第二章 平面解析几何 检测练习（含解析）

第二章 平面解析几何 检测练习
一、单选题
1．直线l的倾斜角为，则l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆和点，，若点在圆上，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若点和点分别为椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．若表示两条直线，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．已知点，，，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为，若 的取值范围是则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为 B．焦点坐标
C．点的坐标为 D．的长为3
10．已知为坐标原点，直线与抛物线相交于，两点，且的面积为，则（ ）
A．
B．的中点到轴的距离为
C．点满足
D．过点作的切线，切点为，则与直线距离的最小值为．
11．已知圆，圆，则（ ）
A．直线与直线垂直
B．与没有公共点
C．与的位置关系为外离
D．若分别为圆与圆上的动点，则的最大值为
12．双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（ ）
A．外心的轨迹是一条直线
B．当变化时，外心的轨迹方程为
C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上
D．若分别是中点，则的外接圆过定点
三、填空题
13．已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 .
14．已知，则直线必过定点 ．
15．已知椭圆的中心为，左、右焦点分别为、，上顶点为，右顶点为，且、、成等比数列，则椭圆的离心率为
16．已知椭圆C1：（0＜b＜2）的离心率为，F1和F2是C1的左右焦点，M是C1上的动点，点N在线段F1M的延长线上，｜MN｜＝｜MF2｜，线段F2N的中点为P，则｜F1P｜的最大值为 ．
四、解答题
17．已知动点满足：(其中).
（1）指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程；
（2）当时，若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.
18．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．
(1)圆上点处的切线方程为 　　．理由如下：　　．
(2)椭圆上一点处的切线方程为 ；
(3)是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线的方程是 　　．这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；
(4)问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，化简得，得．若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 　　．
（5）抛物线上一点处的切线方程为；
（6）抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的两条切线和，设，，则直线的方程为．直线的方程为，设和相交于点．则①点在以线段为直径的圆上；②点在抛物线的准线上．
19．已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上，过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线与椭圆相交于两点，且四边形的面积为6.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
(3)轴上有一点，直线过点且与椭圆相交于两点，若的值与的取值无关，求直线的斜率.
20．已知椭圆的焦距为，且经过点，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为坐标原点，在椭圆短轴上有两点(不与短轴端点重合)满足，直线分别交椭圆于两点，求证：直线过定点.
21．某圆拱桥的水面跨度16m，拱高4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，问这条船能否通过
22．VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点.
(1)求成功点的轨迹方程；
(2)为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】根据斜率与倾斜角关系即可得答案.
【详解】由题设，l的斜率为.
故选：B
2．C
【分析】利用两点距离公式结合圆的位置关系计算即可.
【详解】设，由，
得，
即点在圆上，
易知其圆心为，半径．
又圆的圆心为，半径，
而点在圆上，故圆与圆有公共点，
所以，
解之得，
即的取值范围是．
故选：C．
3．C
【分析】设出和两点的坐标，把与联立得到，经过点的焦点，进而根据的长度求出.
【详解】设，，把l与C的方程联立，
得，消去y并整理，得，
则，，又l经过C的焦点，
∴，∴，
∴C的方程为.
故选：C.
4．C
【分析】联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理结合中点关系即可求出.
【详解】联立直线方程与抛物线方程，消去y得，
设，所以．
又，所以，解得k＝－1或k＝2．
经验证，k＝－1时Δ＝0，直线与抛物线相切，不符合题意，所以k＝2．
故选：C.
5．A
【分析】设，且，利用向量的坐标运算表示出，然后消去，进而可得最小值.
【详解】由已知得设，且，
则，
代入得，
因为，所以，
即的最小值为.
故选：A.
6．B
【分析】由题可得方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，设比较系数可求出.
【详解】若表示两条直线，则其左边一定可以表示为两个一次式的乘积，又因缺少项，则可设，
即，
则，解得.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，可设为.
7．C
【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．
【详解】解：点，，，
如图，
，，
且过的直线（不垂直于轴）与线段相交，
直线需绕点逆时针旋转至倾斜角为（不含，此时斜率范围为，，
直线需绕点顺时针旋转至倾斜角为（不含，此时斜率范围为，．
综上，直线斜率的取值范围是．
故选：C．
8．B
【分析】根据题目条件得：，进而得到：，进一步得到答案.
【详解】∵，
∴，，
∴，，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线离心率的知识点，属于常见的基础题型.
9．BC
【分析】由抛物线方程判断AB，先求出A点坐标再求P点坐标，从而求出的长，进而可判断CD.
【详解】由抛物线方程为，
焦点坐标，准线方程为，A错B对；
直线的斜率为，
直线的方程为，
当时，，
，
，为垂足，
点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对；
根据抛物线的定义可知，D错.
故选:BC.
10．BC
【分析】联立直线方程与抛物线方程得，进而结合韦达定理得，进而得，，即可判断AB；再根据向量数量积运算可判断C；设，，设，进而与抛物线联立，结合直线与抛物线相切可，进而根据在直线上得，同理可得，再消去得：，进而得，再结合基本不等式求距离即可判断D.
【详解】解：联立直线方程与抛物线方程得，
所以，，
所以，，解得，
所以，，，
所以，故A错；
所以中点纵坐标为，即横坐标，
所以，的中点到轴的距离为，故B对；
，故C对；
设，，设，
联立方程得，
所以，由直线与抛物线相切可得，解得，
所以，，
又因为在直线上，
所以有，
同理可得，
两式联立消得：，
所以，
所以，整理得，
所以，与直线距离，当且仅当时取等，故D错
故选：BC
11．BD
【分析】求出两圆的圆心及半径，求出即可判断A；求出圆心距即可判断BC；根据的最大值为即可判断D.
【详解】由题意可知圆，则圆心，半径，
圆，则圆心，半径，
则，与直线不垂直，故A不正确；
因为，
所以与的位置关系为内含，故B正确，C不正确；
对于D，的最大值为，故D正确.
故选：BD.
12．AD
【分析】根据圆的性质，结合双曲线的渐近线方程、直线斜率的公式，通过解方程（组）、运用夹角公式逐一判断即可.
【详解】因为已知的内心到轴的距离为1，双曲线的虚轴长为2，
所以的内心横坐标，双曲线方程：，，渐近线.
设.
当点在双曲线上时：
设直线与双曲线交两点

当直线与双曲线相切时，此时切点满足：
切线
设直线与渐近线交两点

切点正是线段的中点，
∴；线段中垂线是.
中垂线与轴交于点，且.
可设
一方面，；另一方面，线段中点是
考虑到
∴
，点 确系之外心！其轨迹是直线.选项A正确！
依（1）设
线段中点是
线段中垂线是，即
线段中垂线是，即
∴
，即外心的轨迹方程为.故选项B错！
（3）对来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是，进而
化简得
∴
把代入并化简得：
考虑到不在渐近线上得，故
∴，这不可能！垂心不能在上，同理不能在上，选项C错误；
（4）设
共圆！
的外接圆过定点原点，选项D对.
故选：AD
【点睛】关键点睛：正确地进行数学运算，应用夹角公式是解题的关键.
13．
【分析】由已知条件求出与的关系，即可得双曲线的渐近线方程.
【详解】由题意可知，双曲线的焦距是椭圆焦距的3倍，
则有，化简得，则有，
所以该双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
14．
【分析】依题意可得，即可判断.
【详解】解：因为，所以，
又直线，所以直线必过；
故答案为：
15．
【分析】根据题意得到，又因为，结合两式得到，将式子变形得到，解方程即可得到结果.
【详解】设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为，，，
则，，，
由题设可得及可得，
即，解得，而，
所以椭圆的离心率为；
故答案为：.
16．3
【详解】首先根据离心率为，由判断出点的轨迹方程，利用代入法求得点的轨迹方程，进而求得的最大值.
【分析】由条件得，∴，∴椭圆的方程是，，
∴，．由于点在线段的延长线上，，
所以，
∴点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆，方程为．
设，则关于对称的点的坐标为，
∴，化简得点的轨迹方程为，
即点的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，
，所以的最大值为3．
故答案为：
17．（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）利用两点间的距离公式识别已知条件为M到定点的距离之和等于定值，结合椭圆的定义判定当时，M的轨迹为椭圆，并写出标准方程；当时，为线段,并写出方程；无轨迹.
（2）根据椭圆的标准方程，利用点差法求得以为中点的直线的斜率，进而得到方程.
【详解】（1）当时，；当时，；当时无轨迹.
（2）当时，轨迹的方程是：，设点则
作差得，除以得，代入中点坐标，则，直线的方程是.
【点睛】本题考查椭圆的定义与标准方程，中点弦问题，识别已知条件，转化为动点到两定点的距离之和等于定值是关键，求解中点弦问题是，利用代点平方差方法求斜率是常用的方法.
18．(1)，答案见解析
(2)
(3)
(4)．
【分析】（1）求圆O上一点M的切线方程，由切线垂直于OM，求出斜率，在利用点斜式可得切线方程；
（2）设过点的切线方程为，联立椭圆方程，利用和，求出k，m，整理可得切线方程；
（3）利用“同构方程”，即可得到直线的方程；
（4）因为，则，利用韦达定理得，即可得到圆的方程.
【详解】（1）解：圆上点处的切线方程为．
理由如下：
①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，
所以，
又过点，
由点斜式可得，，
化简可得，，
又，
所以切线的方程为；
②若切线的斜率不存在，则，
此时切线方程为．
综上所述，圆上点处的切线方程为．
（2）解：①当切线斜率存在时, 设过点的切线方程为，
联立方程，得，
，即，
，
又，
把代入中，得，
，
化简得.
②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式.
综上，椭圆上一点的切线方程为：.
（3）解：在，两点处，椭圆的切线方程为和，
因为两切线都过点，
所以得到了和，
由这两个“同构方程”得到了直线的方程为；
（4）解：问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，
由，可得，
由，可得，
因为，
则，
所以式中关于的二次方程有两个解，且其乘积为，
则，
可得，
所以圆的半径为2，且过原点，其方程为．
【点睛】圆锥曲线切线方程总结：
①点在圆上，过点作圆的切线方程为；
②点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为；
③点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为；
④点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角形的面积求解，通过点在椭圆上求解，然后求解椭圆方程；
（2），，设，，求解，推出为定值；
（3）②斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，，，，然后求解，再由的值与的取值无关求出，进而得到直线的方程．
【详解】（1）由题意，知，把代入椭圆方程有，，
，，
点在椭圆上，，，
则椭圆的标准方程为；
（2）由题意知，，
设，，则，
则；
（3）由题意知斜率存在，设直线的方程为，
联立方程有，
△
设，，，，，，
．
要使的值与的取值无关，则，
，
则直线的斜率为．
20．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由由焦距为得，代入点得方程，结合即可求解；
（2）由得，设直线：，联立椭圆方程，结合韦达定理可化简整理得m、n的关系式，即可由的关系，进一步讨论过定点问题.
【详解】（1）由焦距为得，则，故代入点得，，故椭圆的标准方程为；
（2）证明：由题意可知AB斜率不为0，可设直线AB方程为，，
联立，由得①，②，③.
直线PA：，则有，同理有.
由得，代入②③整理得，
若，则直线AB：过点P，不合题意；
若，则直线AB：，此时直线AB过定点，得证.
【点睛】关键点点睛：
（1）椭圆短轴上有两点满足等价于，基于方程为纵坐标关系，可设直线AB方程为，联立椭圆方程，
结合韦达定理可将化简整理得到只关于m、n的方程，即可求出m、n的关系，即可进一步讨论直线AB过定点的情况；
（2）设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式.
21．这条船不能通过.
【分析】根据题设，建立以水面作为轴的坐标系，并求出圆拱所在圆的方程，判断时水面上方点值与的大小关系即可.
【详解】以水面作为轴建立直角坐标系如下，且，
令圆拱的半径为，则，可得，故圆心为，
所以圆拱所在圆为，则时，如下图，
要使宽10m，水面以上高3m的船能通过， 只需即可，
则，即，显然不成立，故这条船不能通过.

22．(1)
(2)
【分析】（1）设，，机器人运动速度为，依题意得，整理即可得解；
（2）设直线：，根据直线与点的轨迹没有公共点，则圆心到直线的距离等于半径，即可求出的取值范围，从而求出点纵坐标的取值范围.
【详解】（1）解：设，，机器人运动速度为，
由题意可得，化简得.
由于点在矩形场地内，则.
所以成功点的轨迹方程为.
（2）解：由题意可知直线的斜率存在，不妨设直线：，
直线与点的轨迹没有公共点，
由直线与圆的位置关系可得，解得.
则点纵坐标，
又因为，所以.