人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时基础练习 16.1二次根式
一、选择题
1．（2012八下·建平竞赛）若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八下·扬州期中）式子 成立的条件是（ ）
A． ≥3 B． ≤1 C．1≤ ≤3 D．1＜ ≤3
3．（2019八下·新洲期中）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4． 是一个正整数，则n的最小正整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023八下·盘龙期末）观察分析下列数据：，，根据数据排列的规律得到的第个数据的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·沂水期末）把根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·青阳期末）代数式的值为常数2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
8．（2023八下·合肥期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020八下·淮滨期中）使式子 在实数范围内有意义的整数x有（ ）
A．5个 B．3个 C．4个 D．2个
10．（2023八下·凤山期末）已知2，3，是某三角形三边的长，则的值为（ ）
A． B．6 C．4 D．
二、填空题
11．（2021八下·庆云期中）已知，x、y是有理数，且y＝+ ﹣4，则2x+3y的立方根为 ．
12．（2020八下·潮南月考）已知a，b，c为三角形三边，则 = ．
13．（2021八下·铁锋期末）要使函数 有意义，则x的取值范围是 ．
14．（2023八下·密云期末）在式子①，②，③，④，⑤，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）．
15．（2023八下·邗江期末）已知关于的代数式有意义，满足条件的所有整数的和是0，则的取值范围为 ．
三、解答题
16．（2023八下·莆田期末）求的值．
解：设x=，两边平方得：，即，x2=10
∴x=．
∵＞0，∴=．
请利用上述方法，求的值．
17．（2023八下·怀宁期中）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：．
18．已知x，y是实数，且y= +x-2，求x2+y2的值．
19．（2021八下·铁西期中）已知，求的值．
20．（2020八下·镇原期末）已知实数 满足 ，求 的值是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵0＜ ＜1
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据已知条件0＜ x ＜1可得x-10，则=1 x，于是代数式化简的值为2.
2．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式的意义可知x-1＞0，且3-x≥0，
解得1＜x≤3.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解.
3．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由 ，得
，
解得 .
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解即可得出x的值，将x的值代入方程即可求出y的值，从而即可算出代数式的值.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：由 是一个正整数，得
12﹣n=9，
n=3，
故选：C．
【分析】根据算术平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数．
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：依题意，第n个数据为，
∴根据数据排列的规律得到的第个数据的值是，
故答案为：B.
【分析】根据已知数据找到规律，第n个数据为，即可求解．
6．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】
根号外面有整数-2，但负号不能移到根号内，只能把2移至根号内，根据，2移至根号内，要变成22化简即可。
7．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： 的值为常数2
∴
改写成
表示a点到1和3的距离的和是2，
∴a点只能在1和3之间。
故答案为：C
【分析】借助数轴快速判断a取值范围。
8．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的性质计算即可。
9．【答案】C
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵式子 在实数范围内有意义
∴ ，解得： ，
又∵ 要取整数值，
∴ 的值为：-2、-1、0、1.
即符合条件的 的值有4个.
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不为0，据此建立不等式组，先求出不等式组的解集，再求出其整数解即可.
10．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：2，3，是某三角形三边的长，
，
，，
，
故答案为：C.
【分析】先利用三角形的三边关系判断m的取值范围，再通过二次根式的性质计算结果.
11．【答案】-2
【知识点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴．
故答案是：﹣2．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可求出x值，再求出y值，从而得解.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】由三角形的三边关系定理得：
则
故答案为： ．
【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．
13．【答案】x≥ 且x≠1且x≠3
【知识点】分式有意义的条件；零指数幂；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数 有意义
∴自变量 必须满足 ．
解得 且 且 ．
故答案为： 且 且 ．
【分析】利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件及零指数幂有意义的条件列出不等式组求解即可。
14．【答案】③④⑥
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】 ① ，不是二次根式，不合题意；
② ，不是二次根式，不合题意；
③ ，是二次根式，符合题意；
④ ，是二次根式，符合题意；
⑤ ，不是二次根式，不合题意；
⑥ ，是二次根式，符合题意；
则以上是二次根式的有③④⑥
【分析】本题考查二次根式的概念。形如的式子为二次根式，需要注意点：（1）被开方数大于等于0，即为非负数；（2）根指数是2，即=，这两个条件必须同时满足。
15．【答案】-3＜a≤-1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：因为 关于的代数式有意义，
所以，因为满足条件的所有整数的和是0， 所以 x可取4，3，2，1或4，3，2，1，0，所以-3＜a≤-1．
故答案为：-3＜a≤-1.
【分析】根据代数式有意义，列出不等式组求解，再根据满足条件的所有整数的和是0，求得a的范围.
16．【答案】解：设x=+，
两边平方得：x2=（）2+（）2+2，
即x2=4++4-+6，
x2=14
∴x=±．
∵+＞0，∴x=．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用题目所给的计算方法将等式两边进行平方，然后利用平方差公式，以及二次根式的平分运算进行化简，最后求出结果即可.
17．【答案】解：由三边关系定理，得3+5＞c，5-3＜c，即8＞c＞2，
∴原式＝-
＝|c-2|-|c-8|
＝c-2-（8-c）
＝c-6．
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】利用三角形三边的关系可得8＞c＞2，再利用二次根式的性质将原式变形为|c-2|-|c-8|，最后求解即可。
18．【答案】解：y= +x-2，
∴根据二次根式有意义的条件可得x-1=0，解得x=1，
∴y= +x-2=1-2=-1，
∴x2+y2=12+(-1)2=2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】 根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，最后代值计算即可.
19．【答案】解：
．
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先进行二次根式的化简、分式的约分将原式化简，再将m值代入计算即可.
20．【答案】解：∵二次根式有意义，
∴a-2009≥0，即a≥2009，
∴2008-a≤-1＜0，
∴a-2008+ =a，解得 =2008，
等式两边平方，整理得a-20082=2009.
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】由二次根式有意义的条件可得a-2009≥0，推出2008-a<0，则原式可化为a-2008+ =a，据此求解.
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一、选择题
1．（2012八下·建平竞赛）若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵0＜ ＜1
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据已知条件0＜ x ＜1可得x-10，则=1 x，于是代数式化简的值为2.
2．（2020八下·扬州期中）式子 成立的条件是（ ）
A． ≥3 B． ≤1 C．1≤ ≤3 D．1＜ ≤3
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式的意义可知x-1＞0，且3-x≥0，
解得1＜x≤3.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解.
3．（2019八下·新洲期中）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由 ，得
，
解得 .
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解即可得出x的值，将x的值代入方程即可求出y的值，从而即可算出代数式的值.
4． 是一个正整数，则n的最小正整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：由 是一个正整数，得
12﹣n=9，
n=3，
故选：C．
【分析】根据算术平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数．
5．（2023八下·盘龙期末）观察分析下列数据：，，根据数据排列的规律得到的第个数据的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：依题意，第n个数据为，
∴根据数据排列的规律得到的第个数据的值是，
故答案为：B.
【分析】根据已知数据找到规律，第n个数据为，即可求解．
6．（2023八下·沂水期末）把根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】
根号外面有整数-2，但负号不能移到根号内，只能把2移至根号内，根据，2移至根号内，要变成22化简即可。
7．（2023八下·青阳期末）代数式的值为常数2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： 的值为常数2
∴
改写成
表示a点到1和3的距离的和是2，
∴a点只能在1和3之间。
故答案为：C
【分析】借助数轴快速判断a取值范围。
8．（2023八下·合肥期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的性质计算即可。
9．（2020八下·淮滨期中）使式子 在实数范围内有意义的整数x有（ ）
A．5个 B．3个 C．4个 D．2个
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵式子 在实数范围内有意义
∴ ，解得： ，
又∵ 要取整数值，
∴ 的值为：-2、-1、0、1.
即符合条件的 的值有4个.
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不为0，据此建立不等式组，先求出不等式组的解集，再求出其整数解即可.
10．（2023八下·凤山期末）已知2，3，是某三角形三边的长，则的值为（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：2，3，是某三角形三边的长，
，
，，
，
故答案为：C.
【分析】先利用三角形的三边关系判断m的取值范围，再通过二次根式的性质计算结果.
二、填空题
11．（2021八下·庆云期中）已知，x、y是有理数，且y＝+ ﹣4，则2x+3y的立方根为 ．
【答案】-2
【知识点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴．
故答案是：﹣2．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可求出x值，再求出y值，从而得解.
12．（2020八下·潮南月考）已知a，b，c为三角形三边，则 = ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】由三角形的三边关系定理得：
则
故答案为： ．
【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．
13．（2021八下·铁锋期末）要使函数 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥ 且x≠1且x≠3
【知识点】分式有意义的条件；零指数幂；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数 有意义
∴自变量 必须满足 ．
解得 且 且 ．
故答案为： 且 且 ．
【分析】利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件及零指数幂有意义的条件列出不等式组求解即可。
14．（2023八下·密云期末）在式子①，②，③，④，⑤，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）．
【答案】③④⑥
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】 ① ，不是二次根式，不合题意；
② ，不是二次根式，不合题意；
③ ，是二次根式，符合题意；
④ ，是二次根式，符合题意；
⑤ ，不是二次根式，不合题意；
⑥ ，是二次根式，符合题意；
则以上是二次根式的有③④⑥
【分析】本题考查二次根式的概念。形如的式子为二次根式，需要注意点：（1）被开方数大于等于0，即为非负数；（2）根指数是2，即=，这两个条件必须同时满足。
15．（2023八下·邗江期末）已知关于的代数式有意义，满足条件的所有整数的和是0，则的取值范围为 ．
【答案】-3＜a≤-1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：因为 关于的代数式有意义，
所以，因为满足条件的所有整数的和是0， 所以 x可取4，3，2，1或4，3，2，1，0，所以-3＜a≤-1．
故答案为：-3＜a≤-1.
【分析】根据代数式有意义，列出不等式组求解，再根据满足条件的所有整数的和是0，求得a的范围.
三、解答题
16．（2023八下·莆田期末）求的值．
解：设x=，两边平方得：，即，x2=10
∴x=．
∵＞0，∴=．
请利用上述方法，求的值．
【答案】解：设x=+，
两边平方得：x2=（）2+（）2+2，
即x2=4++4-+6，
x2=14
∴x=±．
∵+＞0，∴x=．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用题目所给的计算方法将等式两边进行平方，然后利用平方差公式，以及二次根式的平分运算进行化简，最后求出结果即可.
17．（2023八下·怀宁期中）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：．
【答案】解：由三边关系定理，得3+5＞c，5-3＜c，即8＞c＞2，
∴原式＝-
＝|c-2|-|c-8|
＝c-2-（8-c）
＝c-6．
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】利用三角形三边的关系可得8＞c＞2，再利用二次根式的性质将原式变形为|c-2|-|c-8|，最后求解即可。
18．已知x，y是实数，且y= +x-2，求x2+y2的值．
【答案】解：y= +x-2，
∴根据二次根式有意义的条件可得x-1=0，解得x=1，
∴y= +x-2=1-2=-1，
∴x2+y2=12+(-1)2=2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】 根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，最后代值计算即可.
19．（2021八下·铁西期中）已知，求的值．
【答案】解：
．
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先进行二次根式的化简、分式的约分将原式化简，再将m值代入计算即可.
20．（2020八下·镇原期末）已知实数 满足 ，求 的值是多少？
【答案】解：∵二次根式有意义，
∴a-2009≥0，即a≥2009，
∴2008-a≤-1＜0，
∴a-2008+ =a，解得 =2008，
等式两边平方，整理得a-20082=2009.
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】由二次根式有意义的条件可得a-2009≥0，推出2008-a<0，则原式可化为a-2008+ =a，据此求解.
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