人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 16.3二次根式的加减法
一、选择题
1．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
2．下列各实数中最大的一个是（ ）
A．5× B． C． D． +
【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：A中5× = = ＜1；
B中∵π=3.14159＞3.141，
∴ ＜1；
C中 = = = （ -1）＞1；
D中∵ ＜ =0.25，
∴2 ＜0.5，
∴0.3+2 +0.2＜1，即（ + ）2＜1，
∴ + ＜1．
故答案为：C
【分析】先利用将根号外因式移到根号内、分母有理化、放缩法、平方法对各选项进行判断，据此即可答案。
3．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A．2﹣4 B．2 C．2 D．20
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】∵3＞2，∴3※2=﹣，∵8＜12，∴8※12=+=2×（+），∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．故选B．
【分析】根据题目所给的运算法则进行求解．
4． 已知，则代数式的值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】 ，
=
=
=
=
故答案为：C.
【分析】把x的值代入式子，再根据二次根式的混合运算计算即可求解.
5．（2023九上·重庆市开学考） 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】
=
=
∵，
∴
故答案为B
【分析】本题考查根式的计算和估计无理数的大小。先化简算式，再估计无理数的大小，要注意，要先化成，再确定范围，不可用的范围×2，这样会造成范围的错误。
6．（2023八下·天津市期末）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A： ，计算错误，所以A符合题意；
B：，计算正确，所以B不符合题意；
C：计算正确，所以C不符合题意；
D：计算正确，所以D不符合题意；
故答案为：A。
【分析】各选项分别进行化简并计算，根据计算结果，进行选择即可。
7．（2022八上·龙口开学考）已知，，则代数式的值为（ ）
A．9 B． C．3 D．5
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，故C正确，A、B、D错误。
方法二、把m、n代入得，故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】先计算两数和与两数积（平方差公式应用），所求二次根式被开方数配方成两数和的平方与两数积的差，把两数和与积代入求解即可。当然还可以直接代入化简求值。
8．（2023八下·番禺期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、正确；
C、，错误；
D、，错误.
故答案为：B.
【分析】按照二次根式的加减和乘除运算法则计算即可逐项判断.
9．（2023八下·北碚期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，整数部分为2，小数部分为，
，整数部分为4，小数部分为，
，整数部分为5，小数部分为，
，整数部分为7，小数部分为，
，整数部分为8，小数部分为，
……
∴n为奇数时， ，它的整数部分为 ，小数部分为，
∴n为偶数时， ，它的整数部分为 ，小数部分为，
∴①，①正确；
②的小数部分为，故②错误；
③，③正确；
④，故④错误；
⑤
．故⑤正确，
∴①③⑤正确；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的运算，以及题中规律，求得an，然后逐项分析即可求解．
10．（2023·石家庄月考）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴6-a=3，
解得：a=3，
故答案为：3.
【分析】根据题意先求出，再求出6-a=3，最后计算求解即可。
二、填空题
11．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
12．（2023八上·普陀期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 .
【答案】7
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意可得：
a-2=2，解得：a=4
∴b=3+a=7
故答案为：7
【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案.
13．（2023九上·长沙月考）一个数的小数部分用表示，为整数，且，记，的小数部分分别为，，则 ．
【答案】-3
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∴。
故答案为：-3.
【分析】先估算，再表示a、b，最后代入计算即可。注意：一个数的小数部分就是这个数减去整数部分。
14．（2023七下·庐阳期末）若，其中，均为整数，则 ．
【答案】或
【知识点】二次根式的应用；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】∵x，y均为整数， 与的和为2，也为整数，说明与也为整数，∴要满足原方程，只能为0+2=2，2+0=2或1+1=2，∴x=2023，y=-2019或x=2027，y=-2023或x=2024，y-2022，∴x+y=2或4.
【分析】由二次根式的非负性及x，y和 均为整数，可知只有0+2=2或2+0=2或1+1=2这三种情况.
15．（2023八下·定州期中）已知，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，，根据完全平方公式可得，整体代值计算即可。
三、计算题
16．（2023九上·榆树开学考）计算：
【答案】解：
＝
＝
＝-a2b．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据根式的运算法则进行计算即可。运算结果一定要化为最简二次根式。
17．（2020八上·上海期中）先化简，再求值： ，其中x＝1，y＝2．
【答案】解：
=
=
=
=
=
=
=
= ；
将 代入得：原式= ．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据平方差公式、分母有理化、二次根式的性质进行化简运算，代入x和y的值，求出答案即可。
18．（2020八下·海林期末）若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
【答案】解：要使y有意义，必须 ，即 ∴ x＝ ．当x＝ 时，y＝ ．
又∵ － ＝ －
＝| |－| |
∵x＝ ，y＝ ，∴ ＜ ．
∴原式＝ － ＝2
当x＝ ，y＝ 时，原式＝2 ＝
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，解得x= ，此时y= ．即可代入求解．
四、解答题
19．（2023八上·成都月考）若实数x，y满足．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求的值．
【答案】（1）解：．
∴．
∴①
同理得：②
①＋②得：，∴．
（2）解：把代入①，得，∴．
则
．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先求出，再利用二次根式有理化的计算方法可得，再求出，最后相加并化简可得；
（2）将代入，求出，再将其代入计算即可.
20．若a，b为有理数，且 = ，求 的值。
【答案】【解答】 =+ + = ，因为a、b都为有理数，所以a=0，b= ，所以 =1.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】利用二次根式的加减法进行正确的计算，有根据有理数条件求出a、b的值，是解题的一个常规思想.
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 16.3二次根式的加减法
一、选择题
1．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各实数中最大的一个是（ ）
A．5× B． C． D． +
3．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A．2﹣4 B．2 C．2 D．20
4． 已知，则代数式的值是（ ）
A．0 B． C． D．
5．（2023九上·重庆市开学考） 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．（2023八下·天津市期末）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022八上·龙口开学考）已知，，则代数式的值为（ ）
A．9 B． C．3 D．5
8．（2023八下·番禺期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八下·北碚期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2023·石家庄月考）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
12．（2023八上·普陀期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 .
13．（2023九上·长沙月考）一个数的小数部分用表示，为整数，且，记，的小数部分分别为，，则 ．
14．（2023七下·庐阳期末）若，其中，均为整数，则 ．
15．（2023八下·定州期中）已知，，则的值为 ．
三、计算题
16．（2023九上·榆树开学考）计算：
17．（2020八上·上海期中）先化简，再求值： ，其中x＝1，y＝2．
18．（2020八下·海林期末）若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
四、解答题
19．（2023八上·成都月考）若实数x，y满足．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求的值．
20．若a，b为有理数，且 = ，求 的值。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
2．【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：A中5× = = ＜1；
B中∵π=3.14159＞3.141，
∴ ＜1；
C中 = = = （ -1）＞1；
D中∵ ＜ =0.25，
∴2 ＜0.5，
∴0.3+2 +0.2＜1，即（ + ）2＜1，
∴ + ＜1．
故答案为：C
【分析】先利用将根号外因式移到根号内、分母有理化、放缩法、平方法对各选项进行判断，据此即可答案。
3．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】∵3＞2，∴3※2=﹣，∵8＜12，∴8※12=+=2×（+），∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．故选B．
【分析】根据题目所给的运算法则进行求解．
4．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】 ，
=
=
=
=
故答案为：C.
【分析】把x的值代入式子，再根据二次根式的混合运算计算即可求解.
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】
=
=
∵，
∴
故答案为B
【分析】本题考查根式的计算和估计无理数的大小。先化简算式，再估计无理数的大小，要注意，要先化成，再确定范围，不可用的范围×2，这样会造成范围的错误。
6．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A： ，计算错误，所以A符合题意；
B：，计算正确，所以B不符合题意；
C：计算正确，所以C不符合题意；
D：计算正确，所以D不符合题意；
故答案为：A。
【分析】各选项分别进行化简并计算，根据计算结果，进行选择即可。
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，故C正确，A、B、D错误。
方法二、把m、n代入得，故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】先计算两数和与两数积（平方差公式应用），所求二次根式被开方数配方成两数和的平方与两数积的差，把两数和与积代入求解即可。当然还可以直接代入化简求值。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、正确；
C、，错误；
D、，错误.
故答案为：B.
【分析】按照二次根式的加减和乘除运算法则计算即可逐项判断.
9．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，整数部分为2，小数部分为，
，整数部分为4，小数部分为，
，整数部分为5，小数部分为，
，整数部分为7，小数部分为，
，整数部分为8，小数部分为，
……
∴n为奇数时， ，它的整数部分为 ，小数部分为，
∴n为偶数时， ，它的整数部分为 ，小数部分为，
∴①，①正确；
②的小数部分为，故②错误；
③，③正确；
④，故④错误；
⑤
．故⑤正确，
∴①③⑤正确；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的运算，以及题中规律，求得an，然后逐项分析即可求解．
10．【答案】D
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴6-a=3，
解得：a=3，
故答案为：3.
【分析】根据题意先求出，再求出6-a=3，最后计算求解即可。
11．【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
12．【答案】7
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意可得：
a-2=2，解得：a=4
∴b=3+a=7
故答案为：7
【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案.
13．【答案】-3
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∴。
故答案为：-3.
【分析】先估算，再表示a、b，最后代入计算即可。注意：一个数的小数部分就是这个数减去整数部分。
14．【答案】或
【知识点】二次根式的应用；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】∵x，y均为整数， 与的和为2，也为整数，说明与也为整数，∴要满足原方程，只能为0+2=2，2+0=2或1+1=2，∴x=2023，y=-2019或x=2027，y=-2023或x=2024，y-2022，∴x+y=2或4.
【分析】由二次根式的非负性及x，y和 均为整数，可知只有0+2=2或2+0=2或1+1=2这三种情况.
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，，根据完全平方公式可得，整体代值计算即可。
16．【答案】解：
＝
＝
＝-a2b．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据根式的运算法则进行计算即可。运算结果一定要化为最简二次根式。
17．【答案】解：
=
=
=
=
=
=
=
= ；
将 代入得：原式= ．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据平方差公式、分母有理化、二次根式的性质进行化简运算，代入x和y的值，求出答案即可。
18．【答案】解：要使y有意义，必须 ，即 ∴ x＝ ．当x＝ 时，y＝ ．
又∵ － ＝ －
＝| |－| |
∵x＝ ，y＝ ，∴ ＜ ．
∴原式＝ － ＝2
当x＝ ，y＝ 时，原式＝2 ＝
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，解得x= ，此时y= ．即可代入求解．
19．【答案】（1）解：．
∴．
∴①
同理得：②
①＋②得：，∴．
（2）解：把代入①，得，∴．
则
．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先求出，再利用二次根式有理化的计算方法可得，再求出，最后相加并化简可得；
（2）将代入，求出，再将其代入计算即可.
20．【答案】【解答】 =+ + = ，因为a、b都为有理数，所以a=0，b= ，所以 =1.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】利用二次根式的加减法进行正确的计算，有根据有理数条件求出a、b的值，是解题的一个常规思想.
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