第15章二次根式 复习学案

冀教版八年级数学高效学习 二次根式
学习过程
（一）复习引入：
（1）已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的________, 记为______,
a一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；
正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
式子的意义是 。
（二）提出问题
1、式子表示什么意义
2、什么叫做二次根式？
3、式子的意义是什么？
4、的意义是什么？
5、如何确定一个二次根式有无意义？
（三）自主学习
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
，，，，，
2、计算 ：
(1) 　　　　　　　　　　 (2)
　（3） 　　　　　　　　　（4）
根据计算结果，你能得出结论： ，其中,
的意义是 。
3、当a为正数时指a的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a必须满足 , 才有意义。
（三）合作探究
1、 x取何值时，下列各二次根式有意义？
①　　　　　②　　 　　
2、（1）若有意义，则a的值为___________．
（2）若 在实数范围内有意义，则x为（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
（四）展示反馈
1、(1)在式子中，x的取值范围是 ____________.
(2)已知+＝0，则x-y＝ _____________.
(3)已知y＝+,则= _____________。
（五）达标测试
A组
(一)填空题：
1、 =________;
2、 在实数范围内因式分解：
（1）x2-9= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（2） x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)
（二）选择题：
1、计算 （ ）
A. 169 B.-13 C±13 D.13
2、已知
A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x的值不能确定
3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A. 3= B 0.5=
C .=0.3 D =35
B组
（一）选择题：
1、下列各式中，正确的是（ ）。
A. = B
C D
2、 如果等式= x成立，那么x为（ ）。
A x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0
（二）填空题:
1、 若，则 = 。
2、分解因式：
X4 - 4X2 + 4= ________.
3、当x= 时，代数式有最小值，
其最小值是 。
二次根式(2)
一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质：
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
二、学习重点、难点
重点：二次根式的性质．
难点：综合运用性质进行化简和计算。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：
x2-6= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（二）提出问题
1、式子表示什么意义
2、如何用来化简二次根式
（三）自主学习
1、计算：
当
2、计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
3、计算： 当
（四）合作交流
化简下列各式：
（五）展示反馈
1、化简下列各式
（1） (2)
（3）（x＜-2）
（六）拓展延伸
(1)a、b、c为三角形的三条边，则 ____________.
(2) 把(2-x)的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A、B、 C、 D、
(3) 若二次根式有意义，化简│x-4│-│7-x│。
（八）达标测试：
A组
1、填空：（1）、-=_________.
（2）、=
2、已知2＜x＜3，化简：
二次根式的乘法
（一）复习回顾
1、计算：
（1）×=______ =_______
（2） × =_______ =_______
（3） × =_______ =_______
2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：
（1）×_____
（2）×____
（3） ×__
（二）自主学习
1、填空：
（1）×____ （2）×____
（3）×____ （4）×____
2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？
能用数学表达式表示发现的规律吗？
3、二次根式的乘法法则是：
（四）合作交流
1、计算：
（1）×　 （2）2×3
（3）·　 （4）··
2、化简：
①　 ②
③　　　 ④　　
（五）展示反馈
展示学习成果后，请大家讨论：对于×的运算中不必把它变成后再进行计算，你有什么好办法？
（六）精讲点拨
1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数或因式分解。
（2）分解后把能开尽方的开出来。
（七）拓展延伸
1、判断下列各式是否正确并说明理由。
（1）＝
（2）=ab
（3） 6×（-2）==
（4） =＝＝12
2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1) -3 (2)
（八）达标测试：
A组
1、选择题
（1）等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
（2）下列各等式成立的是（ ）．
A．4×2=8 B．5×4=20
C．4×3=7 D．5×4=20
（3）二次根式的计算结果是（ ）
A．2 B．-2 C．6 D．12
2、化简：
（1）； （2）；
3、计算：
（1）； （2）；
B组
1、选择题
（1）若，则=（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．1
（2）下列各式的计算中，不正确的是（ ）
A．=（-2）×（-4）=8
B．
C．
D．
2、计算：（1）6×（-2）； （2）；
二次根式的除法
（一）复习回顾
1、计算： （1）3×（-4） （2）
2、填空： （1）=________，=_________
（2）=________，=________
（3）=________，=_________
（二）自主学习
完成下面的题目：
1、可得规律：
______ ______ _______
2、填空:
（1）=_________（2）=_________（3）=______
规律：______ _______ _____
3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则：
。
把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质：
。
（四）合作交流
1、完成下面的题目：
计算：（1） （2）
2、完成下面的题目：
化简：（1） （2）
（五）精讲点拨
1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数必须为整数或整式；
（2）被开方数不含开的尽方的因数或因式。
（六）拓展延伸
阅读下列运算过程：
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：(1) =_________ （２）=_________
(３) =_____ ___ (４) =___ ___
（七）达标测试：
A组
1、选择题
（1）计算的结果是（ ）．
A． B． C． D．
（2）化简的结果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
2、计算：
（1） （2）
（3） （4）
B组
用两种方法计算：
（1） （2）
最简二次根式
学习过程
（一）复习回顾
化简（1） （2）
（二）提出问题：
1、什么是最简二次根式？
2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？
3、如何进行二次根式的乘除混合运算？
（三）自主学习
1、满足于 ,
的二次根式称为最简二次根式.
2、化简:
(1) (2)
(3) (4)
（四）合作交流
1、计算：
2、比较下列数的大小
（1）与 （2）
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=3cm，BC=6cm，求AB的长．
（五）拓展延伸
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
，
，
同理可得： =，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（……+）（）的值．
（六）达标测试：
A组
1、选择题
（1）如果（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（ ）．
A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对
（2）化简二次根式的结果是
A、 B、- C、 D、-
2、填空：
（1）化简=_________．（x≥0）
（2）已知，则的值等于__________.
3、计算：
（1） (2)
B组
1、计算： （a>0,b>0）
二次根式的加减法
学习过程
（一）复习回顾
1、什么是同类项？
2、如何进行整式的加减运算？
3、计算：（1）2x-3x+5x （2）
（二）自主学习
1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：
（1） （2）
（3） （4）
从中你得到： 。
2、计算：
（1）+ （2）+2+3
（3）3-9+3
通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应
。
（三）合作交流，展示反馈
小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6分钟
(1) (2)
（四）精讲点拨
1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。
2、二次根式的加减分三个步骤：
①化成最简二次根式；
②找出同类二次根式；
③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
（五）拓展延伸
1、如图所示，面积为48cm2的正方形的四个角是
面积为3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制
作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底
面边长分别是多少？
（七）达标测试：
A组
1、选择题
（1）二次根式：①；②；③；④中，
与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③
C．①和④ D．③和④
（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A．与 B．与
C．与 D．与
2、计算：
（1）　　（2）
B组
1、选择：已知最简根式是同类二次根式，则
满足条件的 a,b的值（ ）
A．不存在 B．有一组
C．有二组 D．多于二组
2、计算：
（1） （2）
二次根式的混合运算
学习过程
（一）复习回顾：
1、填空
（1）整式混合运算的顺序是：
　　 。
（2）二次根式的乘除法法则是：
　　 。
（3）二次根式的加减法法则是：
　　 。
2、计算：
（1）·· （2）
（3）
（二）合作交流
1、探究计算：
（1）（）× （2）
2、计算：
（1） （2）
（三）展示反馈
计算：（限时8分钟）
（1） （2）
（3） （4）（-）（--）
（四）拓展延伸
同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，下面我们观察：
反之，
∴
∴ =-1
仿上例，求：（1）；
（2）你会算吗？
（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
（五）达标测试：
A组
1、计算：
（1） （2）
（3）（a>0,b>0）（4）
2、已知，求的值。
B组
1、计算：（1）（2）
2、母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明 ( http: / / www.21cnjy.com )做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为8cm2,另一个为18cm2，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？
《二次根式》复习
（一）自主复习
完成练习：
1．若a＞0，a的平方根可表示为___________
a的算术平方根可表示________
2．当a______时，有意义，
当a______时，没有意义。
3．
4．
5．
（二）合作交流，展示反馈
1、式子成立的条件是什么
2、计算： (1) (2)
3．(1) (2)
（三）精讲点拨
在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（四）拓展延伸
1、用三种方法化简
解：第一种方法：分母有理化
第二种方法：二次根式的除法
（五）达标测试：
A组
1、选择题：
（1）化简的结果是（ ）
A 5 B -5 C 士5 D 25
（2）代数式中，x的取值范围是（ ）
A B
C D
（3）下列各运算，正确的是（ ）
A
B
C
D
（4）如果是二次根式，化为最简二次根式是（ ）
A B
C D．以上都不对
（5）化简的结果是（ ）
2、计算．
(1) (2)
(3) (4)
3、已知求的值
B组
1、选择：
（1），则（ ）
A a,b互为相反数 B a,b互为倒数
C D a=b
（2）在下列各式中，化简正确的是（ ）
A B
C D
（3）把中根号外的移人根号内得（ ）
2、计算：
（1） （2）
（3）
3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：
(1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路，
猜想的变化结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数，
且n≥2)表示的等式并进行验证．