2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时
1.了解一元二次不等式的概念和一般形式
2.能理解三个二次的关系，并能够利用这种关系求解一元二次不等式
思考：在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：
知识点1：一元二次不等式的概念
y=x+1
-1
1
方程x+1=0的解为x=-1
不等式x+1>0的解为x>-1
不等式x+1>1的解为x>0
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，他们的联系又是怎样的呢？
y=ax2+bx+c
ax2+bx+c=0
x2+bx+c>0
问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20㎡，则这个矩形的边长为多少米？
设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为(12－x)ｍ．
由题意，得:(12－x)x＞20，其中x∈｛x|0＜x＜12｝．
整理得x2－12x＋20＜0，x∈｛x|0＜x＜12｝． ①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
概念生成
一元二次不等式的一般表达式ax2+bx+c>0 (a≠0)或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.
例如，刚刚问题中得到的x2－12x＋20＜0，x∈{x|0＜x＜12}就是一个一元二次不等式.那么，如何求解这个不等式呢？
思考 能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
以前面的x2－12x＋20＜0和y=x2－12x＋20为例．
一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使得ax2+bx+c=0的实数x叫做函数y=ax2+bx+c的零点.
实数根x1=2，x2=10
y=x2－12x＋20
x2－12x＋20=0
零点x1=2，x2=10
知识点2：一元二次不等式的解法
零点x1=2，x2=10将x轴分成三段.
所以一元二次不等式x2－12x＋20＜0的解集｛x|2＜x＜10｝
x2－12x＋20＜0
y=x2－12x＋20
x2－12x＋20=0
x2－12x＋20＞0
上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)和ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集.首先求出一元二次方程ax2+bx+c=0的根，再根据二次函数图像求解.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根
=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c的零点
＞0， =0， ＜0
对应
二次函数图象
三种情况
的解集
的解集
没有实数根
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
或
的根
的图象
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
例1 求不等式x2-5x+6＞0的解集.
解:对于方程x2-5x+6=0,因为 ＞0，所以它有两个实数根.解得x1=2，x2=3.
画出二次函数y=x2-5x+6 的图象.
结合图像，可知不等式x2-5x+6＞0的解集为{x|x＜2，或x＞3}.
2
6
y
x
3
例2 求不等式9x2-6x+1＞0的解集.
解:对于方程9x2-6x+1=0,因为 =0，所以它有两个相等的实数根.解得 .
画出二次函数y=9x2-6x+1的图象，结合图像得不等9x2-6x+1＞0的解集为 .
0.2
0.6
y
x
0.4
y=9x2-6x+1
例1 求不等式-x2+2x-3＞0的解集.
解:不等式x2-2x+3＜0.
画出二次函数y=x2-2x+3 的图象.
结合图象得不等式x2-2x+3＜0的解集为 ，因此，原不等式的解集为 .
因为 =-8＜0，所以方程x2-2x+3=0无实数根.
2
6
y
x
4
3
用二次函数解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)和ax2+bx+c＜0(a＞0)的一般步骤：
归纳总结
(1)检查二次项系数a的符号，对于a<0的一元二次不等式，把它的二次项系数化为正数；
(2)计算判别式 的值.如果 ≥0,求方程ax2+bx+c=0的根；如果 <0,说明方程ax2+bx+c=0无实数根；
(3)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，结合图象得出不等式的解集.
用框图表示求解过程：
将原不等式化成 的形式
计算 的值
方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，解得x1，x2(x1＜x2)
方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，解得
方程x2+bx+c=0没有实数根
原不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}
原不等式的解集为
原不等式的解集为R
（1）2x2－x－1>0；
练一练
解：2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
则由2x2－x－1=0，得(2x＋1)(x－1)=0，
解得x1 =1或 ，
画出二次函数y=2x2－x－1的图象，结合
图像得不等2x2－x－1＞0的解集为{x| 或x >1}.
2
-1
y
x
-1
3
求下列不等式的解集：
（2）-6x2-x+2≤0；
解：不等式可化为 6x2+x-2≥0，
则由6x2+x-2=0，得(2x-1)(3x+2)=0，
解得 或 ，
画出二次函数y=6x2+x-2的图象，结合
图像得不等6x2+x-2≥0的解集为{x| 或 }.
2
-1
y
x
-1
3
根据今天所学，回答下列问题：
1.二次函数与一元二次方程、不等式之间有什么联系？
2.求解一元二次不等式的步骤是什么？