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20.2《数据的集中趋势与离散程度-中位数与众数》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.理解中位数与众数的概念，并会求出一组数据的中位数和众数；
2.理解平均数、中位数和众数从不同角度反映数据的集中趋势，对它们加以比较，并掌握它们之间的区别；
3.会用样本平均数来估计总体状况.
学习重难点
重点：选择何种统计量来反映一组数据的集中趋势，怎样用样本平均数来估计总体状况；
难点：区别平均数、中位数与众数，理解它们是怎样从不同角度来反映数据的集中趋势.
学法指导
通过实例来理解平均数、中位数和众数，感悟三种反映数据集中趋势的统计量的意义.
学习过程
一、导学探究
知识点一：中位数
定义：将一组数据按________________________________________________________
__________________________________________叫做这组数据的中位数.
知识二：众数
定义：一组数据中，______________________________________叫做这组数据的众数；
二、问题情境
问题1：某公司对外宣传称员工的平均年薪为3万.经过调查，发现该公司全体员工年薪的具体情况如下表：
年薪/万元 12 9 6 4 3 2.5 2 1.5 1
员工人数 1 1 1 1 2 2 5 6 2
看了这张调查表，你认为该公司的宣传是否失实？3万元能代表该公司员工年薪的一般水平吗？
三、课内探究，交流学习
同伴交流
对于上述问题，你能说出自己的看法？
问题：1.什么叫做中位数？
2.什么叫做众数？
小组交流，合作探究：
在问题1中是用平均数、中位数，还是用众数来代表公司员工的一般水平更为合适？说说你的理由.
自主学习，合作交流
例1：8位评委对选手甲的评分情况如下：
9.0，9.0，9.2，9.8，8.8，9.2，9.5，9.2
求这组数据的中位数和众数.
解：将这8个数据按从小到大顺序排列，得：
8.8，9.0，9.0，9.2，9.2，9.2，9.5，9.8
其中正中间的两个数据是9.2，9.2，它 ( http: / / www.21cnjy.com )们的平均数也是9.2，即这组数据的中位数是9.2分.数据9.2出现的次数最多，所以这组数据的众数也是9.2分.
小组交流，合作探究：
问题2：巨星公司是以生产各种模具为主的大型 ( http: / / www.21cnjy.com )企业，公司销售部有营销员15人，销售部为了制定下一年度每位营销员的销售额，统计了这15人本年度的销售情况：
销售额/万元 330 280 150 40 30 20
营销员人数 1 1 2 6 4 1
（1）如果公司销售部把每位营销员的下一年度销售额定为平均数86万元，你认为是否合理？为什么？
（2）你认为销售额定为多少元比较合理？试说出你的理由.
思考：平均数、中位数、众数分别从哪些方面反映了一组数据的特点？
交流：
问题3：10位学生的鞋号由小到大是20，2 ( http: / / www.21cnjy.com )0，21，21，22，22，22，23，23，23.这组数据的3个集中趋势的统计量中最令鞋厂关注的是哪一个？最不感兴趣的又是哪一个？
练一练1：
1.一组数据的平均数、中位数和众数一定在这组数据中吗？举例说明.
2.某届世界杯足球赛结束后，球迷统计了全部(64场)比赛的进球情况.
进球数 0 1 2 3 4 5 6 7 8
场 数 3 15 20 11 8 4 1 1 1
求全部比赛进球数的中位数和众数
3.如图是N市某年12月1日至10日的最低气温图.
求这10天最低气温的平均数、中位数和众数.
4.小明在一次数学检测中得了80分，而全班同学这次检测的平均成绩为75分，因此小明认为他的成绩在全班属中等偏上，你同意他的看法吗？21世纪教育网版权所有
自主学习
问题3：某园艺场摘苹果，边 ( http: / / www.21cnjy.com )采摘，边装箱，共装了2000箱.苹果的市场收购价为4元/kg，现在要估计出这2000箱苹果的销售收入，我们可以怎样去做？
方法一：全面调查，就是一箱箱地称，再根据苹果的总质量估计这2000箱苹果的销售收入.
方法二：采用抽样的方法，该园艺场从中任意抽出了10箱苹果，称出它们的质量，得到如下数据:(单位：kg)2·1·c·n·j·y
16， 15， 16.5， 16.5， 15.5，
14.5， 14， 14， 14.5， 15.
算出它们的平均数：
把作为每箱的平均质量，由此估计这2000箱苹果的销售收入约为：
4×15.15×2000＝121200(元)
交流：
用这两种方法估计销售收入各有什么优、缺点？
例3：某单位共有280位员工参加了社会公益捐款活动，从中任意抽取了12位员工的捐款数额，记录如下：
捐款数额/元 30 50 80 100
员工人数 12 5 3 2
估计该单位的捐款总额.
解：这12位员工的捐款数额的平均数为：
62.5×280＝17500(元)
答：估计该单位的捐款总额约为17500元.
合作交流
某班45名学生的体重（单位：kg）数据如下：
47，48，42，61，50，45，44，46，51，
46，45，51，48，53，55，42，47，51，
49，49，52，46，52，57，49，48，57，
49，51，41，52，58，50，54，55，48，
56，54，60，44，53，61，54，50，62.
选第9列的数据作为样本，计算它的平均数；再选取3，6，9列共三列的数据作为样本，计算它的平均数，与总体的平均数相比较，你有什么发现？21教育网
练一练2：
1.为了解某小区居民7月份的用水情况，任意抽查了20户家庭的月用水量，结果如下：
月用水量/m3 10 12 13 14 15 16 17 18
户 数 3 5 2 3 3 2 1 1
如果该小区有200户家庭，估计该小区居民7月份的用水总量.
2.某家电商场今年7月15日至7月20 ( http: / / www.21cnjy.com )日，每天销售某种空调数量(单位：台)为：6，8，8，10，12，10.据此预测，下半年销售量可达到1656台，请问是怎样作出预测的？这种预测有道理吗？21cnjy.com
3.抽查某商场10月份7天的营业额 ( http: / / www.21cnjy.com )(单位：万元)，结果如下：3.0，3.1，2.9，3.0，3.4，3.2，3.5.试估计这个商场10月份的营业额(精确到0.01万元)21·cn·jy·com
4.6月5日是“世界环境日”，某校“绿色”小组进入明光社区进行一次有关“白色污染”方面的抽样调查，调查结果如下：www.21-cn-jy.com
每户居民平均每天丢弃废塑料袋/个 0 3 4 5 6
户数 2 9 28 16 5
如果该社区有500户居民，请你估计该社区居民每天要丢弃多少个废塑料袋？
（四）小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
参考答案
练一练1：
1.一组数据的平均数、中位数和众数一定在这组数据中吗？举例说明.
解：一组数据的平均数和中位数不一定在这组数据里，众数一定在这组数据中.
例如：一组数据从小到大排列后如下：
2，2，3，3，3，4，4，4，5，5
这组数据的平均数为3.5，中位数为3.5，众数为3和4，平均数和中位数均不在数据中，众数在数据中.
2.某届世界杯足球赛结束后，球迷统计了全部(64场)比赛的进球情况.
进球数 0 1 2 3 4 5 6 7 8
场 数 3 15 20 11 8 4 1 1 1
求全部比赛进球数的中位数和众数
解：进球数少于2的有18场，多于2的有26场，等于2的有20场，因此课判断中位数为2，进球数最多的为2球，有20场，所以众数为2.【来源：21·世纪·教育·网】
3.如图是N市某年12月1日至10日的最低气温图.
求这10天最低气温的平均数、中位数和众数.
解：平均数
将这组数据从小到大排列：－2，－1，0，0，0，1，1，2，3，4
中位数为0.5；
众数为0.
4.小明在一次数学检测中得了80分，而全班同学这次检测的平均成绩为75分，因此小明认为他的成绩在全班属中等偏上，你同意他的看法吗？21·世纪*教育网
解：成绩排位是从高分到低分，当成绩 ( http: / / www.21cnjy.com )排在中间时，成绩属于中等.因此，标准的中等水平是班里所有同学成绩的中位数，而不是平均数.小明的成绩为 80分，只能说他的成绩高于全班平均分，而其排位不一定在中位数前面，所以不一定属于中上水平.
练一练2：
1.为了解某小区居民7月份的用水情况，任意抽查了20户家庭的月用水量，结果如下：
月用水量/m3 10 12 13 14 15 16 17 18
户 数 3 5 2 3 3 2 1 1
如果该小区有200户家庭，估计该小区居民7月份的用水总量.
解：每户用水量的平均数为：
200户家庭的用水量约为13.5×200＝2700m3.
2.某家电商场今年7月15日至7月20日，每 ( http: / / www.21cnjy.com )天销售某种空调数量(单位：台)为：6，8，8，10，12，10.据此预测，下半年销售量可达到1656台，请问是怎样作出预测的？这种预测有道理吗？www-2-1-cnjy-com
解：用这几天销售量的平均数 ( http: / / www.21cnjy.com )乘以下半年的天数得到，这样预测没有道理，因为空调的销售量受天气的影响变化很大.且用来求平均数的天数过少，没有代表性.
3.抽查某商场10月份7 ( http: / / www.21cnjy.com )天的营业额(单位：万元)，结果如下：3.0，3.1，2.9，3.0，3.4，3.2，3.5.试估计这个商场10月份的营业额(精确到0.01万元).2-1-c-n-j-y
解：这7天营业额的平均数为：
10月份的营业额为：3.16×31＝97.87万元.
4.6月5日是“世界环境日”，某校“绿色”小组进入明光社区进行一次有关“白色污染”方面的抽样调查，调查结果如下： 21*cnjy*com
每户居民平均每天丢弃废塑料袋/个 0 3 4 5 6
户数 2 9 28 16 5
如果该社区有500户居民，请你估计该社区居民每天要丢弃多少个废塑料袋？
解：每户居民每天丢弃废塑料袋的的平均个数为：
500户居民每天丢弃塑料袋个数约为：4.15×500＝2075个.
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第二课时
数据的集中趋势－中位数与众数
温故而知新
1.算术平均数
2.加权平均数
3.平均数的意义
平均数是用来描述数据的集中趋势的特征量，
它反映了一组数据的整体平均状态.
导入
问题1：某公司对外宣传称员工的平均年薪为3万.经过
调查，发现该公司全体员工年薪的具体情况如下表：
年薪/万元 12 9 6 4 3 2.5 2 1.5 1
员工人数 1 1 1 1 2 2 5 6 2
看了这张调查表，你认为该公司的宣传是否失实？
3万元能代表该公司员工年薪的一般水平吗？
（2）中位数与众数
交流
从上表提供的数据中，你认为用什么量才能反映
该公司员工年薪的一般水平呢？
在公司的21名员工中，年薪不低于3万元的只有
6人，而低于3万元的却有15人，并且其中有13人不
超过2万元，8人不超过1.5万元，年薪1.5万元的人
数最多，为6人.
如果我们将上面的21个数据按大小顺序排列，不
难发现数据2万元处于中间位置，也就是说：
（1）年薪不低于2万元的人数不少于一半（13人）；
（2）年薪不高于2万元的人数也不少于一半（13人）.
中位数：
一般地，当将一组数据按大小顺序排列后，位于正
中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间
两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组
数据的中位数.
众数：
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
上组21个数据中，中位数、众数各是多少？
中位数是2万元
众数是1.5万元
中位数和众数也是刻画数据集中趋势的两种方法.
在问题1中是用平均数、中位数，还是用众数
来代表公司员工的一般水平更为合适？说说你的理
由.
用中位数代表公司员工年薪的一般水平更为合适.
因为对此公司而言，工资在2万元和1.5万元的员
工数都挺多，选用众数1.5万元不合适，所以选择中
位数.
典例分析
8位评委对选手甲的评分情况如下：
9.0，9.0，9.2，9.8，8.8，9.2，9.5，9.2
求这组数据的中位数和众数.
解：将这8个数据按从小到大顺序排列，得：
8.8，9.0，9.0，9.2，9.2，9.2，9.5，9.8
其中正中间的两个数据是9.2，9.2，它们的平均数
也是9.2，即这组数据的中位数是9.2分.
数据9.2出现的次数最多，所以这组数据的众数
也是9.2分.
问题2：巨星公司是以生产各种模具为主的大型企
业，公司销售部有营销员15人，销售部为了制定下一
年度每位营销员的销售额，统计了这15人本年度的销
售情况：
销售额/万元 330 280 150 40 30 20
营销员人数 1 1 2 6 4 1
（1）如果公司销售部把每位营销员的下一年度销售
额定为平均数86万元，你认为是否合理？为什么？
（2）你认为销售额定为多少元比较合理？试说出
你的理由.
同伴交流
感悟
我们看到，在上面的问题中，虽然86万元是这15个人
销售额的平均值，但是销售额超过86万元的只有4人，
还不到总人数的 ，绝大数人的销售额不到其一半（不
超过40万元）.可见，如果以平均值86万元作为下一年度
每位营销员的销售定额，将会大大超过绝大多数人的承
受能力，不利于调动多数营销员的积极性.
但是如果我们注意到40万元这个数据，就会发现：
（1）它是众数；
（2）它是中位数，销售额不小于它的人数为10人，
小于它的仅有5人.
因此，若将40万元定为下年度的销售额，则更加符
合大多数人的承受能力，有利于调动营销员的积极性.
思考
平均数、中位数、众数分别从哪些方面反映了一组
数据的特点？
平均数、中位数和众数都是反映数据集中趋势的统
计量，能从不同的角度提供信息.
平均数能充分利用数据提供的信息，它的使用最
为广泛，能刻画一组数据整体的平均状态，但不能反
映个体性质，易受极端值（即一组数据中与其余数据
差异很大的数据）的影响.
中位数代表了这组数据数值大小的“中点”，不易受
极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息.
众数反映一组数据中出现次数最多的数据，一组数
据中，众数可能不止一个，也可能没有.
我们已经看到，有时是平均数更能反映问题，有时
则是中位数或众数更能反映问题，总之，要根据具体问
题来选择刻画一组数据的集中趋势的统计量，选择的统
计量要能够更客观地反映实际背景.
10位学生的鞋号由小到大是20，20，21，21，22，
22，22，23，23，23.这组数据的3个集中趋势的统计量
中最令鞋厂关注的是哪一个？最不感兴趣的又是哪一
个？
解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故鞋厂最
感兴趣的是众数，而平均数是数据中的平均程度，
故是厂家不感兴趣的.
合作交流，共同提高
1.一组数据的平均数、中位数和众数一定在这组数据中吗？举例说明.
解：一组数据的平均数和中位数不一定在这组
数据里，众数一定在这组数据中.
例如：一组数据从小到大排列后如下：
2，2，3，3，3，4，4，4，5，5
这组数据的平均数为3.5，中位数为3.5，众数为3和4，平均数和中位数均不在数据中，众数在数据中.
2.某届世界杯足球赛结束后，球迷统计了全部(64场)比赛的进球情况.
进球数 0 1 2 3 4 5 6 7 8
场数 3 15 20 11 8 4 1 1 1
求全部比赛进球数的中位数和众数.
解：进球数少于2的有18场，多于2的有26场，
等于2的有20场，因此课判断中位数为2，进球
数最多的为2球，有20场，所以众数为2.
3.如图是N市某年12月1日至10日的最低气温图.
求这10天最低气温的平均数、中位数和众数.
平均数：
中位数：
将这组数据从小到大排列：
－2，－1，0，0，0，1，1，2，3，4
中位数为0.5
众数：0
解：
4.小明在一次数学检测中得了80分，而全班同学这次检测的平均成绩为75分，因此小明认为他的成绩在全班属中等偏上，你同意他的看法吗？
解：成绩排位是从高分到低分，当成绩排在中间时，成绩属于中等.因此，标准的中等水平是班里
所有同学成绩的中位数，而不是平均数.小明的成
绩为 80分，只能说他的成绩高于全班平均分，而
其排位不一定在中位数前面，所以不一定属于中
上水平.
用样本平均数来估计总体
问题3：某园艺场摘苹果，边采摘，边装箱，共装了
2000箱.苹果的市场收购价为4元/kg，现在要估计出这
2000箱苹果的销售收入，我们可以怎样去做？
方法一：全面调查，就是一箱箱地称，再根据苹果
的总质量估计这2000箱苹果的销售收入.
方法二：采用抽样的方法，该园艺场从中任意抽出
了10箱苹果，称出它们的质量，得到如下数据:
(单位：kg)
16， 15，16.5，16.5，15.5，
14.5，14，14， 14.5，15.
算出它们的平均数：
4×15.15×2000＝121200(元)
用这两种方法估计销售收入各有什么优、缺点？
交流：
用方法一可能相对来说要准确点，但工作量较大，
用方法二可能不太准确，但工作量较小.
把 作为每箱的平均质量，由此估计这2000箱苹果
的销售收入约为：
典例分析
例 某单位共有280位员工参加了社会公益捐款活动，
从中任意抽取了12位员工的捐款数额，记录如下：
捐款数额/元 30 50 80 100
员工人数 2 5 3 2
估计该单位的捐款总额.
解：这12位员工的捐款数额的平均数为：
62.5×280＝17500(元)
答：估计该单位的捐款总额约为17500元.
合作交流
某班45名学生的体重（单位：kg）数据如下：
47，48，42，61，50，45，44，46，51，
46，45，51，48，53，55，42，47，51，
49，49，52，46，52，57，49，48，57，
49，51，41，52，58，50，54，55，48，
56，54，60，44，53，61，54，50，62.
选第9列的数据作为样本，计算它的平均数；再选取
3，6，9列共三列的数据作为样本，计算它的平均数，
与总体的平均数相比较，你有什么发现？
用样本的平均数估计总体的平均数，如果样本容
量太小，往往差异较大.
练一练
1.为了解某小区居民7月份的用水情况，任意抽查了20户家庭的月用水量，结果如下：
用水量/m3 10 12 13 14 15 16 17 18
户数 3 5 2 3 3 2 1 1
如果该小区有200户家庭，估计该小区居民7月份的用水总量.
解：每户用水量的平均数为：
200户家庭的用水量约为13.5×200＝2700m3.
2.某家电商场今年7月15日至7月20日，每天销售某种空调数量(单位：台)为：
6，8，8，10，12，10.
据此预测，下半年销售量可达到1656台，请问是怎样作出预测的？这种预测有道理吗？
解：用这几天销售量的平均数乘以下半年的天数得
到，这样预测没有道理，因为空调的销售量受天气
的影响变化很大.且用来求平均数的天数过少，没有
代表性.
3.抽查某商场10月份7天的营业额(单位：万元)，结果如下：
3.0，3.1，2.9，3.0，3.4，3.2，3.5.
试估计这个商场10月份的营业额(精确到0.01万元).
解：这7天营业额的平均数为：
10月份的营业额为：3.16×31＝97.87万元.
4.6月5日是“世界环境日”，某校“绿色”小组进入明光社区进行一次有关“白色污染”方面的抽样调查，调查结果如下：
如果该社区有500户居民，请你估计该社区居民每天要丢弃多少个废塑料袋？
每户居民平均每天丢弃废塑料袋/个 0 3 4 5 6
户数 2 9 28 16 5
500户居民每天丢弃塑料袋个数约为：
4.15×500＝2075个.
解：每户居民每天丢弃废塑料袋的的平均个数为：
小结
1.平均数、中位数和众数都是用来刻画一组数据的
集中趋势的统计量，但它们又是从不同角度来刻
画数据的集中趋势的.
2.中位数：将一组数据按大小顺序排列后，位于中
间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中
间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）
叫做这组数据的中位数.
●中位数代表了一组数据数值大小的“中点”，不易
受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息.
3.众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这
组数据的众数.
众数反映一组数据中出现次数最多的数据，一组
数据中，众数可能不止一个，也可能没有.
4.用样本平均数来估计总体
将样本的平均数来作为总体的平均来计算总体情况，
但所抽取的样本不能太少，否则不能反映总体情况.
