2023-2024学年天津重点中学高一（上）诊断数学试卷（二）（含解析）

2023-2024学年天津重点中学高一（上）诊断数学试卷（二）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线与圆交于，两点，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线上一点的纵坐标为，则点到抛物线焦点的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知直线：与：平行，则的值是( )
A. B. 或 C. D. 或
5.已知等比数列中，，且，那么的值是( )
A. B. C. D.
6.在四面体中，，是的中点，且为，的中点，若，，，则( )
A. B.
C. D.
7.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
8.在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
9.双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为过的直线与双曲线的右支交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知，若直线：与直线：相互垂直，则______．
11.已知圆与相交于，两点，则直线的方程是______ ．
12.已知等差数列的前项和为，且，，则取最大值时， ______ ．
13.抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知定点，则的最小值是______ ．
14.已知直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则此椭圆的离心率为______ ．
15.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知圆经过和两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
从点向圆作切线，求切线方程．
17.本小题分
在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列．
求等比数列的通项公式和前项和；
若数列满足，求数列的前项和的最大值．
求数列的前项和
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求平面与平面的夹角的余弦值．
19.本小题分
已知正项数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
求数列前项和；
若，数列的前项和为，求的取值范围．
20.本小题分
已知椭圆的离心率为，右焦点为．
求椭圆方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与直线交于点，为等边三角形，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：向量，，
因为，所以，所以，
所以，
所以．
故选：．
根据先求解出的值，然后表示出的坐标，结合坐标下的模长计算公式求解出结果．
本题考查向量的模、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径
圆心到直线：的距离，
．
故选：．
先求出圆心到直线：的距离，然后根据弦的一半，圆心到直线的距离，半径构成直角三角形，用勾股定理解决．
本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长问题，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：抛物线的准线方程为，抛物线上一点的纵坐标为，
则点到准线的距离为，根据抛物线定义可知点到焦点的距离为．
故选：．
利用抛物线的定义即可求解．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，解得或．
经过验证可得：时两条直线重合，舍去．
故选：．
由，解得，经过验证两条直线是否重合，进而得出结论．
本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设公比为，，且，
，
，
，
故选：．
先求出公比，再根据求和公式计算即可．
本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的前项和，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，
，，
是的中点，且为，的中点，
．
故选：．
根据条件得出，，然后代入，并进行向量的数乘运算即可．
本题考查了向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设等差数列的首项为，公差为，
因为，，
所以，解得，
所以．
故选：．
利用等差数列的前项和分别求出首项和公差，代入公式即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
可得数列是以为周期的周期数列，
，
故选：．
利用数列的递推公式求出数列的前项，推导出为周期数列，从而得到的值．
本题考查数列的递推公式、数列的周期性，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程与性质，考查双曲线的定义，解题的关键是确定，从而利用勾股定理求解．
设，计算出，再利用勾股定理，即可建立，的关系，从而求出的值．
【解答】
解：设，则，，，
，
，
，，
为直角三角形，
，
即，
，
，
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：因为直线：与直线：相互垂直，
所以，解得．
故答案为：．
根据直线垂直的充要条件列出方程，即可求解．
本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：两圆方程相减，得．
故答案为：．
根据两相交圆与公共弦关系，两相交圆方程相减所得方程即是公共弦方程．
本题考查两圆的公共弦方程的求解，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
由，，得，即，
因为，所以，即等差数列为首项为正的递减数列．
又，可得，即，故，，
即等差数列前项为正，从第项开始为负，
故取最大值时，．
故答案为：．
根据题意分析可得该数列，所以，即等差数列为首项为正的递减数列．进一步利用可得，即，故，，从而即可确定取最大值时的值．
本题考查等差数列的前项和公式，涉及数列与函数的综合问题，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点为，准线为：，如下图所示：
过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，所以，，
当且仅当、、三点共线时，即当时，取得最小值为：．
故答案为：．
过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得出，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值可得结果．
本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：联立，解得，可得的中点坐标为，
设，，
则，，
两式作差可得：，
则，可得，即．
．
故答案为：．
联立直线方程求得的中点坐标，再设、的坐标，利用点差法求出的值，再由离心率公式求解．
本题考查椭圆的几何性质，训练了“点差法”的应用，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：如图所示：曲线即，平方可得，
表示以为圆心，以为半径的一个半圆．
直线与曲线有公共点，
则满足条件的直线斜率为，在过和圆的切线之间的一族平行线，为直线在轴上的截距，
可求，当直线平移到过点时，方程为，此时，
当直线平移到与曲线相切时，由圆心到直线的距离等于半径长；
舍；
综上，的取值范围是．
故答案为：．
曲线即，表示以为圆心，以为半径的一个半圆，由圆心到直线的距离等于半径，解得结合图象可得的范围．
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．需要注意曲线不是整个的圆，而是半圆．
16.【答案】解：由题可知，所以线段的中垂线的斜率等于，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立，解得，所以圆心，
又因为半径等于，所以圆的方程为．
设圆的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意；
若直线的斜率存在，设斜率为，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即．
所以切线方程为或．
【解析】根据弦的中垂线过圆心，联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解；
根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解．
本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，是中档题．
17.【答案】解：设数列的公比为，，由，，成等差数列，得，
即，整理得，
而，解得，又，
数列的通项公式，．
由得，，则，且，
于是数列是首项为，公差为的等差数列，
，
当时，取得最大值．
由知，当时，，当时，，
当时，，；
当时，，
．
【解析】根据给定条件，求出数列的公比即可求出通项及前项和．
求出，再利用等差数列前项和公式求解即得．
判断数列的正数项与负数项，再借助中结论分段求和即得．
本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】证明：平面，平面，，，，
，，，∽，
，，，平面，
Ⅱ解：平面，平面，平面，
，，为矩形，，
，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
，；
Ⅲ平面，取平面的法向量为，
则，，
所以二平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】根据线面垂直的性质可得，利用相似三角形的判定与性质可得，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；
Ⅱ根据题意和线面垂直的性质可得，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出平面的一个法向量，进而求得直线的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求得平面的一个法向量，利用空间向量求平面与平面的夹角的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属中档题．
19.【答案】解：当时，由，得，得，
由，得，两式相减，
得，即，
即，
数列各项均为正数，，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列．
因此，，即数列的通项公式为．
由得，
，
，
两式相减得
，
．
由知，．
．
．
令，则，
是单调递增数列，数列递增，
，又，
的取值范围为．
【解析】利用，求得数列的通项公式；
由得，然后利用错位相减法求得前项和；
由求得的表达式，然后利用裂项求和法求得的前项和，利用差比较法证得数列递增，进而求得的取值范围．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可得，，解得，
由，，则椭圆的方程为．
当直线为轴时，易得线段的垂直平分线与直线没有交点，故不满足题意；
当所在直线的斜率存在且不为轴时，设该直线方程为，，，
联立，消去可得，
，
所以，，
，
设的中点为，则，设，
由为等边三角形，，，
，
，
所以，解得，所以，
当所在直线的斜率不存在时，将代入可得，
所以，，不满足题意，
综上所述，直线的方程为或．
【解析】根据离心率和焦点坐标可求出，再根据，可求得，即可求解；
讨论直线的斜率存在还是不存在，当斜率存在且时，直线代入椭圆可得，，可求出的中点为，通过弦长公式和两点距离求出，，利用即可求解．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
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