【核心素养目标】华东师大版八年级数学上册12.3.2 两数和（差）的平方 课件 (共24张PPT)

(共24张PPT)
第12章　整式的乘除
12.3　乘法公式
2.两数和差的平方
1.知道两数和的平方公式.
2.会从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和的平方这一乘法公式.
3.能运用两数和的平方公式进行有关计算.
◎重点:对两数和的平方公式的理解，能运用完全平方公式进行简单的计算.
1.说出平方差公式.两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差.
2.计算:(x＋a)(x＋b)＝　x2＋(a＋b)x＋ab　.
两数的和乘以这两数的差等于这两个数
的平方差.
x2＋(a＋b)x＋ab　
探究两数和(差)的平方
阅读课本本课时“做一做”至“试一试”，解决下列问题.
1.在(x＋a)(x＋b)中，若a＝b，那么上述式子将会成为怎样的式子？计算结果是什么？
变为(x＋a)(x＋a)，计算结果是x2＋2ax＋a2.
2.根据上题结论，把x换成b又有什么结论？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
3.你会用(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2计算(a－b)2吗？
会.将“－b”看作一个数，将(a－b)2化为[a＋(－b)]2＝a2＋2a×(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
并指出这也是一个乘法公式:(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
4.你能用图形验证:(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2及(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
能:在下图中，大正方形的面积是(a＋b)2，它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的，两个小正方形的面积分别是a2、b2，长方形的面积是ab，所以有等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
在下图中，有a2＝(a－b)2＋2(a－b)·b＋b2，即(a－b)2＝a2－2(a－b)·b－b2＝a2－2ab＋b2.
归纳总结　完全平方公式:(a＋b)2＝　a2＋2ab＋b2　，(a－b)2＝　a2－2ab＋b2　.用语言来叙述:　两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和，再加上(或减去)它们的积的2倍　.
a2＋2ab＋b2　
a2－2ab＋b2　
两数和(或差)的平方，
等于这两数的平方和，再加上(或减去)它们的积的2倍　
【讨论】(a＋b)2＝a2＋b2对吗？为什么？
不对.因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
·导学建议·
1.通过计算探究得到两数和(差)的平方公式，利用图形验证完全平方公式，体会数形结合思想.
2.具有a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的形式的多项式叫做两数和(差)的平方式，这种形式的多项式可以化成一个整式的平方.
两数和(差)的平方公式的应用
阅读课本本课时“例4”至“练习”前面的内容，解决下列问题.
计算:(－3a－2b)2.
1.运用了哪个公式？公式中的a、b分别是什么？
运用了两数和的平方公式.－3a看作公式中的a，－2b看作公式中的b.
2.你会计算吗？试一试.
(－3a－2b)2＝(－3a)2＋2(－3a)(－2b)＋(－2b)2＝9a2＋12ab＋4b2.
3.你会计算(a－b＋c)2吗？
(a－b＋c)2＝(a－b)2＋2(a－b)c＋c2
＝a2－2ab＋b2＋2ac－2bc＋c2.
归纳总结　两数和的平方可以推广到(a＋b＋c)2＝　a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc　.解题时，应注意利用　整体思想　将代数式变形，再应用　乘法公式　计算.
a2＋b2
＋c2＋2ab＋2ac＋2bc　
整体思想　
乘法公式　
【讨论】(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？
(－a－b)2＝[－(a＋b)]2＝(a＋b)2；(b－a)2＝[－(a－b)]2＝(a－b)2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2≠a2－b2.
·导学建议·
1.结合教材拓展两数和(差)的平方差公式，正确引导学生比较两个两数和(差)的平方公式的结构特征，总结规律，找出其相同点和不同点.
2.探究(a＋b)2和(a－b)2的关系，巧妙利用它们之间关系化简求值.
1.m2－4m＋　4　＝(m－　2　)2；(　3a－4b　)2＝9a2－　24ab　＋16b2.
4　
2　
3a－4b
24ab　
2.下列多项式乘法中可以用两数和的平方公式计算的有 (　B　)
①(－a＋b)(a－b)；②(x＋2)(2＋x)；
③·；④(x－2)(x＋1).
A.①③ B.①②
C.①②③ D.①②③④
B
运用完全平方公式计算:(－2x＋5y)2.
解:(－2x＋5y)2＝(5y－2x)2＝(5y)2－2×5y×2x＋(2x)2
＝25y2－20xy＋4x2.
方法归纳交流　对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定“两数”即“　a　”和“　b　”.
解:(－2x＋5y)2＝(5y－2x)2＝(5y)2－2×5y×2x＋(2x)2
＝25y2－20xy＋4x2.
a　
b　
解:(－a－b)2＝[(－a)－b]2
＝(－a)2－2(－a)b＋b2＝a2＋2ab＋b2.
[变式训练]计算:(－a－b)2.
运用公式计算:(1)(x＋y)(2x＋2y)；(2)(a＋b)(－a－b).
解:(1)(x＋y)(2x＋2y)＝2(x＋y)2＝2x2＋4xy＋2y2；
(2)(a＋b)(－a－b)＝－(a＋b)2＝－a2－2ab－b2.
计算:9992.
解:9992＝(1000－1)2＝10002－2000＋12＝1000000－2000＋1＝998001.
方法归纳交流　有些数字计算可拆成两数(式)　平方差　、　完全平方公式　的形式，运用乘法公式可使运算简捷、快速.
解:9992＝(1000－1)2＝10002－2000＋12＝1000000－2000
＋1＝998001.
平方差　
完全平方公式　
已知a＋b＝5，ab＝－6，求a2＋b2的值.
解:因为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，所以52＝a2＋b2＋2ab，
所以a2＋b2＝25－2×(－6)＝37.
解:因为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，所以52＝a2＋b2＋2ab，
所以a2＋b2＝25－2×(－6)＝37.
方法2　(将已知条件变形后代入再应用乘法公式)由a＋b＝4，有a＝4－b，代入a2＋2ab＋b2有原式＝(4－b)2＋2(4－b)b＋b2＝16－8b＋b2＋8b－2b2＋b2＝16.
方法3　(特殊值法)由a＋b＝4，令a＝0，则b＝4，原式＝b2＝42＝16.
[变式训练]若a＋b＝4，求a2＋2ab＋b2的值.
解:方法1　(逆向应用两数和的平方公式)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝42＝16.
方法归纳交流　在公式(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab和(a－b)2＝a2＋b2－2ab中，如果我们把a±b、a2＋b2、ab分别看做一个　整体　，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值.
整
体　
1.利用完全平方公式计算89.22，下列变形最恰当的是 (　B　)
A.(89＋0.2)2 B.(90－0.8)2
C.(100－10.8)2 D.(80＋9.2)2
B
2.填一填:(1)2012＝(　200　＋1)2＝　2002＋2×200×1＋12＝40000＋400＋1＝40401　；
(2)992＝(　100－1　)2＝　1002－2×100×1＋12　＝　10000－200＋1＝9801　.
200　
2002＋2×200×1＋12＝
40000＋400＋1＝40401　
100－1
1002－2×100×1＋12　
10000
－200＋1＝9801