2023-2024学年湖北省恩施州四校联盟高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省恩施州四校联盟高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设集合，，则( )
A. B.
C. ， D.
3.已知直线：，：互相垂直，则的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
4.“”是“函数在区间上为增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点点，与点，不重合，设，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.平面内有四条平行线，相邻两条平行线的间距均为，在每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的单调递增区间是 B. 不等式的解集是
C. 函数的图象关于对称 D. 函数的值域是
11.已知互不相同的个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的个样本数据的方差为，平均数为；去掉的两个数据的方差为，平均数为；原样本数据的方差为，平均数为，若，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 剩下个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D. 剩下个数据的分位数不等于原样本数据的分位数
12.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 点为正方形内一点，当平面时，的最小值为
C. 过点，，的平面截正方体所得的截面周长为
D. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.平面向量与的夹角为，已知，，则 ______ ．
14.点到直线：为任意实数的距离的最大值是______ ．
15.设函数，若函数恰有个零点，，，，，且，则的值为______ ．
16.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
的三个顶点是，，，求：
边上的中线所在直线的方程；
边上的高所在直线的方程．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知三点，，．
若点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围；
若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍，求直线的方程．
19.本小题分
一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球．
求第二次取到绿球的概率；
如果是个红球，个绿球，已知取出的个球都是绿球的概率为，那么是多少？
20.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，已知．
求；
若，，求的面积．
21.本小题分
如图，已知平面四边形是矩形，，，将四边形沿翻折，使平面平面，再将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的投影为．
如图，当时，若点在上，且，，证明：平面，并求的长度．
如图，当时，若点恰好落在的内部不包括边界，求二面角的余弦值的取值范围．
22.本小题分
如图，在八面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
证明：平面平面；
设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，即，解得或，
所以．
由，即，解得，所以，
所以．
故选：．
由题意，首先解不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，得，
解得或．
故选：．
由两直线垂直的充要条件建立方程求解即可．
本题主要考查两直线垂直的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的性质是解决本题的关键．
结合函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：函数在区间上为增函数，
要使函数在区间上为增函数，则，
“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数函数性质，将、、分别与、比较，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，，
，，
，
．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
所以．
故选：．
由余弦二倍角公式和诱导公式计算．
本题考查余弦二倍角公式和诱导公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：为的重心，
，
又在线段上，
，
，
，注意，，
由
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．
故选：．
利用重心性质及，，共线得到，的关系式，再构造重要不等式，求出最小值．
本题主要考查了平面向量的基本定理和基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：如图为矩形，设，，
则，，
所以矩形的面积为，
因为，
所以，
所以，
所以，当时，等号成立，所以该矩形面积的最小值为．
故选：．
在平行线找到能够成矩形的四点，设角并表示出矩形的边长，由矩形面积公式和三角函数性质求最值，注意等号成立条件即可．
本题主要考查了三角函数的定义，还考查了二倍角公式，正弦函数性质的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
利用共面向量定理直接求解．
本题考查共面向量的判断，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：构成空间的一个基底，
对于，，，，共面，故A正确；
对于，，，，共面，故B正确；
对于，，，不能共面，故C错误；
对于，，，，共面，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对：令，解得或，故的定义域为，在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，A错误；
对：，且在定义域内单调递增，
可得，解得或，
故不等式的解集是，B错误．
对：，即，故函数的图象关于对称，C正确；
对：，即的值域，，故函数的值域是，D正确．
故选：．
由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查复函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：剩下的个样本数据的和为，去掉的两个数据和为，原样本数据和为，所以，因为，所以，故A选项正确；
B.设，，
因为，所以，所以，
所以，故B选项正确；
C.剩下个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；
D.去掉个数据，则剩下个数据的分位数不等于原样本数据的分位数，故D正确．
故选：．
对于选项，求出剩下的个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可；
对于选项，写出和的表达式即可；
对于选项，根据中位数定义判断即可；
对于选项，根据分位数定义判断即可．
本题主要考查中位数和方差，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，，如图，
在中，即为异面直线与所成的角，
，
异面直线与所成的角的余弦值为，故A正确；
对于选项，如图，
取的中点，的中点，取的中点，连接，，，，，
，
四边形为平行四边形，
，，同理可得，
又面，面，面，面，面，面，
又，，面，面面，又面，面，
轨迹为线段，
在中，过作，此时取得最小值，
在中，，
在中，，
在中，，
如图，
在中，，
即的最小值为，而的最大值为，故B错误；
对于选项，过点、、的平面截正方体，
平面平面则过点、、的平面必与与交于两点，
设过点、、的平面必与与分别交于、，
过点、、的平面与平面和平面分别交于与，
，同理可得，
如图过点、、的平面截正方体所得的截面图形为五边形，
以为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，
设，，则，，，，，
，，，，
，，
，解得，
，，，
在中，，，，同理：，
在中，，，，同理：，
在中，，，
即过点、、的平面截正方体所得的截面周长为，故C正确；
对于选项，如图所示，取的中点，则，过作，且使得，
则为三棱锥的外接球的球心，所以为外接球的半径，
在中，，，
，故D项正确．
故选：．
对于：根据正方体的性质得出在中即为异面直线与所成的角，即可判定；对于：取的中点、的中点，连接，，，得到，即可证明面面则根据已知得出轨迹为线段，则过作，此时取得最小值，即可判定；对于：过点、、的平面截正方体所得的截面图形为五边形得出，，设，，以为原点，分别以，、方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系得出，，，，的坐标，则可根据，列式得出，，即可得出，，在中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五边形的周长，即过点、、的平面截正方体，所得的截面周长，即可判定；对于：取的中点则B.过作，且使得，则为三棱锥的外接球的球心，则为外接球的半径，计算得出半径即可求出球的表面积，即可判定．
本题考查多面体与球体内切外接问题，求异面直线所成的角，用定义证明面面关系，空间位置关系的向量证明，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
又与的夹角为且，
所以，
所以．
故答案为：．
首先求出，根据数量积的定义求出，再根据计算可得．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：直线：即，
令，解得，即直线恒过定点，令，
则，
所以点到直线的距离的最大值是．
故答案为：．
首先求出直线过定点，令，求出，即可得解．
本题考查的知识要点：点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设，则，
作出函数的图象及直线，如图，它们有个交点时，
由正弦函数对称性知，，，
所以，
又，
所以，
故答案为：．
设，则，求出的图象与直线有个交点时对应的的值，再转化为的值．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，所以，
，因为为锐角，，所以，从而，
，
三角形为锐角三角形，，所以，
，，，
，时，，
所以，
所以，即，
故答案为：．
由已知求得，，由正弦定理化边为角，，由锐角三角形得出，，由两角和正弦公式，二倍角公式，两角和的余弦公式，化简后，利用余弦函数性质、不等式性质得出结论．
本题考查了正余弦定理和三角函数的性质的综合应用，属于中档题．
17.【答案】解：由题设，的中点坐标为，则中线的斜率，
则边上的中线所在直线的方程为，
所以上的中线所在直线的方程为．
由题设，边的斜率为，则边高的斜率为，且过，
则边上的高所在直线的方程为，
所以上的高所在直线的方程．
【解析】求的中点坐标并求直线斜率，应用点斜式求直线方程；
根据已知求边高的斜率，应用点斜式求直线方程．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：根据题意，可得，，
因为直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角，
所以当点在线段上运动时，直线的斜率满足或，即；
直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍，
若直线经过原点，则直线的斜率为，方程为，即；
直线不过原点，则直线的斜率为，方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
【解析】求出直线、的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，得出直线的斜率的取值范围；
分两种情况：直线经过原点；直线不过原点，横截距是纵截距的倍．由此列式算出直线的方程．
本题主要考查直线的斜率公式、直线的方程及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
19.【答案】解：从个球中不放回地随机取出个共有 种，即，
设事件“两次取出的都是红球”，则，
设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则，
设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则，
设事件“两次取出的都是绿球”，则，
且事件，，，两两互斥．
第二次取到绿球的概率为．
由题意，则，
又，
或，，即．
【解析】根据互斥事件的概率、古典概型的概率求法求第二次取到绿球的概率；
由题意有为两次取出的都是绿球事件，结合和已知列方程求参数即可．
本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，即，
由为三角形内角，得；
由正弦定理，
所以，
所以，，
因为，，
所以，
所以的面积为．
【解析】根据题意，利用正弦定理化简得，得到，即可求解；
由正弦定理得到，，结合题意，求得，进而求得的面积．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：证明：点在平面上的射影为，则点恰好落在边上，
平面平面，又，
平面，
，
又，
平面，
设，，则，
，∽，
，
在中，，解得，
所以．
作，交于，交于，
当点恰好落在的内部不包括边界，点恰好在线段上，
又，，
为二面角的平面角，
当时，由，可得，且，
，
故二面角的余弦值的取值范围是．
【解析】根据题意利用线面垂直判定定理证明，利用∽求的值；
判断点在平面上的投影范围，求出恰好落在的内部不包括边界时即在线段上，从而求出此时二面角的余弦值，进一步确定余弦值的取值范围．
此题考查了空间中直线与平面的位置关系证明，考查了二面角的计算，属于中档题．
22.【答案】解：证明：因为为正方形，所以，又，，，平面，
所以平面，所以为二面角的平面角，即，
又平面平面，，
所以平面，即为二面角的平面角，即，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，即，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因为，，平面，
所以平面平面．
由点在上，设点，其中，点，
所以，平面的法向量可以为，
设与平面所成角为，
则，
即，化简得，
解得或舍去，
所以存在点满足条件，且点到平面的距离为．
【解析】依题意可得平面，再由面面平行及，可得平面，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，即可得到平面，再证明平面，即可得证；
设点，其中，利用空间向量法得到方程，求出的值，即可得解．
本题考查面面平行的判定定理，向量法求解点面距问题，化归转化思想，属中档题．
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