2023-2024学年广东省惠州重点学校高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省惠州重点学校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛掷枚质地均匀的硬币，记事件至少枚正面朝上，事件至多枚正面朝上，事件没有硬币正面朝上，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知平面、的法向量分别为、，若，则等于( )
A. B. C. D.
3.若直线过，则此直线的斜率是( )
A. B. C. D. 不存在
4.在四面体中，，，，，，用向量表示，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.两条直线：，：互相垂直，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
6.在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.某同学口袋中共有个大小相同、质地均匀的小球其中个编号为，个编号为，现从中取出个小球，编号之和恰为的概率为( )
A. B. C. D.
8.将一个骰子抛掷一次，设事件表示向上的一面出现的点数不超过，事件表示向上的一面出现的点数不小于，事件表示向上的一面出现奇数点，则( )
A. 与是对立事件 B. 与是互斥而非对立事件
C. 与是互斥而非对立事件 D. 与是对立事件
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两人下棋，下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是( )
A. 甲获胜的概率是 B. 甲不输的概率为 C. 乙输的概率是 D. 乙不输的概率为
10.下列四个命题中真命题有( )
A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C. 直线方向向量为，则此直线倾斜角为
D. 点关于直线的对称点为
11.如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是( )
A. 线段的长度为
B. 异面直线和夹角的余弦值为
C. 点到直线的距离为
D. 三棱锥的体积为
12.已知直线：，：，，以下结论正确的是( )
A. 不论为何值时，与都互相垂直
B. 当变化时，与分别经过定点和
C. 不论为何值时，与都关于直线对称
D. 如果与交于点，则的最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.经过两条直线和的交点，且斜率为的直线方程是______ ．
14.已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
15.已知，为单位向量且夹角为，设，，则在方向上的投影为________．
16.唐代诗人李欣的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马徬交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望峰火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短路程为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线的斜率为，直线过点，．
若直线的倾斜角为，求的值；
若，求的值．
18.本小题分
第届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作现随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
求，的值；
估计这名候选者面试成绩的分位数精确到；
在第四、第五两组志愿者中，采用等比例分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中选出人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
19.本小题分
小王创建了一个由他和甲、乙、丙共人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为个小王自己不抢，假设甲、乙、丙人每次抢得红包的概率相同．
若小王发次红包，求甲恰有次抢得红包的概率；
若小王发次红包，其中第，次，每次发元的红包，第次发元的红包，求乙抢得所有红包的钱数之和不小于元的概率．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱的中点证明：
平面；
平面平面．
21.本小题分
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
已知直线：，：
经过直线与的交点，且与坐标原点距离为的直线；
一入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线方程．
22.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且．
求直线和平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：事件一正两反或两正一反或全是正面，全是反面或两反一正或两正一反，全是反面，
所以．
故选：．
分别表示出事件，，的含义，由此分析即可判断．
本题考查了事件的含义以及事件之间关系的判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，因为，则有，
那么，
解得．
故选：．
根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得，解可得答案．
本题考查平面垂直的判断，涉及平面向量的法向量，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，直线斜率．
故选：．
因为直线上两点横坐标不同，肯定有斜率，代入到两点的斜率公式计算即可．
本题主要考查了直线的斜率公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
故选：．
利用空间向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为直线与互相垂直，
所以，
即：，
解得：或 ．
故选：．
根据两线垂直求解即可．
本题考查直线垂直条件的应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，
则，，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，又，
所以点到平面的距离为．
故选：．
建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离．
本题考查点到面的距离的计算，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设编号之和恰为为事件，
基本事件总数为，
编号之和恰为的情况为个编号为的小球，一个编号为的小球，
所以事件包含的基本事件数为，
．
故选：．
利用古典概型的概率计算公式，求解即可．
本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：将一个骰子抛掷一次，设事件表示向上的一面出现的点数不超过，
事件表示向上的一面出现的点数不小于，事件表示向上的一面出现奇数点，
在中，与是对立事件，故A正确；
在中，与是对立事件，故B错误；
在中，与能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
在中，与能同时发生，不是互斥事件，故D错误．
故选：．
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
本题考查对立事件、互斥事件的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，甲获胜的概率是，A正确；
对于，甲不输即甲获胜或和棋，其概率，B错误；
对于，乙输即甲获胜的概率为，C错误；
对于，乙不输即乙获胜或和棋，其概率，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查概率的求法，注意对立事件概率计算公式的合理运用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，当直线的倾斜角为直角时，直线不存在斜率，故A正确；
对于，倾斜角为的直线的斜率为，倾斜角为的直线的斜率为，
虽然，但是直线的斜率不大，故B错误；
对于，由直线方向向量为知，直线的斜率为，则直线的倾斜角为，故C正确；
对于，设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以点关于直线的对称点为，故D正确．
故选：．
根据倾斜角和斜率的关系判断，举反例判断，根据直线的方向向量确定直线的斜率进而求得倾斜角判断，根据待定系数法求解点关于直线的对称点判断．
本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，考查了直线的方向向量，以及点关于直线的对称点问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：以，，所在直线分别为，，轴，建系如图，
则根据题意可得：，，，，，
则，所以线段的长度为，故A选项错误；
又，所以异面直线 和夹角余弦值为：
，，故B选项正确；
设直线上存在点满足，且，
则，所以，
则，又，所以，
解得，则，所以点到直线的距离为：
，所以选项正确；
因为，故D选项错误．
故选：．
根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断，结合等体积法即可判断．
本题考查异面直线所成角问题，点面距的求解，三棱锥的体积的求解，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，直线：，：，
又，
无论为何值，与都互相垂直，故A正确，
对于，直线：，
当时，，
则直线恒过定点，
直线：，
当时，，
则直线恒过定点，故B正确，
对于，设直线：上任意一点，
则点关于直线的对称性点为，
将点代入直线：，可得，与点在直线上矛盾，
对于，联立方程组，解得，
故，
则，
所以的最大值是，故D正确．
故选：．
对于，利用两条直线垂直的充要条件，即可求解，对于，求出两条直线恒过的定点坐标，即可求解，对于，利用点关于直线的对称点，即可求解，对于，先求出两条直线的交点的坐标，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
本题主要考查了直线与直线的位置关系，动直线恒过定点问题，直线与直线垂直的充要条件的应用，直线关于直线的对称性问题，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：联立，解得．
两条直线和的交点为，
经过两条直线和的交点，且斜率为的直线方程是，
即．
故答案为：．
联立两直线方程，求解交点坐标，然后代入直线方程的点斜式得答案．
本题考查了直线方程的点斜式，考查了二元一次方程组的解法，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生“为事件，
易知，为互斥事件，与为对立事件，
，
所以，
故答案为：．
记“选中两人都是男生“为事件，“选中两人都是女生“为事件，“选中两人中恰有一人是女生“为事件，根据，为互斥事件，与为对立事件，从而可求出答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了互斥事件的概率加法公式，以及对立事件的概率关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的投影，向量的数量积，向量的模，属于基础题．
直接利用向量投影的公式求解即可．
【解答】
解：根据题意得，
；
又，
在方向上的投影为；
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：如图所示：
设点关于直线的对称点，
则，解得，即，
则，即“将军饮马”的最短路程为．
答案为：．
先求出点关于直线的对称点的坐标，再由两点之间的距离公式算出、之间的距离，即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程、点关于直线的对称点的求法等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
整理得，解得．
因为，直线的斜率为，
所以直线的斜率为，利用，
所以，解得．
【解析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出的值；
利用直线垂直的充要条件求出的值．
本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系式，直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意可知：，，
解得，；
前两个分组频率之和为，前三个分组频率之和为，
第分位数等于；
根据分层抽样，和的频率比为，
故在和中分别选取人和人，分别设为，，，和，
则在这人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：
，，，，，，，，，共个，
即，记事件“两人来自不同组”，
则事件包含的样本点有，，，共个，即，
所以．
【解析】由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为，可得，；
根据百分位数的定义求解；
分层抽样确定个分组的人数，古典概型进行计算．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
19.【答案】解：小王创建了一个由他和甲、乙、丙共人组成的微信群，并向该群发红包，
每次发红包的个数为个小王自己不抢，假设甲、乙、丙人每次抢得红包的概率相同，
小王发次红包，记“甲第次抢得红包”为事件，
“甲第次没有抢得红包”为事件．
则，．
记“甲恰有次抢得红包”为事件，则，
由事件的独立性和互斥性，
得
．
小王发次红包，其中第，次，每次发元的红包，第次发元的红包，
记“乙第次抢得红包”为事件，“乙第次没有抢得红包”为事件．
则，．
由事件的独立性和互斥性，
得；
；
．
．
即乙抢得所有红包的钱数之和不小于元的概率为．
【解析】根据事件的互斥性和独立性即可求得事件的概率；
根据事件的互斥性和独立性即可求得事件的概率．
本题考查事件的互斥性和独立性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：因为平面，且平面，所以，
又因为，且，，平面，所以平面，
依题意，以点为原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由为棱的中点，得，则，
所以为平面的一个法向量，
又，所以，
又平面，所以平面．
由知平面的法向量，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，所以，
又，
所以，所以平面平面．
【解析】由题意以点为原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，由，即可证明；
求出平面的一个法向量，由即可证明．
本题考查了平面与平面垂直，直线与平面平行，属于中档题．
21.【答案】解：联立，解得，
所以直线与的交点为，
当所求直线的斜率不存在时，所求直线方程为，符合题意；
当所求直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为坐标原点到直线的距离为，所以，解得，
所以直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或．
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
因为，
所以直线的方程为，即，
即反射光线所在直线方程为．
【解析】联立两直线的方程，解之即可得交点坐标；分所求直线的斜率是否存在两种情况，利用点到直线的距离公式，即可求直线方程；
设点关于直线的对称点为，根据中点坐标公式与两直线垂直的条件，求得和的值，再写出直线的方程，即可得解．
本题考查直线方程的求法，直线中的对称问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】证明：分别取、的中点为、，连结、，
因为为的中点，是边长为的等边三角形，
所以是直角三角形，，，，
因为、的中点为、，所以，，，
因为，为的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，是三棱锥底面的高，是直角三角形，
因为，解得，
以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为，，轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
设是平面的一个法向量，则，，
则，即，
令，则，所以，，，
所以，
所以直线和平面所成角的正弦值等于；
解：在棱上存在点，使二面角的大小为．
设，
由知，，，
，，
，
因为是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，，
则，即，
取，，所以，
因为二面角的大小为
所以，
即，
整理得， 解得，或舍去，
所以，，，
所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，．
【解析】由线面垂直的判定定理可证得平面，由取出，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，由向量的夹角公式即可求得；
设，求出平面，的法向量，由向量的夹角公式建立方程，求出的值即可．
本题考查直线与平面所成角，平面与平面所成角，属于中档题．
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