山东省东营市胜利第一中学2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年山东省东营市东营区胜利一中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列右边的四个图形中，不能由图形在同一平面内经过旋转得到的是( )
A. B. C. D.
2.代数式，，，，中分式有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4.陈芋汐在年杭州亚运会女子十米跳台项目中获得了亚军，其中第五轮跳水的个成绩分别是单位：分：，，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ； B. ： C. ； D. ；
5.若分式有意义，则的取值范围是( )
A. 全体实数 B. C. D.
6.已知，，则的值是( )
A. B. C. D.
7.若把分式的，同时扩大倍，则分式值( )
A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 扩大倍
8.在对一组样本数据进行分析时，佳琪列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，则下列说法错误的是( )
A. 样本的平均数是 B. 样本的众数是 C. 样本的中位数是 D. 样本的总数
9.在平面直角坐标系中，把点先向左平移个单位，再向上平移个单位得点，则的坐标是( )
A. B. C. D.
10.已知关于的分式方程有增根，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，共28分。
11.分解因式： ．
12.将沿射线方向平移到的位置点在线段上，如图，若，，则平移的距离是______．
13.如果一组数据，，，，的平均数是，那么这组数据的中位数是 ．
14.如图，以点为旋转中心，旋转后得到，已知，，，则 ______ ．
15.在一次数学测验中，随机抽取了份试卷，其成绩如：，，，，则这组数据的标准差为 ．
16.如果关于的分式方程无解，那么的值是______ ．
17.已知，则 ______ ．
18.若关于的分式方程有正数解，求的取值范围______ ．
三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
分解因式：
．
．
解方程：
．
．
20.本小题分
若，，分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由．
21.本小题分
先化简，再求值：
，然后从，，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
22.本小题分
为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，我校现对八年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息完成下列问题：
本次共调查了______ 名学生，并补全上面条形统计图；
本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为______ ；众数为______ ；
我校八年级有名学生，请你估计八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有多少人？
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
平移，使点移到点，画出平移后的；
将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出、的坐标．
24.本小题分
某校在商场购进、两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买品牌篮球的数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花元．
问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？
该校决定再次购进、两种品牌篮球共个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了，品牌篮球按第一次购买时售价的折出售，如果该校此次购买、两种品牌篮球的总费用不超过元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？
25.本小题分
如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．
求证；
若，，求四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了生活中的旋转现象，把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换．
根据把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换，可得答案．
【解答】
解：由顺时针旋转得到，故正确；
由逆时针旋转得到，故正确；
由无法在同一平面内经过旋转得到，故错误；
由顺时针旋转可得到，故正确．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：和的分母中不含有字母，不是分式；
、、的分母中都含有字母，都是分式；
所以分式有个．
故选：．
根据分式的定义逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义若、都是整式，式子的分母中含有字母，那么式子叫分式是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的意义和如何因式分解，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
运用因式分解的定义进行辨别、求解．
【解答】
解：，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.，由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.，不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是；
把这些数从小到大排列为，，，，，，，
中位数是；
故选：．
根据中位数和众数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5.【答案】
【解析】解：由题可知，要使有意义则分母不能等于，
即
故．
故选：．
根据分式有意义，分母不等于和平方数非负数的性质解答．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
6.【答案】
【解析】解：因为，，
所以
，
故选：．
将变形为，再代入计算即可．
本题考查提公因式法分解因式和代数式求值，将变形为是正确解答的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
即如果把分式中的和都同时扩大倍，那么分式的值扩大倍，
故选：．
先根据题意列出算式，再根据分式的性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的性质进行变形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，这组数据为、、、、，
所以这组数据的样本容量为，中位数为，众数为，平均数为，
故选：．
先根据方差的公式得出这组数据为、、、、，再根据样本容量、中位数、众数和平均数的概念逐一求解可得答案．
本题主要考查方差、样本容量、中位数、众数和平均数，解题的关键是根据方差的定义得出这组数据．
9.【答案】
【解析】解：点先向左平移个单位，再向上平移个单位得点，则的坐标．
故选：．
利用平移变换的规律解决问题．
本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：去分母得：，
分式方程有增根，
，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故选：．
把分式方程化成整式方程得，由分式方程有增根得出，把代入，即可求出的值．
本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用分解因式．
应先提取公因式，再对其利用平方差公式分解即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：由题意，
平移的距离为，
故选：．
观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，易得平移的距离，进而可得答案．
本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点．
13.【答案】
【解析】解：由题意知，
解得，
这组数据为、、、、，
所以其中位数为，
故答案为：．
先根据平均数的定义求出的值，再依据中位数的定义可得答案．
本题主要考查中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数和平均数的定义．
14.【答案】
【解析】解：以点为旋转中心，旋转后得到，
；
故答案为：．
根据旋转的性质，对应边相等，即可得解．
本题考查旋转的性质，解题的关键是找准对应边．
15.【答案】
【解析】解：这组数据的平均数为，
这组数据的标准差为，
故答案为：．
先求出这组数据的平均数，再依据标准差的计算公式求解即可．
本题主要考查标准差，样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．
16.【答案】或者
【解析】解：，
方程两边同时乘以，得：，
整理得：，
该分式方程无解，
，
，
故答案为：或．
根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．
本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零．
17.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
先对所求式子进行化简，然后整体代入求值．
本题考查了分式的化简求值，注意整体思想的应用．
18.【答案】且
【解析】解：分式方程两边同时乘以，得
，
整理，得，
解得，
方程有正数解，
，
解得，
，，
，则，
的取值范围是且，
故答案为且．
解分式方程得到，结合已知可得，同时注意，分式方程中，，所以，则可求的取值范围．
本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键．
19.【答案】解：
；
；
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解；
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
【解析】先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
根据十字相乘法分解因式即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了分解因式和解分式方程，能选择适当的方法分解因式是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．
20.【答案】解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，不合题意舍去，
，
是等腰三角形．
【解析】先把利用提公因式法分解因式，然后根据，则或，，，之间的关系，从而判断三角形的形状即可．
本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是熟练掌握等腰三角形的定义和分解因式的几种方法．
21.【答案】解：原式
，
，，
，，，
，
原式．
【解析】利用分式的运算法则将原式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定的值，再将其代入化简结果计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则并求得正确的化简结果是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：本次调查的人数为：人，
完成作业时间为小时的有：人，
补全的条形统计图如图所示：
；
由中的条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是小时，
，则中位数是小时，
故答案为：，；
，人，
答：八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有人．
根据条形统计图，扇形统计图中的数据计算出缺少的数据，并补全条形统计图即可；
根据条形统计图分析出中位数和众数；
根据样本计算出每天完成作业所用时间为小时的学生在样本的比例，根据比例估算出八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估算整体，能够将条形统计图和扇形统计图相结合是解决本题的关键．
23.【答案】解：如图所示：
如图：
，．
【解析】根据平移的性质作图，即可得出答案；
根据旋转的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图平移变换、旋转变换、坐标与图形，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
24.【答案】解：设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：购买一个品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元．
设该校此次可购买个品牌篮球，则购进品牌篮球个，
由题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买个品牌篮球．
【解析】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，由题意：购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买品牌篮球的数量是购买品牌篮球数量的倍，列出分式方程，解方程即可；
设该校此次可购买个品牌篮球，则购进品牌篮球个，根据购买、两种品牌篮球的总费用不超过元，列出不等式，解不等式即可．
25.【答案】证明：连接，如图，
为等边三角形，
，，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，，，
，，
在中，
，，，
而，
，
为直角三角形，，
．
【解析】根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，所以，接着证明≌得到；
利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用进行计算．
本题考查了旋转的性质，勾股定理和等边三角形的性质，灵活掌握旋转的性质是解决问题的关键．
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