江苏省启东市东南中学2023-2024学年高一上学期第二次质量检测数学试卷（含解析）

东南中学2023-2024学年度第一学期第二次质量检测
高一数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A = {0,1,2}，B = {1,2}，则AB =（ ）
A．{0} B．{1} C．{2} D．{1,2}
2．若命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．“”是“”的什么条件（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为，特殊环境温度是，则经过，该物质的温度最接近（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
5．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后，得到偶函数的图象，则正实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（ ）
A．10 B．18 C．22 D．26
8．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于成中心对称
B．函数（且）的图象一定经过点
C．函数的图象不过第四象限，则的取值范围是
D．函数（且），，则的单调递减区间是
10．已知函数（），则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的值域是
C．函数在上单调递减
D．若对任意的，恒成立，则当时，或或
11．若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为5 D．的最小值为
12．已知函数的部分图象如图，则下列判断正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．对任意的，都有
C．函数在区间上恰好有三个零点
D．函数是奇函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知扇形的半径为2，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为
14．点在角终边上，则 ．
15．已知，，且，则的最小值为 ．
16．已知函数，
①满足的实数的取值集合为 ；（用列举法表示）
②若，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要得文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分10分)不用计算器求下列各式的值
（1）； （2）．
18．(本小题满分12分)已知集合，，
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
(本小题满分12分)
（1）已知，求：的值
（2）已知，求：，的值
20．(本小题满分12分)已知函数
(1)求函数的最小正周期及在上的最大值和最小值
(2)求函数的单调递增区间和单调递减区间
21．(本小题满分12分)已知函数为奇函数
(1)求实数的值及函数的值域；
(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
22．(本小题满分12分)已知函数．
(1)当时，求的值；
(2)若函数的图象与直线有三个不同的交点，直接写出实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，设三个交点的横坐标分别为，，，，若恒成立，求实数的取值范围．
东南中学2023-2024学年度第一学期第二次质量检测
高一数学参考答案
1．D
【分析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】集合，，
∴.
故选：D.
2．B
【分析】根据题意，由存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得到结果.
【详解】因为命题p：，，所以为，，
故选：B.
3．D
【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可得结论.
【详解】若，则由“”不能推出“”，故充分性不成立；
若，则由“”不能推出“”，故必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．B
【分析】根据题意可分别将初始温度，特殊温度及时间代入题中式子得，从而可求解.
【详解】由初始温度，特殊温度，时间代入题中式子得：
，解得分钟，故B项正确.
所以选:B.
5．C
【分析】根据图像可求得函数，且根据图形左移个单位后为偶函数，再结合点在函数上，从而求解.
【详解】由题图可知，周期，所以：，所以，
因为:点在的图象上，所以:，所以:，
得：，因为：，所以：，，
所以：，
因为：是偶函数，所以：，
所以：，当时，有正实数最小值：.故C项正确.
故选：C.
6．C
【解析】求出函数的定义域，根据函数的奇偶性排除部分选项，再求出函数的值域，根据值域即可确定正确选项.
【详解】设，则的定义域为，且，即是奇函数，排除D；
又，由可得 ，
，从而，
因此，即的值域为，故选C.
故选：C
7．B
【分析】由题意可知函数关于成轴对称且又关于成中心对称，分别画出函数与函数在同一坐标系下的图象，利用交点坐标关于对称即可求得所有根之和为.
【详解】根据题意由可知，函数关于成轴对称，由可知函数关于成中心对称，
由可得；
分别画出函数与函数的图象如下图所示：

显然两函数图象都过，且都关于成中心对称，
易知当时，，
所以两函数图象在两侧各有4个交点，关于对称的两根之和为4，
所以可得所有的根之和为.
故选：B
8．A
【分析】由题意可得一次函数和指数函数都是减函数且临界点的函数值左侧大于等于右侧.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
9．AD
【分析】根据分式分离得，结合反比例函数的图象性质即可得的对称中心，从而判断A；由指数函数的定点可得函数的定点，从而判断B； 由指数函数的图象平移可得函数的图象不过第四象限时的取值范围，从而判断C；利用复合函数单调即可判断D.
【详解】函数，其图象是由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到，
故函数的图象关于成中心对称，故A正确；
当时，，则函数（且）的图象一定经过点，故B错误；
由指数函数的图象可得函数的图象不过第四象限，则，所以的取值范围是，故C错误；
函数中，，又且，所以，则，
由于函数，单调减区间为上，单调增区间为，函数在上单调递减，
则函数的单调递减区间是，故D正确.
故选：AD.
10．ABD
【分析】选项A，由奇函数的定义证明；选项BC，解析式变形分段形式，画出函数图象可判断；选项D，恒成立问题转化为最值问题处理，先由恒成立得，再主元变换构造关于的函数，转化为的最值问题解决.
【详解】选项A，由题意得，，
所以函数是奇函数，故A正确；
选项BC，由函数解析式可得，函数图象如图所示，
所以的值域是，在上单调递增，故B正确，C错误；
选项D，由函数在上单调递增，
则当时，，
恒成立，则恒成立，
即恒成立，
令，即时恒成立，
则，解得：或或，故D正确．
故选：ABD.
11．AB
【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析即可判断.
【详解】对于A：实数，，，整理得，
当且仅当时取等号，即的最大值为，故A正确；
对于B：，，，
，
，当且仅当、时取等号，故B正确；
对于C：，，，，
，
当且仅当，即、时取等号，
因为等号取不到，可知5不为最小值，故C错误；
对于D：，
当且仅当，即时取等号，故D错误.
故选：AB.
12．BCD
【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，可得，
又因为函数在附近单调递增，则，
则，
又因为，可得，
结合图象可得，解得，则，
对于A选项，函数的最小正周期为，A错；
对于B选项，，
所以，对任意的，都有，B对；
对于C选项，当时，，
由可得，所以，，
所以，函数在区间上恰好有三个零点，C对；
对于D选项，是奇函数，D对.
故选：BCD.
13．/
【分析】根据扇形的面积公式，即可求解.
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，
则扇形的面积，解得.
故答案为：.
14．
【分析】应用诱导公式化简目标式为，再由三角函数定义可得，即可求值.
【详解】，
由题设，并根据三角函数定义得，则.
故答案为：
15．/1.8
【分析】由，可得，再利用“1”的代换可得最值.
【详解】因为，所以，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
16．
【分析】先根据求出或，进一步求得的取值；根据得，将转化为，使用基本不等式求最小值.
【详解】①令，则，则或2，由可得，由可得，则实数的取值集合是；
②结合函数草图可知存在时，，
此时，，，
则，当时取等号．

故答案为：①；②.
17．（1）-1；（2）5.
【分析】（1）根据指数运算公式，计算出所求表达式的值.
（2）根据对数运算公式，计算出所求表达式的值.
【详解】（1）原式．
（2）原式．
【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，属于基础题.
18．（1）；（2）.
【分析】(1)直接计算即可；（2）由得，然后分与两种情况讨论.
【详解】（1）因为，所以，又，所以或；
（2）若，则，
当时，即得，满足条件；
当即时，要使，则有，即，解之得．
【点睛】本题主要考查集合的运算及已知集合间的关系求参数的取值范围问题，属常规考题.
19．（1）；（2），
【分析】（1）根据题意，将原式化为正切函数的齐次式，即可得到结果；
（2）根据题意，由同角的平方关系可得，从而可得，即可得到，即可得到结果.
【详解】（1）；
（2）因为，则，
则，且，则，
所以，又，
所以，则，则.
20．(1)，最大值为，最小值
(2)单调递增区间是，单调递减区间是
【分析】（1）利用最小正周期公式计算即可求得函数最小正周期，由，得，借助余弦函数图像即可求解；
（2）将看作整体，借助余弦函数性质建立不等式，计算即可求解.
【详解】（1），
，
当，即时，，
当，即时，，
所以，的最大值为，最小值.
（2）由余弦函数性质可得：
当时，单调递增,解得，
所以，的单调递增区间是，
当时，单调递减，解得，
所以，的单调递减区间是.
21．(1)，值域为
(2)
【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域；
（2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果.
【详解】（1）函数为奇函数，定义域为，
则，所以，经检验知符合题意；
因为，则
所以函数的值域为.
（2）由题知：当恒成立；
则；
令，
所以；
又，当且仅当时等号成立，
而，所以，
则.
22．(1)5
(2)
(3)．
【分析】（1）根据分段函数求值直接代入即可.（2）根据图象分类讨论即得.（3）根据函数的单调性求最值，再结合恒成立条件即得.
【详解】（1）当时，，所以；
（2）当，即时，，故；
当，即时，，故；
当，即时，无解．
当，即时，，故无解．
综上：实数的取值范围是
（3）由题知是的较小根，，是方程的根，
所以，，令，
设，在上单调递减，
所以时，，从而实数的取值范围．
答案第1页，共2页