2022-2023学年山东省泰安市重点中学九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省泰安市重点中学九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知反比例函数的图象经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是( )
A. B. C. D.
2.如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
3.如图，正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，给出下列结论：
；
当时，；
当时，；
当时，随的增大而减小．
其中正确的有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
4.如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向两坐标轴作垂线段，已知，则( )
A.
B.
C.
D.
5.正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，轴于点，轴于点如图，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，正方形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过顶点和边上的点，过点的直线交轴于点，交轴于点，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点、，它们的横坐标分别为，，直线与轴交于点，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.式子的值是( )
A. B. C. D.
9.如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，，则的值是( )
A. B. C. D.
10.如图，已知在中，，，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向的处，它以每小时海里的速度向正北方向航行，小时后到达位于灯塔的北偏东的处，则处与灯塔的距离为( )
A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里
12.对于二次函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴有两个交点 D. 顶点坐标是
13.在同一平面直角坐标系内，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位得到图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
14.已知二次函数的的部分对应值如下表：
则二次函数图象的对称轴为( )
A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线
15.若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为( )
A. B. 或 C. 或 D. ，或
16.二次函数的图象如图，给出下列四个结论：；；；，其中正确结论的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
17.在下列的四个几何体中，同一几何体的主视图与俯视图相同的是( )
A. B. C. D.
18.学校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有( )
A. 盒 B. 盒 C. 盒 D. 盒
19.如图，是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
20.请写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的解析式，______．
21.如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，垂直轴于点若的面积为，则的值是______．
22.二次函数的图象与轴围成的封闭区域内包括边界，横、纵坐标都是整数的点有______ 个提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析．
23.如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏西方向匀速航行，小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是______海里．
三、解答题：本题共5小题，共51分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
24.本小题分
如图，双曲线经过的顶点和的中点，轴，点的坐标为．
确定的值；
若点在双曲线上，求直线的解析式；
计算的面积．
25.本小题分
一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点处时，张龙测得李明直立时身高与影子长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点处时，李明直立时身高的影子恰好是线段，并测得，已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长．结果精确到．
26.本小题分
如图，一艘渔船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时渔船与灯塔的距离约为多少海里？结果取整数参考数据：，，
27.本小题分
某商品的进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件；如果每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件每件售价不能高于元设每件商品的售价上涨元为正整数，每个月的销售利润为元．
求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于元？
28.本小题分
已知二次函数．
当二次函数的图象经过坐标原点时，求二次函数的解析式；
如图，当时，该抛物线与轴交于点，顶点为，求、两点的坐标；
在的条件下，轴上是否存在一点，使得最短？若点存在，求出点的坐标；若点不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
A、，此点不在反比例函数图象上；
B、，此点在反比例函数图象上；
C、，此点不在反比例函数图象上；
D、，此点不在反比例函数图象上．
故选：．
先根据点，在反比例函数的图象上求出的值，再根据的特点对各选项进行逐一判断．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：一次函数图象位于反比例函数图象的下方，
由图象可得，或，
故选：．
根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得不等式的解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象位于反比例函数图象的下方是解题关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
根据待定系数法，可得，的值，根据有理数的大小比较，可得答案；根据观察图象，可得答案；根据图象间的关系，可得答案；根据反比例函数的性质，可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，图象与不等式的关系．
【解答】
解：正比例函数和反比例函数的图象交于，
，，，故错误；
由反比例函数的对称性可知，点坐标为，
时，一次函数图象在反比例图象下方，故正确；
时，或，故错误；
，当时，随的增大而减小，故正确；
故选：．
4.【答案】
【解析】解：根据题意得，
而，
所以，
所以．
故选：．
根据比例系数的几何意义得到，由，得，然后计算．
本题考查了比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了反比例函数中的几何意义，全等三角形的性质和判定，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即，得出，再根据反比例函数的对称性可知：，利用证明≌，得到，继而得出，，最后根据四边形的面积，得出结果．
【解答】
解：反比例函数是，
，
根据反比例函数的对称性可知：，
轴于点，轴于点，
，
又，
≌，
，
得出，，
四边形的面积．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：正方形的顶点，
正方形的边长为，
，
而点，
，即点坐标为，
，解得，
点坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
点的坐标为．
故选：．
由得到正方形的边长为，则，所以，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得，则点坐标为，然后利用待定系数法确定直线的解析式为，再求时对应自变量的值，从而得到点的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．
7.【答案】
【解析】解：反比例函数在第二象限的图象上有两点、，它们的横坐标分别为，，
，；，，
，，
设直线的解析式为：，则
，
解得：，
则直线的解析式是：，
时，，
，
的面积为：．
故选：．
根据已知点横坐标得出其纵坐标，进而求出直线的解析式，求出直线与轴横坐标交点，即可得出的面积．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，得出直线的解析式是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：原式
．
故选B．
将特殊角的三角函数值代入求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的掌握几个特殊角的三角函数值．
9.【答案】
【解析】解：如图：
点在第一象限，
，，
又，
．
故选：．
根据正切的定义即可求解．
本题考查锐角三角函数的定义及运用．
10.【答案】
【解析】解：在中，，
，
，，
，
．
故选C．
在中，已知，的值，根据，可将的值求出，再由勾股定理可将斜边的长求出．
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，求出的值是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．
根据方向角的定义即可求得，，则在中利用内角和定理求得的度数，证明三角形是等腰三角形，即可求解．
【解答】
解：海里，
，，
，
，
海里．
故选D．
12.【答案】
【解析】解：对于，则该函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
A.，故抛物线开口向上，故A不符合题意；
B.对于，则该函数的对称轴为直线，顶点坐标为，故B不符合题意，而符合题意；
C.，则，故C错误，不符合题意；
D.由知，D正确，符合题意，
故选：．
根据函数图象和性质逐个求解即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象的平移规律：上加下减，左加右减．
根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得目标函数图象，再根据顶点坐标公式，可得答案．
【解答】
解：函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位得到图象，
即，
顶点坐标是，
故选：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单．
由于、时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
【解答】
解：和时的函数值都是，
对称轴为直线．
故选D．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．
当时，函数为一次函数与轴有一个交点，当时，时，抛物线与轴只有一个交点．
【解答】
解：分为两种情况：
当函数是二次函数时，
函数的图象与轴只有一个交点，
且，
解得：，
当函数是一次函数时，，
此时函数解析式是，和轴只有一个交点，
故选D．
16.【答案】
【解析】解：，
由图可知：，，
图象与轴有两个交点，
，
，故正确；
当时，图象在轴上方，
，
，故错误；
对称轴为直线，
，
，
当时，，
，
，
，
，
，故正确；
当时，，
当时，，
，
，故正确；
故选：．
由图象开口向下可以得到；图象与轴有两个交点则；对称轴为直线；当时，；通过这些条件，结合对函数解析式的变式分析就可以得出结果．
本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确二次函数的图象与系数的关系．
17.【答案】
【解析】解：、圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆，主视图与俯视图不相同，故A选项错误；
B、圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，主视图与俯视图不相同，故B选项错误；
C、三棱柱主视图、俯视图分别是长方形，三角形，主视图与俯视图不相同，故C选项错误；
D、球主视图、俯视图都是圆，主视图与俯视图相同，故D选项正确．
故选：．
主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有看到的棱都应表现在三视图中
18.【答案】
【解析】解：易得第一层有碗，第二层最少有碗，第三层最少有碗，所以至少共有盒．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
19.【答案】
【解析】解：从正面看，一共三列，左边有个小正方形，中间有个小正方形，右边有个小正方形，主视图是：
．
故选：．
先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看，一共三列，左边有个小正方形，中间有个小正方形，右边有个小正方形，结合四个选项选出答案．
本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．
20.【答案】答案不唯一
【解析】解：抛物线开口向上，且与轴的交点为．
故答案为：答案不唯一．
根据二次函数的性质，开口向上，要求值大于即可．
本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的值必须大于．
21.【答案】
【解析】解：设的坐标是，则，，
，
当时，，
则，，
的面积为，
，
，
，
，
解方程组得：，
，，
即的坐标是，
把的坐标代入得：，
故答案为：．
设的坐标是，则，，求出，，根据的面积为求出，解方程组得出，求出的坐标是，把的坐标代入即可求出．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，有一定的难度．
22.【答案】
【解析】解：二次项系数为，
函数图象开口向下，
顶点坐标为，
当时，，
解得，得．
可画出草图为：右图
图象与轴围成的封闭区域内包括边界，横、纵坐标都是整数的点有个，为，，，，，，．
根据二次函数的解析式可知函数的开口方向向下，顶点坐标为，当时，可解出与轴的交点横坐标．
本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的性质、画出函数草图是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：作于点，
由题意得，，，
则，
，
，
在中，，
在中，，
则，
故答案为：．
作于点，根据题意分别求出的度数和的长，根据正弦的定义、等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：将点代入解析式
得：；
将代入反比例解析式，
得：，
点坐标为，
设直线解析式为，
将与代入
得：，
解得：
则直线解析式为；
过点作轴，垂足为，延长，交轴于点，
轴，
轴，
轴，
为的中点，
为的中点，
，，
，
，都在双曲线上，
，
由，
得：，
则面积为．
【解析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，三角形中位线定理，以及反比例函数的几何意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
将坐标代入反比例解析式求出的值即可；
将坐标代入反比例解析式求出的值，确定出坐标，设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出直线解析式；
过点作轴，垂足为，延长，交轴于点，得到与平行，根据为的中点，由三角形中位线定理得出为的中点，得到，，确定出，利用反比例函数的几何意义得出，得到，求出三角形面积即可．
25.【答案】解：设长为米，
，，，，
，
米，
∽，
，即，
解得：．
经检验，是原方程的解，
．
答：路灯的高的长约为米．
【解析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
根据，，，得到，从而得到∽，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
26.【答案】解：如右图所示，
，，，海里，
，
海里，
，，
，
，，
，
解得，，
即到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时渔船与灯塔的距离约为海里．
【解析】根据平行线的性质和锐角三角函数，可以得到的长，再根据锐角函数和的长，即可得到的长，从而可以解答本题．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
27.【答案】解：由题意得：
且为整数；
由中的与的解析式配方得：．
，当时，有最大值．
，且为整数，
当时，，元，当时，，元
当售价定为每件或元，每个月的利润最大，最大的月利润是元．
当时，，解得：，．
当时，，当时，．
当售价定为每件或元，每个月的利润为元．
当售价不低于元且不高于元且为整数时，每个月的利润不低于元．
当售价不低于元且不高于元且为整数时，每个月的利润不低于元或当售价分别为，，，，，，，，，元时，每个月的利润不低于元．
【解析】根据题意可知与的函数关系式．
根据题意可知，当时有最大值．
设，解得的值．然后分情况讨论解．
本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题．
28.【答案】解：二次函数的图象经过坐标原点，
代入二次函数，得出：，
解得：，
二次函数的解析式为：或；
，
二次函数得：，
抛物线的顶点为：，
当时，，
点坐标为：，
、；
当、、共线时最短，
过点作轴于点，
，
，
，
解得：，
最短时，点的坐标为：．
【解析】根据二次函数的图象经过坐标原点，直接代入求出的值即可；
根据，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与轴交点即可；
根据当、、共线时最短，利用平行线分线段成比例定理得出的长即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．
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