2023级高一“三新”检测考试
数学试题
2023.12
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教版必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B. 或
C. D.
2. 已知命题，则的否定是（）
A. B.
C. D.
3. 函数的定义域为（）
A. 或 B.
C. D. 且
4. 已知函数是幂函数，则（）
A. B. 2 C. D. 1
5. 已知是关于的一元二次方程的两个实根，若，则角的大小为（）
A. B. C. D.
6. 2021年，安徽省广德市王氏制扇技艺被列人第五批国家级非遗代表性项目名录. 如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为内弧长为则连接外弧与内弧的两端的线段长均为（）
A. B. C. D.
7. 已知函数的图象在上连续，则的解集为（）
A. B. C. D.
8. 函定义域为，且满足，若，则（）
A. B. C. 2 D. 1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对
9. 若函数是定义在上的偶函数，当时，，则（）
A. B. 当时，
C. D. 的解集为
10. 已知，是两个非零实数，则下列结论正确是（）
A. B.
C. 当时， D. 当时，
11. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 在区间上单调递增
B. 的图象关于点中心对称
C. 与的图象在区间内有4046个交点
D. 的图象关于直线对称
12. 对于任意两个正数，记曲线直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨最早发现.关于，下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知条件，写出的一个必要不充分条件为______（填一个即可）
14. 已知，则________.
15. 艾宾浩斯遗忘曲线是1885年由艾宾浩斯提出的，其描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响. 设初次记忆后经过了小时，那么记忆率近似的满足，. 某学生学习一段课文，若在学习后不复习，1天后记忆率为，6天后记忆率为，则该学生在学习后不复习，4小时后记忆率约为______（保留两位小数）
16. 若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.已知函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是________
四、解答题：本题共 6小题，共70分. （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
17. （1）计算；
（2）已知，求的值.
18. （1）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值；
（2）若，求值.
19. 已知函数唯一零点，函数
（1）用定义法证明函数在区间上是增函数；
（2）求函数的值域
20. 已知函数是奇函数
（1）求实数的值；
（2）当时，对于，不等式恒成立，求的取值集合.
21. 长丰草莓是安徽省特色水果，也是安徽省特产之一. 某长丰草莓园建有亩大棚，头草莓采摘的平均速度约为亩/天，采摘要求在天内（包括7天和10天）完成，人工成本为千元/天，此外，头茬草莓采摘期间固定成本为千元/天. （提示：采摘成本人工成本固定成本）
（1）将头茬草莓采摘成本（千元）表示为采摘的平均速度（亩/天）的函数，并写出这个函数的定义域；
（2）为了使头茬草莓采摘成本最低，采摘的平均速度约为每天多少亩？并求出最低成本.
22.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）已知函数且.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围
12023级高一“三新”检测考试
数学答案
2023.12
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教版必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合，根据交集含义即可.
【详解】集合，
则，
故选：C.
2. 已知命题，则的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用全称命题的否定是特称命题求解.
【详解】全称命题否定为特称命题,方法是：变量词，否结论.
的否定是： .
故选:
3. 函数的定义域为（）
A. 或 B.
C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，解不等式可得解.
【详解】由题知，解得或，
即函数的定义域为{或}.
故选：A.
4. 已知函数是幂函数，则（）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据是幂函数先求解出的值，然后代入于解析式可求结果.
【详解】由题知，解得，
，
故选：C.
5. 已知是关于的一元二次方程的两个实根，若，则角的大小为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据判别式为0得到，解出其值，再根据的范围即可.
【详解】由题知，
又，
又，则角的大小为，
故选：B.
6. 2021年，安徽省广德市王氏制扇技艺被列人第五批国家级非遗代表性项目名录. 如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为内弧长为则连接外弧与内弧的两端的线段长均为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由扇形的弧长公式求解即可.
【详解】由题知，内弧对应扇形的半径为，
设连接外弧与内弧的两端的线段长均为，则，所以，
连接外弧与内弧的两端的线段长均为
故选：
7. 已知函数的图象在上连续，则的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先由分段函数的图象在上连续可得，再分类讨论解不等式即可.
【详解】由题知，，解得，所以，
易知单调递增，，即，
令得，
令，得，
所以，即的解集为，
故选：
8. 函的定义域为，且满足，若，则（）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据，可得,，然后推出是周期为4的周期函数，且，进而求解结果.
【详解】由，
可知，，
易得，所以，
即，
又，易得，
又，则，
所以是周期为4的周期函数，且，
综上，
,
，
所以 .
故选：A
【点睛】本题根据函数关系式推出函数的周期，求出一个周期的函数值，进而可以求解结果.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对
9. 若函数是定义在上的偶函数，当时，，则（）
A. B. 当时，
C. D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由时，可得，则A可判断；当时，，，再结合奇偶性可得的解析式，则B可判断；结合B选项的解析即可求，则C可判断；当时，由，得，再由奇偶性可得的解集，则D可判断.
【详解】是上的偶函数，
当时，，所以，故A错误；
当时，，，故正确；
，故正确；
当时，由，得，
又函数的图象关于轴对称，所以的解集为，故D正确；
故选：.
10. 已知，是两个非零实数，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. 当时， D. 当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】利用特殊值法，排除AD，利用基本（均值）不等式，判断BC.
【详解】对于A，当，时，不等式不成立，故A错误；
对于B：当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D：当，时，不等式不成立，故D错误.
故选：BC
11. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 在区间上单调递增
B. 的图象关于点中心对称
C. 与的图象在区间内有4046个交点
D. 的图象关于直线对称
【答案】CD
【解析】
【分析】A：根据时函数值关系进行判断；B：令，根据的结果进行判断；C：根据确定出，再根据的可取值个数确定出图象交点个数；D：分析与的关系，然后作出判断.
详解】当时，，
当时，，
在区间上不是单调递增，故A错误；
令，
，
，不恒为，的图象不关于点中心对称，故B错误；
令，，，
又，，
的可取值的个数为，
与的图象在区间内有4046个交点，故C正确；
，
的图象关于直线对称，故D正确；
故选：CD.
12. 对于任意两个正数，记曲线直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨最早发现.关于，下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据确定出的结果，然后分类讨论、、、或时的结果，由此确定出的解析式，再根据解析式逐项分析即可.
【详解】由题意，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当或时，也成立，
综上所述，；
对于A：，
所以，故A正确；
对于B：，
且，所以，故B正确；
对于C：如图，因为曲边梯形的面积总小于对应梯形的面积，
所以，
即，故C错误；
对于D：取，则，故D错误；
故选.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，对学生分析与总结问题的能力要求较高，难度较大.解答本题的关键在于能通过所给的关系式结合图形中的面积转化关系推导出函数的解析式.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知条件，写出的一个必要不充分条件为______（填一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由，可得，则m的范围可求，再结合必要不充分条件的概念即可得答案.
【详解】因为，所以，，，
本题答案不唯一，写出的的取值集合包含区间即可，如：.
故答案为：，答案不唯一.
14. 已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用指对互化规则，将变形为，再利用指数的运算性质得：，代入求解即可.
【详解】由，得；
.
故答案是：.
15. 艾宾浩斯遗忘曲线是1885年由艾宾浩斯提出的，其描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响. 设初次记忆后经过了小时，那么记忆率近似的满足，. 某学生学习一段课文，若在学习后不复习，1天后记忆率为，6天后记忆率为，则该学生在学习后不复习，4小时后记忆率约为______（保留两位小数）
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知条件确定，满足的条件，再求目标函数的值.
【详解】由题可，所以.
故4小时后的记忆率约为.
故答案为：
16. 若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.已知函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分类讨论，时，其中有部分具有偶函数性质，不符合题意；时，根据分段函数的解析式通过方程的解，确定的范围．
【详解】根据题意，函数是“2阶准偶函数”，
则集合中恰有2个元素，
当时，函数一段部分为，
注意到函数本身具有偶函数性质，
故集合中不止有两个元素；
当时，根据“2阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，
为，，故，方程无解，
当，解得或，
故要使得集合中恰有2个元素，
则需要满足，即，
当时，函数的取值为，为，
根据题意得：，
解得或，满足恰有两个元素，故满足条件.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共 6小题，共70分. （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
17. （1）计算；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂的运算、对数运算，特殊角的三角函数值求解出结果；
（2）先计算出的值，然后通过立方和公式求解出结果.
【详解】（1）原式
；
（2）因为，
所以，
所以，
所以.
18. （1）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值；
（2）若，求值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据三角函数定义求解出的值，然后利用诱导公式化简原式并求解出结果；
（2）先根据诱导公式化简原式，然后根据齐次式的运算结合的值求解出结果.
【详解】（1）由题意知，
；
（2）原式，
又，
原式.
19. 已知函数唯一零点，函数
（1）用定义法证明函数在区间上是增函数；
（2）求函数的值域
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数有唯一零点转化为方程有两个相等的实数根，求出b，利用单调性的定义证明函数的单调性即可；
（2）利用基本不等式可求函数的值域.
【小问1详解】
因为函数唯一零点，
所以关于的方程有两个相等的实数根，
，解得（负值舍去），，
，
任取
则，
又，
，即，
所以函数在区间上是增函数.
【小问2详解】
显然定义域为，
当时，，当且仅当时，等号成立，
当时，，
当且仅当时，等号成立.
所以函数的值域为.
20. 已知函数是奇函数
（1）求实数值；
（2）当时，对于，不等式恒成立，求的取值集合.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据函数是奇函数，利用定义求出参数的值.
(2)将已知移项利用奇偶变形，根据单调性得到恒成立,根据恒成立问题的特点，利用左侧的最小值求出的范围.
【小问1详解】
因为函数是奇函数,所以，即，整理的，所以.
【小问2详解】
当时，，设且，则.
因为，所以，且，
所以，即，所以是R上的增函数.
由恒成立得，
因为是上的增函数，所以恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立.
因为当且仅当时取得最小值，
所以恒成立，
解不等式得，
因为，所以的取值集合为.
21. 长丰草莓是安徽省特色水果，也是安徽省特产之一. 某长丰草莓园建有亩大棚，头草莓采摘的平均速度约为亩/天，采摘要求在天内（包括7天和10天）完成，人工成本为千元/天，此外，头茬草莓采摘期间固定成本为千元/天. （提示：采摘成本人工成本固定成本）
（1）将头茬草莓采摘成本（千元）表示为采摘的平均速度（亩/天）的函数，并写出这个函数的定义域；
（2）为了使头茬草莓采摘成本最低，采摘的平均速度约为每天多少亩？并求出最低成本.
【答案】（1），定义域为
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题知，求得函数的解析式为，结合，求得函数的定义域；
（2）由（1），结合基本不等式，根据等号成立的的条件，得到函数单调区间，因为，分类讨论即可求解.
【小问1详解】
解：由题知，所求函数为，
又由，可得，即该函数的定义域为.
【小问2详解】
解：由（1）得
当且仅当，即时取等号，
所以函数在上单调递减，在)递增，
又由，
所以，当，即时，头在草莓采摘的平均速度约为50亩/天，
采摘成本最低，最低成本为（千元）；
当，即，头茬草莓采摘的平均速度约为/天，
采摘成本最低，最低成本为（千元），
当时，即时，头草莓采摘的平均速度约为/天，采摘成本最低，最低成本为（千元）.
22. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）已知函数且.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将函数写成分段函数形式，分类求不等式的解集即可；
（2）将看作变元代入函数且中，构造函数，再分和两种情况分别讨论不等式恒成立.
【小问1详解】
函数
不等式等价于或
解得
不等式的解集为.
【小问2详解】
且，
由于，令，且，得：，
记，，
函数在上恒成立，只需要：
（i）当时，则需恒成立，
在为增函数.
恒成立，恒成立，则成立，
故符合题意.
（ii）若时，则需恒成立，
则：或或，
综上所述，实数的取值范围为.
1
