人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时基础练习 16.2二次根式的乘除法
一、选择题
1．（2020八下·长葛期中）下列二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，能与 合并的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：①② 不能化简，③④
与 是同类二次根式，能合并，
故答案为：C.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，可得到与合并的二次根式，由此可得答案.
2．（2020八下·扬州期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. 是最简二次根式，故A是答案；
B. ，故B不是最简二次根式；
C. ，故C不是最简二次根式；
D. ，故D不是最简二次根式；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义分别验证即可求出答案.
3．（2023八下·辛集期末） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A： 故A错误；
B：，故B错误；
C：，故C正确；
D：，故D错误；
故答案为：C.
【分析】二次根式的加、减、乘、除；其中二次根式的加、减，先化简，再合并同类二次根式；二次根式的乘、除，被开方数先乘、除，再化简二次根式。
4．（2023八下·番禺期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
A：，计算正确，故选项A正确；
B：，故选项B错误；
C：，故选项C错误；
D：，故选项D错误；
故答案为：A.
【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，直接根据运算规则逐项计算判断正确与否即可.
5．（2023八下·楚雄期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；二次根式的乘除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确，符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、平方差公式、同底数幂的乘法及二次根式的乘法计算方法逐项判断即可.
6．（2023八下·承德期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】
∵
∴
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查二次根式的化简。
根据二次根式的性质对原式化简，把x值代入求解即可。
7．（2022八下·杭州期中）已知，若a，b为两个连续的整数，且，则（ ）
A．13 B．14 C．12 D．11
【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘法法则可得m=，由估算无理数大小的方法可得6<<7，据此可得a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
8．（2023八下·南陵期末）按如图所示运算程序，输入，，则输出结果为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，即x>y，
∴，
故答案为：A.
【分析】先判断出，再将x、y的值代入计算即可.
9．（2023八下·德清期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为，据研究，高空抛物下落的时间1(单位：s)和高度(单位：)近似满足公式(不考尼风速的影响).记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：令h=50，得t1=，
令h=100，得t2=，
∴t2：t1=：=.
故答案为：C.
【分析】分别将h=50、100代入求出t1、t2的值，然后求比值即可.
10．（2023八下·拱墅期末）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
未知数项的系数化为1，得.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，在等式的两边都除以未知数项的系数“”将未知数项的系数化为1，结合二次根式的除法法则计算可得答案.
二、填空题
11．已知三角形的面积是20，一边长为2 ，那么这条边上的高为 ．
【答案】4
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：设这条边上的高为x，
根据题意得 x 2 =20，
x= =4 ．
故答案为4 ．
【分析】设这条边上的高为x，根据三角形面积公式得到得 x 2 =20，然后利用二次根式的除法计算出x．
12．（2023八下·莆田期末）实数、在数轴上的位置，化简 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由数轴可知：
∴
故答案为：-2b.
【分析】根据a，b两点在数轴上的位置，可以判断a，b的大小得出a-b＜0，然后再计算二次根式，进行化简求解即可.
13．（2023八下·江城期末）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 .
【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：是正整数，，
当时，，
故答案为：3.
【分析】根据条件可知12a是一个平方数，而a是正整数，由此可知a的最小值.
14．（2023八下·莱西期中）计算 ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用二次根式的乘法计算方法求解即可。
15．（2023八下·蚌埠月考）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的乘除法则计算求解即可。
三、计算题
16．（2023八下·北京市期末）计算：
【答案】解：
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】先根据二次根式的除法法则把除法转化为乘法，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可。
17．（2023八下·潮南期末）如果最简二次根式与能进行合并．且，化简：．
【答案】解：∵最简二次根式与能进行合并
∴，
解得．
∵，
∴，
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【分析】由于最简二次根式与能进行合并，可知被开方数相同，据此求出a值，从而得出x的范围，再根据绝对值及二次根式的性质化简即可.
18．（2022八下·长沙开学考）计算：
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，同时将除法转变为乘法，然后根据二次根式的乘法法则进行计算.
四、解答题
19．（2023八下·良庆期末）阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：
∵
．
∴．
这种方法称为“构造对偶式”
已知．求的值．
【答案】由题意得：
；
∵，
∴；
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据构造对偶式的方法求出=21，再把=7代入，即可得出的值.
20．（2023八下·中阳期末）阅读与思考
请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：．
在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，．
（1）模仿材料中的计算方法，化简： ．
（2）观察上面的计算过程，直接写出式子 ．
（3）利用根式裂项求解：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】（1）；
故第1空答案为：；
（2）；
故第一空答案为：
【分析】（1） 模仿材料中的计算方法， 直接进行化简即可；
（2） 模仿材料中的计算方法， 直接进行化简即可；
（3） 利用根式裂项，可以化去分母中的根式，然后再合并同类二次根式，最后根据平方差公式即可得出结果。
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一、选择题
1．（2020八下·长葛期中）下列二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，能与 合并的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
2．（2020八下·扬州期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·辛集期末） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·番禺期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八下·楚雄期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八下·承德期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022八下·杭州期中）已知，若a，b为两个连续的整数，且，则（ ）
A．13 B．14 C．12 D．11
8．（2023八下·南陵期末）按如图所示运算程序，输入，，则输出结果为（ ）
A． B．6 C． D．
9．（2023八下·德清期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为，据研究，高空抛物下落的时间1(单位：s)和高度(单位：)近似满足公式(不考尼风速的影响).记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
10．（2023八下·拱墅期末）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知三角形的面积是20，一边长为2 ，那么这条边上的高为 ．
12．（2023八下·莆田期末）实数、在数轴上的位置，化简 ．
13．（2023八下·江城期末）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 .
14．（2023八下·莱西期中）计算 ．
15．（2023八下·蚌埠月考）计算： ．
三、计算题
16．（2023八下·北京市期末）计算：
17．（2023八下·潮南期末）如果最简二次根式与能进行合并．且，化简：．
18．（2022八下·长沙开学考）计算：
四、解答题
19．（2023八下·良庆期末）阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：
∵
．
∴．
这种方法称为“构造对偶式”
已知．求的值．
20．（2023八下·中阳期末）阅读与思考
请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：．
在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，．
（1）模仿材料中的计算方法，化简： ．
（2）观察上面的计算过程，直接写出式子 ．
（3）利用根式裂项求解：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：①② 不能化简，③④
与 是同类二次根式，能合并，
故答案为：C.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，可得到与合并的二次根式，由此可得答案.
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. 是最简二次根式，故A是答案；
B. ，故B不是最简二次根式；
C. ，故C不是最简二次根式；
D. ，故D不是最简二次根式；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义分别验证即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A： 故A错误；
B：，故B错误；
C：，故C正确；
D：，故D错误；
故答案为：C.
【分析】二次根式的加、减、乘、除；其中二次根式的加、减，先化简，再合并同类二次根式；二次根式的乘、除，被开方数先乘、除，再化简二次根式。
4．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
A：，计算正确，故选项A正确；
B：，故选项B错误；
C：，故选项C错误；
D：，故选项D错误；
故答案为：A.
【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，直接根据运算规则逐项计算判断正确与否即可.
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；二次根式的乘除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确，符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、平方差公式、同底数幂的乘法及二次根式的乘法计算方法逐项判断即可.
6．【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】
∵
∴
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查二次根式的化简。
根据二次根式的性质对原式化简，把x值代入求解即可。
7．【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘法法则可得m=，由估算无理数大小的方法可得6<<7，据此可得a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
8．【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，即x>y，
∴，
故答案为：A.
【分析】先判断出，再将x、y的值代入计算即可.
9．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：令h=50，得t1=，
令h=100，得t2=，
∴t2：t1=：=.
故答案为：C.
【分析】分别将h=50、100代入求出t1、t2的值，然后求比值即可.
10．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
未知数项的系数化为1，得.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，在等式的两边都除以未知数项的系数“”将未知数项的系数化为1，结合二次根式的除法法则计算可得答案.
11．【答案】4
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：设这条边上的高为x，
根据题意得 x 2 =20，
x= =4 ．
故答案为4 ．
【分析】设这条边上的高为x，根据三角形面积公式得到得 x 2 =20，然后利用二次根式的除法计算出x．
12．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由数轴可知：
∴
故答案为：-2b.
【分析】根据a，b两点在数轴上的位置，可以判断a，b的大小得出a-b＜0，然后再计算二次根式，进行化简求解即可.
13．【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：是正整数，，
当时，，
故答案为：3.
【分析】根据条件可知12a是一个平方数，而a是正整数，由此可知a的最小值.
14．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用二次根式的乘法计算方法求解即可。
15．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的乘除法则计算求解即可。
16．【答案】解：
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】先根据二次根式的除法法则把除法转化为乘法，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可。
17．【答案】解：∵最简二次根式与能进行合并
∴，
解得．
∵，
∴，
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【分析】由于最简二次根式与能进行合并，可知被开方数相同，据此求出a值，从而得出x的范围，再根据绝对值及二次根式的性质化简即可.
18．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，同时将除法转变为乘法，然后根据二次根式的乘法法则进行计算.
19．【答案】由题意得：
；
∵，
∴；
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据构造对偶式的方法求出=21，再把=7代入，即可得出的值.
20．【答案】（1）
（2）
（3）解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】（1）；
故第1空答案为：；
（2）；
故第一空答案为：
【分析】（1） 模仿材料中的计算方法， 直接进行化简即可；
（2） 模仿材料中的计算方法， 直接进行化简即可；
（3） 利用根式裂项，可以化去分母中的根式，然后再合并同类二次根式，最后根据平方差公式即可得出结果。
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