数学人教A版（2019）必修第一册5.6.2函数y=Asin(ωx φ)的图象 课件（共45张ppt）

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人教2019版必修第一册
第五章 三角函数
5.6 函数
学习目标
上节课我们利用三角函数的知识建立了一个形如y=Asin（ωx+φ ） 其中（ A＞０ ， ω ＞０ ） 的函数 ． 显然 ， 这个函数由参数 A ， ω ， φ 所确定 ． 因此 ， 只要了
解这些参数的意义 ， 知道它们的变化对函数图象的影响 ， 就能把握这个函数的性质 ．
1. 探索 φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响
为了更加直观地观察参数φ 对函数图象的影响 ， 下面借助信息技术做一个数学实验 ．如图 5.6.4，取 A＝１ ， ω ＝１ ， 动点 M在单位圆 上以单位角速度按逆时针方向运动 ．图 5.6.4如果动点 M以 为起点 （ 此时 φ＝０ ）， 经过xｓ 后运动到点P ， 那么点 P的纵坐标 y就等于 sinx． 以 （ x ， y ） 为坐标描点 ， 可得正弦函数y =sinx 的图象 ．
在单位圆上拖动起点 ， 使点 绕点 旋转 到 ， 你发现图象有什么变化 ？如果使点绕点 旋转- ,,- ， 或者旋转一个任意角 φ呢
当起点位于时 ，φ= ， 可得函数y＝sin(x＋) 的图象 ．进一步 ， 在单位圆上 ， 设两个动点分别以， 为起点同时开始运动 ． 如果以 为起点的动点到达圆周上点 P的时间为xｓ ， 那么以为起点的动点相继到达点P 的时间是 (x- ｓ． 这个规律反映在图象上就是 ： 如果 F （ x ， y ） 是函数y＝sinx 图象上的一点 ， 那么 G(x- , y)就是函数 y＝sin(x＋) 图象上的点 ， 如图 5.6-4所示 ． 这说明 ， 把正弦曲线y＝sinx 上的所有点向左平移个单位长度 ， 就得到y＝sin(x＋)的图象 ．
分别说一说旋转- , , - 时的情况 ．
一般地 ， 当动点 M的起点位置 Q所对应的角为φ 时 ， 对应的函数是
y＝sin(x＋φ) (φ0)， 把正弦曲线上的所有点向左（ 当 φ ＞０ 时 ） 或向
右 （ 当 φ ＜０ 时 ） 平移 个单位长度 ， 就得到函数y＝sin(x＋φ) 的图象 ．
2. 探索 ω （ ω ＞０ ） 对y=sin（ωx+φ ） 图象的影响下面 ， 仍然通过数学实验来探索 ．如图 5.6.5， 取圆的半径 A=1． 为了研究方便 ，
不妨令φ ＝． 当 ω ＝１ 时得到y＝sin(x＋)的图象 ．
取 ω ＝２ ， 图象有什么变化 ？ 取 ω ＝ 呢 ？取 ω ＝３ ，ω ＝ ， 图象又有什么变化 ？当 ω 取任意正数呢
取ω ＝２ 时 ， 得到函数 y＝sin(2x＋) 的图象 ．进一步 ， 在单位圆上 ， 设以为起点的动点 ， 当 ω ＝１ 时到达点 P的时间为 ｓ ，当 ω ＝２ 时到达点 P的时间为ｓ． 因为 ω ＝２ 时动点的转速是 ω ＝１ 时的 ２ 倍 ，所以 ＝． 这样 ， 设 G （ x ， y ） 是函数y＝sin(x＋)图象上的一点 ， 那么K （， y ） 就是函数y＝sin(2x＋)图象上的相应点 ， 如图 5.6-5示 ． 这说明 ， 把y＝sin(x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（ 纵坐标不变 ）， 就得到 y＝sin(2x＋) 的图象 ．y＝sin(2x＋) 的周期为， 是y＝sin(x＋)的周期的 倍 ．
同理 ， 当 ω ＝时 ， 动点的转速是 ω ＝１ 时的 倍 ， 以为起点 ， 到达点 P的时间是 ω ＝１ 时的 ２ 倍 ． 这样 ， 把y＝sin(x＋)图象上所有点的横坐标扩大到原来的 ２ 倍 （ 纵坐标不变 ）， 就得到 y＝sin(x＋) 的图象 ． y＝sin(x＋)的周期为４π，
是 y＝sin(x＋) 的周期的 ２ 倍 ．
一般地 ， 函数 的周期是， 把 y＝sin(x＋ φ) 图象上所有点的横坐标缩短 （ 当 ω ＞１ 时 ） 或伸长 （ 当 ０＜ ω ＜１ 时 ） 到原来的倍 （纵坐标不变 ）， 就得到 的图象 ．
说一说 ω ＝３ ， ω ＝时的情况 ．
? 3.探索 A（ A＞０ ） 对 y=sin（ωx+φ ）图象的影响
下面通过数学实验探索A 对函数图象的影响 ． 为了研究方便 ， 不妨令ω =2,φ ．当 A ＝１ 时 ， 如图 5.6.6， 可得y=sin（2x+）的图象 ．
改变 A的取值 ，
使 A取 ２ ， ， ３,等 ，
你发现图象有什么变化 ？
当 A取任意正数呢
当 A＝２ 时 ， 得到函数 y=2sin（2x+）的图象 ．
进一步 ， 设射线与以为圆心 、 ２ 为半径的圆交于． 如果单位圆上以为起点的动点 ， 以 ω ＝２ 的转速经过 xｓ 到达圆周上点 P， 那么点 P的纵坐标是 2sin（2x+）； 相应地 ， 点 在以 为圆心 、 ２ 为半径的圆上运动到点 T， 点 T的纵坐标是 2sin（2x+）．这样 ， 设 K（ x， y） 是函数y=sin（2x+） 图象上的一点 ， 那么点 N（ x，2y ）就是函数图象y=2sin（2x+）上的相应点 ， 如图 5.6.6所示 ． 这说明 ， 把 y=sin（2x+）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 ２ 倍 （ 横坐标不变 ）， 就得到 y=2sin（2x+）的图象 ．
同理 ， 把y=sin（2x+）图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（ 横坐标不变 ）， 就得到y=sin（2x+）的图象 ．
一般地 ， 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 ， 可以看作是把y＝Asin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长 （ 当 A ＞１ 时 ）或缩短 （ 当 ０＜ A＜１ 时 ） 到原来的 A 倍 （ 横坐标不变 ） 而得到 ． 从而 ， 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的值域是 ［ － A ， A ］，最大值是 A ， 最小值是 － A
你能总结一下从正弦函数图象出发 ， 通过图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ) （ A ＞０ ，ω ＞０ ） 图象的过程与方法吗
一般地 ， 函数y＝Asin(ωx＋φ) （ A＞０ ， ω＞０ ） 的图象 ， 可以用下面的方法得到 ： 先画出函数 y＝sinx的图象 ； 再把正弦曲线向左 （ 或右 ） 平移个单位长度 ， 得到函数y＝sin(x＋φ)的图象 ； 然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍 （纵坐标不变 ）， 得到函数y＝sin(ωx＋φ) 的图象 ； 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A倍 （ 横坐标不变 ），这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象 ．
y=sinx
y=sin(x+ )
横坐标缩短 >1 (伸长0< <1)到原来的1/ 倍
y=sin( x+ )
纵坐标伸长A>1 (缩短0y=Asin( x+ )
y=sinx
y=Asin( x+ )
总结:
向左 >0 (向右 <0)
方法1:按先平移后周期再振幅的顺序变换
平移| |个单位
纵坐标不变
横坐标不变
y=Asin( x+ )的图象变换
y=sinx
横坐标缩短 >1 (伸长0< <1)到原来的1/ 倍
y=sin x
纵坐标伸长A>1 (缩短0y=Asin( x+ )
y=sinx
y=Asin( x+ )
总结:
纵坐标不变
横坐标不变
方法2:按先按先周期后平移再振幅的顺序变换
向左 >0 (向右 <0)
平移 个单位
题型一 三角函数图象之间的变换
沿x轴
沿y轴
方法1:按先平移后周期再振幅的顺序变换
沿x轴
沿y轴
方法2:按先按先周期后平移再振幅的顺序变换
C
练习
B
C
D
C
A
A
C
C
作业及练习
题型二 求三角函数的解析式
解
（3）确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中φ的值
代入法：把图象上的一个已知点代入解三角方程求φ
(此时A，ω已知，最好是代入图象最值点求解）
求函数y＝Asin(ωx＋φ)+k解析式的方法
1.如图为函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0,ω>0,
-π<φ<0)的图象的一段，求其解析式．
练习
　3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
(A,ω,φ为常数,A＞0,ω＞0)
的部分图象如图所示,则f(0)的值是________．
题型三 三角函数图象与性质的综合应用