2023-2024学年广东省江门市五校联考高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省江门市五校联考高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.设直线的斜率满足，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.三棱锥中，为的中点，为的中点，若，则( )
A. B.
C. D.
4.已知平面的一个法向量为，则轴与平面所成角的大小为( )
A. B. C. D.
5.若点到直线的距离为，则值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到的距离为( )
A. B. C. D.
7.光线自点射到后被轴反射，则反射光线所在的直线与圆：( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心
8.圆和圆交于，两点，则的垂直平分线的方程是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，，则下列选项中正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
10.已知直线：与圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点 B. 圆的半径为
C. 不存在实数，使得直线与圆相切 D. 直线被圆截得的弦长最长为
11.若直线分别与轴，轴交于，两点，点是圆上的一点，则的面积可能为( )
A. B. C. D.
12.已知正方体的边长为，为棱的中点，，分别为线段，上两动点包括端点，记直线，与平面所成角分别为，，，则存在点，，使得( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.点是空间直角坐标系中的一点，其坐标为，若点与点关于轴对称，则点的坐标为______ ．
14.已知向量，，则向量在向量上投影向量为______ ．
15.若过点作圆的切线，则切线方程为______．
16.经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线的方程是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，．
求；
当时，求实数的值．
18.本小题分
已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．
求直线的方程；
若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程．
19.本小题分
在平面直角坐标系内有三个定点，，，记的外接圆为．
求圆的方程；
试判断直线：与圆是否相交，并说明理由；若相交，求所截得的弦长．
20.本小题分
如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，．
证明：平面；
求三棱锥的体积．
21.本小题分
已知在平面直角坐标系中，已知、是圆：上的两个动点，是弦的中点，且．
求点的轨迹方程；
过点的直线与点的轨迹交于，两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22.本小题分
如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点．
证明：平面平面；
若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在空间直角坐标系中，，，若，
则，解得．
故选：．
由已知直接利用空间向量的坐标运算列式求解的值．
本题考查空间向量共线的坐标运算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由于直线的斜率满足，即，
则直线的倾斜角满足或，故有或．
故选：．
由题意，根据直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，得出结论．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：三棱锥中，为的中点，为的中点，且，如图，
．
故选：．
利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示作答．
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：依题意轴的方向向量可以为，又，
设轴与平面所成角为，则，因为，所以．
故选：．
依题意可得轴的方向向量可以为，再利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得解．
本题考查了利用空间向量求空间角，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由点到直线的距离公式得：
点到直线的距离
解得：
故选：．
直接用点到直线的距离公式列方程求解即可．
本题主要考查了点到直线的距离公式的应用和基本运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：、，
，
又平面的一个法向量，
点到的距离，
故选：．
求出，根据点到的距离公式，求解即可得出答案．
本题考查空间向量的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：点关于轴对称点是，
反射光线过和，
反射光线的方程：，
即．
圆的圆心是，半径，
圆心到直线的距离
，
反射光线与圆：相交但不过圆心．
故选：．
由点关于轴对称点是，知反射光线过和；由此能够求出反射光线的方程．由圆，能求出圆心和半径；再由圆心到直线的距离与半径的关系能判断反射光线与圆：的关系．
本题考查直线与圆的位置关系，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的灵活运用，合理地进行等价转化．
8.【答案】
【解析】解：圆和圆交于，两点，
则两圆的公共弦方程为，即，
故AB的直线方程为，
设所求直线方程为，
因为所求直线经过两圆的圆心，其中一个圆的圆心为，代入方程求得，
故所求直线方程为．
故选：．
先求出两圆的公共弦的方程，然后利用垂直直线系设出所求方程，再将圆心代入即可得到答案．
本题考查了直线与圆位置关系的应用，涉及了两圆公共弦方程的求解、垂直直线系的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对，，
存在实数，使得，则，即，
解得，，故A正确；
对，，
，即，解得，故B错误；
对，当时，，
，
，故C正确；
对，当时，，，
，故D正确．
故选：．
对于，利用空间向量平行的性质即可判断；对于，利用空间向量垂直的坐标表示即可判断；对于，根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算，从而得以判断；对于，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断．
本题主要考查向量垂直、平行的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，：变形为，故恒过定点，故A正确；
对于，：变形为，
圆心坐标为，半径为，故B正确；
对于，令圆心到直线：的距离，
整理得：，
由可得，方程无解，
故不存在实数，使得直线与圆相切，故C正确；
对于，若，直线方程为：，圆心在直线：上，
故直线被圆截得的弦长为直径，为最大弦长，故D错误．
故选：．
将直线方程变形后得到，求出恒过的定点，即可判断，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标和半径，进而判断；圆心到直线的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式即可判断；当圆心在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径，为最大弦长，即可判断．
本题主要考查了直线过定点问题，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：易得，，所以，
圆的标准方程为，圆心为，
圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的取值范围为，
所以．
故选：．
圆，圆心为，利用圆上点到直线之间的距离最大值为圆心到直线距离加半径，距离最小值为圆心到直线距离减半径，从而确定三角形的高的取值范围，然后得到面积的取值范围．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量在立体几何中的应用，考查零点存在定理，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．
建系设点坐标，作出题中的线面角，结合得到，再依次判断各个选项，是否有解即可．
【解答】
解：如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，
过点作的垂线，垂足为，作点作的垂线，垂足为，则平面，平面，所以直线，与平面所成的角分别为，，即，，
，，设，，
则，，
所以，
其中，，
所以，
因为，所以，即，
对于选项，若，即，解得，满足题意，故 A 正确；
对于选项，若，即，此时，无解，故 B 错误；
对于选项，若，即，解得，满足题意，故 C 正确；
对于选项，，即，
即，
所以，故，
于是，
令，
又，
故，由零点存在定理可得在上存在零点，
即方程有内的解，满足题意，故 D 正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：关于轴对称的点．
故答案为：．
直接利用点关于线的对称求出结果．
本题考查的知识要点：点的对称，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为向量，，
所以向量在向量上投影向量为．
故答案为：．
根据投影向量公式计算可得答案．
本题考查空间向量的坐标运算，投影向量，属于基础题．
15.【答案】或
【解析】解：由题意可知，，故在圆外，
则过点做圆的切线有两条，且切线斜率必存在，
设切线为，即，
则圆心到直线的距离，解得或，
故切线方程为或．
故答案为：或．
根据圆心到切线的距离等于圆的半径即可求解．
本题考查过圆外一点的圆的切线方程，属于基础题．
16.【答案】或
【解析】解：当直线过原点时，直线的方程为，即，
当直线不过原点时，设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，
此时直线的方程为，由直线经过点，
得，解得，故，
所以直线的方程为．
故答案为：或．
根据条件分直线过原点和不过原点两种情况，求出直线的方程即可．
本题考查的知识要点：直线的截距式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
17.【答案】解：已知，，
则，，，
所以；
因为，
所以，
解得或．
【解析】根据数量积的运算律结合数量积的坐标公式计算即可；
由，得，再根据数量积的运算律结合数量积的坐标公式计算即可．
本题考查了空间向量数量积的运算律，重点考查了空间向量数量积的坐标运算，属中档题．
18.【答案】解：因为边上的高所在的直线方程为，可得斜率为，
可得直线的斜率，又因为的顶点，
所以直线的方程为，即；
所以直线的方程为．
直线边上的中线所在的直线方程为，
由方程组，解得，所以点，
设点，则的中点在直线上，所以，即，
又点在直线上，，解得，所以，
所以的斜率，所以直线的方程为，
即直线的方程为．
【解析】根据题意，得到直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；
根据题意，求得，设点，求得，再求得点，进而求得的斜率，进而求得直线的方程．
本题考查直线方程的应用，属于中档题．
19.【答案】解：设圆的方程为，
因为、、都在圆上，
则，解之得，
所以圆的方程为；
由得圆的方程为，
则圆心，圆的半径为，
所以圆心到直线的距离为，
则直线与圆相交，
由圆的弦长公式，可得所截得的弦长为．
【解析】设出圆的方程，利用待定系数法求解作答；
由求得圆心到直线的距离为，结合圆的弦长公式，即可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
20.【答案】解：证明：如图，连接，设，
又为的中点，，
又平面，平面，
平面；
为的中点，
．
【解析】根据线面平行的判定定理，即可证明；
先转化三棱锥的顶点，再根据锥体的体积公式计算，即可求解．
本题考查线面平行的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．
21.【答案】解：由圆：，可得半径为，
由是弦的中点，且，可得，
设点为曲线上任意一点，
则点的轨迹方程为：．
是定值，定值为，理由如下：
当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，
由，消去，得，
显然，设，，则，，
又，，
则
．
当直线的斜率不存在时，，，，
故是定值，即．
【解析】由，即可得到点的轨迹方程；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为、，，联立圆方程，利用韦达定理表示出，，结合向量数量积的坐标表示化简计算即可；当直线的斜率不存在时，计算可得结论．
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为是正三角形，点是中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为点，分别是，的中点，所以，
又因为，所以，又因为，，
平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
在平面中，过点作，垂足为，
设，则，，．
以为正交基底，建立如图空间直角坐标系，
则，
设，则，，
设平面的法向量为，
由，令，故，
设平面的法向量为，
由，令，则，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
当，最大，此时锐二面角最小，
故当点为的中点时，平面与平面所成的锐二面角最小．
【解析】由面面垂直可得平面，得出，再由可得平面，即可得出平面平面；
建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当，最大，最小，即可得出此时点为的中点．
本题主要考查面面垂直的证明，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
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