人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 16.2二次根式的乘除法
一、选择题
1．（2023八下·涪陵期末）对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法：
①；②；③．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：①∵18＞2，
∴①，所以①正确；
②∵1＜2，2＜3，3＜4，......99＜100，
∴，所以②正确；
③可分成两种情况：
（1）当a≥b时，
（2）当a＜b时，，
∴=丨a-b丨，所以③正确；
综上，以上说法正确的个数为3个。
故答案为：D.
【分析】根据定义新运算规则把式子转化成二次根式的运算，然后根据二次根式的运算法则分别进行运算，即可求得正确答案。
2．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
3．下列根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】最简二次根式应满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含有分母；B选项被开方数含有能开得尽方的因数4；C选项被开方数含有能开得尽方的因式 .只有D选项符合最简二次根式的两个条件，故答案应选择D.
【分析】理解最简二次根式的概念，并能够用于分析具体的题型，是学习数学的一个直接方法．
4．（2023八上·黄浦期中）下列式子中，是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】∵∴ 与 ，是互为有理化因式，故A正确；
∵∴ 与 不是互为有理化因式，故B错误；
∵
∴ 与 不是互为有理化因式，故C错误；
∵
∴ 与 不是互为有理化因式，故D错误；
故答案为：A.
【分析】若两个含有二次根式的代数式相乘，乘积不含二次根式，则这两个含有二次根式的代数式叫做互为有理化因式。通过计算可知 的有理化因式。
5．（2023八上·从江月考）小明的作业本上有以下四题：①=4a2；②·=5a；③a==；④÷=4.做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ：①=4a2，正确，不符合题意；
②·，正确，不符合题意；
③由得a>0，因此，正确，不符合题意；
④，原计算错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质化简，根据二次根式的运算法则计算。
6．（2023八下·南开期末）下列各式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的除法法则对选项逐一计算化简即可.
7．（2023·北京模拟）已知，，，，那么精确到的近似值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】
∵ ，
∴ 精确到 的近似值是，
故选：Ｂ．
【分析】
根据已知平方数的值，选出即可．
8．（2023八下·代县月考）设a=，b=，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C．2ab D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵a，b，
∴ab=，2×0.10.6ab．
故答案为：B．
【分析】根据a，b，计算求解即可。
9．（2023八下·赵县月考）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为16cm2和12 cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，，
，，
空白部分的面积
．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的面积分别减去两个正方形的面积即可求解.
10．（2023八下·汨罗月考）若，则的值是（ ）
A．3 B．±3 C． D．±
【答案】A
【知识点】平方根；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】先将待求式子完全平方后整体代入算出结果，进而再求算术平方根即可.
二、填空题
11．（2023八上·栾城期中） 已知x＝，y＝，= ．
【答案】
【知识点】分式的加减法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】x＝，y＝，
【分析】先根据x、y的值求出xy、x+y的值，再将 化简后代入即可求解.
12．（2023八上·金山期中）如果，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的分母有理化可得的值，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可．
13．（2023八上·浦东期中）不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】分母有理化；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
∴
∴
∴x＜，
即： 。
故答案为：。
【分析】解不等式求出不等式的解集即可。
14．（2023八上·黄浦期中）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】实数运算（二次根式乘除），被开方数先乘除，再求其算术平方根。
15．（2018七下·浦东期中）设m、x、y均为正整数，且 ，则（x+y+m） = .
【答案】256
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】两边同时平方得： ，又因为m、x、y均为正整数，所以： ， ；所以 ，又因为 ，即 ；所以 ；所以 =8；所以
所以答案为：256
【分析】等式两边分别完全平方，然后观察两边代数式，无理数部分相等，有理数部分相等，据此列方程组求解即可
三、计算题
16．已知：x＝ ，y＝ ，求 的值．
【答案】解：x＝5＋2 ，y＝5－2 ，xy＝1，x＋y＝10，x－y＝4 ，原式＝ ＝
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先把x、y分别分母有理化，得到，.将原分式化简得到，将x、y的值分别代入，化简求值即可. 也可利用，计算出xy及x+y、x-y的值，再整体代入也可. 本题考查二次根式的化简，分式的化简，熟练掌握对应的性质，准确计算是关键.
17．已知y＜ + +3，化简|y﹣3|﹣ ．
【答案】解：根据题意得： ，解得：x=2，
则y＜3，
则原式=3﹣y﹣|y﹣4|
=3﹣y﹣（4﹣y）
=-1．
【知识点】二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【分析】根据二次根式的意义列出关于x的不等式组，从而求得x的值，进而求得y的取值范围，再对所给的式子化简.
四、解答题
18．（2023九上·威远期中）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，
．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式为 ，的有理化因式为 ；（均写出一个即可）
（2）将下列各式分母有理化（要求写出变形过程）：
①；
②；
（3）计算：的结果．
【答案】（1）；
（2）解：①；②
（3）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】
解：（2）
（3）
【分析】
（1）根据有理化因式 的定义写出各式的有理化因式。
（2）分子和分母同时乘以分母的有理化因式，使分母转化为有理数，再化简即可。
（3）化简各加数，再合并即可。化简各加数就是把它们分母有理化。
19．（2023八上·临汾期中）某市开发商为减少投资金额，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）改建后的长方形的长和宽分别为多少 如果要利用原来正方形场地的铁栅栏围墙围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用 试利用所学知识说明理由．
【答案】（1）解：，
答：原来正方形场地的周长为．
（2）解：设这个长方形场地宽为，则长为．
由题意有：，
解得：，
∵3a表示长度，
∴，∴
∴这个长方形场地宽为，则长为
这些铁栅栏够用．理由如下
这个长方形场地的周长为
∵，
∴这些铁栅栏够用．
【知识点】平方根；二次根式的应用
【解析】【分析】（1）先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再利用正方形的周长公式求解即可；
（2）设这个长方形场地宽为，则长为，再结合长方形的面积为，可得，再求出长方形的长和宽，再求出长方形的周长并比较大小即可.
20．（2023九上·江油开学考） 化简求值：
（1）已知a=-2，求代数式a3+4a2-a+6的值；
（2）已知x=-2，y=+2，求的值.
【答案】（1）解：∵a=-2，∴a+2=，∴(a+2)2=5，
∴a2+4a=1，∴原式=a(a2+4a)-a+6=a×1-a+6=6.
（2）解：∵x=-2，y=+2，∴x+y=2，xy=3-4=-1，∴原式==-14.
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】 (1)把所求代数式降次，提公因式后发现需求，根据完全平方公式， 它可以用来进行代换， 至此，整理思路可求代数式的值； (2)所求代数式通分后需求x、y的和与积，掌握平方差公式，即可求值。
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一、选择题
1．（2023八下·涪陵期末）对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法：
①；②；③．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
3．下列根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
4．（2023八上·黄浦期中）下列式子中，是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·从江月考）小明的作业本上有以下四题：①=4a2；②·=5a；③a==；④÷=4.做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2023八下·南开期末）下列各式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·北京模拟）已知，，，，那么精确到的近似值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·代县月考）设a=，b=，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C．2ab D．
9．（2023八下·赵县月考）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为16cm2和12 cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八下·汨罗月考）若，则的值是（ ）
A．3 B．±3 C． D．±
二、填空题
11．（2023八上·栾城期中） 已知x＝，y＝，= ．
12．（2023八上·金山期中）如果，则 ．
13．（2023八上·浦东期中）不等式的解集是 ．
14．（2023八上·黄浦期中）计算： ．
15．（2018七下·浦东期中）设m、x、y均为正整数，且 ，则（x+y+m） = .
三、计算题
16．已知：x＝ ，y＝ ，求 的值．
17．已知y＜ + +3，化简|y﹣3|﹣ ．
四、解答题
18．（2023九上·威远期中）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，
．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式为 ，的有理化因式为 ；（均写出一个即可）
（2）将下列各式分母有理化（要求写出变形过程）：
①；
②；
（3）计算：的结果．
19．（2023八上·临汾期中）某市开发商为减少投资金额，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）改建后的长方形的长和宽分别为多少 如果要利用原来正方形场地的铁栅栏围墙围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用 试利用所学知识说明理由．
20．（2023九上·江油开学考） 化简求值：
（1）已知a=-2，求代数式a3+4a2-a+6的值；
（2）已知x=-2，y=+2，求的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：①∵18＞2，
∴①，所以①正确；
②∵1＜2，2＜3，3＜4，......99＜100，
∴，所以②正确；
③可分成两种情况：
（1）当a≥b时，
（2）当a＜b时，，
∴=丨a-b丨，所以③正确；
综上，以上说法正确的个数为3个。
故答案为：D.
【分析】根据定义新运算规则把式子转化成二次根式的运算，然后根据二次根式的运算法则分别进行运算，即可求得正确答案。
2．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
3．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】最简二次根式应满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含有分母；B选项被开方数含有能开得尽方的因数4；C选项被开方数含有能开得尽方的因式 .只有D选项符合最简二次根式的两个条件，故答案应选择D.
【分析】理解最简二次根式的概念，并能够用于分析具体的题型，是学习数学的一个直接方法．
4．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】∵∴ 与 ，是互为有理化因式，故A正确；
∵∴ 与 不是互为有理化因式，故B错误；
∵
∴ 与 不是互为有理化因式，故C错误；
∵
∴ 与 不是互为有理化因式，故D错误；
故答案为：A.
【分析】若两个含有二次根式的代数式相乘，乘积不含二次根式，则这两个含有二次根式的代数式叫做互为有理化因式。通过计算可知 的有理化因式。
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ：①=4a2，正确，不符合题意；
②·，正确，不符合题意；
③由得a>0，因此，正确，不符合题意；
④，原计算错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质化简，根据二次根式的运算法则计算。
6．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的除法法则对选项逐一计算化简即可.
7．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】
∵ ，
∴ 精确到 的近似值是，
故选：Ｂ．
【分析】
根据已知平方数的值，选出即可．
8．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵a，b，
∴ab=，2×0.10.6ab．
故答案为：B．
【分析】根据a，b，计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，，
，，
空白部分的面积
．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的面积分别减去两个正方形的面积即可求解.
10．【答案】A
【知识点】平方根；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】先将待求式子完全平方后整体代入算出结果，进而再求算术平方根即可.
11．【答案】
【知识点】分式的加减法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】x＝，y＝，
【分析】先根据x、y的值求出xy、x+y的值，再将 化简后代入即可求解.
12．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的分母有理化可得的值，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可．
13．【答案】
【知识点】分母有理化；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
∴
∴
∴x＜，
即： 。
故答案为：。
【分析】解不等式求出不等式的解集即可。
14．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】实数运算（二次根式乘除），被开方数先乘除，再求其算术平方根。
15．【答案】256
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】两边同时平方得： ，又因为m、x、y均为正整数，所以： ， ；所以 ，又因为 ，即 ；所以 ；所以 =8；所以
所以答案为：256
【分析】等式两边分别完全平方，然后观察两边代数式，无理数部分相等，有理数部分相等，据此列方程组求解即可
16．【答案】解：x＝5＋2 ，y＝5－2 ，xy＝1，x＋y＝10，x－y＝4 ，原式＝ ＝
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先把x、y分别分母有理化，得到，.将原分式化简得到，将x、y的值分别代入，化简求值即可. 也可利用，计算出xy及x+y、x-y的值，再整体代入也可. 本题考查二次根式的化简，分式的化简，熟练掌握对应的性质，准确计算是关键.
17．【答案】解：根据题意得： ，解得：x=2，
则y＜3，
则原式=3﹣y﹣|y﹣4|
=3﹣y﹣（4﹣y）
=-1．
【知识点】二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【分析】根据二次根式的意义列出关于x的不等式组，从而求得x的值，进而求得y的取值范围，再对所给的式子化简.
18．【答案】（1）；
（2）解：①；②
（3）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】
解：（2）
（3）
【分析】
（1）根据有理化因式 的定义写出各式的有理化因式。
（2）分子和分母同时乘以分母的有理化因式，使分母转化为有理数，再化简即可。
（3）化简各加数，再合并即可。化简各加数就是把它们分母有理化。
19．【答案】（1）解：，
答：原来正方形场地的周长为．
（2）解：设这个长方形场地宽为，则长为．
由题意有：，
解得：，
∵3a表示长度，
∴，∴
∴这个长方形场地宽为，则长为
这些铁栅栏够用．理由如下
这个长方形场地的周长为
∵，
∴这些铁栅栏够用．
【知识点】平方根；二次根式的应用
【解析】【分析】（1）先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再利用正方形的周长公式求解即可；
（2）设这个长方形场地宽为，则长为，再结合长方形的面积为，可得，再求出长方形的长和宽，再求出长方形的周长并比较大小即可.
20．【答案】（1）解：∵a=-2，∴a+2=，∴(a+2)2=5，
∴a2+4a=1，∴原式=a(a2+4a)-a+6=a×1-a+6=6.
（2）解：∵x=-2，y=+2，∴x+y=2，xy=3-4=-1，∴原式==-14.
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】 (1)把所求代数式降次，提公因式后发现需求，根据完全平方公式， 它可以用来进行代换， 至此，整理思路可求代数式的值； (2)所求代数式通分后需求x、y的和与积，掌握平方差公式，即可求值。
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