第一章 勾股定理 学案 2023-2024学年北师大版八年级数学上册（无答案）

《 探索勾股定理（第一课时）》学历案
【课题与课时】
课题：探索勾股定理
课时：第一课时
【课标要求】
1.经历勾股定理的探索过程，能运用运用它们解决一些简单的实际问题。
2.掌握勾股定理的内容。
【学习目标】
1．理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．
【评价任务】
1.独立完成任务一：1,2 (检测目标1)
2.合作完成任务二：3,4(检测目标2)
【资源与建议】
勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征。学习勾股定理及其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习的必要基础。
注重使学生经历探索勾股定理等活动过程。
教科书安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索勾股定理的活动，发展空间观念和推理能力。
注重创设丰富的现实情境，体会勾股定理的应用。
可以创设现实情境鼓励学生寻找有关的问题，进一步展现勾股定理在解决问题中的作用。
【学习提示】
在开始本节课学习之前，先认真阅读以上资源与建议，明确这节课内容的出处、知识的前后联系、学习的路径、学习的重难点及突破的途径，为顺利完成以下学习内容作好准备.
【学法建议】
自主探究与合作交流相结合
课前预习 【学习反思与补充】
什么是直角三角形 . 直角三角形的性质： 2、预习《探索勾股定理第一课时》回答一下问题 勾股定理探究思路是什么？ 勾股定理内容是什么？
学习过程 【学习反思与补充】
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索或者什么范围的钢索呢？ 你是怎么理解的？怎么思考的？ 探究一：填写下表并说明理由 探究二：填写下表并说明理由 通过自主学习得到结论： 我们古代把直角三角形中较短的直角边称为 ， 较长的直角边称为 ，斜边称为 ． 从而得到著名的勾股定理： ． 如果用a、b和c分别表示直角 三角形的两直角边和斜边，那么 ． 符号语言： 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理） 【评价标准】 A等级：能独立验证并能说明理由 B等级：能独立验证但不能说明理由 C等级：同学帮助下完成. 评价结果： 【评价标准】 A等级：能独立验证并能说明理由 B等级：能独立验证但不能说明理由 C等级：同学帮助下完成. 评价结果：
学习总结 【学习反思与补充】
本节课我学会了哪些知识？ 本节课我学会了那些探究问题的方法？ 学习内容上哪些地方还有疑惑或者哪些知识我还想了解？
学习检测 【学习反思与补充】
图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=6，b=8，则c= . （2）若c=13，b=12，则a= . 3.若直角三角形中有两边长是3和4，则第三边长的平方为（ ） A 25 B 14 C 7 D 7或25 4.求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积. 【评价标准】 A等级：能准确写出答案且知道理由 B等级：能准确写出答但不能说明理由 C等级：同学帮助下完成. 评价结果： 【评价标准】 A等级：能准确写出答案且过程完整 B等级：能准确写出答但过程不完整 C等级：同学帮助下完成. 评价结果：
《 探索勾股定理（第二课时）》学历案
【课题与课时】
课题：北师大版 初中数学 八年级上册 ，第一章1.1探索勾股定理第2课时
【课标要求】
理解勾股定理，探索并验证勾股定理，能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
【学习目标】
1．通过小组合作会用拼图法验证勾股定理,经历拼图、观察、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.（难点）
2．通过具体实例理解勾股定理是直角三角形的特有性质，并会用勾股定理解决相应的问题，提高应用意识．（重点）
【评价任务】
1．合作完成任务一：（检测目标1）
2．独立完成任务二：（检测目标2）
3. 独立完成当堂达标（检测目标1，2）
【资源与建议】
1．本节课是北师大版《数学（八年级上册）》第一章第一节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后，经历勾股定理的验证过程.具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中“算两次”及数形结合的思想；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.
2.本主题的学习按以下流程进行：创设情境→探索验证勾股定理→勾股定理的应用.
3.本主题的重点是勾股定理的验证和应用，难点是勾股定理的验证．你可以通过任务一（拼图活动）直观感悟、类比得出验证勾股定理的方法，体会“算两次”、“割补”以及数形结合的思想.你可以通过任务二的具体实例及相关变式训练掌握重点，并借助小组合作交流来突破本节课的难点.
【学习提示】
阅读评价任务，明确本节内容有几个任务需要完成，每个任务要怎样完成，完成以后的检测评价内容是什么，同时明确针对目标的评价标准，有效引导自己学习.
学习过程 【学习反思与补充】
任务一：验证勾股定理（指向目标1） 问题思考：观察下图,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗 你是如何做的 与同伴进行交流.
活动一：做一做 观察图1和图2，想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的？ 图1是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形; 图2是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形. 问题1：请你将图1中所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来. 问题2：图1中正方形ABCD的面积是多少 你们有哪些方法求 与同伴进行交流.(分组讨论) 问题3：请根据下面的提示利用图1 - 5验证勾股定理. 如图，大正方形ABCD的面积可以表示为： 或者 ， 可得等式 . 化简可得 . 问题4：你能用图2也证明一下勾股定理吗 （独立完成） 问题5：你还有没有其他的验证方法 活动二：拼一拼 请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论，并画出你所拼成的图形.要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠.） 结论：钝角三角形的三边a,b,c应满足的关系： . 锐角三角形的三边a,b,c应满足的关系： . 任务二：勾股定理的应用（指向目标2） 例 我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗 问题思考： 问题1：图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2？说说你的理由. 问题2：要想求敌方汽车的速度，应先求什么 你能利用勾股定理完成 这道题吗？ 【评价标准】 A等级：能独立验证，得出结论. B等级：在同学帮助下得出结论. C等级：未能得出正确结论. 评价结果： 【评价标准】 A等级：能正确规范写出验证过程，得出结论 .B等级：在同学帮助下得出结论. C等级：未能得出正确结论 评价结果： . 【评价标准】 A 等级：能正确画出图形，写出完整的解答过程. B 等级：能画出图形，不能正确写出解答过程. C 等级：不能正确画出图形和解答. 评价结果：
学习总结 【学习反思与补充】
本节课我学会了哪些知识？ 本节课我学会了那些探究问题的方法？ 学习内容上哪些地方还有疑惑或者哪些知识我还想了解？
学习检测 【学习反思与补充】
（检测目标1） 1、曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明.根据前面的学习尝试写出你的验证过程. 2、（检测目标2） 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000 m处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5000m，飞机的飞行速度是多少？ 【评价标准】 A等级：能正确规范写出验证过程，得出结论 B等级：在同学帮助下得出结论. C等级：未能得出正确结论 评价结果：
对标 等级（A 等级；B 等 级；C 等级） 对应知识短板 目标一 目标二 学习检测
《一定是直角三角形吗》学历案
【课题与课时】
课题：北京师范大学出版社 初中数学 八年级上册，第一章 1.2一定是直角三角形吗
【课标要求】
掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用。
【学习目标】
1.通过画三角形、测量直角的活动，猜想归纳出勾股定理逆定理，发展归纳能力.
2.通过自主学习，能利用勾股定理逆定理解决简单的数学问题,发展自主学习及解决问题能力.
【评价任务】
1.独立完成任务一：3，4 (检测目标1)
2.独立完成任务二：2 (检测目标2)
【学习提示】 阅读评价任务，明确本节内容有几个任务需要完成，每个任务要怎样完成，完成以后的检测评价内容是什么，同时明确针对目标的评价标准，有效引导自己学习.
【资源与建议】
1.勾股定理逆定理是对直角三角形的进一步研究。在之前的学习中，我们知道判定一个三角形是直角三角形可以通过直角来判定，勾股定理逆定理给了我们另一种判定方法，即计算边之间的数量关系.
2.本主题的学习按以下流程进行：勾股定理逆定理→逆定理的应用.
3.本主题的重点是理解勾股定理逆定理的具体内容；难点是应用勾股定理逆定理判定直角三角形.你可以通过任务1动手操作的逆向思考，得出一个关于直角三角形判别条件的猜想，进而归纳出勾股定理逆定理并通过说理进一步验证勾股定理逆定理来突破本节课的重点，并通过任务2的练习，体会勾股定理逆定理的应用来突破本节课的难点.
【学习提示】 在开始本节课学习之前，先认真阅读以上资源与建议，明确这节课内容的出处、知识的前后联系、学习的路径、学习的重难点及突破的途径，为顺利完成以下学习内容作好准备.
【学习过程】
学前准备：
1.直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？
2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就一定是直角三角形呢
学习过程 【学习反思与补充】
任务一：归纳勾股定理逆定理（指向目标1） 1.动手操作，测量猜想 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长， 3,4,5, 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17；并回答这样两个问题： （1）这四组数都满足吗？ （2）分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴交流 学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数. 2.归纳勾股定理逆定理 如果一个三角形的三边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形。满足的三个正整数，称为勾股数. 3.下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由. （3，4题检测目标1） ①9，12，15； ②15，36，39； ③12，35，36； ④12，18，22 4. 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） A　直角三角形 B　锐角三角形 C　钝角三角形 D　不能确定 (评价最高标准：第3-4题答案正确每题+4，最高8分) 【学习提示】通过实验—猜想—归纳—论证，探索勾股定理的逆定理，锻炼自己的抽象能力及概括能力.通过评价任务熟悉勾股定理逆定理及常见的勾股数，达到6分以上说明目标1达成. 任务二：逆定理应用（指向目标2） 自主学习课本9页例题，写出规范完整的步骤。 一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，求木板的面积。（检测目标2） (最高评价标准：步骤规范+6，正确说出解题关键点、考点+4，最高10分) 【学习提示】 这个例题的变式题是勾股定理逆定理的应用，先独立思考，找到解题的关键点：求不规则图形的面积只要用割补法转化成规则图形求解即可。步骤的关键点：用勾股定理逆定理判定直角三角形。最后体会逆定理在实际问题中的应用.这是对知识的综合应用，也是提升自己灵活应用知识的能力，体会数学来源于生活，又解释应用于生活的数学理念.
学习总结 【学习反思与补充】
本节课我学会了哪些知识？ 本节课我学会了那些探究问题的方法？ 学习内容上哪些地方还有疑惑或者哪些知识我还想了解？
学习检测 【学习反思与补充】
一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是（ ） （检测目标1）A　250 B　150 　　C　200 D　不能确定 2．如图4，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流. （检测目标1） (评价最高标准：第1-2题答案正确每题+4，最高8分) 3．据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第一个结和第三个结，两个助手分别握住第四个结和第八个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第四个结处。你能说说其中的道理吗？（检测目标2） (最高评价标准：步骤规范+6，正确说出解题关键点、考点+4，最高10分)
《勾股定理的应用》
【课题与课时】
课题：北京师范大学出版社 初中数学 八年级上册，第一章 1.3勾股定理的应用
共2课时 第1课时 第2课时
设计教师：
【课标要求】
能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题.
【学习目标】
1.通过实例,经历实际问题抽象成数学问题的过程,掌握运用勾股定理解决简单的实际问题.
2.通过实例,经历实际问题抽象成数学问题的过程,掌握运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题.
3.通过实例,经历实际问题抽象成数学问题的过程,灵活运用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题, 提高学生分析问题、解决问题的能力．
【评价任务】
1.独立完成任务一：2,3 (检测目标1)
2.独立完成任务二：2,3 (检测目标2)
3.合作完成任务三：2,3 (检测目标3)
【学习提示】 阅读评价任务，明确本节内容有几个任务需要完成，每个任务要怎样完成，完成以后的检测评价内容是什么，同时明确针对目标的评价标准，有效引导自己学习.
【资源与建议】
本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．
2.本主题的学习按以下流程进行：勾股定理的应用→勾股定理的逆定理的应用 →最短路径问题.
3.本主题的重点是能运用勾股定理及其逆定理来解决简单的实际问题,难点是把立体图形转化成平面图形,在实际问题中构造直角三角形并利用勾股定理来解决问题.你可以通过任务3的学习，归纳总结解决此类问题的方法,来突破本节课的难点.
【学习提示】 在开始本节课学习之前，先认真阅读以上资源与建议，明确这节课内容的出处、知识的前后联系、学习的路径、学习的重难点及突破的途径，为顺利完成以下学习内容作好准备.
课前预习 【学习反思与补充】
1.勾股定理：在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝5,AC＝12,BC＝ . 2.勾股定理的逆定理：在△ABC中,AB＝5,AC＝12,BC＝13,则△ABC是 三角形. 3.从A点到B点怎样走最近呢？你能说出这样走的 理由吗？ 4.学具准备：制作圆柱体．
学习过程 【学习反思与补充】
任务一：利用勾股定理解决实际问题（指向目标1） 1.思考:如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.(独立思考并完成) 2-3题检测目标1 2.如图,阴影长方形的面积是多少？ 3.一架长5m梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯足距墙脚3m,若梯子顶端下滑1m,则梯足将滑动多少？ 任务二：利用勾股定理的逆定理解决实际问题（指向目标2） 1.李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺。 (1)你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔量得AD长是30cm，AB长是40cm，BD长是50cm。AD边垂直于AB边吗？ (3)小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？(先独立思考,再组内交流) 2-3题检测目标2 如图，一座城墙高11.7m，墙外有一个宽为9m的护城河，那么一个长为15m的云梯能否到达墙的顶端？ 五根小木棒的长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,如图所示的三个图中哪一个是正确的？ . 任务三：最短路径问题（指向目标3） 如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到地面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (1)将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？请画出它的平面展开图？ (2)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 2-3检测目标3 一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别是8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ (评价最高标准：第2-3题答案正确每题+5，最高10分) (评价最高标准：第2-3题答案正确每题+5，最高10分) (最高评价标准：第2题是第1题的变式,答案正确+10，第3题答案正确+5, 最高15分)
学习总结 【学习反思与补充】
本节课我学会了哪些知识？ 本节课我学会了那些探究问题的方法？ 学习内容上哪些地方还有疑惑或者哪些知识我还想了解？
学习检测 【学习反思与补充】
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早晨8︰00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走。1h后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走。上午10︰00，甲、乙二人相距多远？（检测目标1） 有一块四边形地ABCD,如图,∠B=90°,AB=4 m,BC=3 m,CD=12 m,DA=13 m,求该四边形地ABCD的面积.（检测目标2） 一个长方体的长为5cm，宽为3cm，高是6cm,在点B的下方2cm处有一点C，那么蚂蚁从点A沿表面爬行到C的最短距离是多少？（检测目标3） 补充题型：