人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 17.2勾股定理逆定理
一、选择题
1．（2023八下·香河期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
解：PA+PB=
取B点关于X轴的对称点B’(2，-1)，连接AB’交X轴于P，则PB’=PB，
∴PA+PB=PA+PB’=AB’，此时PA+PB的值最小，即的值最小。
∵AB’=
∴的最小值是5 。
【分析】
给出的代数式可以看作是两条线段的长度和，即PA+PB，求出PA+PB的最小值也就求出了代数式的最小值。
求PA+PB最小值时，可先取B关于X轴的对称点B‘ ，连接AB’，求出AB’的值即可。
2．（2023八下·大同期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．若，，，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．12
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：蚂蚁沿着木柜表面经过线段爬过的路径长为，
蚂蚁沿着木柜表面经过线段B爬过的路径的长为，
∴最短路径选A
故答案为：A
【分析】考虑立体几何中路径问题，要会拆图，并找到对应线段。
3．（2023八下·旌阳期中）在边长为12的正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，将沿线段AE翻折得到，延长AF交BC边于点N，连接EN，延长EF交BC边于点G，其中，连接DF并延长交BC边于点K，连接EK，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形三边关系；三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理的应用；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解： ① 由题意可得，DE=EF，
所以三角形DEF为等腰三角形
因为EA平分角DEF
所以
故 ① 正确
② 因为EC=EF，
所以
故②正确
③ 由 ① ，
所以
因为AD=DC，
所以
所以DE=CK，三角形ECK为等腰直角三角形
即
故③ 正确
④ 由②可知，NC=NF，设NC=NF=x
所以 ，即
解得x=3
即AN=15
故④错误
⑤ 由题意可得BN=GF=4，由③ 得出GK=2
所以
故⑤正确
综上所述，正确的有4个，
故答案为：D
【分析】① 等腰三角形中，角平分线垂直第三边
②两三角形中，对应的边边角相等，则两三角形全等
③ 两三角形中，对应的角边角相等，则两三角形全等，可求出CK=DE=6，三角形ECK为等腰直角三角形，则斜角 。
④在直角三角形ABN中，利用勾股定理可求出AN的长度
⑤解此类题目时，找出三角形对应的底和高，求出长度，算出面积。
4．（2020八下·临汾月考）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。
由勾股定理得c2=a2+b2，
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，
较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a，
则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)，
∴知道图中阴影部分的面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。
【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。由勾股定理得c2=a2+b2，
然后根据正方形和长方形的面积公式计算即可。
5．如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．9cm
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是
三种情况比较而言，第二种情况最短．
所以选C．
【点评】此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段
6．一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一轮船以12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ）
A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×3=48，12×3=36海里，
根据勾股定理得：=60（海里）．
故选C．
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
7．（2021八下·庆云期中）下列命题：
①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：①正确，∵a2+b2=c2，∴（4a）2+（4b）2=（4c）2，
②错误，应为“如果直角三角形的两直角边是3，4，那么斜边必是5”
③错误，∵122+212≠252，∴不是直角三角形；
④正确，∵b=c，c2+b2=2b2=a2，∴a2：b2：c2=2：1：1，
故选C．
【分析】本题主要依据勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形．
8．（2016八下·云梦期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得： =13．
即a的取值范围是12≤a≤13．
故选：A．
【分析】最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．
9．（2015八下·金平期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，
在Rt△AEC中，AC= =10m，
故选B．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
10．（2017八下·宝坻期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（ ）
A．20 B．25 C．20 D．25
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：展开图为：
则AC=20dm，BC=3×3+2×3=15dm，
在Rt△ABC中，AB= dm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为25dm．
故选D
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
二、填空题
11．（2023八下·武威期末）如图，在 中，，，分别以 ， 为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为 ，，则 的值为
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】∵，又，则，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】分别表示出 ，根据勾股定理可得，进而即可求解．
12．（2023八下·九龙期中）如图，在正方形中，，M是边上的一点，连接，．将沿对折至，连接，则的长是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接AN交BN于点O，过点N作NH垂直AD于点H，如图
由题意可得：
由折叠可知：
，解得：，则
故答案为：
【分析】连接AN交BN于点O，过点N作NH垂直AD于点H，利用折叠性质，三角形面积公式以及直角三角形勾股定理即可求出答案。
13．（2017八下·孝义期中）如图，正方形ABCD，AC、BD交于点O，点E、F分别在AB、BC上，且∠EOF=90°，则下列结论①AE=BF，②OE=OF，③BE+BF=AD，④AE2+CF2=2OE2中正确的有 （只写序号）
【答案】①②③④
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图延长FO交AD于H，连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，OA=OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，AC⊥BD，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
在△EOB和△FOC中，
，
∴△EOB≌△FOC，
∴BE=CF，OE=OF，
∵AB=BC，
∴AE=BF，
∴BE+BF=BF+CF=BC=AD，故①②③正确，
在△AOH和△COF中，
，
∴△AOH≌△COF，
∴AH=CF，OH=OE=OF，
∴△EOH是等腰直角三角形，
∴EH= OE，
在Rt△AEH中，
AE2+AH2=EH2，
∴AE2+CF2=2OE2，故④正确．
故答案为①②③④．
【分析】如图延长FO交AD于H，连接EH．首先证明△EOB≌△FOC，推出BE=CF，OE=OF，由AB=BC，推出AE=BF，BE+BF=BF+CF=BC=AD，故①②③正确，再证明△AOH≌△COF，推出AH=CF，OH=OE=OF，推出△EOH是等腰直角三角形，推出EH= OE，在Rt△AEH中，根据AE2+AH2=EH2，推出AE2+CF2=2OE2，故④正确．
14．（2017八下·朝阳期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为 丈（ 丈 尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是 尺，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设由题意可得： ．
故答案为： ．
【分析】本题的关键是要理解正中、如何拉向岸边等含义，正中表示芦苇垂直水面，拉向岸边，只能斜拉，因此正好构成一个以池深和池宽的一半为直角边及芦苇长度为斜边的直角三角形。
15．（2019八下·铜仁期中）如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm、30cm、60cm，一只蚂蚁从点A处沿着纸箱的表面爬到点B处.蚂蚁爬行的最短路程为 cm.
【答案】100
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是90cm和50cm，
则所走的最短线段AB= =10 cm；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是110cm和30cm，
所以走的最短线段AB= =10 cm；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是80cm和60cm，
所以走的最短线段AB= =100cm；
三种情况比较而言，第三种情况最短.
故答案为：100cm.
【分析】立体图表面的最短问题，一般需要将其表面展开成平面图形，转化为平面图形上两点间的距离的情况，从而得出蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，再比大小即可得出结论。
三、解答题
16．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第18章 勾股定理 单元检测）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据： =1.41， =1.73）
【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠CDB=75°，∴∠CBD=15°，∠EBD=15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，∵ ，∴△CBD≌△EBD，∴CD=DE，在Rt△ADE中，∠A=60°，∴∠ADE=30°，AD=40米，则AE= AD=20米，∴DE= =20 米，∴AC=AD+CD=AD+DE=（40+20 ）米，在Rt△ABC中，∵∠A=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=80+40 ，∴BC= =（40 +60）米，则速度= =4 +6≈12.92米/秒，∵12.92米/秒=46.512千米/小时，∴该车没有超速．
【知识点】全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意由AAS得到△CBD≌△EBD，得到对应边CD=DE，根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AE的值，再根据勾股定理求出DE的值，得到AC=AD+CD=AD+DE的值，求出该车速度，得到该车没有超速．
17．（新人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理 同步训练）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A，B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120nmile，乙巡逻艇每小时航行50nmile，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向是多少？
【答案】AC=120× =12(nmile)，BC=50× =5(nmile)，又因为AB=13nmile，所以AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，由∠CBA=50°，知∠CAB=40°，所以甲巡逻艇的航向为北偏东50°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】正确运用勾股定理的逆定理进行直角三角形的判定，从而根据已知条件求出直角三角形中两个锐角的度数是本题的基本思路.
18．（2023八下·岑溪期末）如图所示，一个梯子长2.5米，顶端靠墙上，这时梯子下端与墙角的距离为1.5米，梯子滑动后停在上的位置上，如图，测得的长0.5米，求梯子顶端下落了多少米？
【答案】解：∵在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，
∴AC= ==2米
∵Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）=2米
∴EC===1.5米
∴AE=AC-CE=2-1.5=0.5米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC=2米，在Rt△ECD中，由勾股定理求出EC=1.5米，利用AE=AC-CE即可求解.
四、综合题
19．（2023八下·达川期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ；
②（十字相乘法） ；
（2）已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：（1）①原式=a（b-1）-（b-1）= ；
②原式= ；
故答案为：，；
【分析】（1）①先分组，再利用提公因式法分解即可；
②利用十字相乘法分解即可；
（2）先移项再分组得 ， 即得 ， 根据偶次幂的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
20．（新人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理 同步训练）请完成下列题目：
（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°.
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明
【答案】（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形；
∴BP=PQ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°
（2）PA2+2PB2=PC2；理由如下：
同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ= PB，即PQ2=2PB2；
由旋转的性质知：PA=QC；
在△PQC中，若∠PQC=90°，则PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2；
故当PA2+2PB2=PC2时，∠PQC=90°.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】①由旋转的性质可得到的条件是：①BP=BQ、PA=QC，②∠ABP=∠CBQ；
由②可证得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°，联立BP=BQ，即可得到△BPQ是等边三角形的结论，则BP=PQ；将等量线段代换后，即可得出PQ2+QC2=PC2，由此可证得∠PQC=90°；
②由（1）的解题思路知：△PBQ是等腰Rt△，则PQ2=2PB2，其余过程同（1），只不过所得结论稍有不同．此题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用等知识，能够正确的判断出△BPQ的形状，从而得到BP、PQ的数量关系，是解答此题的关键
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 17.2勾股定理逆定理
一、选择题
1．（2023八下·香河期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
2．（2023八下·大同期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．若，，，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．12
3．（2023八下·旌阳期中）在边长为12的正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，将沿线段AE翻折得到，延长AF交BC边于点N，连接EN，延长EF交BC边于点G，其中，连接DF并延长交BC边于点K，连接EK，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2020八下·临汾月考）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
5．如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．9cm
6．一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一轮船以12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ）
A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里
7．（2021八下·庆云期中）下列命题：
①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8．（2016八下·云梦期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
9．（2015八下·金平期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
10．（2017八下·宝坻期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（ ）
A．20 B．25 C．20 D．25
二、填空题
11．（2023八下·武威期末）如图，在 中，，，分别以 ， 为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为 ，，则 的值为
12．（2023八下·九龙期中）如图，在正方形中，，M是边上的一点，连接，．将沿对折至，连接，则的长是 ．
13．（2017八下·孝义期中）如图，正方形ABCD，AC、BD交于点O，点E、F分别在AB、BC上，且∠EOF=90°，则下列结论①AE=BF，②OE=OF，③BE+BF=AD，④AE2+CF2=2OE2中正确的有 （只写序号）
14．（2017八下·朝阳期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为 丈（ 丈 尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是 尺，根据题意，可列方程为 ．
15．（2019八下·铜仁期中）如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm、30cm、60cm，一只蚂蚁从点A处沿着纸箱的表面爬到点B处.蚂蚁爬行的最短路程为 cm.
三、解答题
16．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第18章 勾股定理 单元检测）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据： =1.41， =1.73）
17．（新人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理 同步训练）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A，B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120nmile，乙巡逻艇每小时航行50nmile，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向是多少？
18．（2023八下·岑溪期末）如图所示，一个梯子长2.5米，顶端靠墙上，这时梯子下端与墙角的距离为1.5米，梯子滑动后停在上的位置上，如图，测得的长0.5米，求梯子顶端下落了多少米？
四、综合题
19．（2023八下·达川期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ；
②（十字相乘法） ；
（2）已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
20．（新人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理 同步训练）请完成下列题目：
（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°.
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
解：PA+PB=
取B点关于X轴的对称点B’(2，-1)，连接AB’交X轴于P，则PB’=PB，
∴PA+PB=PA+PB’=AB’，此时PA+PB的值最小，即的值最小。
∵AB’=
∴的最小值是5 。
【分析】
给出的代数式可以看作是两条线段的长度和，即PA+PB，求出PA+PB的最小值也就求出了代数式的最小值。
求PA+PB最小值时，可先取B关于X轴的对称点B‘ ，连接AB’，求出AB’的值即可。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：蚂蚁沿着木柜表面经过线段爬过的路径长为，
蚂蚁沿着木柜表面经过线段B爬过的路径的长为，
∴最短路径选A
故答案为：A
【分析】考虑立体几何中路径问题，要会拆图，并找到对应线段。
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形三边关系；三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理的应用；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解： ① 由题意可得，DE=EF，
所以三角形DEF为等腰三角形
因为EA平分角DEF
所以
故 ① 正确
② 因为EC=EF，
所以
故②正确
③ 由 ① ，
所以
因为AD=DC，
所以
所以DE=CK，三角形ECK为等腰直角三角形
即
故③ 正确
④ 由②可知，NC=NF，设NC=NF=x
所以 ，即
解得x=3
即AN=15
故④错误
⑤ 由题意可得BN=GF=4，由③ 得出GK=2
所以
故⑤正确
综上所述，正确的有4个，
故答案为：D
【分析】① 等腰三角形中，角平分线垂直第三边
②两三角形中，对应的边边角相等，则两三角形全等
③ 两三角形中，对应的角边角相等，则两三角形全等，可求出CK=DE=6，三角形ECK为等腰直角三角形，则斜角 。
④在直角三角形ABN中，利用勾股定理可求出AN的长度
⑤解此类题目时，找出三角形对应的底和高，求出长度，算出面积。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。
由勾股定理得c2=a2+b2，
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，
较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a，
则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)，
∴知道图中阴影部分的面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。
【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。由勾股定理得c2=a2+b2，
然后根据正方形和长方形的面积公式计算即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是
三种情况比较而言，第二种情况最短．
所以选C．
【点评】此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×3=48，12×3=36海里，
根据勾股定理得：=60（海里）．
故选C．
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：①正确，∵a2+b2=c2，∴（4a）2+（4b）2=（4c）2，
②错误，应为“如果直角三角形的两直角边是3，4，那么斜边必是5”
③错误，∵122+212≠252，∴不是直角三角形；
④正确，∵b=c，c2+b2=2b2=a2，∴a2：b2：c2=2：1：1，
故选C．
【分析】本题主要依据勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形．
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得： =13．
即a的取值范围是12≤a≤13．
故选：A．
【分析】最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，
在Rt△AEC中，AC= =10m，
故选B．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：展开图为：
则AC=20dm，BC=3×3+2×3=15dm，
在Rt△ABC中，AB= dm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为25dm．
故选D
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
11．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】∵，又，则，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】分别表示出 ，根据勾股定理可得，进而即可求解．
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接AN交BN于点O，过点N作NH垂直AD于点H，如图
由题意可得：
由折叠可知：
，解得：，则
故答案为：
【分析】连接AN交BN于点O，过点N作NH垂直AD于点H，利用折叠性质，三角形面积公式以及直角三角形勾股定理即可求出答案。
13．【答案】①②③④
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图延长FO交AD于H，连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，OA=OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，AC⊥BD，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
在△EOB和△FOC中，
，
∴△EOB≌△FOC，
∴BE=CF，OE=OF，
∵AB=BC，
∴AE=BF，
∴BE+BF=BF+CF=BC=AD，故①②③正确，
在△AOH和△COF中，
，
∴△AOH≌△COF，
∴AH=CF，OH=OE=OF，
∴△EOH是等腰直角三角形，
∴EH= OE，
在Rt△AEH中，
AE2+AH2=EH2，
∴AE2+CF2=2OE2，故④正确．
故答案为①②③④．
【分析】如图延长FO交AD于H，连接EH．首先证明△EOB≌△FOC，推出BE=CF，OE=OF，由AB=BC，推出AE=BF，BE+BF=BF+CF=BC=AD，故①②③正确，再证明△AOH≌△COF，推出AH=CF，OH=OE=OF，推出△EOH是等腰直角三角形，推出EH= OE，在Rt△AEH中，根据AE2+AH2=EH2，推出AE2+CF2=2OE2，故④正确．
14．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设由题意可得： ．
故答案为： ．
【分析】本题的关键是要理解正中、如何拉向岸边等含义，正中表示芦苇垂直水面，拉向岸边，只能斜拉，因此正好构成一个以池深和池宽的一半为直角边及芦苇长度为斜边的直角三角形。
15．【答案】100
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是90cm和50cm，
则所走的最短线段AB= =10 cm；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是110cm和30cm，
所以走的最短线段AB= =10 cm；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是80cm和60cm，
所以走的最短线段AB= =100cm；
三种情况比较而言，第三种情况最短.
故答案为：100cm.
【分析】立体图表面的最短问题，一般需要将其表面展开成平面图形，转化为平面图形上两点间的距离的情况，从而得出蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，再比大小即可得出结论。
16．【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠CDB=75°，∴∠CBD=15°，∠EBD=15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，∵ ，∴△CBD≌△EBD，∴CD=DE，在Rt△ADE中，∠A=60°，∴∠ADE=30°，AD=40米，则AE= AD=20米，∴DE= =20 米，∴AC=AD+CD=AD+DE=（40+20 ）米，在Rt△ABC中，∵∠A=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=80+40 ，∴BC= =（40 +60）米，则速度= =4 +6≈12.92米/秒，∵12.92米/秒=46.512千米/小时，∴该车没有超速．
【知识点】全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意由AAS得到△CBD≌△EBD，得到对应边CD=DE，根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AE的值，再根据勾股定理求出DE的值，得到AC=AD+CD=AD+DE的值，求出该车速度，得到该车没有超速．
17．【答案】AC=120× =12(nmile)，BC=50× =5(nmile)，又因为AB=13nmile，所以AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，由∠CBA=50°，知∠CAB=40°，所以甲巡逻艇的航向为北偏东50°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】正确运用勾股定理的逆定理进行直角三角形的判定，从而根据已知条件求出直角三角形中两个锐角的度数是本题的基本思路.
18．【答案】解：∵在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，
∴AC= ==2米
∵Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）=2米
∴EC===1.5米
∴AE=AC-CE=2-1.5=0.5米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC=2米，在Rt△ECD中，由勾股定理求出EC=1.5米，利用AE=AC-CE即可求解.
19．【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：（1）①原式=a（b-1）-（b-1）= ；
②原式= ；
故答案为：，；
【分析】（1）①先分组，再利用提公因式法分解即可；
②利用十字相乘法分解即可；
（2）先移项再分组得 ， 即得 ， 根据偶次幂的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
20．【答案】（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形；
∴BP=PQ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°
（2）PA2+2PB2=PC2；理由如下：
同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ= PB，即PQ2=2PB2；
由旋转的性质知：PA=QC；
在△PQC中，若∠PQC=90°，则PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2；
故当PA2+2PB2=PC2时，∠PQC=90°.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】①由旋转的性质可得到的条件是：①BP=BQ、PA=QC，②∠ABP=∠CBQ；
由②可证得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°，联立BP=BQ，即可得到△BPQ是等边三角形的结论，则BP=PQ；将等量线段代换后，即可得出PQ2+QC2=PC2，由此可证得∠PQC=90°；
②由（1）的解题思路知：△PBQ是等腰Rt△，则PQ2=2PB2，其余过程同（1），只不过所得结论稍有不同．此题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用等知识，能够正确的判断出△BPQ的形状，从而得到BP、PQ的数量关系，是解答此题的关键
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