2023-2024学年四川省成都市重点中学高一（上）诊断数学试卷（12月份）（含解析）

2023-2024学年四川省成都市重点中学高一（上）诊断数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
4.下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.已知，，且，则( )
A. 为定值 B. 的最小值为
C. 为定值 D. 的最小值为
8.设函数，若关于的方程有四个实数解，，，，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为( )
A. B.
C. D. 或
10.对于函数，下面几个结论中正确的是( )
A. 函数是奇函数 B. 函数是偶函数
C. 函数的值域为 D. 函数在上是增函数
11.给出下列四个语句，其中不正确的是( )
A. 若且，则
B. 在同一坐标系中，与的图象关于直线对称
C. 函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 的增区间是，减区间是
12.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，，则关于函数的叙述中正确的是( )
A. B. 函数的值域为
C. 在上为增函数 D. 函数在区间有个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.角所在象限是______ ．
14.若一元二次方程有两个正根，则的取值范围为______．
15.已知，方程的实根个数为______ ．
16.若，，，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求值：
；
．
18.本小题分
已知，求下列各式的值：
；
．
19.本小题分
已知函数，且，．
求、；
判断的奇偶性；
试判断函数在上的单调性，并证明．
20.本小题分
水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积约为，经过个月其覆盖面积约为现水葫芦覆盖面积单位：与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择．
参考数据：，
试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；
约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的倍？
21.本小题分
已知集合，．
Ⅰ求集合；
Ⅱ已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数在区间上有最大值和最小值设．
求，的值
若不等式在上有解，求实数的取值范围；
若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
又，
所以．
故选：．
根据集合的描述法转化得集合，再根据并集运算即可．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
A.取，，可知：，因此不正确．
B.取，，可知：，，不存在，因此不正确．
C.取，，可知：，因此不正确．
D.，正确．
故选：．
通过取特殊值，即可判断出的正误，利用基本不等式的性质即可判断出的正误．
本题考查了不等式的基本性质、特殊值法法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数在定义域上是连续不断的一条曲线，且，故，
由零点存在性定理可知，函数在存在零点，
故选：．
由零点存在性定理直接得解．
本题考查函数零点存在性定理的运用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，终边落在第四象限，且与角终边相同，
故与的终边相同的角的集合
，即选项B正确；
选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限．
故选：．
项角度与弧度混用，排除；项终边在第三象限，排除．
本题主要考查了终边相同角的表示及象限角的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
，，
，，
，
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
6.【答案】
【解析】解：由于函数是偶函数，图象关于轴对称．
当时，，是减函数．
当时，，是增函数．
再由图象过、可得，应选D，
故选：．
函数是偶函数，图象关于轴对称，时，单调递减；时，单调递增，且图象过、，由此得出结论．
本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，，且得，当且仅当时取等号，故A不正确；
，当且仅当时取等号，故B正确；
，即，当且仅当时取等号，故C错误；
，当且仅当时取等号，故D错误．
故选：．
根据基本不等式即可根据选项逐一求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：画出的图象，如图所示：
因为当时，，开口向下，对称轴为，且，
当时，，
令，得或，
又因为关于的方程有四个实数解，，，且，
所以，
的对称轴为，所以，
因为，
即，
，
所以，
，
，其中，
所以，
又因为，
令，则，
则有，，
易知，在上单调递增，
所以
故选：．
首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，，从而得到，令，则，再根据函数，的单调性求解即可．
本题考查了二次函数的对称性、对数函数的图象及性质及数形结合思想、转化思想，关键点在于作出函数的图象，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：令，解得或，
当时，函数图象的开口向下，
当时，不等式解集为空集；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
故选：．
令，可得或，分类讨论，，，即可得出答案．
本题考查一元二次不等式的解法，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为的定义域是，
又，所以是奇函数，故A正确，B错误；
因为，所以，故C正确；
因为函数在上可化为，
所以奇函数在上是增函数，且在处连续，
则在其定义域内是增函数，故D正确．
故选：．
利用函数奇偶性的定义判断，利用不等式的性质判断，利用复合函数的单调性，结合奇函数的对称性判断，从而得解．
本题考查奇偶函数的性质，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于中，当时，没有意义，所以命题“若且，则”不成立，故A不正确；
对于中，根据指数函数和对数函数互为反函数，所以在同一坐标系中，和的图象关于直线对称，所以B正确；
对于，由函数的定义域为，即，
则，解得，所以函数的定义域为，所以不正确；
对于中，由不等式，解得，
又由函数，可得在上单调递增，在单调递减．
所以函数在上单调递增，在单调递减，所以不正确．
故选：．
根据时，没有意义，可判定不正确；
根据指数函数和对数函数互为反函数，可判定B正确；
根据抽象函数的定义域的求解，可判定不正确；
根据复合函数的单调性的判定方法，可判定不正确．
本题考查了对数函数的定义域、指数函数与对数函数的关系、抽象函数的定义域及复合函数的单调性，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题是考查函数新定义的题，理解新定义并且运用新定义判断是解决本题的关键，属于中档题．
由，判断；由表示不超过的最大整数，可得，即可判断；代值计算即可判断；列举出在的零点即可判断．
【解答】
解：对于，故A正确；
对于表示不超过的最大整数，
，即的值域为，故B正确；
对于因为，，
而，所以在上不是增函数，故C错误；
对于函数在区间有个零点，分为别：，，，，，，，故D错误．
故本题选AB．
13.【答案】第四象限
【解析】解：因为，
因为为第四象限角，
故角所在的象限为第四象限角．
故答案为：第四象限．
由已知结合终边相同角的表示及象限角的概念即可判断．
本题主要考查了象限角的判断，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：一元二次方程有两个正根，
，即，得．
的取值范围为，
故答案为：．
由题意，可得一元二次方程的二次项系数不等于，判别式大于等于，且两根之和大于，两根之积大于，由此列关于的不等式组求解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查一元二次方程根的分布与根与系数的关系的应用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，则，
则令，，
分别作出它们的图象如下图所示，
由图可知，有两个交点，所以方程的实根个数为．
故答案为：．
分别作出和的图象，结合图象即可得到答案．
本题主要考查函数性质的应用，考查数形结合思想和计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
则的最小值为．
故答案为：．
先变形，再利用基本不等式求最值．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：原式；
原式．
【解析】利用分数指数幂运算和根式运算法则计算出答案；
利用指数和对数运算法则计算．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
所以，
；
．
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，
利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解；
利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：由已知得：，解得；
由知：．
定义域为，关于原点对称，
且，所以为偶函数；
函数在上为减函数．
证明：设、，且，则
，，，即，
又，，
，即，
函数在上为减函数．
【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数的奇偶性、单调性等，注意单调性证明变形要彻底，奇偶性的证明首先判断函数的定义域是否关于原点对称．
已知条件代入得到关于，的方程组，联立求解即可；
首先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系；
利用单调性的定义来证明：设元，作差，变形，判号，下结论．
20.【答案】解：因为函数中，随的增大而增大的速度越来越快，
而函数中，随的增大而增大的速度越来越慢，
依题意应选择函数，
则有，解得，，
所以函数的解析式为；
由可知，当时，，
设经过个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的倍，，
则有，所以，
所以约经过个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的倍．
【解析】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
根据实际情况即可选择函数，然后代入数据即可求解；
由的函数模型，由可知，当时，，设经过个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的倍，然后建立等式关系即可求解．
21.【答案】解：Ⅰ集合
；
Ⅱ因为命题：，命题：，是的充分不必要条件，
所以是的真子集，
由，，
当时，，或，满足是的真子集；
当时，，或，则，解得，所以；
综上，实数的取值范围是．
【解析】Ⅰ集合化为，求解即可；
Ⅱ根据题意知是的真子集，讨论与的关系，写出集合，判断是的真子集时实数的取值范围即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了充分与必要条件的应用问题，是中档题．
22.【答案】解：函数，
因为，所以在区间上是增函数，
故，即，解得；
由可得，
不等式在上有解，
等价为在上有解，
即在上有解，
令，则，，，
则函数在递减，可得的最大值为，
则，即；
原方程可化为，
可令，则，由题意可得有两个不等实根，，
其中，或，，
设，则或，
解得或，
则的取值范围是．
【解析】由函数，，所以在区间上是增函数，故，，由此解得、的值；
不等式可化为在上有解，即在上有解，通过换元法和对数函数的单调性，以及二次函数的单调性求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求范围；
原方程化为，，令，则，构造函数，通过二次方程实根分布，可得的不等式组，即可求得的范围．
本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查方程有解的条件以及不等式成立问题的解法，考查等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于中档题．
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