广东省佛山市顺德区华侨中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含解析）

华侨中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
满分150分。考试用时120分钟。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则（ ）

A． B．
C． D．
3．给出以下命题：
①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直；
②直线的方向向量为，平面的法向量为，则；
③平面的法向量分别为，则；
④平面经过三个点，向量是平面的法向量，则．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知在多项选择题的四个选项中，有至少两项且至多三项符合题目要求.规定：全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.若某题的正确答案是，某考生随机选了至少一个选项且至多三个选项，则该考生能得分的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知圆的半径为2，圆心在直线上.点.若圆上存在点，使得，则圆心的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的过第二、四象限的渐近线上，且，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．直线过定点，直线过定点
D．当平行时，两直线的距离为
10．已知100个零件中恰有3个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件“第一次抽到的零件为正品”，事件“第二次抽到的零件为正品”，事件“抽到的两个零件中有正品”，事件“抽到的两个零件都是次品”，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球的表面积为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12．已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（ ）
A．圆关于轴对称的圆的方程为
B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线为
C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D．若反射光线与圆交于两点，则面积的最大值为
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知点，直线l过点，且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为 .
14．设圆，直线经过原点且将圆分成两部分，则直线的方程为 .
15．若曲线是双曲线，则其焦距为 .
16．平行六面体中，，，，则 ；若动点在直线上运动，
则的最小值为 .
四、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为．
(1)求点的坐标；
(2)求边所在直线的方程．
18．如图，在多面体中，，，四边形是矩形，，，点P在线段BF上且．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
19．某校为丰富教职工业余文化活动，在教师节活动中举办了“三神杯”比赛，现甲乙两组进入到决赛阶段，决赛采用三局两胜制决出冠军，每一局比赛中甲组获胜的概率为，且甲组最终获得冠军的概率为（每局比赛没有平局）.
(1)求；
(2)已知冠军奖品为28个篮球，在甲组第一局获胜后，比赛被迫取消，奖品分配方案是：如果比赛继续进行下去，按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球，请问按此方案，甲组、乙组分别可获得多少个篮球
20．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播）
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？
21．如图，在多面体中，四边形是边长为4的菱形，与交于点平面．

(1)求证：平面平面；
(2)若，点为的中点，求二面角的余弦值．
22．已知抛物线的焦点为.过焦点的直线与抛物线交于A，B，的最小值为12.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的另一直线与曲线相交于，两点，，，且与的面积的和为，求直线的斜率.
参考答案：
1．C
【分析】将直线化为斜截式方程得出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案.
【详解】将直线化为斜截式方程为，斜率.
设直线的倾斜角为，则.
又，所以.
故选：C.
2．B
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求解即得.
【详解】在空间四边形中，，点为的中点，
则
.
故选：B
3．B
【分析】①当两直线的方向向量数量积为零时，两直线垂直；②当直线的方向向量和平面的法向量数量积为零时，直线和平面平行；③当两平面的法向量平行时，两平面平行；④求出的坐标，再由数量积为零列关于的方程组求解.
【详解】①因为，所以直线与垂直,正确；
②因为，所以直线平面，或直线在平面内，错误；
③若，则，所以，此方程组无解，所以平面不平行于平面，错误；
④由得，因为是平面的法向量，
所以，解得，即，正确.
故选：B.
4．C
【分析】利用列举法求出考生做多项选择题的试验的所有可能结果，再计算古典概率作答.
【详解】考生做多项选择题的试验的不同结果有：，共14个，
该考生能得分的事件M含有的结果有：，共3个，
所以该考生能得分的概率.
故选：C
5．D
【分析】先求，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解.
【详解】因为，，，
所以，
所以，，
，
所以向量在上的投影向量是，
所以向量在上的投影向量的坐标是，
故选：D.
6．D
【分析】设圆心，表示出圆，设，依题意可得，将问题转化为两圆有交点求出参数的取值范围.
【详解】依题意设圆心，则圆：，
设，则，，
由，则，即，
依题意即圆与圆有交点，则，解得，
即圆心的横坐标的取值范围为.
故选：D.
7．D
【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题．
【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1，
设椭圆的左焦点为，即，
则，
故要求的最小值，即求的最小值，
所以的最小值等于，
即的最小值为，
故选：D．
8．B
【分析】由双曲线定义和向量线性运算可知在双曲线左半支上且为中点，结合可求得；根据三角形中位线性质可知，利用勾股定理可求得，结合双曲线定义可构造方程求得，由可求得结果.
【详解】，在双曲线的左半支上；
，即，为的中点；
由双曲线方程知：直线，又，，，
；
坐标原点为中点，且，
又，即，，，
又，，解得：，
双曲线的离心率.
故选：B.
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
9．ACD
【分析】根据直线平行和垂直满足的斜率关系即可判断AB，根据定点的求解可判断C，根据平行线间距离公式可判断D.
【详解】对于，当时，那么直线为，
直线为，此时两直线的斜率分别为和，
所以有，所以，故A选项正确；
对于，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误；
对于，由直线，整理可得：，故直线过定点，
直线：，整理可得：
，故直线过定点，故C选项正确；
对于，当平行时，两直线的斜率相等，即
，解得：或，当时，两直
线重合，舍去；当时，直线为为
，此时两直线的距离，故D选项正确.
故选：ACD.
10．AC
【分析】结合组合知识利用古典概型概率公式求解概率判断A，根据事件不是互斥事件判断BC，根据古典概型概率公式及对立事件、独立事件的概率公式计算判断D.
【详解】由题意，，A正确；
因为，故，B错误；
因为，即为对立事件，故，C正确；
，则，D错误.
故选：AC.
11．ACD
【分析】先证明平面平面，再根据面面平行得线面平行可判断A，用等体积法判断B，求外接球表面积判断C，利用空间向量先表示出直线与平面所成角的正弦值，进而求得最大值，即可判断D.
【详解】对于A，由长方体的性质得，，
因为平面，平面，所以平面，
同理，平面，平面，所以平面，
又，且平面，平面，
所以平面平面，
又平面，从而直线平面，故A正确；
对于B，由A知，平面平面，点在平面上，所以，故B错误；
对于C，三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确；
对于D，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，则，
设，则，即，，
可得面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
则，
故，有最大值为，故D正确.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】对于 A ，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线经过的点，从而可求出直线方程，对于 C ，由题意可知反射光线所在的直线经过的点，再结合圆的性质即可求解，对于 D，表示出弦长和弦心距后，可表示出所求面积，从而可求出其最大值.
【详解】对于A ，圆C关于 x 轴的对称圆的方程为，所以 A 正确，
对于B ，因为反射光线平分圆C的周长，所以反射光线经过圆心，所以入射光线所在的直线过点，
因为入射光线过点，所以入射光线所在的直线的斜率为，
所以入射光线所在直线方程为，所以 B 正确，
对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，
因为，所以，所以C错误，
对于D，设，，
则圆心C到直线的距离为，
所以，
所以当即时，面积取得最大值，所以D正确，
故选： ABD
13．
【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算
【详解】易知，所以点P到直线l的距离为.
故答案为：
14．，或
【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】由可知：该圆的圆心坐标为，半径为，
因为，所以该圆过原点，
设直线与圆相交另一点为点，
因为直线经过原点且将圆分成两部分，
所以弦所以圆心角为，因为圆的半径为，
所以
因此圆心到直线的距离为，
当直线不存在斜率时，方程为，显然到直线的距离为1，符合题意；
当直线存在斜率时，设为，方程为，
因为圆心到直线的距离为，
所以，即方程为，
综上所述：直线的方程为，或，
故答案为：，或
15．
【分析】根据双曲线的方程可得，即可求解.
【详解】表示双曲线，则，
因此，
，
故答案为：
16．(1)
(2)
【分析】（1）由与的方程联立得出点的坐标，再根据两点中点的计算公式结合已知列式求解得出答案；
（2）由结合边所在直线的方程得出边所在直线的方程的斜率，再结合（1）得出的点坐标由直线的点斜式方程得出答案.
【详解】（1）边所在直线的方程为，所在直线的方程为
联立，解得：，
点的坐标为，
中点为，
设点，
，解得，
即点的坐标为.
（2）直角的斜边为，
,
边所在直线的方程为,斜率为，
边所在的直线方程斜率为，
边所在的直线过点，
边所在的直线方程为，即.
17．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）由面面垂直的判定定理可得面、面，再由线面垂直的性质定理可得答案；
（2）以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量、的坐标，由线面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）∵，，，、面，
∴面，
又面，∴，
又∵，∴，
在直角梯形中，由，可得，
∵，，，
∴，∴，
又∵，，、面，
∴面，
又面，∴；
（2）如图，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∵，，∴，
而，
设面的一个法向量为，
所以，令可得，
∴面的法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．(1)
(2)甲组应获得21个篮球，乙获得7个篮球比较合理.
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式列式计算即可；
（2）先求出在甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛的事件概率，即可求解.
【详解】（1）令事件：甲组在第局获胜，.甲组胜的概率为：，
所以，解得.
（2）由题意知，在甲组第一局获胜的情况下，甲组输掉比赛事件为：甲组接下来的比赛中连输两场，
所以在甲第一局获胜的前提下，最终输掉比赛的概率，即甲获胜的概率为，
故甲组、乙组应按照3：1的比例来分配比赛奖品，
即甲组应获得21个篮球，乙组获得7个篮球比较合理.
19．(1)
(2)．
【分析】（1）设观察员可能出现的位置为点,由题意可知,即可判断出观察员所有可能出现的位置为双曲线的左支.结合，，即可求出其轨迹；
（2）设轨迹上一点为，利用两点的距离公式则可表示出，再结合点在轨迹上，消元后利用二次函数的单调性，即可得出的最小值.即可写出答案.
【详解】（1）设观察员可能出现的位置为点，
由题意，得，
故点的轨迹为双曲线的左支，
设双曲线方程为，又，，
所以，
故点的轨迹方程为；
（2）设轨迹上一点为，则，
又，所以，
所以|，
当且仅当时，取得最小值，
故扫描半径r至少是．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，则由三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形为平行四边形，所以，再由平面，结合面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：如图，取中点，连接，
因为分别为中点，
所以，
因为，
所以，
所以四边形为平行四边形，则，
因为平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）因为平面，平面，所以，
因为四边形为菱形，所以，
所以两两垂直，
所以以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为四边形是边长为4的菱形，，
所以是正三角形，则，
因为，所以，

所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
取平面的法向量．
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为.
21．(1)
(2)2或-2
【分析】（1）由题意，取，代入抛物线的方程可求出，即可得出答案.
（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理求出，再求出点到直线的距离，即可表示出，由抛物线的对称性知，再结合条件求解即可.
【详解】（1）依题意抛物线的焦点为，
则时，直线l与x轴垂直，
不妨取，则，
因为，所以，
所以抛物线的方程为.
（2）因为抛物线的方程为，所以，
则直线的方程为，设，，
联立消去得，
由韦达定理，得，，
所以.
因为点C，D在曲线上，且，
所以根据抛物线的对称性知.
因为，所以点到直线的距离，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
所以直线的斜率为2或.
22． /
【分析】以为基底表示出，即可求得，设，根据空间向量的线性运算和数量积的运算规律可得，可求得其最小值.
【详解】根据题意可得，
所以
，
即可得；
设，则，
；
所以
，
由二次函数性质可知当时，取到最小值为.
故答案为：；