增函数，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意，利用函数的单调性定义逐项分析即可.
15．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数恰有两个零点，则，即，则，
作函数与的图象如图所示：
当时，函数的图象过点，可得，由图象可知时，与的图象有两个交点；
当时，与的图象恒有两个交点；
综上可得：实数a的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，将问题转化为函数和的图象有两个不同的交点，画函数的图象，分和讨论求解a的取值范围即可.
16．【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：①若函数为函数，则满足，时，成立，
当时，成立，故①正确；
②当，满足条件（1），（2），但在不是增函数，故②错误；
③显然函数满足条件，当时，有，故，
当时，设，，则，故③错误；
④显然函数的最小值为0，满足条件，
，所以，满足条件（2），故④正确.
故答案为：C.
【分析】对于①取求解判断即可；对于②当满足题干条件但不是增函数判断②；当时取计算即可判断③；显然满足，再根据即可判断满足条件（2）判断④即可.
17．【答案】（1）解：因为，所以.
所以：
（2）解：因为a、b、c均为正数，设，则，
所以，，，，
所以，；
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据，求得，再利用指数幂运算求解即可；
（2）设，利用指数对数互化，求得 a、b、c ，再根据对数的运算性质化简求值即可.
18．【答案】（1）解：因为为奇函数，所以，
设，则，
由为奇函数有
又时满足
故
（2）解：当时，为单调递增函数，
由奇函数可知是定义在上的增函数，
又因为，
所以，
故有即故.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据已知区间上的函数解析式，结合函数的奇偶性求整个定义域上的解析式即可；
（2）先判断函数在区间的单调性，从而得函数在区间的单调性，在利用单调性和奇偶性列不等式组求解即可.
19．【答案】（1）解：令，则或，
∵，，∴，当且仅当，即时等号成立，
故当时，炮的射程最大，最大射程为10千米；
（2）解：炮弹可以击中目标等价于存在，使得成立，
即关于x的方程有正根，解得，此时方程恰有两个正根，符合题意，因此.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系；二次函数模型
【解析】【分析】（1）令，则或0（舍去），再利用基本不等式求解最大射程即可；
（2）原问题等价于存在，使得成立，等价于关于x的方程有正根，利用判别式求解即可.
20．【答案】（1）解：当时，无零点：当时，的零点为；
（2）解：，
当时，且对任意，，因此是偶函数
当时，且，因此是非奇非偶函数；
（3）解：在上任取，恒成立，
即恒成立，∴，
时，在上严格递减，因此在该区间上至多1个零点……①，
又在上的图像是一条连续的曲线，
且，
由零点存在定理并结合①，在区间上有且仅有1个零点.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）分和解方程即可求函数的零点；
（2）先求函数的定义域，再分和利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；
（3）利用单调性的定义，将问题转化为恒成立，求a的范围，根据函数的单调性结合零点存在性定理证明即可.
21．【答案】（1）解：
因为为恒正函数且在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故当时取得最大值，最大值为
故，得证．
（2）解：因为函数是函数在区间上的弱渐近函数，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
整理得：在区间上恒成立，
因为在上的最小值为，
得．
（3）解：不存在.
假设存在，则有
即，对任意成立，
等价于，对任意成立．
等价于，对任意成立
令，令，得，
当时，取得最大值，最大值为；
令，令，得，
易知
可得，不存在．
所以，假设不成立，不存在函数是函数在区间上的弱渐近函数．
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和弱渐近函数定义以及函数的单调性求最值的方法，进而判断出函数 是函数在区间上的弱渐近函数。
（2）利用已知条件和弱渐近函数定义以及函数的最值求解方法，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
（3）利用已知条件和弱渐近函数定义结合反证法，再结合函数的单调性得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而判断出不存在函数是函数在区间上的弱渐近函数。
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