人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时基础练习 16.3二次根式的加减法
一、选择题
1．（2023八下·安达期末）计算（3-2）（+）的结果是（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
2．（2023八下·南陵期末）按如图所示运算程序，输入，，则输出结果为（ ）
A． B．6 C． D．
3．（2023八下·汕尾）已知，则x的值是（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2023八下·中江期末）若最简二次根式与能够合并，则a的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2023八下·双鸭山期末）我们规定：对于任意的正数m，n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·綦江期中）估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
7．（2023八下·潮南月考）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·北京市期中）把化简得（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八下·景县期中）计算的结果估计在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
10．（2023八下·大石桥月考）已知x＝1＋，则代数式x2－2x－6的值是（ ）
A． B．－10 C．－2 D．
二、填空题
11．计算： = .
12．（2023八下·楚雄期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ．
13．（2023八下·景县期末）已知，，则 ， ．
14．（2023八下·岳池期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
15．（2023八下·高邮期末）若，则的值为 ．
三、计算题
16．（2012八下·建平竞赛）化简：
（1） ；
（2）
17．（2023八下·江岸期末）计算：
（1）；
（2）．
四、解答题
18．（2023八下·南昌期中）已知，，求的值．
19．（2023八下·樟树期中）【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数．如：，我们就说2和互为倒数．
【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如：，可得与互为倒数．
即，．
类似的，，，，．
【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题：
（1） ， ；（为正整数）
（2）若，则＝ ；
（3）计算：．
20．（2023八下·仁化期中）有一道练习题：对于式子先化简，后求值，其中a=．
小明的解法如下：
．
小明的解法对吗 如果不对，请改正．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A.
【分析】先将括号里的二次根式化成最简二次根式，再利用平方差公式及二次根式的乘法法则进行计算，可求出结果.
2．【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，即x>y，
∴，
故答案为：A.
【分析】先判断出，再将x、y的值代入计算即可.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】先移项，再合并同类二次根式即可.
4．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：2a=3a-1，
∴a=1。
故答案为：C。
【分析】根据最简二次根式的定义，列出等式，求出a的值即可。
5．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵当时， ，而8＜12，
∴8Φ12=2+=4+2；
∵当时， ，而3＞2，
∴3Φ2=2-，
则（3Φ2）-（8Φ12）=2--(4+2)=-5.
故选：B.
【分析】根据规定的运算分别计算（3Φ2）和（8Φ12）的值，再求差并结合二次根式的加减法法则计算即可求解.
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
∵
∴
故答案为B
【分析】本题考查二次根式的计算和估值。先化简二次根式，对其结果进行估值。注意估值时，要将化成是，方可找出正确答案。
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、()×=，故错误；
C、(3+)×(3-)=9-12=-3，故正确；
D、()()=2a+b+2，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据同类二次根式的概念可判断A；根据二次根式的乘法法则可判断B；根据平方差公式可判断C；根据完全平方公式可判断D.
8．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据得，m-1＜0，所以，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质，可以把根号外的非负因式平方后移到根号下。
9．【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： =4+，
∵3＜＜4，
∴7＜4+＜8，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的混合运算先求值，再估算即可.
10．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：原式= -7，
把 x＝1＋ 带入，
原式= -7=5-7=-2.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式把代数式进行变形，再代入求出答案即可。
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
12．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
故答案为：.
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
13．【答案】12；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴
即：
【分析】本题考查二次根式的化简和平方差、完全平方的应用，可先求两数和，两数差，对所求式子进行因式分解，代值求解。本题也可直接代入求解。
14．【答案】5
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴m-1=2，4n-1=7
解得：m=3，n=2
∴m+n=5
故答案为：5.
【分析】根据二次根式的定义可得m-1=2，根据同类最简二次根式，可得4n-1=7，求得m，n的值，代入代数式，即可求解．
15．【答案】
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：方程化简可得
∴ 6+2bc=0
∴ bc=-3
故答案为：-3.
【分析】先化简方程，易得无理数前系数应为零，从而得出答案.
16．【答案】（1）解：原式= = =
（2）解：原式= =
【知识点】实数的运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）满足两个条件：一是被开方数的因数是整数，因式是整式；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫作最简二次根式。先将各式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解。
（2）根据绝对值的非负性、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、二次根式的乘除将各项化简，再进行加减即可。
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质分别化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的乘除法法则计算，再根据二次根式性质分别化简，最后合并同类二次根式即可求解.
18．【答案】解：∵，，
∴，，
∴
＝
＝
＝
＝．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先求出a-b，ab的值，再将原式化为 ，然后代入计算即可.
19．【答案】（1）；
（2）
（3）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1），，
故答案为：；．
（2）∵
∴
∴
解得：，
故答案为：．
【分析】（1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解；
（2）根据（1）的方法，得出方程，解方程即可求出m的值；
（3）根据（1）的方法进行计算，裂项相消即可求解．
20．【答案】解：不正确．正解解答过程如下：
原式= ，
当a＝ 时，原式＝ ．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】利用二次根式的性质对式子化简，再将a的值代入计算求解即可。
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一、选择题
1．（2023八下·安达期末）计算（3-2）（+）的结果是（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A.
【分析】先将括号里的二次根式化成最简二次根式，再利用平方差公式及二次根式的乘法法则进行计算，可求出结果.
2．（2023八下·南陵期末）按如图所示运算程序，输入，，则输出结果为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，即x>y，
∴，
故答案为：A.
【分析】先判断出，再将x、y的值代入计算即可.
3．（2023八下·汕尾）已知，则x的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】先移项，再合并同类二次根式即可.
4．（2023八下·中江期末）若最简二次根式与能够合并，则a的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：2a=3a-1，
∴a=1。
故答案为：C。
【分析】根据最简二次根式的定义，列出等式，求出a的值即可。
5．（2023八下·双鸭山期末）我们规定：对于任意的正数m，n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵当时， ，而8＜12，
∴8Φ12=2+=4+2；
∵当时， ，而3＞2，
∴3Φ2=2-，
则（3Φ2）-（8Φ12）=2--(4+2)=-5.
故选：B.
【分析】根据规定的运算分别计算（3Φ2）和（8Φ12）的值，再求差并结合二次根式的加减法法则计算即可求解.
6．（2023八下·綦江期中）估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
∵
∴
故答案为B
【分析】本题考查二次根式的计算和估值。先化简二次根式，对其结果进行估值。注意估值时，要将化成是，方可找出正确答案。
7．（2023八下·潮南月考）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、()×=，故错误；
C、(3+)×(3-)=9-12=-3，故正确；
D、()()=2a+b+2，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据同类二次根式的概念可判断A；根据二次根式的乘法法则可判断B；根据平方差公式可判断C；根据完全平方公式可判断D.
8．（2023八下·北京市期中）把化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据得，m-1＜0，所以，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质，可以把根号外的非负因式平方后移到根号下。
9．（2023八下·景县期中）计算的结果估计在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： =4+，
∵3＜＜4，
∴7＜4+＜8，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的混合运算先求值，再估算即可.
10．（2023八下·大石桥月考）已知x＝1＋，则代数式x2－2x－6的值是（ ）
A． B．－10 C．－2 D．
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：原式= -7，
把 x＝1＋ 带入，
原式= -7=5-7=-2.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式把代数式进行变形，再代入求出答案即可。
二、填空题
11．计算： = .
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
12．（2023八下·楚雄期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
故答案为：.
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
13．（2023八下·景县期末）已知，，则 ， ．
【答案】12；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴
即：
【分析】本题考查二次根式的化简和平方差、完全平方的应用，可先求两数和，两数差，对所求式子进行因式分解，代值求解。本题也可直接代入求解。
14．（2023八下·岳池期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】5
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴m-1=2，4n-1=7
解得：m=3，n=2
∴m+n=5
故答案为：5.
【分析】根据二次根式的定义可得m-1=2，根据同类最简二次根式，可得4n-1=7，求得m，n的值，代入代数式，即可求解．
15．（2023八下·高邮期末）若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：方程化简可得
∴ 6+2bc=0
∴ bc=-3
故答案为：-3.
【分析】先化简方程，易得无理数前系数应为零，从而得出答案.
三、计算题
16．（2012八下·建平竞赛）化简：
（1） ；
（2）
【答案】（1）解：原式= = =
（2）解：原式= =
【知识点】实数的运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）满足两个条件：一是被开方数的因数是整数，因式是整式；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫作最简二次根式。先将各式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解。
（2）根据绝对值的非负性、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、二次根式的乘除将各项化简，再进行加减即可。
17．（2023八下·江岸期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质分别化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的乘除法法则计算，再根据二次根式性质分别化简，最后合并同类二次根式即可求解.
四、解答题
18．（2023八下·南昌期中）已知，，求的值．
【答案】解：∵，，
∴，，
∴
＝
＝
＝
＝．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先求出a-b，ab的值，再将原式化为 ，然后代入计算即可.
19．（2023八下·樟树期中）【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数．如：，我们就说2和互为倒数．
【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如：，可得与互为倒数．
即，．
类似的，，，，．
【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题：
（1） ， ；（为正整数）
（2）若，则＝ ；
（3）计算：．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1），，
故答案为：；．
（2）∵
∴
∴
解得：，
故答案为：．
【分析】（1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解；
（2）根据（1）的方法，得出方程，解方程即可求出m的值；
（3）根据（1）的方法进行计算，裂项相消即可求解．
20．（2023八下·仁化期中）有一道练习题：对于式子先化简，后求值，其中a=．
小明的解法如下：
．
小明的解法对吗 如果不对，请改正．
【答案】解：不正确．正解解答过程如下：
原式= ，
当a＝ 时，原式＝ ．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】利用二次根式的性质对式子化简，再将a的值代入计算求解即可。
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