人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 16.1二次根式
一、填空题
1．（2023八上·邛崃月考）已知a、b为非零实数，且，则 ．
2．（2022八上·双流月考）已知实数x，y满足，则xy2的平方根为 ．
3．（2023九上·南京开学考）化简：（a-b）＝ ．
4．（2023八下·安庆期末）符合的正整数的值有 个．
5．（2023八下·忻州期中）已知是正整数，是整数，则的最小值是2．那么若是正整数，是大于1的整数，则的最大值与最小值的差是 ．
二、选择题
6．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
7．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
8．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简得（ ）
A． B． C． D．
9．如果代数式 + 有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2023九上·叙州月考）已知，则化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023九上·江油月考）下列判断正确的是（ ）
A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式
C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数
12．（2023八下·东丽期末）已知，化简得（ ）
A． B． C． D．
13．（2023八下·蒙城期中）若与互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．27
14．（2023八下·杭州期中）若 ＝-a-b，则（ ）
A．|a+b|＝0 B．|a-b|＝0 C．|ab|＝0 D．|a2+b2|＝0
15．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
三、解答题
16．求使 有意义的x的取值范围．
17．（2023·桑植模拟） 我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：．
反之，
．
仿上例，求：
（1）；
（2）计算：；
（3）若，则求的值．
18．（2022八上·江都月考）实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简：-|b-c|
19．（2022八下·芜湖期中）已知≤0，若整数k满足m+k＝．试求k的值．
20．（2021八上·金牛月考）若＝ 成立，试化简：|m﹣4|++|m﹣2|．
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意，（a-4）·b2≥0，
∴a-4≥0，a≥4，
∴4-2a＜0，
∴原式可变为，2a-4+（b+2）2++4=2a，
∴（b+2）2+=0
∴b=-2，a=4，
∴==2。
故答案为：2.
【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质将式子化简，求出a和b的值，代入式子求值即可。
2．【答案】±6
【知识点】平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
解得：x=2，
∴，
∴xy2=2×=36，
∴36的平方根为±6，
故答案为：±6.
【分析】先利用二次根式有意义的条件列出不等式组求出x的值，再求出y的值，最后将x、y的值代入xy2计算，再利用平方根的计算方法求解即可.
3．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得，且
∴-（a-b）＞0，即a-b＜0，
则原式=
=
=
故答案为：.
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断得出a-b＜0，进而将根号外的因式移到根号内，化简求出即可.
4．【答案】3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
符合条件的正整数a的值为1，2，3，共3个
故答案为：3
【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式，解不等式并求出符合条件的a值，即可求出答案。
5．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
又∵是正整数，是大于1的整数，
∴当b=15时，的整数值最大为4，此时b的值最小，
当b=60时，的整数值最小为2，此时b的值最大，
∴的最大值与最小值的差是60-15=45，
故答案为：45.
【分析】根据题意先求出，再根据 是正整数，是大于1的整数，计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
7．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
8．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据图可得，b＜0，a＞0，|b|＞|a|，
∴原式=-（a+b）-（a-b）-a
=-a-b-a+b-a
=-3a；
故答案为：A.
【分析】根据数轴上两个实数的位置以及二次根式的性质，将式子化简求值即可。
9．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．
【解答】∵代数式 +有意义，
∴a≥0且ab＞0，
解得a＞0且b＞0．
∴直角坐标系中点A（a，b)的位置在第一象限．
故选A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征
10．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴x<0，y>0，
∴，
故答案为：C.
【分析】先求出x<0，y>0，再利用二次根式的性质化简可得.
11．【答案】C
【知识点】二次根式的定义；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A：带根号的式子不一定是二次根式，不符合题意；
B：当a≥0时，一定是二次根式，不符合题意；
C：一定是二次根式，符合题意；
D：二次根式的值不一定是无理数，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的定义即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
，
∵，
∴，
∴=a--a-=，
故答案为：B.
【分析】先将代数式变形为，再结合判断出，再去掉绝对值，最后合并同类项即可.
13．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；二元一次方程组的解；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵与互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，
∴x+y=27，
故答案为：D
【分析】先根据相反数的定义即可得到+=0，进而根据非负性得到，从而解方程组即可求解。
14．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ＝-a-b，
∴a-b＝-a-b，或b-a＝-a-b，
∴a＝-a，或b＝-b，
∴a＝0，或b＝0，
∴ab＝0，
∴|ab|＝0，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质可得=|a-b|，结合绝对值的非负性可得a-b=-a-b或b-a=-a-b，化简可得a=0或b=0，据此解答.
15．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
16．【答案】【解答】由原式得x-3>0，4-x>0，综上得3【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】此题考查了二次根式的被开方数大于等于0，分母不能为0，两个基本知识点，为以后高中阶段函数定义域的学习奠定了良好的基础。
17．【答案】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（2）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（3）各式变形后，代入a的值即可求出答案。
18．【答案】解：原式＝|-c|+|a-b|+a+b-|b-c|，
＝c+（-a+b）+a+b-（-b+c），＝c-a+b+a+b+b-c，＝3b.
【知识点】立方根及开立方；无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【分析】由数轴可得a|c|>|b|，则-c<0，a-b<0，b-c<0，然后根据二次根式的性质、立方根的概念、绝对值的非负性以及合并同类项法则化简即可.
19．【答案】解：由题意得：，
∴2≤m≤3，
∵整数k满足m+k＝3，
∴m＝3k，
∴2≤3k≤3，
∴33≤k≤32，
∵k是整数，
∴k＝2，
故k的值为2．
【知识点】无理数的估值；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据题意可得，求出2≤m≤3，结合m+k＝，求出33≤k≤32，再结合k是整数，即可得到k的值。
20．【答案】解：∵ ＝ 成立，
∴
解得，
当 时，|m﹣4|+ +|m﹣2|
=
=
= ．
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得3m+1≥0、2-m≥0，联立求出m的范围，然后根据m的范围确定出m-4、9m2+6m+1、m-2的范围，然后根据绝对值的性质化简即可.
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 16.1二次根式
一、填空题
1．（2023八上·邛崃月考）已知a、b为非零实数，且，则 ．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意，（a-4）·b2≥0，
∴a-4≥0，a≥4，
∴4-2a＜0，
∴原式可变为，2a-4+（b+2）2++4=2a，
∴（b+2）2+=0
∴b=-2，a=4，
∴==2。
故答案为：2.
【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质将式子化简，求出a和b的值，代入式子求值即可。
2．（2022八上·双流月考）已知实数x，y满足，则xy2的平方根为 ．
【答案】±6
【知识点】平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
解得：x=2，
∴，
∴xy2=2×=36，
∴36的平方根为±6，
故答案为：±6.
【分析】先利用二次根式有意义的条件列出不等式组求出x的值，再求出y的值，最后将x、y的值代入xy2计算，再利用平方根的计算方法求解即可.
3．（2023九上·南京开学考）化简：（a-b）＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得，且
∴-（a-b）＞0，即a-b＜0，
则原式=
=
=
故答案为：.
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断得出a-b＜0，进而将根号外的因式移到根号内，化简求出即可.
4．（2023八下·安庆期末）符合的正整数的值有 个．
【答案】3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
符合条件的正整数a的值为1，2，3，共3个
故答案为：3
【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式，解不等式并求出符合条件的a值，即可求出答案。
5．（2023八下·忻州期中）已知是正整数，是整数，则的最小值是2．那么若是正整数，是大于1的整数，则的最大值与最小值的差是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
又∵是正整数，是大于1的整数，
∴当b=15时，的整数值最大为4，此时b的值最小，
当b=60时，的整数值最小为2，此时b的值最大，
∴的最大值与最小值的差是60-15=45，
故答案为：45.
【分析】根据题意先求出，再根据 是正整数，是大于1的整数，计算求解即可。
二、选择题
6．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
7．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
8．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据图可得，b＜0，a＞0，|b|＞|a|，
∴原式=-（a+b）-（a-b）-a
=-a-b-a+b-a
=-3a；
故答案为：A.
【分析】根据数轴上两个实数的位置以及二次根式的性质，将式子化简求值即可。
9．如果代数式 + 有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．
【解答】∵代数式 +有意义，
∴a≥0且ab＞0，
解得a＞0且b＞0．
∴直角坐标系中点A（a，b)的位置在第一象限．
故选A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征
10．（2023九上·叙州月考）已知，则化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴x<0，y>0，
∴，
故答案为：C.
【分析】先求出x<0，y>0，再利用二次根式的性质化简可得.
11．（2023九上·江油月考）下列判断正确的是（ ）
A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式
C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数
【答案】C
【知识点】二次根式的定义；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A：带根号的式子不一定是二次根式，不符合题意；
B：当a≥0时，一定是二次根式，不符合题意；
C：一定是二次根式，符合题意；
D：二次根式的值不一定是无理数，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的定义即可求出答案.
12．（2023八下·东丽期末）已知，化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
，
∵，
∴，
∴=a--a-=，
故答案为：B.
【分析】先将代数式变形为，再结合判断出，再去掉绝对值，最后合并同类项即可.
13．（2023八下·蒙城期中）若与互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．27
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；二元一次方程组的解；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵与互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，
∴x+y=27，
故答案为：D
【分析】先根据相反数的定义即可得到+=0，进而根据非负性得到，从而解方程组即可求解。
14．（2023八下·杭州期中）若 ＝-a-b，则（ ）
A．|a+b|＝0 B．|a-b|＝0 C．|ab|＝0 D．|a2+b2|＝0
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ＝-a-b，
∴a-b＝-a-b，或b-a＝-a-b，
∴a＝-a，或b＝-b，
∴a＝0，或b＝0，
∴ab＝0，
∴|ab|＝0，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质可得=|a-b|，结合绝对值的非负性可得a-b=-a-b或b-a=-a-b，化简可得a=0或b=0，据此解答.
15．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
三、解答题
16．求使 有意义的x的取值范围．
【答案】【解答】由原式得x-3>0，4-x>0，综上得3【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】此题考查了二次根式的被开方数大于等于0，分母不能为0，两个基本知识点，为以后高中阶段函数定义域的学习奠定了良好的基础。
17．（2023·桑植模拟） 我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：．
反之，
．
仿上例，求：
（1）；
（2）计算：；
（3）若，则求的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（2）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（3）各式变形后，代入a的值即可求出答案。
18．（2022八上·江都月考）实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简：-|b-c|
【答案】解：原式＝|-c|+|a-b|+a+b-|b-c|，
＝c+（-a+b）+a+b-（-b+c），＝c-a+b+a+b+b-c，＝3b.
【知识点】立方根及开立方；无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【分析】由数轴可得a|c|>|b|，则-c<0，a-b<0，b-c<0，然后根据二次根式的性质、立方根的概念、绝对值的非负性以及合并同类项法则化简即可.
19．（2022八下·芜湖期中）已知≤0，若整数k满足m+k＝．试求k的值．
【答案】解：由题意得：，
∴2≤m≤3，
∵整数k满足m+k＝3，
∴m＝3k，
∴2≤3k≤3，
∴33≤k≤32，
∵k是整数，
∴k＝2，
故k的值为2．
【知识点】无理数的估值；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据题意可得，求出2≤m≤3，结合m+k＝，求出33≤k≤32，再结合k是整数，即可得到k的值。
20．（2021八上·金牛月考）若＝ 成立，试化简：|m﹣4|++|m﹣2|．
【答案】解：∵ ＝ 成立，
∴
解得，
当 时，|m﹣4|+ +|m﹣2|
=
=
= ．
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得3m+1≥0、2-m≥0，联立求出m的范围，然后根据m的范围确定出m-4、9m2+6m+1、m-2的范围，然后根据绝对值的性质化简即可.
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