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2023-2024学年第一学期安徽省合肥市九年级数学期末模考训练卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+2）2+1 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣3（x+2）2﹣3 D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
3． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
4 . 如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，
将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（ ）
A．65 B．75 C．85 D．130
5 . 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
6 . 如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
如图，、、分别是双曲线（x<0）与（x>0）及x轴上的点，AB//x轴，
若△ABC的面积为2，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
8 . 如图，在正六边形中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为，则正六边形的边长为（ ）
A．3 B．9 C． D．18
9. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B． C． D．
10 .如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（，0），
与y轴的交点B在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝．则下列结论：
x＞3时，y＜0；② 4a+b＜0；③﹣＜a＜0；④ 4ac+b2＜4a．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知，则的值为______
12.如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，则的值为_______
13. 如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是 ．
14 .如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于_______
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
(1)
(2)
16. 如图，，，，，．求的长度．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，
例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，
求该门洞的半径．
18 .某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，
发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系
如图所示．
(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，
测量知，．当AB，BC转动到，时，
求点C到直线AE的距离．
（精确到0．1cm，参考数据：，，）
20 .如图，为的直径，切于点，于点，交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
六、（本大题1小题，满分12分）
21 .已知一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝图象相交于A(-4，2)，B(n，－4)两点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx＋b－＜0的解集．
七、（本大题1小题，满分12分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，
与y轴交于点C，点D为的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
八、（本大题1小题，满分14分）
23. （1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，
求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．
点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
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2023-2024学年第一学期安徽省合肥市九年级数学期末模考训练卷解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2. 将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+2）2+1 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣3（x+2）2﹣3 D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
【答案】C
【分析】先确定抛物线y＝﹣3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】抛物线y＝﹣3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），
把点（0，﹣1）向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣3．
故选：C．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C
【详解】已知sinA=，设BC=4x，AB=5x，
又因AC2+BC2=AB2，
即62+（4x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
所以BC=4x=8cm，
故选：C．
4 . 如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，
将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（ ）
A．65 B．75 C．85 D．130
【答案】C
【分析】根据平行可知∠DAB=180°－95°=85°，故旋转了85°．
【详解】∵DE∥AB，
∴∠DAB＝180°－∠D，
∵∠D=∠B=180°－20°－65°=95°，
∴∠DAB=180°－95°=85°，
∴n=85°，
故选：C．
5 . 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】D
【详解】试题分析：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．故选D．
6 . 如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】过点A作，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
如图，、、分别是双曲线（x<0）与（x>0）及x轴上的点，AB//x轴，
若△ABC的面积为2，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点B的坐标，根据平行知点A、B的纵坐标相同得到点A的纵坐标，再代入y1的解析式求出点A的横坐标，然后求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：点B在上，
设B(a，)，
∵AB∥x轴，
∴
∵点A在上，
∴
∴
∴A
∴AB==a-ak，
∴
即1-k=4，
解得k=-3．
故选A．
8 . 如图，在正六边形中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为，则正六边形的边长为（ ）
A．3 B．9 C． D．18
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵正六边形的内角是，阴影部分的面积为，
设正六边形的边长为r，
∴，
解得．
则正六边形的边长为．
故选：C．
9. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
∴（cm），
故选：C．
10 .如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（，0），
与y轴的交点B在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝．则下列结论：
x＞3时，y＜0；② 4a+b＜0；③﹣＜a＜0；④ 4ac+b2＜4a．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】B
【分析】由已知可得a＜0，对称轴为x＝，抛物线与x轴的两个交点为（，0），（，0），可得b＝﹣3a，所以① 当x＞3时，y＜0；② 4a+b＝4a-3a＝a＜0；③ 又由c＝a，﹣1＜c＜0，可得﹣＜a＜0；④ 因为将b＝﹣3a，c＝a代入4ac+b2﹣4a即可判断正误．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，
∵对称轴为直线x＝，
∴x＝0与x＝3所对应的函数值相同，
∵当x＝0时,y＜0，
∴x＝3时,y＜0，
∴x＞3时，y＜0，
∴①正确；
∵x＝＝﹣，
∴b＝﹣3a，
∴4a+b＝4a﹣3a＝a＜0，
∴②正确；
∵抛物线经过点A（，0），
∴a+b+c＝0，
∴c＝a，
∵B在（0，0）和（0，﹣1）之间，
∴﹣1＜c＜0，
∴﹣1＜a＜0，
∴﹣＜a＜0，
∴③正确；
4ac+b2﹣4a＝4a×a+(﹣3a)2﹣4a＝5a2+9a2-4a＝14a2﹣4a＝2a(7a﹣2)，
∵a＜0，
∴2a（7a﹣2）＞0，
∴4ac+b2﹣4a＞0，
∴④不正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知，则的值为______
【答案】A
【分析】由得，代入化简即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
∴．
故答案：
12.如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，则的值为_______
【答案】
【分析】先根据勾股定理经理求出，再根据正弦的定义，即可进行解答．
【详解】解：如图：
，
∴，
故答案为：
13. 如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是 ．
【答案】
【分析】连接，可得，利用等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
则，
∵，
∴，
故答案为：
14 .如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于_______
【答案】
【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设点A的坐标为，．则．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
故答案为：
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据特殊三角函数值的混合运算即可求解；
（2）根据特殊三角函数值的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，熟记特殊三角函数值，掌握运算法则是解本题的关键．
16. 如图，，，，，．求的长度．
【答案】
【分析】先证明，再证明，得出，代入数据求值即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，
例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，
求该门洞的半径．
【答案】该门洞的半径为．
【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为，
根据题意，得，，
根据勾股定理，得，
解得，
答：该门洞的半径为．
18 .某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)，；
(2)当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，为1000元．
【分析】（1）由图象可知每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间是一次函数的关系，设，将，代入解析式求解即可；
（2）设利润为w元，求得w与x的关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间是一次函数的关系，
设，将，代入解析式，可得
，解得
即，
由题意可得，，，解得
即，，
（2）解：设利润为w元，
则，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，w有最大值，为1000元，
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，
测量知，．当AB，BC转动到，时，
求点C到直线AE的距离．
（精确到0．1cm，参考数据：，，）
解：如图所示：过点作垂足为过点作垂足为过点作垂足为
∴四边形是矩形，
在中，
在中，
即
∴点C到直线AE的距离为
20 .如图，为的直径，切于点，于点，交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）可利用是圆的切线来求证，根据切于点，于点，得到（都和垂直），可根据内错角相等和等边对等角，将相等角进行替换即可得出；
（2）连接交于，交于，得到，从而，有，由（1）知，，由垂径定理可得，，由三角形中位线定理可知，，由得到 ，，代入得到，解得．
【详解】（1）证明：切于点，
，
于点，
，
，
在中，，
，
，
平分；
（2）解：连接交于，交于，如图所示：
，
由（1）知，
，
由垂径定理可得
，
由三角形中位线定理可知，
，
由（1）知，，
，
，
，
，，
，
，即，解得．
六、（本大题1小题，满分12分）
21 .已知一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝图象相交于A(-4，2)，B(n，－4)两点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx＋b－＜0的解集．
【答案】(1) y＝－, y＝－x－2;(2)6;(3) x＞2或-4＜x＜0.
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=-8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y=-x-2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＞2或-4＜x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
【详解】(1)把A(－4，2)的坐标代入y＝，得m＝2×(－4)＝－8，
∴反比例函数的解析式为y＝－.
把B(n，－4)的坐标代入y＝－，得－4n＝－8，
解得n＝2.∴B(2，－4)．
把A(－4，2)和B(2，－4)的坐标代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的解析式为y＝－x－2.
（2）y＝－x－2中，令y＝0，则x＝－2，
即直线y＝－x－2与x轴交于点C(－2，0)．
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×4＝6.
（3）由图可得，不等式kx＋b－＞0的解集为x＞2或-4＜x＜0.
七、（本大题1小题，满分12分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，
与y轴交于点C，点D为的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
【答案】(1)
(2)
(3)面积的最大值为2
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可；
（3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
八、（本大题1小题，满分14分）
23. （1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，
求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．
点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又
即
解得．
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