吴桥中学高二月考数学试卷（选择性必修一，选择性必修二）
一．单项选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分）
1．直线 1: + 2 + 1 = 0与直线 2: 2 + + 3 + 1 = 0平行，则 为（ ）
A． 1或 4 B． 1 C．2 D． 4
2．已知 = 2,1, 3 ， = 1,2,3 ， = , 6, 9 ，若 P，A，B，C四点共面，则 =
（ ）
A．3 B． 3 C．7 D． 7
3．在等差数列 中， 2 + 12 = 40，则 5 6 + 7 8 + 9的值为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
4．“ =± 10”是“直线 + + = 0与圆 : + 1 2 + 1 2 = 5相切”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
2 2 2 2
5设 > > 0，若双曲线 1：2 2 = 1
7
的离心率为 ，则椭圆 2：2 + 2 = 1的离心率为（ ） 2
A 2． B 1 C 3 2 3． ． D．
2 2 2 3
6．向量 = ( , 1,0)， = (2,1,1)，则下列说法错误的是（ ）
A． ⊥ ，则 = 1 B．若 = 5，则 =± 2
2
C． ∈ R，使得 // D．当 = 1时， 与 π夹角为
6
7．当 = 1是函数 ( ) = 2 + 2 + 2 3 e 的极小值点，则 的值为（ ）
A．0 B． 4 C．0或 4 D．0或 4
2 2
8 x y、如图，双曲线 2 2 = 1(a > 0, b > 0)的两顶点为A1, A2，虚轴两端点为Ba b 1, B2，两焦点为F1, F2，
若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为 A, B, C, D，则菱形F1B1F2B2的面积S1
与矩形 ABCD S的面积S2的比值 1为（ ）S2
A 5 1． B 5+1 5+2 5 2． C． D．
2 2 2 2
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二．多选题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分，少选 2 分，错选 0 分）
9．下列给出的命题正确的是（ ）
A．若直线 l的方向向量为 = 1,0,3 ，平面 的法向量为 = 2,0, 2 ，则 //
3
B．两个不重合的平面 , 的法向量分别是 = 2,2, 1 , = 3,4,2 ，则 ⊥
C．若 , , 是空间的一组基底，则 + , + , + 也是空间的一组基底
D 1．已知三棱锥 ，点P为平面ABC上的一点，且 = + , ∈ ，
2
则 = 1
2
10．已知数列 的前 项和 = 2 ，则下列说法正确的选项是（ ）
A． 1 = 1 B． = 2 1
C．该数列是公差为 3的等差数列 D．该数列是递增数列
11．已知点 在圆 : ( 3)2 + ( 3)2 = 4上，点 (2,0)， (0,2)，则（ ）
A．直线 与圆 相交 B．直线 与圆 相离
C．点 到直线 距离大于 0.5 D．点 到直线 距离小于 5
12 ( ) = 1．已知函数 3 2 + ，则（ ）
3
A． ( )为奇函数 B． = 1不是函数 ( )的极值点
C． ( )在[ 1, + ∞)上单调递增 D． ( )存在两个零点
三．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
13．已知向量 = 2,3, 1 ， = 4, , 2 ，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围
为 .
14．已知数列 的前 n项和为 ，且 1 = 2， +1 = + +
，则 20 = ．2
15
2 2
．已知 1， 2是双曲线 ： 2
2 = 1( > 0, > 0)
3
的左、右两个焦点，若直线 = 与双
3
曲线 交于 ， 两点，且四边形 1 2为矩形，则双曲线的离心率为 ．
16．定义在 R上的函数 满足 ′ + e < 0，其中 ′ 为 的导函数，若 3 =
3e3，则 > e 的解集为 .
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四．解答题（共 6 小题，17 题 10 分，其他均 12 分，满分 70 分）
17. 已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn， a4 2， S10 25．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）求 Sn的最小值及取得最小值时 n的值．
18. 已知半径为 4的圆C与直线 l1 : 3x 4y 8 0相切，圆心C在 y轴的负半轴上.
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线 l2 : kx y 3 0与圆C相交于 A,B两点，且 ABC的面积为 8，求直线 l2的方程.
19. 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，BA BC，BA BC BB1 2，D，E，F分别为 AA1，
B1C1， AB的中点.
（1）证明：EF / /平面 ACC1A1；
（2）求直线CE与平面DEF 所成角的正弦值.
20. 已知数列 a *n 的首项 a1 1且满足4anan 1 an 3an 1 n N ．
1
（1）证明： 2 是等比数列；
an
（2）数列 bn
1 2n 1 2an 1
满足b1 ，bn 1 bn，记 cn ，求数列 ca b n 的前 n项和T3 2n 3 n．n n
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2 221．已知椭圆 ： 2 + 2 = 1 > > 0 ，点 1 1,0 、 2,0 分别是椭圆 的左焦点、左顶
点，过点 1的直线 （不与 x轴重合）交椭圆 于 A，B两点．
(1)求椭圆 M的标准方程；
(2)若 0, 3 ，求△ 的面积；
(3)是否存在直线 ，使得点 B在以线段 为直径的圆上，若存在，求出直线 的方程；若不存
在，请说明理由．
22．已知函数 = 2 cos + sin 1.
(1)若 = 1 时，求曲线 = 在点 0, 0 处的切线方程；
(2)若 = 1 时，求函数 的零点个数；
(3)若对于任意 ∈ 0, π ， ( ) ≥ 1 2 恒成立，求 的取值范围.
2
{#{QQABSYAUogCAQBIAARhCQQVKCgOQkACCAKoOQAAMsAABgAFABAA=}#}吴桥中学高二月考数学试卷答案
1：D .2.由P，A，B，C四点共面，可得，，共面，
设，
则，解得．故选：C.
3．在等差数列中，因为，所以，
所以. 故选：A.
4．由已知得圆心，半径，圆心到直线的距离，
所以，即，所以所求直线方程为．
“”是“直线与圆相切”的充要条件，故选：C．
5．由题意，，所以椭圆的离心率为故选：B．
6．A：由，则，对；B：，对；
C：要使，则，显然等式不可能成立，故不存在，错；D：由题设，则，而，所以，对.故选：C.
7.对函数求导得：，
又由是函数的极小值点，所以，
即，解得或，当时，，
当时，，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，所以是的极小值点，故满足题意；当时，，当时，，在区间单调递增，当时，，在区间单调递减，所以是的极大值点，故不满足题意.
综上所述：，故A项正确.
8、虚轴两端点为，两焦点为，所以菱形的面积，
以为直径的圆内切于菱形，切点分别为所以且
在中，用等面积法得：，即，所以，，所以即，解得（负值舍去），设矩形，在中，用等面积法得：，所以，且，即，.
所以矩形的面积，所以.故选：C.
9．对A，，所以或，A错误；对B，，所以，B正确；对C，利用反证法的思想，假设三个向量共面，则，
所以，若，则，则共线，与是空间的一组基底矛盾；若，则，则共面，与是空间的一组基底矛盾；所以假设不成立，即不共面，所以也是空间的一组基底，C正确；
对D，因为P为平面ABC上的一点，所以四点共面，则由共面定理以及可得，，所以，D正确；故选:BCD.
10.当，时，，则，
当时，，符合上式，故，故AB正确，又，故数列是等差数列，且是递增数列，故C错误，D正确.故选：ABD.
11．由知，圆心为，半径，直线，
则圆心到直线距离.所以直线与圆相离，故A错B对；
由圆心到直线的距离知，圆上点到直线距离的最大最小值分别为，
，故CD正确.故选：BCD.
12.函数的定义域为R，又，，
则，所以不是奇函数，故选项A错误；因为，所以在上单调递增，所以函数不存在极值点，故选项B与C正确；因为，，又在上单调递增，且，所以仅有一个零点0，故选项D错误.故选：BC.
13．由 ；由 .
综上：且.故答案为：.
14．因为，所以，所以，，，，累加可得，化简可得，故答案为：.
15．因为点在直线上，设，又因为点在双曲线上，则，解得，所以，整理得：，解得或（舍去），所以.故答案是：.
16由题意知，故，设，则，即在R上单调递增，由，可得，
故即，即，则，故，即的解集为，
17设等差数列的公差为d，由，，得，，解得，，所以．
方法一：由知是递增数列，当时，；当时，．
所以，所以当时，最小，最小值为．
方法二：，又，所以当时，最小，最小值为-26.
18由已知可设圆心，则，解得或（舍），所以圆的方程为.设圆心到直线的距离为，则，即，解得，
又，所以，解得，所以直线的方程为或
19 证明：取的中点，连接，，因为F，G分别为，的中点，所以，，又E为的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.
解：在直三棱柱中，平面，又平面，平面，
所以，，又，故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
20证明：由题意，得，所以，
又，所以，所以，
所以是首项为3，公比为3的等比数列．
由（1），得，所以，
由，得，所以，，…，，
当时，；当时，，满足上式，所以，
，
所以，①
，②
①-②得
，
所以．
21（1）由左焦点、左顶点可知：，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，，
则过的直线的方程为：，即，
解方程组，解得或，
所以的面积.
（3）若点B在以线段为直径的圆上，等价于，即，
设，则，
因为，则，
令 ，
解得：或，又因为，则不存在点，使得，
所以不存在直线，点B在以线段为直径的圆上.
22（1）当时，函数，因为，所以切点为，
由，得，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）可知，
因为，所以，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又因为，，
所以，由零点存在定理可知，存在唯一的使得，存在唯一的使得.
故函数有且仅有两个零点.
（3）因为，当时，由得，
下面证明：当时，对于任意，恒成立，
即证，即证；
而当时，，
由（2）知，；所以时，恒成立；
综上所述，.
