2023-2024学年安徽省合肥重点学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥重点学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中表示二次函数的是( )
A. B. C. D.
2.如果线段，，那么和的比例中项是( )
A. B. C. D.
3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图所示，中，，若：：，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知为锐角，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.二次函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位，所得到的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
7.如图，在 中，在上，、交于，若：：，且，则的长为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，已知，为反比例函数图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：；；∽；其中正确的是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.如图，为的直径，为的弦，，垂足为，，， ______ ．
12.如图，为反比例函数的图象上一点，轴于点，，则 ______ ．
13.如图，点在二次函数第一象限的图象上，轴，轴，垂足分别为、，连接，交函数图象于点，轴于点，则的值为______．
14.如图，在矩形中，，，是边上的点，，连接，垂足为点，连接．
______ ．
______ ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
已知二次函数．
写出该函数的对称轴，顶点坐标；
求该函数与坐标轴的交点坐标．
17.本小题分
已知反比例函数的图象经过点
求的值．
点，均在反比例函数的图象上，若，比较、的大小关系．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、，．
在坐标系中画出关于轴的对称图形；
在原点的异侧，画出以为位似中心与位似比为的位似图形；
19.本小题分
年月日，合肥古逍遥津公园摩天轮“庐州之眼”正式开放，对外营业该摩天轮静止时最高点到地面的距离为米，最低点到地面的距离为米，点是摩天轮的圆心，是其垂直于地面的直径，若摩天轮匀速运行一周需要分钟，某人在摩天轮启动前在点处，摩天轮开启后匀速运行秒后，求某人距离地面的高度结果精确到米，参考数据：，，，，，
20.本小题分
如图，是的直径，且经过弦的中点，已知，，求的长度．
21.本小题分
如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，点是该反比例函数图象上一点．
求的值；
若，求一次函数的表达式．
22.本小题分
已知菱形中，，点是对角线上一点，交的延长线于点．
求证：；
如果，且，求．
23.本小题分
如图，点是轴正半轴上的点，点的坐标为，以为边作等腰直角三角形，其中，，，以点为顶点的抛物线经过点且和轴交于另一点，交轴于点．
点的坐标为______ ；
求抛物线的函数表达式；
在第一象限的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，不存在，则说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是二次函数，故此选项符合题意；
B、是一次函数，故此选项不符合题意；
C、此函数分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、此函数分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：．
根据二次函数的定义判定即可．
本题考查二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式．
2.【答案】
【解析】解：由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是，则
，
解得线段是正数，负值舍去．
所以．
故选：．
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．
3.【答案】
【解析】解：、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：．
根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，正确理解定义是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：，
∽，
：：
：：，
两相似三角形的相似比为：，
周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，
D正确．
故选：．
根据中可以得到∽，再根据：：可以得到：：，从而得到两相似三角形的相似比为：，利用周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方可以得到答案．
本题考查了相似三角形的判定及性质，解题的关键是了解相似三角形周长的比等于对应边的比．
5.【答案】
【解析】解：由题意，得
，
解得，
故选：．
根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：将二次函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位，所得到的函数关系式是：，即．
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：在 中，
，，
∽，
，
：：，且，
，
．
故选：．
利用平行四边形的性质得出∽，再利用相似三角形的性质得出的长．
此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，得出∽是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：把，代入反比例函数得：，，
，
在中，由三角形的三边关系定理得：，
延长交轴于，当在点时，，
即此时线段与线段之差达到最大，
设直线的解析式是
把、的坐标代入得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，，即；
故选：．
先求出、的坐标，设直线的解析式是，把、的坐标代入求出直线的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在中，，延长交轴于，当在点时，，此时线段与线段之差达到最大，求出直线于轴的交点坐标即可．
本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
9.【答案】
【解析】解：如图，的三边为、、，而，
为直角三角形，
，而四边形为正方形，
，
∽，
：：，即：：，
设为，则是，
是，
三角形为直角三角形，
，
，
，
．
故选：．
如图，由的三边为、、，根据勾股定理逆定理可以证明其是直角三角形，利用正方形的性质可以证明∽，然后利用相似三角形的性质可以得到：：，设为，则是，根据勾股定理即可求出，也就求出了正方形的面积．
此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．
10.【答案】
【解析】解：沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，
将沿折叠，点恰落在线段上的点处，
，，，，，
，所以正确；
在中，，
，
设，则，，，
在中，，
，解得，
，
，所以正确；
沿折叠，点恰落在边上的点处
，
，
而，
，
∽，
，
，
而，
，
与不相似；所以错误．
，，
所以正确．
故选C
利用折叠性质得，，，，，则可得到，于是可对进行判断；在中利用勾股定理计算出，则，设，则，，，利用勾股定理得到，解得，所以，，于是可对进行判断；接着证明∽，利用相似比得到，而，所以，所以与不相似，于是可对进行判断；分别计算和可对进行判断．
本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接，
为的直径，为的弦，，
，在中，，
，
故答案为：．
根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，从而得到直径的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
12.【答案】
【解析】解：依据比例系数的几何意义可得，的面积，
即，
解得，，
由于函数图象位于第二、四象限，
故．
故答案为：．
根据反比例函数比例系数的几何意义可知，的面积，再根据图象所在的象限即可求出的值．
本题考查反比例函数比例系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
13.【答案】
【解析】解：设，则，，
设直线，
，解得，
，
解得，舍去，
轴于点，
，
．
故答案为．
设，则，，根据待定系数法求得直线的解析式，然后联立方程求得的横坐标即可求得的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数和一次函数的交点问题，求得的横坐标是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：矩形，
，，
，，
，
，
．
，
在和，，，
≌，
；
≌，
．
如图，连接交于点，
，，
，
，
．
在中，
，，
，
．
由矩形的性质可得、进而得到，运用勾股定理可得，即；然后再证明≌可得；
由≌可得，进而得到；如图，连接交于点，根据垂直的定义和等量代换可得，最后在中解直角三角形即可解答．
本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
15.【答案】解：
．
【解析】利用有理数的乘方，负整数指数幂，特殊角的锐角三角函数值计算求解即可．
本题主要考查了实数运算和特殊角度的三角函数，解决本题的关键是要熟练掌握整数指数幂和负整指数幂的计算法则．
16.【答案】解：，
抛物线的对称轴，顶点坐标为
对于抛物线，令，得到，令，得到，解得或，
抛物线交轴于，交轴于或．
【解析】利用配方法即可解决问题；
利用待定系数法即可解决问题；
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】解：把点代入到反比例函数中得，，
解得，
的值为；
由得反比例函数解析式为，
，
反比例函数经过第二，四象限，在每个象限内随增大而增大，
点，都在反比例函数的图象上，
当或时，；当时，．
【解析】利用待定系数法求解即可；
根据可得反比例函数解析式为，进而得到反比例函数经过第二，四象限，在每个象限内随增大而增大，据此求解即可．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
18.【答案】解：如图，为所作；
如图，即为所作，，，．

【解析】利用关于轴对称点的坐标特征得出点、、的坐标，然后描点即可；
利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了轴对称．
19.【答案】解：由题意可得米，米，垂直于底面，
米，
米，米，
摩天轮匀速运行一周需要分钟，
摩天轮运行为度秒，
摩天轮开启后匀速运行秒后运行的角度为，
设秒后，人在如图所示的点处，过点作垂直于地面与点，过点作于点，
则四边形为矩形，，米，
，
在中，米，
米，
米，即人距离地面的高度为米．
【解析】由题意可得米，米，垂直于底面，则米，米，米，由摩天轮匀速运行一周需要分钟可得摩天轮运行为度秒，因此摩天轮开启后匀速运行秒后运行的角度为，设秒后，人在如图所示的点处，过点作垂直于地面与点，过点作于点，则四边形为矩形，，米，在中，解直角三角形即可求解．
本题主要考查解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题；根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
20.【答案】解：连接，
是的直径，且经过弦的中点，
，
，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
的长度为．
【解析】连接，根据题意可得，先在中，利用锐角三角函数求出，再利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：点、在反比例函数的图象上，
，
解得：．
由知反比例函数解析式为，
，
点、，
如图，过点作于点，延长交于点，
在和中，
，
≌，
，
点，
将点、代入，
，
解得：，
．
【解析】由点、在反比例函数的图象上可得，即可得出答案；
由得出、的坐标，作、延长交于点，证≌得，即可知点，再利用待定系数法求解可得．
本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
∽，
，
；
，，
，
，，
，
∽，
，
，，
．
【解析】利用菱形的性质易证≌，由全等三角形的性质可得：，再根据菱形的性质可得，所以∽，由相似三角形的性质即可证明；
易证∽，由相似三角形的性质可得，再利用已知条件可证明，进而根据的值，得出的度数．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定及性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
23.【答案】
【解析】解：，，
，．
作垂足为，如图，
，
．
，
．
．
在和中，
，
≌．
，．
．
．
故答案为：；
设抛物线的函数表达式为，
由题意得：，
解得：．
所以抛物线的函数表达式为，
即；
在第一象限的抛物线上存在点，使得理由：
由对称性得，
．
令，则，
．
，
．
．
设直线的表达式为：，
由题意得：，
解得：，
直线的表达式为：；
如图，假设存在点，设，作轴交于，
交轴于点，则．
，，
，
即，
，
．
，
，
整理得：，
解得：，．
当时，，
此时点坐标为；
当时，，
此时点坐标为，
综上所述，上方抛物线上存在点，使得，
点的坐标为或．
作垂足为，易证≌，所以，，所以，，所以点的坐标为；
利用待定系数法解答即可；
利用三角形面积公式求得四边形的面积，利用待定系数法求出直线的解析式；假设存在点，设作轴交于，交轴于点，则，利用，的纵坐标表示出线段的长，利用得出的面积，利用列出方程，解方程求得值，则结论可得．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，三角形的面积．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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