高中物理机械振动方程初相位探讨 讲义

高中物理《选择性必修1》机械振动方程初相探秘
一、分歧形成：
高中物理选择性必修1的《机械振动》的新课程教学实施中,要求学生会处理质点简谐振动方程有关的题目。而《普通高中物理课程标准》对该要求是“通过实验,认识简谐运动的特征;能用公式和图像描述简谐运动。”但在用公式表述简谐振动的过程中,一线教师存在困惑也存有一些分歧。
第一个分歧是：振动方程式x=Asin(ωt+φ)中,方程A前面能否出现负号？目前有两种观点：一种观点是严格比照教材振动方程式,A为振幅,表述质点偏离平衡位置的最大距离,为位移最大值的绝对值,不能为负。而另一种观点是振动方程反映了质点偏离平衡位置的位移大小和方向,负号说明了初始时刻位移的方向与所设正方向相反,故可以添加负号。
第二分歧是：初相位的取值范围究竟是[0,2π]、[-2π,0]、[-π,π]还是[-,] 初相位为零的位置取质点振动轨迹的何处； 初相位是否要讲参考位置 其参考位置是否与位移的参考位置相同,一定为平衡位置
第三个分歧是：方程式究竟写成正弦式、余弦式，还是两种均可；正余弦式的原因仅来自于数学中的三角函数变换,还是源自不同的物理意义
位移是一个过程量,对应一段时间,在简谐振动中,质点某时刻的位移指的是由平衡位置指向该时刻位置的位移,质点的振动方程反映了质点不同时刻相对平衡位置的位置变化。在确定振动的正方向之后,上述三个分歧的产生可以归结为一个共同原因,那就是初相位参考位置的选取问题。
二、分歧探索
下面以周期T=0.4s、振幅A=8cm、t=0时刻处于P0位置(位移为4cm)且向正方向振动的弹簧振子模型为例,设向右运动为正方向,其运动轨迹如图1所示,用不同的方法进行阐释。
图1弹簧振子模型
（一）以平衡位置0点为初相位参考点
由简谐振动方程x=Asin(ωt+φ)可知,当振子t=0时刻处于平衡位置O点且向正方向振动时,其初相位φ=0,振动方程为y=Asinωt(当然该振动方程也可以写成余弦形式,但初相位φ=0的前提下只能写成正弦形式)。图1中,t=0时刻处于平衡位置O点且向正方向振动的方程为y=8sin5πt(cm)以此振动为参考,此时处于P0位置且向正方向振动的振子比位于0点且向正方振动的振子超前了了的相位,如图2所示,故其振动方程应为
y=8sin5πt+ （cm）
也可认为t=0时刻,处于P0位置且向正方向振动的振子,比位于O点且向正方向振动的振子振动滞后了的相位,如图3所示,故其振动方程也可以写为：
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y=8sin5πt-cm
图2振动超前
图3振动滞后
类比上述分析可知,若以振子t=0时刻处于平衡位置O点且向负方向的振动为初相位参考点,令其初相位为零,则其振动方程只能写为:
y=-8sin5πt（cm）
当t=0时刻,处于P0位置且向正方向振动的振子,比位于O点且向负方向振动的振子振动超前了的相位,如图4所示,故其振动方程应为:
y=-8sin5πt+（cm）
也可认为t=0时刻,处于P0位置且向正方向振动的振子,比位于O点且向负方向振动的振子振动滞后了的相位,如图5所示,故其振动方程也可以写为:
y=-8sin5πt-（cm）
图4振动超前
图5振动滞后
（二）以位移最大处为初相位参考点
由简谐振动方程x=Acos(ωt+φ)可知,当振子t=0时刻处于位移正向最大的M点时,其初相位φ=0,振动方程为y=Acosωt.图1中,t=0时刻处于位移正向最大的M点的振动方程为:
y=8cos5πt（cm）
以此振动为参考,t=0时刻,处于P0位置且向正方向振动的振子,比位于M点振动的振子振动超前了的相位,如图6所示,故其振动方程应为:
y=8cos5πt+（cm）
也可认为t=0时刻,处于P0位置且向正方向振动的振子,比位于M点振动的振子振动滞后了的相位,如图7所示,故其振动方程也可以写为:
y=8cos5πt-（cm）
图6振动超前
图7振动滞后
类比上述分析可知,若以振子t=0时刻处于位移负向最大的M′点为初相位参考点,令其初相位为零,则其振动方程只能为:
y=-8cos5πt（cm）
在t=0时刻,处于P0位置且向正方向振动的振子,比位于M′点振动的振子振动超前了的相位,如图8所示,故其振动方程应为:
y=-8cos5πt+ （cm）
图8振动超前
也可认为t=0时刻,处于P0位置且向正方向振动的振子,比位于M′点振动的振子振动滞后了的相位,如图9所示,故其振动方程也可以写为:
y=-8cos5πt-（cm）
图9振动滞后
三、分析推演：
以上分析可知：选取不同的点作为初相位参考位置,振动方程也不同,对应的初相位各不相同,从数学三角函数换算的角度可以看出这些方程也是等价的。以平衡位置且向正方向振动为初相位的参考点,方程形式为正弦式,A取正值;以平衡位置且向负方向振动为初相位的参考点,方程形式为正弦式,A取负值;以位移正向最大的M点为初相位的参考点,方程形式为余弦式,A取正值;以位移负向最大的M′点为初相位的参考点,方程形式为余弦式,A取负值。每种参考位置下初相位有两个取值,初相位正负号的物理意义代表超前滞后参考位置,且二者绝对值之和为2π。即初相位参考点的选择决定了A的正负、正余弦的形式、初相位的大小和正负。
四、结论归纳：
对初相位,实质上讲的是实际位置与参考位置零时刻的相位差,参考位置的选择具有任意性,在振动方程的书写中可以选平衡位置向正方向振动、平衡位置向负方向振动、正向位移最大、负向位移最大4个位置作为参考位置。
对同一参考位置而言,振子实际位置的初相位有正负之分,其物理意义为正值代表超前参考位置、负值代表滞后参考位置。初相位的取值范围为[0,2π]、[-2π,0]、[-π,π]均可,甚至可以缩小到[-,]。
参考位置的选择决定了振动方程的正余弦形式和A的正负,正余弦形式不仅仅是简单的三角函数变换。以平衡位置向正方向振动为参考,方程为正弦形式且A取正值;以正向位移最大为参考,方程为余弦形式且A取正值;以平衡位置向负方向振动为参考,方程为正弦形式且A取负值;以负向位移最大为参考,方程为余弦形式且A取负值。
我们把物体离开平衡位置的最大位移(或角位移)的绝对值叫振幅。显然振幅不能取负值,故此处的负号是独立于A之外的符号,其物理意义为位移的方向与所设正方向相反,并不是振幅有正负之分。有教师严格比对振动方程x=Asin(ωt+φ)和x=Acos(ωt+φ),讲A不能取负值从而否认平衡位置向负方向振动、负向位移最大两种参考位置下的振动方程是不正确的。
五、教学建议：
从高中物理教学的角度讲,当然没必要写出上述的那么多的方程,只需要引导学生建立一个最简方程即可。高中学生在高中数学中已经学习了三角函数相关知识,故上述几个方法中的图像平移法思维路径最为简单。从表达式最简角度讲,一种为A前面不出现负值且初相位绝对值最小,建议初相位范围取[-π,π];另一种为单纯考虑初相位绝对值最小,A前面可出现负值，故初相位也可取[-,]。