【核心素养目标】华东师大版八年级数学上册12.3.1 两数和乘以这两数的差 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
第12章　整式的乘除
12.3　乘法公式　
1.两数和乘以这两数的差
1.知道两数和乘以这两数的差的公式及几何背景，会推导两数和乘以它们的差的公式.
2.认识两数和乘以这两数的差的公式的结构特征，能运用它们进行有关计算.
3.能灵活运用乘法公式，发展推理能力.
◎重点:知道两数和乘以它们的差的公式的结构特征，能用两数和乘以它们的差的公式进行简单计算.
1.(x＋1)(x－y)＝　x2＋x－xy－y　；(x＋2y)(2x－y)＝　2x2＋3xy－2y2　；(x＋y)(x－y)＝　x2－y2　.
2.两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？
4项；可能是三项，也可能是二项.
x2＋x－xy－y　
2x2＋3xy－2y2　
x2－y2　
两数和乘以这两数的差的公式推导
阅读课本本课时“做一做”至“试一试”，解决下列问题.
1.等式左边和右边的两个多项式各有什么特点？
等式的左边:两数和与这两数差的积；等式右边:这两数的平方差.
2.你能用字母表示上述几个式子反映的规律吗？
能.(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
3.你能用一句话归纳总结(a＋b)(a－b)＝a2－b2的运算吗？
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
4.你能用上面的规律直接计算下列各式吗？
(1)(a＋2)(a－2)；(2)(3a＋1)(3a－1).
解:(1)(a＋2)(a－2)＝a2－4；
(2)(3a＋1)(3a－1)＝9a2－1.
归纳总结　两数和乘以这两数的差的公式结构特征:公式左边是两个二项式的积，这两个二项式中有一项　完全相同　，另一项　互为相反数　；右边是乘式中两项的平方差，而且是　相同项的平方　减去　相反项的平方　.
【讨论】两数和乘以这两数的差的公式中的字母只能代表数吗？
完全相同　
互为相反数　
相同项的平方　
相反项的平方　
不一定.公式中的字母a、b可以表示一个数、一个字母、一个
单项式、多项式或其他代数式.
·导学建议·
通过练习让学生学会如何正确应用两数和乘以这两数的差的公式，但还要特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应的思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1＋2x)(1－2x)，
(1＋2x)(1－2x)＝1－(2x)2
↓ ↓ ↓ ↓
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
　两数和乘以这两数的差公式的应用
阅读课本本课时“例1”至“练习”，解决下列问题.
1.你能用“ ”表示“例1(2)、(4)”中各个因式与公式中a、b的对应关系吗？试试看.
(2a＋3b)(2a－3b)＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2.
　 　 　 　　 　　
(a＋ b) (a－ b)＝　a2－　 b2
(－2x－y)(2x－y)＝(－y－2x)(－y＋2x)＝
　　　　　　　　　　　　 　 　 　
　　　　　　　　　　(a ＋ b) (a － b)＝
(－y)2－(2x)2＝y2－4x2.
　 　　
　a2 －　 b2
2.你能用简便方法计算2008×2012吗？
2008×2012＝(2010－2)(2010＋2)＝20102－22＝4040100－4＝4040096.
归纳总结　把题目中的数用它们的　平均数　表示，然后利用两数和乘以两数差的公式计算，使计算简便.
【讨论】你能用两数和乘以这两数差的公式计算(3a＋b－2)(3a－b＋2)吗？
平均数　
能，原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]＝9a2－[(b－2)(b－2)]＝9a2－b2＋4b－4.
1.下列各式，计算正确的是 (　C　)
A.(a＋4)(a－4)＝a2－4
B.(2a＋3)(2a－3)＝2a2－9
C.(5ab＋1)(5ab－1)＝25a2b2－1
D.(a＋2)(a－4)＝a2－8
2.(2x＋y)(2x－y)＝　4x2－y2　.
C
4x2－y2　
计算:.
解:原式＝＝(4x2)2－2＝16x4－.
方法归纳交流　如果平方差等式中有一个式子排列顺序不一样，应该把两式中　和　的式子颠倒顺序.
解:原式＝＝(4x2)2－2＝16x4－.
和　
计算:99.8×100.2.
解:原式＝(100－0.2)(100＋0.2)＝1002－0.22＝10000－0.04＝9999.96.
[变式训练]计算:20222－2021×2023.
解:20222－2021×2023
＝20222－(2022－1)×(2022＋1)
＝20222－(20222－1)
＝20222－20222＋1
＝1.
方法归纳交流　先　拆数　，然后应用平方差公式.
拆数　
已知x＝998，求x2＋1的值.
解:x2＋1＝9982＋1＝9982－22＋22＋1＝(998＋2)(998－2)＋5＝1000×996＋5＝996005.
方法归纳交流　由题意可知，x2为　9982　.可逆用平方差公式进行计算.
解:x2＋1＝9982＋1＝9982－22＋22＋1＝(998＋2)(998－2)
＋5＝1000×996＋5＝996005.
9982　
计算:(1)(2a＋1)2－(2a－1)2；(2)(3a－b)(9a2＋b2)(3a＋b).
解:(1)(2a＋1)2－(2a－1)2＝[(2a＋1)＋(2a－1)][(2a＋1)－(2a－1)]＝4a×2＝8a.
(2)(3a－b)(9a2＋b2)(3a＋b)＝(3a＋b)(3a－b)(9a2＋b2)
＝(9a2－b2)(9a2＋b2)＝81a4－b4.
在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)(如下面左图)，把余下的部分拼成一个矩形(如下面右图)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 (　C　)
C
A.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D.(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2