2.2 基本不等式 第1课时 课件（共14张PPT）

(共14张PPT)
2.2 基本不等式
第1课时
1.理解基本不等式
2.能用基本不等式解决简单的最值问题
思考：乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？
知识点：基本不等式
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
a,b ∈R，a2+b2≥2ab，
当且仅当a=b时，等号成立.
如果a＞0,b＞0,我们用 分别代替上式中的a,b，可得到什么结论？
当且仅当a=b时，等号成立.
替换后得到：
即：
即：
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
基本不等式
几何平均数
算数平均数
正数a,b
正数a,b
注：a,b均为正数
提问：能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了．
显然，⑤成立，当且仅当 时，等号成立.
要证 ①
要证②，只要证 ③
只要证 ②
要证③，只要证 ④
要证④，只要证 ⑤
分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
探究 如图, AB是圆的直径,点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
可证△ACD∽△DCB
则有 ， 则 ．
由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为
显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.
适用范围
文字叙述
“=”成立条件
a=b
a=b
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
重要不等式与基本不等式的比较
例1 已知x>0，求 的最小值.
解：因为x>0，所以
因此所求的最小值为2.
当且仅当
即x2=1，x=1时，等号成立，
思考：这里2只是 的一个取值，试想一下当y0＜2时，
成立吗？这时候能说明y0是 的最小值吗？
能够利用基本不等式求代数式最值的条件：
代数式能转化为两个正数的和积的形式，它们的和或者积是一个定值，不等式中的等号能够取到，
即“一正、二定、三相等”.
归纳总结
例2 已知x，y都是正数，求证：
证明：因为x，y都是正数，所以
（1）如果xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值 ；
（2）如果x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 ；
（1）当积xy等于定值P时，
所以，x+y≥2 ,当且仅当x=y时，上式等号成立.
所以，当x=y时，和x+y有最小值 .
两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“积定和最小”.
例2 已知x，y都是正数，求证：
（2）如果x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 ；
（2）当积x+y等于定值S时，
所以， ,当且仅当x=y时，等号成立.
所以，当x=y时，积xy有最大值 .
两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“和定积最大”.
1.已知a>0，b>0，a+b=18,求ab的最大值.
练一练
解：∵
∴
当且仅当a=b=9时，等号成立，
所以，ab的最大值为81
2.已知x，y都是正数，且x≠y，求证 .
练一练
解：∵x，y都是正数，且x≠y，
∴
又 ，
所以，
根据今天所学，回答下列问题：
什么是基本不等式？
基本不等式的使用条件是什么？
如何利用基本不等式解决最值问题？