2023-2024学年北京市重点中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2023-2024学年北京市重点中学高一（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题”，”的否定为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.下列函数为偶函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知函数在区间上单调递增，那么区间可以是( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
5.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.设是函数的零点，若，则的值满足( )
A. B. C. D. 的符号不确定
7.“，”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数，若对任意，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，下列命题正确个数有( )
对于任意实数，为偶函数
对于任意实数，
存在实数，在上单调递减
存在实数，使得关于的不等式的解集为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.函数的定义域是______．
12.的值为______ ．
13.函数的值域为，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数可以为______写出符合条件的一个函数即可
14.学校举办运动会时，高一班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛那么只参加游泳一项比赛的有______ 人
15.已知函数则______；若，则实数______．
16.某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积平方米与时间月之间的函数关系式是且，它的图象如图所示，给出以下命题：
池塘中原有浮草的面积是平方米；
第个月浮草的面积超过平方米；
浮草每月增加的面积都相等；
若浮草面积达到平方米，平方米，平方米所经过的时间分别为，，，则．
其中正确命题的序号有______注：请写出所有正确结论的序号
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集为实数集，集合，．
若，求图中阴影部分的集合；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，角，的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：
条件：在图象上相邻的两个对称中心的距离为；
条件：的一条对称轴为．
求和对称中心；
将的图象向右平移个单位纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．
20.本小题分
已知函数．
判断的奇偶性并证明；
判断的单调性并说明理由；
若对任意恒成立，求的取值范围．
21.本小题分
对于集合，定义函数
对于两个集合，，定义运算．
若，，写出与的值，并求出；
证明：；
证明：运算具有交换律和结合律，即，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：命题为全称命题，则命题”，”的否定为，，
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是偶函数，符合题意；
对于，，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据函数的单调递增区间：，
当时，单调增区间为，由于为的子区间，
故选：．
直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．
本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
4.【答案】
【解析】解：因为，
，
所以，
由图像可知阴影部分面积对应的集合为．
故选：．
由图像可知阴影部分面积对应的集合为，再由集合的运算，即可得到结果．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于，且和的正负号不确定，所以选项 ACD都不正确．
对于选项：由于函数为单调递增函数，且，故正确
故选：．
直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，属于基础题．由函数在时单调递减，故当时，．
【解答】
解：是函数的零点，
，
再由函数在时单调递减，
故当时，，
故选C．
7.【答案】
【解析】解：“，”“”，反之不成立，例如取．
，”是“”的充分而不必要条件．
故选：．
“，”“”，反之不成立，例如取．
本题考查了基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：不妨设，
，
对任意，，且，恒成立，
时，，即恒成立
，即的取值范围为
故选：．
对进行化简，转化为恒成立，再将不等式变形，得到，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出的取值范围
本题考查了不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，注意运用参数分离，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：鲑鱼游速为时的耗氧量为：令，即，
即，即，
鲑鱼静止时耗氧量为：令，即，即，
故鲑鱼游速为时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，
故选：．
由题意令，，则可求出耗氧量，求出之比．
本题考查对数求值，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为函数，
对于：，即为偶函数，正确；
当，时，，错误；
当时，单调递增，
根据偶函数的对称性可知，当时，单调递减，正确；
当时，函数单调递增，当时，由可得，
根据偶函数的对称性可知，当时，不等式的解集为，正确．
故选：．
由已知结合函数的单调性及奇偶性检验各命题即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性即单调性的综合应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：令，解得，即函数的定义域为．
故答案为：．
解不等式即可．
本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：
原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：函数的值域为，且在定义域内单调递减，
函数即是符合要求的一个函数，
故答案为：．
由函数的值域为，且在定义域内单调递减，即是符合要求的一个函数．
本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：只参加游泳一项比赛的有：．
故答案为：．
根据韦恩图计算得到答案．
本题主要考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分，属于基础题．
15.【答案】 或
【解析】解：
则，
，
当时，可得，即，
当时，可得，即，
综上可得或．
故答案为：；或
结合已知函数解析式，把代入即可求解，结合已知函数解析式及，对进行分类讨论分别求解．
本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：浮草蔓延后的面积平方米与时间月之间的函数关系式是且，函数的图象经过
所以，解得．
当时，故选项A正确．
当第个月时，，故正确．
当时，，增加，当时，，增加，故每月的增加不相等，故错误．
根据函数的解析式，解得，
同理，，
所以，
所以则故正确．
故答案为：．
直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
17.【答案】解：当时，，
因为全集为实数集，集合，
所以或，
由图可知阴影部分表示的是，
所以；
当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以，解得，
综上，，即实数的取值范围为．
【解析】由图可知阴影部分表示的是，从而可求得结果；
分和两种情况求解即可．
本题考查集合间关系的应用，考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：因为的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，所以．
因为，所以．
所以．
因为的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，所以．
因为，所以，
故．
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得的值．
由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．
19.【答案】解：，；
选：图象上相邻两个对称中心的距离为，
则，解得，不合题意，舍去；
选：的一条对称轴为，
则，．
解得，所以，
所以，令，，解得，；
所以图象的对称中心为，．
将的图象向右移个单位长度纵坐标不变，
得到函数的图象，
因为，所以，
所以，
所以函数在上的值域为．
【解析】选：利用周期求出，不合题意，舍去；
选：根据对称轴求出，写出的解析式，求出对称中心．
根据图象平移法则写出函数的解析式，根据三角函数的图象与性质求出值域．
本题考查了三角函数的图象平移变换，以及图象性质应用问题，是中档题．
20.【答案】解：为奇函数．
因为定义域为，，
所以．
所以为奇函数；
在是增函数．
因为在是增函数，
且在是减函数，
所以在是增函数，
由知为奇函数且是增函数．
又因为，
所以．
所以对任意恒成立．
令，．
则只需，
解得所以．
所以的取值范围为．
【解析】定义域为，然后求出，得，所以为奇函数；
直接由指数函数的单调性可判断函数的单调性；
不等式变形，由奇函数的性质得出对任意恒成立，令关于的函数在上恒成立，一定单调递减，所以满足则只需解出的范围．
考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．
21.【答案】解：，，
，，
；
当且时，，
所以所以，
所以，
当且时，，，
所以所以，
所以，
当且时，，．
所以所以．
所以．
当且时，．
所以所以．
所以．
综上，；
因为，，
所以．
因为，，
所以．
【解析】由新定义的元素即可求出与的值，再分情况求出；
对是否属于集合，分情况讨论，即可证明出；
利用的结论即可证明出运算具有交换律和结合律．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．
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