人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 17.1勾股定理
一、选择题
1．（2023八上·绍兴期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·拜城期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE
C． D．
3．（2023八上·瓯海期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，BC于点N，F，的周长为9.若，，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
4．（2023九上·长春开学考）如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·从江开学考）如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·开州开学考）如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上满足，连接，取的中点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·合川期末）如图，在矩形中，，为的中点，连接，将沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得，延长与交于点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
8．（2023八下·邻水期末）如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023七下·达川期末）如图，在等边中，于D，延长到E，使，F是的中点，连接并延长交于G，的垂直平分线分别交于点M，点N，连接，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ）．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
10．（2023八下·新田期中）如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2023八上·萧山期中）如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF
+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则.其中正确的是 ．
12．（2023九上·襄州期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A旋转，使点C落在AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，则EF的长为
13．（2023八上·绥德月考）在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是，，，，则 ．
14．（2023九上·海淀开学考）如图，点、、在同一条线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，≌，连接，设，，，下面三个结论：；；；正确的序号是 ．
15．（2023九上·成都开学考）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝5，则CD的长为 ．
三、解答题
16．（2023八上·成都期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：△ACF≌△CBG；
（2）如图2，延长CG交AB于H，连接AG交CF于点M，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠FCH＝2∠GAC时，若BG＝4，求AM的长．
17．（2023八上·东阳期中）如图，AO⊥OM，OA＝4cm，点B从O点出发沿射线OM运动，速度为1cm/s，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE.
（1）当t=3s时，
①求AB的长；
②连接AF，求AF的长。
（2）连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度会变化吗？若会变化，请说明理由；若不变，请求出PB的长度.
18．（2023八上·义乌期中）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6．
（1）求BC，AC的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．
②设DE交直线BC于点F，连结OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则BD的长为 ▲（直接写出所有结果）．
19．（2023八上·成都月考）如图，四边形ABCD中，，，点M为AB上一点，连接CM，DM．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形AMCD的面积；
（3）在（2）的情况下，连接AC，求AC的长．
20．（2022八上·兴平期中）如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于点D，于点F，已知点，，，，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设，，则，
，，即，求得，
在中有，，求得，，，.
故答案为：D.
【分析】设，，等量关系求得，在利用勾股定理，可得，再结合得到，进而判断选项.
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】
A：∠CAD＝∠BAD，根据作图过程知AP平分∠BAC，结论正确，不符合题意
B：CD＝DE，根据作图过程知AP平分∠BAC，角平分线上的点到角的两边距离相等，结论正确，不符合题意
C：，由勾股定理得BC=4，根据得出CD=，进而算出BD=，结论正确，不符合题意
D：，根据勾股定理，结论不正确，符合题意
故选：D
【分析】根据题中描述的作图过程，得知AP是∠BAC的平分线，根据角平分线定理和勾股定理逐一进行判定。
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线为直线ME， 边AC的垂直平分线为直线NF，
∴BE=AE，CF=AF，
∴∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，
∵∠B+∠C=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠EAF=180°-∠B-∠C-∠BAE-∠CAF=90°，
∴AE2+AF2=EF2=16，
∵△AEF的周长为9，
∴AE+EF+AF=9，
∵EF=4，
∴AE+AF=5，
∴AE·AF=[(AE+AF)2-(AE2+AF2)]=，
∴S△AEF=AE·AF=.
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质得BE=AE，CF=AF， 再根据等腰三角形的性质得∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，再根据三角形内角和定理推出∠EAF=90°，利用勾股定理得AE2+AF2=16， 由周长可得AE+AF=5，从而推出S△AEF.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】连接EG，设CG=x，
由题意知BF是的平分线，BE=BC=10
在
≌(SAS)
在中，
在中，DG=DC-GC=8-X
即
解得x=5
故答案为：A.
【分析】掌握尺规作角平分线，了解角平分线上的点到角的两边距离相等，并会通过全等证明，在此基础上思考本题，把问题转化为求直角三角形中的斜边，利用勾股定理求解即可。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
如图，当棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短；
底面周长为：，分成三等份后每份为6，则AC=
最短路程=ACC+DC+BC=10×3=30
故答案为：B.
【分析】棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短，由勾股定理求出AC长即可求解。
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD为正方形
∴ AB=AD
∠ABC=∠BAD=∠ADF=90°
∵ BE=DF
∴（SAS）
∴ ∠BAE=∠DAF，AE=AF
∴∠BAE+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=90°
∵ G为AE的中点，BG=2
∴ AG=BG=2，AF=AE=4
∴ FG=
故答案为B
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质和直角三角形斜边上的中线性质。根据正方形的性质，判定，根据其全等的性质，得出∠EAF=90°，AE=AF，根据直角三角形斜边上的中线性质，可得AG长，根据勾股定理求出FG即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理
【解析】【解答】解：连接EF，
由折叠性质知：AE=A'E，∠BA'E=∠A=90°，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE=，
∴A'E=DE，
在Rt△A'EF和Rt△DEF中，∠FA'E=∠D=90°
∵A'E=DE，EF=EF，
∴Rt△A'EF≌Rt△DEF，
∴A'F=DF，
设CF=x，则：A'F=DF=3x，A'B=AB=DC=4x，
∴BF=A'B+A'F=7x，
又∵BC=AD=，
在Rt△BCF中：
（）2+x2=（7x）2，
解得：x=1，x=-1（舍去），
∴DF=3，
∴S△DEF=
∴S 四边形 A'EDF=2 S△DEF=
故答案为：A.
【分析】根据HL证明Rt△A'EF≌Rt△DEF，可得A'F=DF，然后设CF=x，可得BF=7x，在Rt△BCF中，可根据勾股定理得出关于x的方程式（）2+x2=（7x）2，解方程可求得方程的解，舍去负值，即可得出CF的长度，进而求出DF的长，根据三角形面积计算公式，即可求得△DEF的面积。再求出它的2倍，就是四边形A'EDF的面积。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
由勾股定理得，
∵CB=1，∠CBO=90°，
由勾股定理得，
同理可得，
设点H到OI的距离为x，
则，
解得x=，
故答案为：B
【分析】先根据已知条件结合勾股定理即可求出BO和CO的长，同理可得，设点H到OI的距离为x，再运用等面积法即可求解。
9．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠BCA=∠CAB=60°，
∵，F是的中点，
∴EC=FC，
∴∠EFC=∠E，
∴∠E=30°，
∴∠EGB=90°，
∴，①正确；
设GA=a，则FA=FC=EC=2a，
∴，
由勾股定理得，
索伊，
∴，②正确；
过点N作HN⊥CA于点H，连接NB，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，CB⊥DA，
∴NC=NB，AC平分∠CBA，
∵BA⊥HM，
∴MN=NH，
∵NM为GB的垂直平分线，
∴GN=NB=NC，
∴△HCN≌△MGN（HL），
∴∠HNC=∠MNG，
∴∠GNC=∠HNM，
∴，③正确；
设GA=m，
∵GFA=30°，∠FAG=60°，
∴FA=2m，
∵F为中点，
∴BA=CA=4m，
∴GB=3m，
设，则，
∵△ABC为等边三角形，CB⊥DA，
∴CA=BA，∠DAC=∠DAB，NA=NA，
∴△NAC≌△NAB（SAS），
∴，
∴，
∴，④错误；
∴正确的结论序号是①②③，
故答案为：A
【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解。
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，
∴△FDA≌△EBA，
∴∠FAD=∠EAB，FD=EB，
∴∠CAF=∠CAE，
∴垂直平分，①正确；
∵，
∴∠FAE=60°，
∴为等边三角形，②正确；
∵，
∴∠FAD=∠EAB=∠CAF=∠CAE=22.5°，
∴∠AEB=67.5°，
∵DF=EB，CD=BC，
∴EC=FC，
∴∠FEC=45°，
∴，③正确；
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，④正确；
∴其中正确的结论有4个，
故答案为：D
【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到∠FAD=∠EAB，FD=EB，进而根据等腰三角形的性质即可判断①；根据题意求出∠FAE=60°，进而即可根据等边三角形的判定判断②；根据题意结合三角形内角和公式即可判断③；先根据题意得到，进而根据勾股定理得到，从而即可判断④。
11．【答案】①②
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：解：如图，延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，
∵ ∠A＝90° ，角平分线CE、BD交于点I，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，
∵ IF⊥CE ，
∴∠DIF=45°，∠FIC=∠MIC=90°，故①正确；
∵∠FIC=∠MIC=90°，∠FCI=∠MCI，CI=CI，
∴△FCI≌△MCI（ASA），
∴CF=CM，
∵∠MIB=∠EIB=45°，BI=BI，∠EBI=∠MBI，
∴△MBI≌△EBI（ASA），
∴BE=BI，
∴BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；
∵ AB＝3，AC＝4 ， ∠A＝90° ，
∴BC=5，
∵EA⊥AC，EH⊥BC，EC平分∠ACB，
∴EA=EH，
∵△ACE的面积=AC·EA，△BCE的面积=BC·EH，
∴AE：BE=AC：BC=4：5，
∵AE+BE=AB=3，
∴BE=，BM=，
∴CF=CM=5-=，
∴AF=4-=，故③错误.
故答案为：①②.
【分析】延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，由角平分线的定义及三角形内角和可求∠IBC+∠ICB=45°，利用三角形外角的性质及对顶角相等可得∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，由IF⊥CE可得∠DIF=45°，故①正确；证明△FCI≌△MCI（ASA），可得CF=CM，再证△MBI≌△EBI（ASA），可得BE=BI，从而得出BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；由勾股定理求BC=5，由角平分线的性质可得EA=EH，利用三角形的面积可推出AE：BE=AC：BC=4：5，据此求出BE、BM、CF的长，从而求出AF的长，即可判断③.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理可得，.
由旋转的性质可知，AE=AC=3，DE=BC=4，AD=AB=5，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠BAC.
∴BE=AB-AE=2，∠BED=90°.
由勾股定理可得，.
∵AE=AC，AD=AB，
∴∠AEC=∠ACE，∠ABD=∠ADB.
∵∠DAE=∠BAC，
由三角形的内角和定理可知，∠AED=∠ABD.
∵∠AED=∠BEF，
∴∠ABD=∠BEF.
∴BF=EF.
∵∠EDB+∠ABD=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠EDB=∠DEF.
∴DF=EF.
∴EF=BD=.
故答案为：.
【分析】先由旋转的性质和勾股定理求得BD的长，然后根据等腰三角形的性质和判定得到BF=EF=DF，进而得到EF的长
13．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图示可知S1+S2=1，S3+S4=3，所以1-3=-2.
故答案为：-2.
【分析】分别求出S1+S2和S3+S4，再求出的值.
14．【答案】①②③
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；勾股定理
【解析】【解答】
；
观察图形，根据已知条件，线段AC可以向上平移，至C点和D点重合，与E点构成直角三角形，
此时，c为斜边，AC即a+b为直角边，
故正确
；
在直角三角形BCD中，
根据已知全等的条件，DC=AB=a，BC=b
BD=
故正确
≌
在中，
即
即
故正确
综上， ①②③ 都正确
故填： ①②③
【分析】根据三角形的三边关系和勾股定理可判定 ①②正确；在③中，根据勾股定理找到等式，再结合完全平方公式，找到不等式关系 。
15．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵是等边三角形 ，
∴∠ACB=60°，
将△BCD绕点C顺时针旋转60°得△ACE，
则CE=CD，∠ECD=60°，AE=BD=5，
∴△CED为等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠CDE+∠ADC=90°，
由勾股定理得DE=3，
∴CD=DE=3，
故答案为：3.
【分析】将△BCD绕点C顺时针旋转60°得△ACE，则CE=CD，∠ECD=60°，AE=BD=5，则△CED为等边三角形，从而求出∠ADE=∠CDE+∠ADC=90°，利用勾股定理求出DE的长，即得CD的长.
16．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG＝∠BCG＝45°，
∴∠A＝∠BCG，
在△BCG和△CAF中，
，
∴△BCG≌△CAF（ASA）
（2）证明：∵PC∥AG，
∴∠PCA＝∠CAG，
∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，
在△ACG和△BCG中，
，
∴△ACG≌△BCG（SAS），
∴∠CAG＝∠CBE，
∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PB＝BG+PG，BG＝CF，
∴PB＝CF+CP；
（3）解：连接MH，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
设∠FCH＝2x°，则∠GAC＝x°，
由(1)得∠ACF＝∠GBC＝∠GAC＝x°，
∵∠ACH＝45°，
∴2x+x＝45°，
解得x＝15°，
∴∠GAH=∠FCH=45°-15°=30°，
∴∠GAH=∠FCH=90°-30°=60°，
∴∠CMG=∠AMF=∠MFN-∠MAF=60°-30°=30°，
∴AF=FM，MG=CG，
又∵AG=BG=CF，∠AHG=∠CHF=90°，
∴FH=HG==2，
又∵AF=AH-FH，CG=CH-HG，且AH=CH，
∴AF=CG=FM=MG，
又∵MH=MH，
∴△FHM≌△GHM(SSS)
∴∠AHM=∠CHM=45°，
设AF=FM=2a，
则FN=a，MN=MH=，
此时有FH=FN+HN=a+=2，
解得：，
则AM=2MH=2a=6-2.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）分析已知条件，可得∠GCB=∠ACB=45°=∠A，又因为∠ACF＝∠CBE，AC＝BC ，利用ASA证明两个三角形全等即可；
（2）由第一问可知，CF=GB，则只需要证明PC=PG即可。
通过证明 △ACG和△BCG 全等，得到对应角∠CAG＝∠CBG，然后通过倒角，最终得到
∠PCG＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠CBE+45°，即∠PCG=∠PGC，所以PC=PG，
所以PB＝PG+GB=CP+CF。
（3）由角度间的关系∠FCH＝2∠GAC，可进一步求得具体角度，出现大量15°和30°角，为便于计算，从30°一侧作辅助线，即过点M作MN⊥AH，同时先利用全等证得对称结构，即HM平分∠AHC；最后利用特殊角中边之间的关系，设边进而利用代数式表达边继而计算得出结果.
17．【答案】（1）解：①当t=3s时，OB=3cm，
∵AO⊥OM，OA＝4cm
∴AB=5cm；
②如图，连接AF，过点F作FC⊥AO于点C，
易证正方形CFBO，CF=BF=BO=3cm，CA=3+4=7cm，
∴AF=cm.
（2）解：如图，过点E作ED⊥MO于点D，
在Rt△OBA和Rt△DEB中，∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠DBE=90°.
∴∠OAB=∠DBE
又∵∠AOB=∠BDE=90°，AB=EB
∴ΔAOB≌ΔBDE
∴OB=DE，BD=AO=4cm
∵BF=BO=DE，∠FPB=∠EPD
∴ΔFPB≌ΔEPD
∴BP=PD=BD=2cm，PB的长度不变为2cm.
不变；2cm.
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】
18．【答案】（1）解：∵AB＝AO+BO＝4+6＝10，
∴BC＝AB＝10，
∵CO⊥AB，
∴CO＝＝＝8，
∴AC＝＝＝4；
（2）解：①当AO＝OE时，
∴∠A＝∠AEO，
∵∠OED+∠AEO＝∠ODE+∠A＝90°，
∴∠ODE＝∠OED，
∴OD＝OE＝AO＝4；
当AO＝AE时，
∵∠A＝∠A，
∠AOC＝∠AED＝90°，
∴△AED≌△AOC（ASA），
∴AD＝AC＝4，
∴OD＝AD-AO＝4-4；
②或2.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（2）②如图，当点D在线段OB上时，过点B作BG⊥EF于点G，
∵S△OBF：S△OCF＝1：4，
∴BF：CF=1：4，
∴BF=BC=，
∵EF⊥AC，BG⊥EF，
∴BG∥CE，
∴∠A=∠DBG，∠ACB=∠GBF，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∴∠DBG=∠GBF，
∵BG⊥EF，
∴△DBF是等腰三角形，
∴BD=BF=；
如图，当点D在线段OB的延长线上时，过点B作BG⊥EF于点G，
∵S△OBF：S△OCF＝1：4，
∴BF：CF=1：4，
∴BF=BC=2，
∵EF⊥AC，BG⊥EF，
∴BG∥CE，
∴∠A=∠DBG，∠ACB=∠GBF，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∴∠DBG=∠GBF，
∵BG⊥EF，
∴△DBF是等腰三角形，
∴BD=BF=2，
∴BD的长为或2.
故答案为：或2.
【分析】（1）根据BA=BC得出BC的长，分别利用勾股定理求出CO和AC的长，即可得出答案；
（2）①分两种情况讨论：当AO＝OE时，得出∠A＝∠AEO，再利用等角的余角相等得出∠ODE＝∠OED，从而得出OD＝OE＝AO＝4；当AO＝AE时，先用ASA证出△AED≌△AOC，得出AD＝AC＝4，从而得出OD＝AD-AO＝4-4；
②分两种情况讨论：当点D在线段OB上时，当点D在线段OB的延长线上时，分别过点B作BG⊥EF于点G，根据同高的两个三角形面积比等于对应底边之比，求出BF的长，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出BD=BF，即可得出答案.
19．【答案】（1）证明：过点M作（如图）．
∴．
∵，∴．∴．
∴．即．
（2）解：∵，，，∴．
∵，∴．
∴为直角三角形，且．
∴
（3）解：连接AC，过点C作于点E．
∵，∴．
∵，∴．∴．
∵，，即，，
∴．在与中，
∴．∴，．
∵，，
∴．在与中，
∴．（可根据勾股定理用边边边）
∴，．
∵，∴．∴．
∵，∴，∴．∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）先利用勾股定理的逆定理证出为直角三角形，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可；
（3）先求出，再结合求出AB的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可.
20．【答案】解：如图，过点C作轴于点G，
∵点，，，
∴，，，
∴．
由题意，得，．
∵，∴是直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴长.
【知识点】点的坐标；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】过点C作CG⊥x轴于点G，利用点A，B，C的坐标可求出BE，CG，OA的长；利用△ABC的面积等于△AOB和△AOC的面积之和，可求出△ABC的面积；利用点F，C的坐标可得到FC∥x轴，同时可求出BF，CF的长，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出BC的长；然后利用三角形的面积公式，在△ABC中，可求出AD的长.
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 17.1勾股定理
一、选择题
1．（2023八上·绍兴期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设，，则，
，，即，求得，
在中有，，求得，，，.
故答案为：D.
【分析】设，，等量关系求得，在利用勾股定理，可得，再结合得到，进而判断选项.
2．（2023八上·拜城期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE
C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】
A：∠CAD＝∠BAD，根据作图过程知AP平分∠BAC，结论正确，不符合题意
B：CD＝DE，根据作图过程知AP平分∠BAC，角平分线上的点到角的两边距离相等，结论正确，不符合题意
C：，由勾股定理得BC=4，根据得出CD=，进而算出BD=，结论正确，不符合题意
D：，根据勾股定理，结论不正确，符合题意
故选：D
【分析】根据题中描述的作图过程，得知AP是∠BAC的平分线，根据角平分线定理和勾股定理逐一进行判定。
3．（2023八上·瓯海期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，BC于点N，F，的周长为9.若，，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线为直线ME， 边AC的垂直平分线为直线NF，
∴BE=AE，CF=AF，
∴∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，
∵∠B+∠C=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠EAF=180°-∠B-∠C-∠BAE-∠CAF=90°，
∴AE2+AF2=EF2=16，
∵△AEF的周长为9，
∴AE+EF+AF=9，
∵EF=4，
∴AE+AF=5，
∴AE·AF=[(AE+AF)2-(AE2+AF2)]=，
∴S△AEF=AE·AF=.
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质得BE=AE，CF=AF， 再根据等腰三角形的性质得∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，再根据三角形内角和定理推出∠EAF=90°，利用勾股定理得AE2+AF2=16， 由周长可得AE+AF=5，从而推出S△AEF.
4．（2023九上·长春开学考）如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】连接EG，设CG=x，
由题意知BF是的平分线，BE=BC=10
在
≌(SAS)
在中，
在中，DG=DC-GC=8-X
即
解得x=5
故答案为：A.
【分析】掌握尺规作角平分线，了解角平分线上的点到角的两边距离相等，并会通过全等证明，在此基础上思考本题，把问题转化为求直角三角形中的斜边，利用勾股定理求解即可。
5．（2023八上·从江开学考）如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
如图，当棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短；
底面周长为：，分成三等份后每份为6，则AC=
最短路程=ACC+DC+BC=10×3=30
故答案为：B.
【分析】棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短，由勾股定理求出AC长即可求解。
6．（2023九上·开州开学考）如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上满足，连接，取的中点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD为正方形
∴ AB=AD
∠ABC=∠BAD=∠ADF=90°
∵ BE=DF
∴（SAS）
∴ ∠BAE=∠DAF，AE=AF
∴∠BAE+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=90°
∵ G为AE的中点，BG=2
∴ AG=BG=2，AF=AE=4
∴ FG=
故答案为B
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质和直角三角形斜边上的中线性质。根据正方形的性质，判定，根据其全等的性质，得出∠EAF=90°，AE=AF，根据直角三角形斜边上的中线性质，可得AG长，根据勾股定理求出FG即可。
7．（2023八下·合川期末）如图，在矩形中，，为的中点，连接，将沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得，延长与交于点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．8 C．12 D．16
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理
【解析】【解答】解：连接EF，
由折叠性质知：AE=A'E，∠BA'E=∠A=90°，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE=，
∴A'E=DE，
在Rt△A'EF和Rt△DEF中，∠FA'E=∠D=90°
∵A'E=DE，EF=EF，
∴Rt△A'EF≌Rt△DEF，
∴A'F=DF，
设CF=x，则：A'F=DF=3x，A'B=AB=DC=4x，
∴BF=A'B+A'F=7x，
又∵BC=AD=，
在Rt△BCF中：
（）2+x2=（7x）2，
解得：x=1，x=-1（舍去），
∴DF=3，
∴S△DEF=
∴S 四边形 A'EDF=2 S△DEF=
故答案为：A.
【分析】根据HL证明Rt△A'EF≌Rt△DEF，可得A'F=DF，然后设CF=x，可得BF=7x，在Rt△BCF中，可根据勾股定理得出关于x的方程式（）2+x2=（7x）2，解方程可求得方程的解，舍去负值，即可得出CF的长度，进而求出DF的长，根据三角形面积计算公式，即可求得△DEF的面积。再求出它的2倍，就是四边形A'EDF的面积。
8．（2023八下·邻水期末）如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
由勾股定理得，
∵CB=1，∠CBO=90°，
由勾股定理得，
同理可得，
设点H到OI的距离为x，
则，
解得x=，
故答案为：B
【分析】先根据已知条件结合勾股定理即可求出BO和CO的长，同理可得，设点H到OI的距离为x，再运用等面积法即可求解。
9．（2023七下·达川期末）如图，在等边中，于D，延长到E，使，F是的中点，连接并延长交于G，的垂直平分线分别交于点M，点N，连接，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ）．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠BCA=∠CAB=60°，
∵，F是的中点，
∴EC=FC，
∴∠EFC=∠E，
∴∠E=30°，
∴∠EGB=90°，
∴，①正确；
设GA=a，则FA=FC=EC=2a，
∴，
由勾股定理得，
索伊，
∴，②正确；
过点N作HN⊥CA于点H，连接NB，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，CB⊥DA，
∴NC=NB，AC平分∠CBA，
∵BA⊥HM，
∴MN=NH，
∵NM为GB的垂直平分线，
∴GN=NB=NC，
∴△HCN≌△MGN（HL），
∴∠HNC=∠MNG，
∴∠GNC=∠HNM，
∴，③正确；
设GA=m，
∵GFA=30°，∠FAG=60°，
∴FA=2m，
∵F为中点，
∴BA=CA=4m，
∴GB=3m，
设，则，
∵△ABC为等边三角形，CB⊥DA，
∴CA=BA，∠DAC=∠DAB，NA=NA，
∴△NAC≌△NAB（SAS），
∴，
∴，
∴，④错误；
∴正确的结论序号是①②③，
故答案为：A
【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解。
10．（2023八下·新田期中）如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，
∴△FDA≌△EBA，
∴∠FAD=∠EAB，FD=EB，
∴∠CAF=∠CAE，
∴垂直平分，①正确；
∵，
∴∠FAE=60°，
∴为等边三角形，②正确；
∵，
∴∠FAD=∠EAB=∠CAF=∠CAE=22.5°，
∴∠AEB=67.5°，
∵DF=EB，CD=BC，
∴EC=FC，
∴∠FEC=45°，
∴，③正确；
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，④正确；
∴其中正确的结论有4个，
故答案为：D
【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到∠FAD=∠EAB，FD=EB，进而根据等腰三角形的性质即可判断①；根据题意求出∠FAE=60°，进而即可根据等边三角形的判定判断②；根据题意结合三角形内角和公式即可判断③；先根据题意得到，进而根据勾股定理得到，从而即可判断④。
二、填空题
11．（2023八上·萧山期中）如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF
+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则.其中正确的是 ．
【答案】①②
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：解：如图，延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，
∵ ∠A＝90° ，角平分线CE、BD交于点I，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，
∵ IF⊥CE ，
∴∠DIF=45°，∠FIC=∠MIC=90°，故①正确；
∵∠FIC=∠MIC=90°，∠FCI=∠MCI，CI=CI，
∴△FCI≌△MCI（ASA），
∴CF=CM，
∵∠MIB=∠EIB=45°，BI=BI，∠EBI=∠MBI，
∴△MBI≌△EBI（ASA），
∴BE=BI，
∴BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；
∵ AB＝3，AC＝4 ， ∠A＝90° ，
∴BC=5，
∵EA⊥AC，EH⊥BC，EC平分∠ACB，
∴EA=EH，
∵△ACE的面积=AC·EA，△BCE的面积=BC·EH，
∴AE：BE=AC：BC=4：5，
∵AE+BE=AB=3，
∴BE=，BM=，
∴CF=CM=5-=，
∴AF=4-=，故③错误.
故答案为：①②.
【分析】延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，由角平分线的定义及三角形内角和可求∠IBC+∠ICB=45°，利用三角形外角的性质及对顶角相等可得∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，由IF⊥CE可得∠DIF=45°，故①正确；证明△FCI≌△MCI（ASA），可得CF=CM，再证△MBI≌△EBI（ASA），可得BE=BI，从而得出BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；由勾股定理求BC=5，由角平分线的性质可得EA=EH，利用三角形的面积可推出AE：BE=AC：BC=4：5，据此求出BE、BM、CF的长，从而求出AF的长，即可判断③.
12．（2023九上·襄州期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A旋转，使点C落在AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，则EF的长为
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理可得，.
由旋转的性质可知，AE=AC=3，DE=BC=4，AD=AB=5，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠BAC.
∴BE=AB-AE=2，∠BED=90°.
由勾股定理可得，.
∵AE=AC，AD=AB，
∴∠AEC=∠ACE，∠ABD=∠ADB.
∵∠DAE=∠BAC，
由三角形的内角和定理可知，∠AED=∠ABD.
∵∠AED=∠BEF，
∴∠ABD=∠BEF.
∴BF=EF.
∵∠EDB+∠ABD=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠EDB=∠DEF.
∴DF=EF.
∴EF=BD=.
故答案为：.
【分析】先由旋转的性质和勾股定理求得BD的长，然后根据等腰三角形的性质和判定得到BF=EF=DF，进而得到EF的长
13．（2023八上·绥德月考）在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是，，，，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图示可知S1+S2=1，S3+S4=3，所以1-3=-2.
故答案为：-2.
【分析】分别求出S1+S2和S3+S4，再求出的值.
14．（2023九上·海淀开学考）如图，点、、在同一条线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，≌，连接，设，，，下面三个结论：；；；正确的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；勾股定理
【解析】【解答】
；
观察图形，根据已知条件，线段AC可以向上平移，至C点和D点重合，与E点构成直角三角形，
此时，c为斜边，AC即a+b为直角边，
故正确
；
在直角三角形BCD中，
根据已知全等的条件，DC=AB=a，BC=b
BD=
故正确
≌
在中，
即
即
故正确
综上， ①②③ 都正确
故填： ①②③
【分析】根据三角形的三边关系和勾股定理可判定 ①②正确；在③中，根据勾股定理找到等式，再结合完全平方公式，找到不等式关系 。
15．（2023九上·成都开学考）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝5，则CD的长为 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵是等边三角形 ，
∴∠ACB=60°，
将△BCD绕点C顺时针旋转60°得△ACE，
则CE=CD，∠ECD=60°，AE=BD=5，
∴△CED为等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠CDE+∠ADC=90°，
由勾股定理得DE=3，
∴CD=DE=3，
故答案为：3.
【分析】将△BCD绕点C顺时针旋转60°得△ACE，则CE=CD，∠ECD=60°，AE=BD=5，则△CED为等边三角形，从而求出∠ADE=∠CDE+∠ADC=90°，利用勾股定理求出DE的长，即得CD的长.
三、解答题
16．（2023八上·成都期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：△ACF≌△CBG；
（2）如图2，延长CG交AB于H，连接AG交CF于点M，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠FCH＝2∠GAC时，若BG＝4，求AM的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG＝∠BCG＝45°，
∴∠A＝∠BCG，
在△BCG和△CAF中，
，
∴△BCG≌△CAF（ASA）
（2）证明：∵PC∥AG，
∴∠PCA＝∠CAG，
∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，
在△ACG和△BCG中，
，
∴△ACG≌△BCG（SAS），
∴∠CAG＝∠CBE，
∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PB＝BG+PG，BG＝CF，
∴PB＝CF+CP；
（3）解：连接MH，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
设∠FCH＝2x°，则∠GAC＝x°，
由(1)得∠ACF＝∠GBC＝∠GAC＝x°，
∵∠ACH＝45°，
∴2x+x＝45°，
解得x＝15°，
∴∠GAH=∠FCH=45°-15°=30°，
∴∠GAH=∠FCH=90°-30°=60°，
∴∠CMG=∠AMF=∠MFN-∠MAF=60°-30°=30°，
∴AF=FM，MG=CG，
又∵AG=BG=CF，∠AHG=∠CHF=90°，
∴FH=HG==2，
又∵AF=AH-FH，CG=CH-HG，且AH=CH，
∴AF=CG=FM=MG，
又∵MH=MH，
∴△FHM≌△GHM(SSS)
∴∠AHM=∠CHM=45°，
设AF=FM=2a，
则FN=a，MN=MH=，
此时有FH=FN+HN=a+=2，
解得：，
则AM=2MH=2a=6-2.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）分析已知条件，可得∠GCB=∠ACB=45°=∠A，又因为∠ACF＝∠CBE，AC＝BC ，利用ASA证明两个三角形全等即可；
（2）由第一问可知，CF=GB，则只需要证明PC=PG即可。
通过证明 △ACG和△BCG 全等，得到对应角∠CAG＝∠CBG，然后通过倒角，最终得到
∠PCG＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠CBE+45°，即∠PCG=∠PGC，所以PC=PG，
所以PB＝PG+GB=CP+CF。
（3）由角度间的关系∠FCH＝2∠GAC，可进一步求得具体角度，出现大量15°和30°角，为便于计算，从30°一侧作辅助线，即过点M作MN⊥AH，同时先利用全等证得对称结构，即HM平分∠AHC；最后利用特殊角中边之间的关系，设边进而利用代数式表达边继而计算得出结果.
17．（2023八上·东阳期中）如图，AO⊥OM，OA＝4cm，点B从O点出发沿射线OM运动，速度为1cm/s，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE.
（1）当t=3s时，
①求AB的长；
②连接AF，求AF的长。
（2）连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度会变化吗？若会变化，请说明理由；若不变，请求出PB的长度.
【答案】（1）解：①当t=3s时，OB=3cm，
∵AO⊥OM，OA＝4cm
∴AB=5cm；
②如图，连接AF，过点F作FC⊥AO于点C，
易证正方形CFBO，CF=BF=BO=3cm，CA=3+4=7cm，
∴AF=cm.
（2）解：如图，过点E作ED⊥MO于点D，
在Rt△OBA和Rt△DEB中，∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠DBE=90°.
∴∠OAB=∠DBE
又∵∠AOB=∠BDE=90°，AB=EB
∴ΔAOB≌ΔBDE
∴OB=DE，BD=AO=4cm
∵BF=BO=DE，∠FPB=∠EPD
∴ΔFPB≌ΔEPD
∴BP=PD=BD=2cm，PB的长度不变为2cm.
不变；2cm.
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】
18．（2023八上·义乌期中）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6．
（1）求BC，AC的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．
②设DE交直线BC于点F，连结OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则BD的长为 ▲（直接写出所有结果）．
【答案】（1）解：∵AB＝AO+BO＝4+6＝10，
∴BC＝AB＝10，
∵CO⊥AB，
∴CO＝＝＝8，
∴AC＝＝＝4；
（2）解：①当AO＝OE时，
∴∠A＝∠AEO，
∵∠OED+∠AEO＝∠ODE+∠A＝90°，
∴∠ODE＝∠OED，
∴OD＝OE＝AO＝4；
当AO＝AE时，
∵∠A＝∠A，
∠AOC＝∠AED＝90°，
∴△AED≌△AOC（ASA），
∴AD＝AC＝4，
∴OD＝AD-AO＝4-4；
②或2.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（2）②如图，当点D在线段OB上时，过点B作BG⊥EF于点G，
∵S△OBF：S△OCF＝1：4，
∴BF：CF=1：4，
∴BF=BC=，
∵EF⊥AC，BG⊥EF，
∴BG∥CE，
∴∠A=∠DBG，∠ACB=∠GBF，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∴∠DBG=∠GBF，
∵BG⊥EF，
∴△DBF是等腰三角形，
∴BD=BF=；
如图，当点D在线段OB的延长线上时，过点B作BG⊥EF于点G，
∵S△OBF：S△OCF＝1：4，
∴BF：CF=1：4，
∴BF=BC=2，
∵EF⊥AC，BG⊥EF，
∴BG∥CE，
∴∠A=∠DBG，∠ACB=∠GBF，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∴∠DBG=∠GBF，
∵BG⊥EF，
∴△DBF是等腰三角形，
∴BD=BF=2，
∴BD的长为或2.
故答案为：或2.
【分析】（1）根据BA=BC得出BC的长，分别利用勾股定理求出CO和AC的长，即可得出答案；
（2）①分两种情况讨论：当AO＝OE时，得出∠A＝∠AEO，再利用等角的余角相等得出∠ODE＝∠OED，从而得出OD＝OE＝AO＝4；当AO＝AE时，先用ASA证出△AED≌△AOC，得出AD＝AC＝4，从而得出OD＝AD-AO＝4-4；
②分两种情况讨论：当点D在线段OB上时，当点D在线段OB的延长线上时，分别过点B作BG⊥EF于点G，根据同高的两个三角形面积比等于对应底边之比，求出BF的长，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出BD=BF，即可得出答案.
19．（2023八上·成都月考）如图，四边形ABCD中，，，点M为AB上一点，连接CM，DM．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形AMCD的面积；
（3）在（2）的情况下，连接AC，求AC的长．
【答案】（1）证明：过点M作（如图）．
∴．
∵，∴．∴．
∴．即．
（2）解：∵，，，∴．
∵，∴．
∴为直角三角形，且．
∴
（3）解：连接AC，过点C作于点E．
∵，∴．
∵，∴．∴．
∵，，即，，
∴．在与中，
∴．∴，．
∵，，
∴．在与中，
∴．（可根据勾股定理用边边边）
∴，．
∵，∴．∴．
∵，∴，∴．∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）先利用勾股定理的逆定理证出为直角三角形，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可；
（3）先求出，再结合求出AB的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可.
20．（2022八上·兴平期中）如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于点D，于点F，已知点，，，，求的长度．
【答案】解：如图，过点C作轴于点G，
∵点，，，
∴，，，
∴．
由题意，得，．
∵，∴是直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴长.
【知识点】点的坐标；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】过点C作CG⊥x轴于点G，利用点A，B，C的坐标可求出BE，CG，OA的长；利用△ABC的面积等于△AOB和△AOC的面积之和，可求出△ABC的面积；利用点F，C的坐标可得到FC∥x轴，同时可求出BF，CF的长，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出BC的长；然后利用三角形的面积公式，在△ABC中，可求出AD的长.
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