人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时基础练习 17.2勾股定理逆定理
一、选择题
1．（2023八上·织金期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四条线段，其中能组成直角三角形三边的一组线段是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·瑞昌月考）下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．9，12，15
3．（2023八上·渠县月考） 如果梯子的底端离建筑物1.5米，2.5米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A．2米 B．2.5米 C．3米 D．3. 5米
4．（2023八上·兴县期中）满足下列条件的，不是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八下·海城期中）下列图各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，12 B．0.6，0.8，1 C．8，15，16 D．9，12，15
6．（2022八上·郓城月考）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（ ）
A．6cm B．6cm C．2cm D．10cm
7．（2023八上·埇桥期中）如图，在长方体盒子中，，，，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触.当木棒的端点I在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）
A． B．3cm C． D．5cm
8．（2022八上·运城月考）如图，在△ABC中，，，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．6 B．36 C．16 D．49
9．（2023八上·兰州期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，根据以下条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5；③a2＝c2﹣b2；④∠A：∠B：∠C＝1：2：3；⑤a＝32，b＝42，c＝52； ⑥a＝，b＝，c＝．能判定△ABC为直角三角形的有（ ）
A．①②③⑤ B．②③④⑤
C．①②③④ D．①②③④⑤⑥
10．（2023·期中）如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1．过点B作BC⊥AB，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ）
A．-1 B． C． D．-1
二、填空题
11．（2023八上·织金期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，如果一只蚂蚁从点开始经过四个侧面爬行一圈到达点，那么蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
12．（2023八上·埇桥期中）如图，在高，斜坡长，宽为2m的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要 .
13．（2023八上·兰州期中）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为 ．
14．（2020八上·深圳期中）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是
15．（2023七上·莱芜期中）如图，圆柱形玻璃杯，底面周长为16cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上的一点，且BC＝20cm，，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为 cm．
三、解答题
16．（2022八下·香洲期末）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
17．（2023八上·织金期中）在中，的对边分别用来表示，且满足，试判断的形状．
18．（2023八上·渠县月考） 如图，A、B两个村在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B俩村供水，铺设水管的费用为每千米1万，请你在河流CD上选择水厂的位置P，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
19．（2023八上·瑞昌期中）如图，一架25m长的梯子（AC）斜靠在与地面（OA）垂直的墙（OC）上，梯子底端离墙7m.
（1）这架梯子的顶端距离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
20．（2023八上·太原期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米.请根据他们的操作过程，求出，两点间的距离.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可得：A：即故A能组成直角三角形，符合题意；
B：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
C：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
D：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理逆定理直接求证即可.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，不能作为直角三角形的三边，故符合题意；
B.，能作为直角三角形的三边，故不符合题意；
C.，能作为直角三角形的三边，故不符合题意；
D.，能作为直角三角形的三边，故不符合题意；
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项分析判断，即可求解．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得：直角三角形的斜边长为2.5m，一直角边为1.5m，
∴另一直角边为=2米，
∴ 梯子可以达到建筑物的高度是2米.
故答案为：A.
【分析】由题意知：梯子和建筑物之间可构成直角三角形，利用勾股定理计算即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：∵ ，
∴∠A=180°×=30°，∠B=180°×=72°，∠C=78°，
∴△ABC不是直角三角形.
∴A符合题意.
B：∵ ，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°，△ABC是直角三角形.
∴B不合题意.
C：∵
∴c2+b2=a2，
∴△ABC是直角三角形，C不合题意.
D：∵，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形，D不合题意.
故答案为：A.
【分析】A：根据内角和定理计算出三角形三个内角即可判断.
B：根据内角和定理及已知条件计算出∠B即可.
C，D：根据勾股定理的逆定理即可判断三角形形状.
5．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A：62+82=100，122=144，62+82≠122，故不是勾股数，A错误；
B：0.6、0.8不属于正整数，故A错误；
C：82+152=289，162=256，82+152≠162，故不是勾股数，C错误；
D：92+122=225=152，故是勾股数，D正确.
故答案为：D.
【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.
6．【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图所示，圆柱展开，侧面是矩形，长为圆柱底面周长，宽为圆柱高
∴ 矩形长CD=4 π ，
∵蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B ，
∴ CB=2π
∴ 蚂蚁爬行路线的最短路径=
故答案为A
【分析】本题考查平面展开--最短路径问题。将圆柱展开，根据两点之间线段最短，由勾股定理可得。
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时，
∵AC2=AB2+BC2=25，
∴，
∴GJ的最小值为，
故答案为：A.
【分析】先证出当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时，再将数据代入求解即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：这两个正方形的面积和=
故答案为：B.
【分析】根据两个正方形的面积和=再由勾股定理即可求解.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①由题意可得：
∵
∴
∴
∴△ABC为直角三角形，①正确
②∵a：b：c＝3：4：5
∴设a=3x，b=4x，c=5x
∵，即
∴△ABC为直角三角形，②正确
③∵a2＝c2﹣b2
∴
∴△ABC为直角三角形，③正确
④∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3
∴设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x
∵，即x+2x+3x=180°
解得：x=30°
∴∠C=90°
∴△ABC为直角三角形，④正确
⑤∵a+b=c
∴不能构成三角形，⑤错误
⑥∵，即
∴△ABC不是直角三角形，⑥错误
故答案为：C
【分析】根据三角形内角和定理可判断①④正确，根据勾股定理的逆定理可判断②③正确，⑥错误，根据三角形三边关系可判断⑤错误.
10．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，结合题意知道：
则在中，由勾股定理可得：
所以
所以
所以
所以 点E对应的实数是.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得利用勾股定理可算得再根据线段的计算，得，即可求出点E坐标.
11．【答案】13
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：展开图如图，
由题意可得在Rt△ADB中，AD=12cm，BD=5cm，
蚂蚁爬行的最短路径长为
故答案为：13.
【分析】现将长方体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可求解.
12．【答案】14
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：BC=3cm，AB=5cm，∠ACB=90°，
∴AC=，
∴地毯的长为4+3=7cm，
∵地毯的宽为2m，
∴地毯的面积=2×7=14m2，
故答案为：14.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出地毯的长，最后利用长方形的面积公式求解即可.
13．【答案】45°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，由题意可得：
，，
∵，即
∴△ABC为等腰直角三角形
∴
故答案为：45°
【分析】连接AC，根据正方形性质结合勾股定理可求出三角形三边长，再根据勾股定理点逆定理可判断△ABC为等腰直角三角形，即可求出答案.
14．【答案】（ ，3）
【知识点】点的坐标；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB=∠B=30°，∴AB=OA=2，∠BAD=60°，∴AD=1，BD=，∴OD=OA+AD=3，∴B（3，），将 △AOB绕点O逆时针旋转90° ，点B的对应点B'，∴B'C=BD=，OC=AD=3，∴B'坐标为（）
【分析】过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，根据题意可知B（3，），进而可知点B的对应点B'的坐标。
15．【答案】17
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图所示，将圆柱的侧面展开，
根据题意可得：∠ACB=90°，AA'=16，BC=20，
∴AC=A'C=AA'=8，
∵，
∴PC=×20=15，
在Rt△APC中，，
故答案为：17.
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AP的长即可.
16．【答案】解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺，
∴EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺，
在Rt△OEB中，OE=（x-4）尺，OB=x尺，EB=10尺，
根据勾股定理得：x2=（x-4）2+102，
整理得：8x=116，即2x=29，
解得：x=14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先求出 EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺， 再利用勾股定理计算求解即可。
17．【答案】解：因为，且，
所以，
即，
因为，
所以是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】先根据偶次方、绝对值的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理进行判断即可求解.
18．【答案】解：50万元
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于CD的对称点M，连接BM交CD于一点P，此时沿APPB铺设水管最短，最小值为BM的长，且费用最低，
则MC=AC=DN=10千米，MN=CD=30千米，
∴BN=BD+DN=30+10=40千米，
∴BM==50千米，
总费用为50×1=50万元.
【分析】作点A关于CD的对称点M，连接BM交CD于一点P，则AP=MP，此时沿APPB铺设水管最短，最小值为BM的长，且费用最低.
19．【答案】（1）解：在Rt△AOC中，AC=25m，AO=7m，
所以CO==24（m）.
答：这架梯子的顶端距离地面有24m高。
（2）解：因为OD=CO-CD=24-4=20（m），
在Rt△BOD中，BD=AC=25m，
所以BO==15（m）
所以AB=BO-AO=8（m）.
答：梯子的底端在水平方向滑动了8m。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】(1) 在Rt△AOC中， 由题意易得AC=25m，OA=7m，接着根据勾股定理进行求解即可；
(2)由 OD=CO-CD得OD=20m，在Rt△BOD中， 根据勾股定理可进行求解.
20．【答案】解：米，米，米，
，，
，
是直角三角形，其中
.
米，
在中，由勾股定理得，
米
答：，两点间的距离为15米.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，再利用勾股定理求出AB的长即可.
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时基础练习 17.2勾股定理逆定理
一、选择题
1．（2023八上·织金期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四条线段，其中能组成直角三角形三边的一组线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可得：A：即故A能组成直角三角形，符合题意；
B：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
C：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
D：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理逆定理直接求证即可.
2．（2023八上·瑞昌月考）下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．9，12，15
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，不能作为直角三角形的三边，故符合题意；
B.，能作为直角三角形的三边，故不符合题意；
C.，能作为直角三角形的三边，故不符合题意；
D.，能作为直角三角形的三边，故不符合题意；
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项分析判断，即可求解．
3．（2023八上·渠县月考） 如果梯子的底端离建筑物1.5米，2.5米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A．2米 B．2.5米 C．3米 D．3. 5米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得：直角三角形的斜边长为2.5m，一直角边为1.5m，
∴另一直角边为=2米，
∴ 梯子可以达到建筑物的高度是2米.
故答案为：A.
【分析】由题意知：梯子和建筑物之间可构成直角三角形，利用勾股定理计算即可.
4．（2023八上·兴县期中）满足下列条件的，不是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：∵ ，
∴∠A=180°×=30°，∠B=180°×=72°，∠C=78°，
∴△ABC不是直角三角形.
∴A符合题意.
B：∵ ，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°，△ABC是直角三角形.
∴B不合题意.
C：∵
∴c2+b2=a2，
∴△ABC是直角三角形，C不合题意.
D：∵，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形，D不合题意.
故答案为：A.
【分析】A：根据内角和定理计算出三角形三个内角即可判断.
B：根据内角和定理及已知条件计算出∠B即可.
C，D：根据勾股定理的逆定理即可判断三角形形状.
5．（2023八下·海城期中）下列图各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，12 B．0.6，0.8，1 C．8，15，16 D．9，12，15
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A：62+82=100，122=144，62+82≠122，故不是勾股数，A错误；
B：0.6、0.8不属于正整数，故A错误；
C：82+152=289，162=256，82+152≠162，故不是勾股数，C错误；
D：92+122=225=152，故是勾股数，D正确.
故答案为：D.
【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.
6．（2022八上·郓城月考）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（ ）
A．6cm B．6cm C．2cm D．10cm
【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图所示，圆柱展开，侧面是矩形，长为圆柱底面周长，宽为圆柱高
∴ 矩形长CD=4 π ，
∵蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B ，
∴ CB=2π
∴ 蚂蚁爬行路线的最短路径=
故答案为A
【分析】本题考查平面展开--最短路径问题。将圆柱展开，根据两点之间线段最短，由勾股定理可得。
7．（2023八上·埇桥期中）如图，在长方体盒子中，，，，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触.当木棒的端点I在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）
A． B．3cm C． D．5cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时，
∵AC2=AB2+BC2=25，
∴，
∴GJ的最小值为，
故答案为：A.
【分析】先证出当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时，再将数据代入求解即可.
8．（2022八上·运城月考）如图，在△ABC中，，，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．6 B．36 C．16 D．49
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：这两个正方形的面积和=
故答案为：B.
【分析】根据两个正方形的面积和=再由勾股定理即可求解.
9．（2023八上·兰州期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，根据以下条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5；③a2＝c2﹣b2；④∠A：∠B：∠C＝1：2：3；⑤a＝32，b＝42，c＝52； ⑥a＝，b＝，c＝．能判定△ABC为直角三角形的有（ ）
A．①②③⑤ B．②③④⑤
C．①②③④ D．①②③④⑤⑥
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①由题意可得：
∵
∴
∴
∴△ABC为直角三角形，①正确
②∵a：b：c＝3：4：5
∴设a=3x，b=4x，c=5x
∵，即
∴△ABC为直角三角形，②正确
③∵a2＝c2﹣b2
∴
∴△ABC为直角三角形，③正确
④∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3
∴设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x
∵，即x+2x+3x=180°
解得：x=30°
∴∠C=90°
∴△ABC为直角三角形，④正确
⑤∵a+b=c
∴不能构成三角形，⑤错误
⑥∵，即
∴△ABC不是直角三角形，⑥错误
故答案为：C
【分析】根据三角形内角和定理可判断①④正确，根据勾股定理的逆定理可判断②③正确，⑥错误，根据三角形三边关系可判断⑤错误.
10．（2023·期中）如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1．过点B作BC⊥AB，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ）
A．-1 B． C． D．-1
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，结合题意知道：
则在中，由勾股定理可得：
所以
所以
所以
所以 点E对应的实数是.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得利用勾股定理可算得再根据线段的计算，得，即可求出点E坐标.
二、填空题
11．（2023八上·织金期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，如果一只蚂蚁从点开始经过四个侧面爬行一圈到达点，那么蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
【答案】13
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：展开图如图，
由题意可得在Rt△ADB中，AD=12cm，BD=5cm，
蚂蚁爬行的最短路径长为
故答案为：13.
【分析】现将长方体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可求解.
12．（2023八上·埇桥期中）如图，在高，斜坡长，宽为2m的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要 .
【答案】14
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：BC=3cm，AB=5cm，∠ACB=90°，
∴AC=，
∴地毯的长为4+3=7cm，
∵地毯的宽为2m，
∴地毯的面积=2×7=14m2，
故答案为：14.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出地毯的长，最后利用长方形的面积公式求解即可.
13．（2023八上·兰州期中）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为 ．
【答案】45°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，由题意可得：
，，
∵，即
∴△ABC为等腰直角三角形
∴
故答案为：45°
【分析】连接AC，根据正方形性质结合勾股定理可求出三角形三边长，再根据勾股定理点逆定理可判断△ABC为等腰直角三角形，即可求出答案.
14．（2020八上·深圳期中）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是
【答案】（ ，3）
【知识点】点的坐标；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB=∠B=30°，∴AB=OA=2，∠BAD=60°，∴AD=1，BD=，∴OD=OA+AD=3，∴B（3，），将 △AOB绕点O逆时针旋转90° ，点B的对应点B'，∴B'C=BD=，OC=AD=3，∴B'坐标为（）
【分析】过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，根据题意可知B（3，），进而可知点B的对应点B'的坐标。
15．（2023七上·莱芜期中）如图，圆柱形玻璃杯，底面周长为16cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上的一点，且BC＝20cm，，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为 cm．
【答案】17
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图所示，将圆柱的侧面展开，
根据题意可得：∠ACB=90°，AA'=16，BC=20，
∴AC=A'C=AA'=8，
∵，
∴PC=×20=15，
在Rt△APC中，，
故答案为：17.
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AP的长即可.
三、解答题
16．（2022八下·香洲期末）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
【答案】解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺，
∴EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺，
在Rt△OEB中，OE=（x-4）尺，OB=x尺，EB=10尺，
根据勾股定理得：x2=（x-4）2+102，
整理得：8x=116，即2x=29，
解得：x=14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先求出 EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺， 再利用勾股定理计算求解即可。
17．（2023八上·织金期中）在中，的对边分别用来表示，且满足，试判断的形状．
【答案】解：因为，且，
所以，
即，
因为，
所以是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】先根据偶次方、绝对值的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理进行判断即可求解.
18．（2023八上·渠县月考） 如图，A、B两个村在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B俩村供水，铺设水管的费用为每千米1万，请你在河流CD上选择水厂的位置P，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
【答案】解：50万元
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于CD的对称点M，连接BM交CD于一点P，此时沿APPB铺设水管最短，最小值为BM的长，且费用最低，
则MC=AC=DN=10千米，MN=CD=30千米，
∴BN=BD+DN=30+10=40千米，
∴BM==50千米，
总费用为50×1=50万元.
【分析】作点A关于CD的对称点M，连接BM交CD于一点P，则AP=MP，此时沿APPB铺设水管最短，最小值为BM的长，且费用最低.
19．（2023八上·瑞昌期中）如图，一架25m长的梯子（AC）斜靠在与地面（OA）垂直的墙（OC）上，梯子底端离墙7m.
（1）这架梯子的顶端距离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
【答案】（1）解：在Rt△AOC中，AC=25m，AO=7m，
所以CO==24（m）.
答：这架梯子的顶端距离地面有24m高。
（2）解：因为OD=CO-CD=24-4=20（m），
在Rt△BOD中，BD=AC=25m，
所以BO==15（m）
所以AB=BO-AO=8（m）.
答：梯子的底端在水平方向滑动了8m。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】(1) 在Rt△AOC中， 由题意易得AC=25m，OA=7m，接着根据勾股定理进行求解即可；
(2)由 OD=CO-CD得OD=20m，在Rt△BOD中， 根据勾股定理可进行求解.
20．（2023八上·太原期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米.请根据他们的操作过程，求出，两点间的距离.
【答案】解：米，米，米，
，，
，
是直角三角形，其中
.
米，
在中，由勾股定理得，
米
答：，两点间的距离为15米.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，再利用勾股定理求出AB的长即可.
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