福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高一上学期1月第二次月考数学试卷（PDF版，含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高一上学期1月第二次月考数学试卷（PDF版，含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 653.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-11 11:05:24 | ||
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文档简介
厦门外国语学校 2023级高一上学期第二次月考
数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4页，满分为 150分。考试用时 120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，
用 2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内
的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不
准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁和平整。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．与 2024 终边相同的最小正角为（ ）
A．136 B． 224 C． 44 D．134
2．已知扇形的周长为 4，圆心角为弧度数 2，则扇形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． π D． 2π
3 cos
5
．已知 为锐角，若 ，则 sin
6 13 12
（ ）
A 17 2 7 2 7 2 17 2． B． C． D．
26 26 26 26
1 x2 cos x 3π 4．函数 f x 2 的图象大致为（ ）
x
A． B． C． D．
5 1 3
2 tan19 1 cos72
．设 a cos7 sin 7 ，b ， c ，则有（ ）
2 2 1 tan219 2
A． a b c B．b a c C． a c b D． c b a
6．已知 ,
0, π 1 3 2 ，
cos ， sin ，则 tan tan 的值为（ ）
5 5
1 3 5A． 2 B． C． D．25 3
7．已知把函数 f x sin x π cos x 3 π 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，
3 4 3
得到函数 g x 的图象，若 g x g x 11 2 ，且 x1,x2 π, π ，则 x1 x2的最大值为（ ）4
A． π
3π 3π
B． C． D． 2π
4 2
8．已知函数 f x 4cos x ( 0) 在 0, 上的最小值恰为 ，则所有满足条件的 的积属于区间（ ）
12 3
A． 1,4 B． 4,7 C． 7,13 D． 13,
高一上学期第二次月考 第 1页 /共 4页 数学试卷
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二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若 tan 0且 sin 0，则 为第二象限角
B．锐角 终边上一点坐标为 P sin1,cos1 ，则 1
2
C．若 sin cos 1，则 是第一象限角
sin cos
D 2 2．若 是第三象限角，则 取值的集合为 2,0, 2
sin cos
2 2
10．在△ ABC中，下列命题中正确的是（ ）
A． cos A cos(B C)为常数
B．若 sin 2A sin 2B，则△ ABC为等腰三角形
C．若 sin 2A cos2B，则 (1 tan A)(1 tan B) 2
D．若三角形△ ABC是锐角三角形，则 sin(sin A) sin(cosB)
11．如图，正方形 ABCD的长为 2，O为边 AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋
转的过程中，记 AOP为 x，射线OP扫过的正方形 ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为 f x ，则下列说法
正确的是（ ）
A． f
1
4 2
π
B ． f x 在 ,π 上为减函数
2
C． f x f x 4
D．若O，E为DA，AB上的动点，且DO EB OE，则 OCE为定值
12．已知函数 f x tan sin x tan cos x ，则（ ）
A． 2π是 f x 的周期
B． f x 的图象有对称中心，没有对称轴
π
C．当 x 0, 时， f x tan sin x cos x
2
D．对任意 k Z， f x kπ π在 , kπ
上单调
2
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
π
13．已知点 A cos ,sin 与点 B(cos( ),sin( π ))关于 y轴对称，写出一个符合题意的 ．
5 5
π
14．已知函数 f (x) Asin x b（ A 0， 0， ）
2
的一部分图象如图所示，则 f (2 ) ．
4 3 2
x , x 0,3 ,
15．已知函数 f x 9 2 若存在实数 a、b、c、d满足
sin
x, x 3,15
6
f a f b f c f d （其中 a b c d），则 cd a b 的取值范围是 .
16．已知函数 f (x) 6cos( x )( 0,0 )
对 x R都有 f x f ，且 x 是 f（x）的一个零点．
6 6
（1）若 f x 的周期大于 ，则 ＝ ；
（2）若 y f x 6 , 在 上有且只有一个零点，则 的最大值为 ．
15 6
高一上学期第二次月考 第 2页 /共 4页 数学试卷
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四、解答题：本小题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数 f (x) tan( 2x )，其中 为三角形的一个内角，且2cos2 cos 1 0.
（1）求函数 f (x)的解析式及定义域；
（2）求函数 f (x)的对称中心及单调区间.
π
18．角 的始边与 x轴的非负半轴重合，终边与如图的单位圆交于点 A x1, y1 ，将射线OA绕点O按逆时针方向旋转 3
后与单位圆相交于点B x2 , y2 ，设 f y1 y2．
（1）求 f
π
的值；
6
（2）若函数 g x f 2 x π 1 f π
3
x 的最小值为 2 3，求实数 的值．
2
sin 2π x cos π x cos π x cos 11π x
2 2
19 ．已知 f x 9π .cos π x sin 3π x sin π x sin x
2
（1）若 f 2，求 sin cos 2sin2 的值；
f 1（2）若 ， f π 1 , 0, ，且 ，求 2 的值.
2 3 2
20．定义在 R上的函数 f x Asin x A 0, 0,0 ，若 f (x)在 x 0,7 内只取到一个最大值和一
2
个最小值，且当 x 时函数取得最大值为3；当 x 6 ，函数取得最小值为 3．
（1）求函数 f (x)的解析式；
2 2 2（ ）求关于m的不等式 f m 2m 3 f m 4 的解集；
1
（3）若将函数 f x 的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的 得到函数 g x ，再将函数 g x 的图像向左平移
3
0 0 0 个单位得到函数 h x ，且函数 y eg ( x) lg h(x)的最大值为 e，求满足条件的 0的最小值.
高一上学期第二次月考 第 3页 /共 4页 数学试卷
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21．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影
响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深 y（单位：米）与时间 x（单位：时）
的大致关系：
假设 1月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
π π
（1）请运用函数模型 y A sin( x ) h A 0, 0, ,h R ，根据以上数据写出水深 y与时间 x
2 2
的函数的近似表达式；
（2）根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于 3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载
货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天 0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时 0.3米的
速度匀速减少，卸完货后空船吃水 3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该
船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．
22．已知函数 f (x) sin x acos x
的图象关于 x 对称， g(x)是函数 y ex的反函数.
4
（1）求方程 f (x) cos2x在[0,2 ]上的解集；
F(x) f (x) 3（2）求证：函数 g(x)
2 1 1
有且仅有一个零点 x0，且 g(x 0) sin 2x2 3 3 0
.
3
高一上学期第二次月考 第 4页 /共 4页 数学试卷
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一、单选题
1．与 2024 终边相同的最小正角是（ ）
A．136 B． 224 C． 44 D．134
【答案】A【分析】根据任意角的周期性，将 2024 化为360 k (0 360 )，即可确定最小正角.
【详解】因为 2024 360 6 136 ，所以与 2023 终边相同的最小正角是136 .
2．已知扇形的周长为 4，圆心角为弧度数 2，则扇形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． π D． 2π
【答案】A【分析】设扇形的半径为 r，弧长为 l，由扇形的弧长公式结合扇形的周长可求得 r、 l的值，再利用扇形
的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l 2r，扇形的周长为 l 2r 4r 4，可得 r 1，所以， l 2，故该扇形
1 1
的面积为 S lr 2 1 1 .
2 2
3
5
．已知 为锐角，若cos ，则 sin
（ ）
6 13 12
A 17 2 B 7 2 7 2 17 2． ． C． D．
26 26 26 26
【答案】C 【分析】由平方关系得 sin ，然后配角并利用两角差的正弦公式计算 sin .
6 12
【详解】由题意，
2
2 12
6
, ， sin 1 cos ， 6 3 6 6 13
sin sin sin cos cos
sin 7 2 .
12 6 4 6 4 6 4 26
1 x2
4 cos
3π
．函数
x
f x 2
的图象大致为（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】先化简函数解析式，利用奇偶性和函数值的符号可得答案.
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1 x2 cos x 3π 2
【详解】由题可得 2 1 x sinxf x ，且其定义域为 ,0 U 0, ，
x x
1 ( x)
2 sin x 1 x2 sinxf x f x ，所以函数 f x 为偶函数，故排除 C，D选项；
x x
又当 x 0,1 时，1 x2 0， sinx 0，所以 f x 0，故排除 A选项.
5 1 3
2 tan19 1 cos72
．设 a cos7 sin 7 ，b ， c ，则有（ ）
2 2 1 tan219 2
A． a b c B．b a c C． a c b D． c b a
【答案】B【分析】利用辅助角公式化简 a，正切二倍角公式和放缩放化简b，余弦二倍角公式化简 c，然后根据正
弦函数的单调性比较可得.
1 3
【详解】 a cos7 sin 7 sin 30 cos7 cos30 sin 7 sin 30 7 sin 37 ，
2 2
b 2 tan19 tan 38 sin 38 sin 38 2 sin 38 ，1 tan 19 cos38 1
1 cos72 1 1 2sin 236 c sin 36 ，
2 2
因为当0 x 90 时， y sin x单调递增，所以 sin38 sin37 sin36 ，所以b a c .
6.已知 ,
π
0, ，cos
1
， sin 3 ，则 tan tan 的值为（ ）
2 5 5
3 5
A 1． 2 B． C． D．25 3
【答案】B【详解】法一： cos cos cos sin sin 1 ，sin sin cos cos sin 3 ，
5 5
2
由于 ,
π π π 3 4
0, ，所以 ，所以 cos 1 ， 2 2 2 5 5
5
则 cos cos ,sin sin
3
，从而 tan tan
3
= 。
10 10 5
法二： cos cos cos sin sin 1 ， sin sin cos cos sin 3 ，
5 5
cos cos sin sin 1 1 tan tan 1
cos cos
sin cos ，分子分母同时除以 得： ①， cos sin 3 tan tan 3
π π π 2 3 4 sin 3由于 , 0, ，所以 ，所以2 2 2 cos 1 ，所以
tan
5 5 cos 4
，
tan tan 3 3 3 1 tan tan 1
即 , tan tan tan tan 3 3
tan tan 3
1 tan tan 4 4 4 ，代入①得： tan tan 3，解得 .
4 4 5
高一上学期第二次月考 第 6页 /共 4页 数学试卷
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7 f x sin π 3 π．已知把函数 x cos x 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，
3 4 3
得到函数 g x 的图象，若 g x1 g x2
1
，若 x ,x π, π ，则 x x 的最大值为（ ）
4 1 2 1 2
π 3π 3πA． B． C． D． 2π
4 2
【答案】C【分析】先化简函数 f x ，然后根据图像的变换得函数 g x 的解析式，通过判断得x ，x g1 2同时令 x 取
1
得最大值或最小值时， g x1 g x2 ，再结合函数 g x 的图像，即可求得 x1 x2 的最大值.4
【详解】 f x sin x π cos x
3
sin x cos
π
cos x sin π cos x
3 1
sin xcos x 3 cos2 x 3
3 4 3 3 4 2 2 4
1
sin 2x 3 1 cos 2 x 3 1 sin π π 2x
．将图象向右平移至 个单位长度，4 2 2 4 2 3 3
1 π
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 g x ，可得 g x sin 4x ，
2 3
所以 g x 1 ， g x 1 max 2 min ，2
∴ x1,x2 同时使得 g x
1 π π π
取得最大值或最小值时， g x1 g x2 ．当 x ,x π, π 时， 4π 4x 4π ，4 1 2 3 3 3
x 3π根据函数的图象可知 1 x2的最大值为3个周期的长度，即 ,故选：C.2
8．已知函数 f x 4cos x
( 0)， f x
在区间 0,
上的最小值恰为 ，则所有满足条件的 的积属于区 12 3
间（ ）
A． 1,4 B． 4,7 C． 7,13 D． 13,
【答案】C【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.
【详解】当 x
0, x 时 , ，因为此时 f x 的最小值为 0，所以
7
12 12 3 12 ，即
.
3 3 12 2 4
若 ，此时 f x 能取到最小值 4，即 4 4 ，代入可得 4 ，满足要求；3 12 3 12
13
若 f x 取不到最小值 4，则需满足 ，即 ，3 12 4
高一上学期第二次月考 第 7页 /共 4页 数学试卷
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p 4cos π π 7 13 又因为 在 , 上单调递减，所以存在唯一 符合题意；
3 12 4 4
7 13
所以ω= 4或者 ,4 4 ，所以所有满足条件的
的积属于区间 7,13 ，故选：C
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若 tan 0且 sin 0，则 为第二象限角
B．锐角 终边上一点坐标为 P sin1,cos1 ，则 1
2
C．若 sin cos 1，则 是第一象限角
sin cos
D.若 2 2是第三象限角，则 取值的集合为 2,0, 2
sin cos
2 2
【答案】ABC【详解】A选项： tan 0，则 为第二象限或第四象限角； sin 0，
则 为第一象限或第二象限角，同时满足上述条件，所以 为第二象限角.B正确；
B选项：锐角 终边上一点坐标为 P sin37 , cos37 ，则有 cosa sin 37= = cos53 ，
sin2 37 + cos2 37
sina cos37= = sin 53 tana sina sin 53°，所以 = = = tan 53° ，且 为锐角，所以 53 ，B正确.
sin 2 37 +cos2 37 cosa cos53°
C选项，【法一】平方后发现 sin cos 1且sin cos 0
【法二】由题意得 sin cos 2 sin
π
1 sin π 2 π 2kπ π 3π ，故 ，故 2kπ,k Z，解得 4 4 2 4 4 4
2kπ π 2kπ,k Z，则 是第一象限，C正确；
2
sin cos
D.若
2 2
是第三象限角，则 是第二或第四象限角，因此 取值的集合为 0 ，故选：ABC
2 sin cos
2 2
10．在△ ABC中，下列命题中正确的是（ ）
A. cos A cos(B C)为常数
B.若sin 2A sin 2B，则△ ABC为等腰三角形
C.若sin 2A cos2B，则 (1 tan A)(1 tan B) 2
D.若三角形△ ABC是锐角三角形，则 sin(sin A) sin(cosB)
【答案】AD 【注：C不对，应该还有一种情况！】
11．如图，正方形 ABCD的长为 2，O为边 AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋
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AOP x OP ABCD f x 转的过程中，记 为 ，射线 扫过的正方形 内部的区域（阴影部分）的面积为 ，则下列说法正
确的是（ ）
1
A． f 4
2
B． f x π在 ,π
上为减函数
2
C． f x f x 4
D．若O，E为DA，AB上的动点，且DO EB OE，则 OCE为定值
【答案】ACD
【分析】求出当0 tan x 2时，函数 f x 的解析式，可判断 A选项的正误；利用 f x 的单调性可判断 B选项的正
误；利用对称性可判断 C选项的正误；利用特殊值法可判断 D选项的正误.
AE
【详解】对于 A选项，当0 tan x 2时，设OP交 AB于点 E， tan x tan AOE AEOA ，
1 1 1 1所以， f x OA AE tanx ， 0 tan 2 f ， tan ，A选项正确；
2 2 4 4 2 4 2
对于 B选项，当 x
,
时，射线OP扫过的正方形 ABCD内部的区域（阴影部分）的面积显然逐渐增加，即函数
2
f x π在 ,π
上单调递增，B选项错误；
2
对于 C选项，取 BC的中点G，连接OG，设射线OP与正方形的边的交点为 E，作点 E关于直线OG的对称点 F ，
则 FOD x，所以， AOF x ，
将射线OF 绕O点按顺时针方向旋转扫过正方形 ABCD的面积为S，由对称性可知 S f x ，因为 S f x 4，
即 f x f x 4，C选项正确；
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对于 D选项，改编自教科书 P255T23，D选项正确故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数基本性质的判断问题，在判断函数 f x 的单调性时，需要充分利用 f x 的几
何意义，结合面积的对称性来求解，另外在判断某些结论不成立时，可充分利用特殊值来进行否定.
12．已知函数 f x tan sin x tan cos x ，则（ ）
A． 2π是 f x 的周期
B． f x 的图象有对称中心，没有对称轴
x 0, π C．当 时， f x tan sin x cos x
2
D．对任意 k Z， f x π 在 kπ , kπ 上单调
2
【答案】ACD【分析】对于 A选项：根据函数周期的定义令 x x 2π，即可判断；对于 B选项：根据函数对称性
3π π π
的定义分别令 x x和 x x，即可判断；对于 C选项：根据正、余弦函数的图象和性质得到 sin x cos x，
2 2 2
π
再结合正切函数的单调性得到 tan sin x tan cos x
，最后利用三角恒等变换化简式子，即可判断；对于 D选项：
2
根据 A选项函数的周期得到只需考虑 k 0， k 1即可，再结合复合函数单调性，即可判断.
【详解】对于 A选项：因为 f x 2π tan sin x 2π tan cos x 2π tan sin x tan cos x f x ，
则 2π是 f x 的周期，所以 A选项正确；
f 3π x 对于 B选项：因为 tan
sin 3π x
tan
cos
3π
x
tan cos x tan sin x， 2 2 2
f π x tan sin π x tan cos π x 且 tan cosx tan s inx ， 2 2 2
3π
所以 f x f x
0， f x
π
f x
，则 f x
3π π
的图象关于点
2 2
,0 成中心对称，关于直线 x 成轴对称，
4 4
所以 B选项错误；
π π π
对于 C选项：当 x 0, 时，易知 sin x，cos x 0,1 ，且 sin x cos x 2 sin x
2
π
，即 sin x cos x，
2 4 2 2
sin π cos x
cos cos x则 tan sin x tan π cos x
2 1
，所以0 tan sin x tan cos x 1，
2 cos π cos x
sin cos x tan cos x
2
则 tan sin x tan cos x
tan sin x tan cos x
tan sin x cos x
1 tan sin x tan cos x ，所以 C选项正确；
对于 D选项：由 A选项知： 2π是 f x 的周期，所以只需考虑 k 0， k 1即可，
高一上学期第二次月考 第 10页 /共 4页 数学试卷
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k 0 x
π
当 时， ,0
，所以 sin x和 cos x均单调递增，所以 f x 单调递增；
2
当 k 1时， x
π
, π ，所以 sin x和cos x均单调递减，所以 f x 单调递减，所以 D选项正确.．
2
【点睛】方法点睛：（1）函数奇偶性、周期性和对称性的判断常用定义去验证；
（2）要证明周期函数的单调性往往只需证明函数的一个周期的单调性，复杂函数的单调性判断优先尝试利用复合函
数的“同增异减”.
三、填空题
13.若点 A cos ,sin π π与点 B(cos( ),sin( ))关于 y轴对称，写出一个符合题意的 ______.
5 5
2π
【答案】
5
π
14.已知函数 f (x) Asin x b的一部分图象如图所示，其中 A 0， 0， ，则
2 f (2 ) ．
【答案】3【分析】根据函数图象可得最值和周期，进而可求出 A,b, ，再利用待定系数法求出 即可.
A b 4 5π π
【详解】根据图象可知，函数的最大值 4和最小值 0，得 ，解得 A 2,b 2
，函数的最小正周期T 4，
A b 0
12 6
T π 2π π π π π π即 , 2 x ，当 时取最大值 4，即 sin 2 1， 2 2kπ (k Z)，即 2kπ (k Z)， 6 6 6 2 6
| | π , π 故答案为：
2 6 . 3
4 2
x
3
, x 0,3 ,
15. f x 9
2
已知函数 若存在实数 a、b、c、d满足 f a f b f c f d （其中 a b c d ），
sin x, x 3,15 6
则cd a b 的取值范围是 .
【答案】 135,216
【分析】首先作出函数的图像，然后利用对称性得到 a+b,c+d的值，再通过图像求出 c的取值范围，然后消去 d，利
用二次函数的图像和性质求出范围.
【详解】根据函数的性质作出图像，如图所示：
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{#{QQABAYKQggAgQBAAABgCQQH6CAOQkBCCCIoOBBAIoAABgAFABAA=}#}
由图像的对称性可知： a b 3， c d 18(3 c 6)，所以 d 18 c，
所以 a b cd 3c(18 c) 3( c2 18c) 3(c 9)2 243，
因为3 c 6，结合二次函数的图像，3代入有： a b cd 135，
6代入有： a b cd 216，所以 a b cd 135,216 .故答案为： 135,216 .
【点睛】分段函数求值域或者范围的问题一般采用图像法，这里要求对初等函数的图像和性质必须要熟练掌握；另
外求 cd的范围很容易想到用基本不等式，但切忌一定要注意变量的范围，所以这里我们通过消元，最后通过函数的
角度求出范围.
16.已知函数 f (x) 6cos( x )( 0,0
) ，对 x R都有 f x f ，且 x 是 f（x）的一个零点．
6 6
（1）若 f x 的周期大于 ，则 ＝ ；
（2）若 y f x 6 在 ,
上有且只有一个零点，则 的最大值为 ．
15 6
3 69
【答案】 ；
2 2
【分析】（1）根据余弦函数的性质，建立方程组，由题意，可得答案；
（2）根据函数与方程的关系，将问题转化为三角函数求最值，结合三角函数的性质，求得 的取值范围，由大到小
进行检验，可得答案.
k1 , k1 Z
k1 k 2 , k 6 4 2 1, k2 Z
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
k2 , k2 Z
3
3 k1 k , k , k Z 6 2 2 2 1 2
2
由 f（x）的周期大于π，则T ，即0 2，
当 k1 k 0
4
2 时， 3，不符合题意，舍去；
2
3
当 k1 1, k 2 0
4
时， ，符合题意.
3
2
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{#{QQABAYKQggAgQBAAABgCQQH6CAOQkBCCCIoOBBAIoAABgAFABAA=}#}
（2）由 y f x 6 在 , 上有且只有一个零点，则方程6cos x 6 0
在
15 6
, 上有且只有一个根，
15 6
1 cos x 1 f x , x 4 因为 ，所以 在 上有且只有一个 0，使得函数取得最大值，则 2T ，
15 6 6 15 10
解得 40，
k1 k2 , k1, k 4 2 2 Z
由（1）可知 ，
3 3 k1 k , k , k Z 2 2 1 2
1 2k k k , k Z 1 k2 4
令 ，则 ，且 k k 2k ，故 k ,k k 同奇偶， k
2
1 k2 6k 3 , k Z 2
6k 3 83
由 40，则 40，解得 k ，即 k 13，
2 6
k 75 3
75 3 75 3 13 14
当 13时， ，k为奇数，则 ，即 f x 6cos x
，由 x , ，则 x
, ，
2 4 2 4 15 6 2 4 4 2
75 x 3 4 75 3 当 或 x 6
13 21
，即 x 或 x 时，函数 f x 取得最大值，不符合题意；
2 4 2 4 150 150
69
69 69 51
当 k 12时， ，k为偶数，则
，即 f x 6cos x ，由 x , ，则 x
, 6
，当2 4 2 4 15 6 2 4 20
69 x 4 x 10 ，即 时，函数 f x 取得最大值，符合题意.
2 4 92
3 69
故答案为： ，
2 2
【点睛】研究三角函数的最值、零点、对称中心、对称轴时，常常使用整体代入的解题思想，结合三角函数的性质，
可建立方程，解决问题；研究三角函数中参数的最值问题，根据题意，结合三角函数的周期性，给定一个范围，进
行检验，即可解决.
四、解答题
17．已知函数 f (x) tan( 2x )
2
，其中 为三角形的一个内角，且2cos cos 1 0.
(1)求函数 f (x)的解析式及定义域； (2)求函数 f (x)的对称中心及单调区间.
2π 2 2 kπ π
【答案】(1) ， f (x) tan( 2x ) tan(2x )，定义域为 x x ,k Z ，
3 3 3 2 12
π π kπ 5π kπ π
（2）对称中心为 ( k ,0),k Z
;单调递减区间为 , ， k Z；无递增区间。3 4 2 12 2 12
1
【分析】（1）确定 (2cos 1)(cos 1) 0，得到 cos 或 cos 1，根据角度范围得到答案.计算定义域。
2
kπ π 2x 2π kπ π（2）令 ， k Z，解得答案. 【注】对称中心是最易错点！
2 3 2
【详解】（1）○1 2cos2 cos 1 0，则 (2cos 1)(cos 1) 0
1
，得 cos 或 cos 1，
2
高一上学期第二次月考 第 13页 /共 4页 数学试卷
{#{QQABAYKQggAgQBAAABgCQQH6CAOQkBCCCIoOBBAIoAABgAFABAA=}#}
cos 1 2π 2 2 为为三角形内角，则 ，故 .则 f (x) tan( 2x ) tan(2x )
2 3 3 3
2π π kπ π kπ π
○2令 2x kπ ，得 x ， k Z .即函数的定义域为 x x ,k Z
2 12 .3 2 2 12
2x 2π k π x π k π π π（2）○1 ，得 ，故对称中心为 ( k ,0),k Z ;
3 2 3 4 3 4
kπ π 2x 2π kπ π kπ π x kπ 7π○2令 ， k Z，解得 ， k Z，
2 3 2 2 12 2 12
kπ π kπ 7π
即函数的单调递减区间为 ,
， k Z，无单调增减区间.
2 12 2 12
18．角 的始边与 x轴的非负半轴重合，终边与如图的单位圆交于点 A x1, y
π
1 ，将射线OA绕点O按逆时针方向旋转 3
后与单位圆相交于点B x2 , y2 ，设 f y1 y2．
π π π
(1) f 求 的值；(2)函数 g x f 2x 1 f x 的最小值为 ，求实数 的值．
6 3 2
2 3
3
【答案】(1) (2) 0或 2
2
π π
【分析】（1）由三角函数定义可得 y1, y2；方法一：将 直接代入即可求得 f ；方法二：利用两角和差公式6 6
π
和辅助角公式化简得到 f 3 sin
，代入
π
即可；
6 6
（2）结合诱导公式和二倍角公式，采用换元法可将h x 转化为关于 t 1,1 的二次函数的形式，讨论对称轴位置即
可利用最小值构造方程求得 的值.
π
【详解】（1）由题意知： y1 sin ， y2 sin 3
，
π π π π 1 3
方法一： f sin sin 1 ；
6 6 6 3 2 2
f sin sin π sin sin cos π cos sin π 3sin 3cos 3 sin π 方法二： ，
3 3 3 2 2 6
f π π 3 6
3 sin .
3 2
（2）由（1）得： f 2x
π
3 sin 2x π ，
3 6
高一上学期第二次月考 第 14页 /共 4页 数学试卷
{#{QQABAYKQggAgQBAAABgCQQH6CAOQkBCCCIoOBBAIoAABgAFABAA=}#}
h x 3 sin 2x
π π 2π π
6
3 1 sin x 3 cos 2x 3 1 sin x
3 3 3
2 3 sin2 x π π π
3 1 sin x 3，令 sin
x t，则 t 1,1 ，
3 3 3
m t 2 3t2 3 1 t 3 3[ 2t2 1 t 1] 1是开口方向向下，对称轴为 t 的抛物线，
4
1
①当 0，即 1时，m t m 1 3 3 1 2 3min ，解得： 0；4
1
②当 0，即 1时，m t min m 1 3 3 1 2 3，解得： 2；4
综上所述： 0或 2 .
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数单调区间、与正弦函数有关的复合函数最值的求解问题；本题根据最值
求解参数值的关键是能够结合二倍角公式，将问题转化为关于变量 t的二次函数的形式，进而利用含参数二次函数最
值的求法来进行讨论.
sin 2π x cos π x cos π 11π x cos x
f x 2
19
2
．已知 .
cos π x sin 3π x sin π x sin 9π x 2
(1)若 f 2，求 sin cos 2sin2 的值.
1 1 π
(2)若 f ， f ，且 , 0, ，求 2 的值.
2 3 2
6 π
【答案】(1) (2)
5 4
【分析】（1）利用诱导公式化简 f (x)，并得到 tan 2,将sin cos 2sin2 化为齐次式，转化为正切计算即可;
1 1
（2）结合题意求出 tan( ) ，tan ，再通过配凑角求出 tan(2 )，找到 2 的范围，从而求出 2
3 2
的值.
【详解】（1） f (x) tan x，【见教科书 p193例题 4】
2 2
f ( ) 2, tan 2,， sin cos 2sin2 sin cos 2sin tan 2 tan 2 8 6 2 2 2 .cos sin 1 tan 1 4 5
（2）依题意，由 f (
1 1 1 1
) , f ( ) ，可得 tan( ) ， tan ，
3 2 3 2
1 1
tan(2 ) tan[( ) ] tan( ) tan
3 2 1 .
1 tan( ) tan 1 1
6
, 0, π π π ，
, ，
2 2 2
又 tan(
π
) 0 ,
π
0, ， 2 (0, π)， 2 .
2 4
高一上学期第二次月考 第 15页 /共 4页 数学试卷
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20.定义在 R上的函数 f x Asin x A 0, 0,0 ，若 f (x)在 x 0,7 内只取到一个最大值和一个
2
最小值，且当 x 时函数取得最大值为3；当 x 6 ，函数取得最小值为 3．
（1）求函数 f (x)的解析式；
（2）求关于m的不等式 f m2 2m 3 f m2 4 的解集;
1
（3）若将函数 f x 的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的 得到函数 g x ，再将函数 g x 的图像向左平移
3
0 0 0 个单位得到函数 h x ，已知函数 y eg ( x) lg h(x)的最大值为 e，求满足条件的 0的最小值.
1 3 1
【答案】（1） y 3sin x ；（2） , 2 ，见解析；（3）最小值为10
5 10 2
2
【分析】（1）利用最大值和最小值可确定A，又T 10 ，可求得 ；根据 f 3，结合 的范围可求得 ，
从而得到解析式；（2）首先保证原式有意义可得到 1 m 2；根据二次函数性质可确定0 m2 2m 3 2，
0 m2 4 2；由函数在 4 , 上递增可确定 m2 2m 3 m2 4，解不等式求得结果；（3）根据三角函
数伸缩和平移变化得到 g x 和h x ；由复合函数单调性可确定当 y eg ( x) lg h(x)取最大值时，需
g x sin 1 x 3 1 3 1
1与 h x sin
x
0 1同时取得，从而求得 0 10k ，根据 0 0确定最小值.
5 10 5 10 5
【详解】（1） f x fmax 3， f x f 6 min 3 T
2
A 3， 2 6 10 1
5
f 3sin 3
2k ， k Z解得： 2k
3 3
， k Z，又 0
5 5 2 10 2 10
f x 3sin 1 x 3
5 10
m2m 2m 3 0（2） 满足 2 ，解得： 1 m 2
m 4 0
m2 2m 3 m 1 2 4 4 0 m2 2m 3 2，同理0 m2 4 2
1
由（1）知函数在 4 , 上递增，故 m2 2m 3 m2 4，即m , 2 。
2
（3）由题意知： g x sin 1 x 3 1 ， h x sin
x 3 1
5 10 0 5 10 5
函数 y ex与函数 y lg x均为单调增函数，且 1 g x 1，0 h x 1
1 3 1 3 1
当且仅当 g x sin x 1 h x sin x 与 0 1同时取得才有函数的最大值为 e
5 10 5 10 5
由 g x sin 1 x 3 1
1 x 3 得： 2k ， k Z
5 10 5 10 2
h x sin 1 3 1 1则 x
0 1 cos
0 1 0 10k ， k Z 又 0 0 0的最小值为10
5 10 5 5
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【点睛】本题考查根据三角函数性质求解函数解析式、三角函数中的能成立问题的求解、根据函数最值求解参数值
的问题；本题利用最值求解参数的关键是能够通过复合函数单调性确定取得最值时 g x 与 h x 的值，进而利用三角
函数的知识求得结果，属于难题.
21．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影
响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深 y（单位：米）与时间 x（单位：时）
的大致关系：
假设 1月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
(1)请运用函数模型 y A sin( x )
π π
h A 0, 0, ,h R
，根据以上数据写出水深 y与时间 x的函数的
2 2
近似表达式；
(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于 3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，
吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天 0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时 0.3米的速度匀
速减少，卸完货后空船吃水 3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽
早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．
π π
【答案】(1) y 3sin( x ) 8, x [0, 24]；
6 6
(2) ①0点到 4点以及 12点到 16点进入港口；
②该船在 0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.
【分析】（1）根据给定的图形，求出函数模型中的各个参数作答.
（2）①根据给定条件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函数关系，数形结合求解作答.
11 5 2π π
【详解】（1）观察图形知， 2A 11 5，解得 A 3， h 8， 14 2，解得 ，
2 6
显然函数 y 3sin(
π x ) 8 (2,11) sin(π ) 1 π π π 的图象过点 ，即 ，又 ，因此 ，
6 3 2 2 6
高一上学期第二次月考 第 17页 /共 4页 数学试卷
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π
所以函数表达式为 y 3sin( x
π
) 8, x [0, 24] .
6 6
π π π π 1
3sin( x ) 8 6 3.5 sin( x )
（2）①依题意， 6 6 ，整理得 6 6 2，
0 x 24 0 x 24
π π π 5π
2kπ x 2kπ(k Z) 12k x 4 12k (k Z)
即有 6 6 6 6 ，即 ，解得0 x 4或12 x 16，
0 x 24 0 x 24
所以该船可以在 0点到 4点以及 12点到 16点进入港口.
②由①的结论知，该船明日 0点即可进港开始卸货，设自 0点起卸货 x小时后，该船符合安全条例的最小水深为
y 0.3x 6 3.5 π π，如图，函数 y 0.3x 6 3.5与 y 3sin( x ) 8的图像交于点 (5,8)，
6 6
即卸货 5小时后，在 5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为 4.5米，
令3sin(
π x π ) 8 4.5 3.5，即 sin(
π x π ) 0，2kπ
π π
x 2kπ π(k Z)，解得12k 1 x 12k 5(k Z)，显
6 6 6 6 6 6
然11 x 17，该船在 11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为 16点，
综上所述，方案如下：该船在 0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.
【点睛】思路点睛：给定 f (x) Asin( x＋ )(A 0, 0)的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）
点定 A，求出周期定 ，由图象上特殊点求 .
高一上学期第二次月考 第 18页 /共 4页 数学试卷
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22．已知函数 f (x) sin x acos x
的图象关于 x 对称， g(x)是函数 y ex的反函数.
4
（1）求方程 f (x) cos2x在[0,2 ]上的解集；
（2）求证：函数 F(x) f (x)
3
g(x) x 2 g(x ) 1 1有且仅有一个零点 0，且 0 sin 2x2 3 3 0
.
3
后续答案此处略。
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数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4页，满分为 150分。考试用时 120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，
用 2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内
的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不
准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁和平整。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．与 2024 终边相同的最小正角为（ ）
A．136 B． 224 C． 44 D．134
2．已知扇形的周长为 4，圆心角为弧度数 2，则扇形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． π D． 2π
3 cos
5
．已知 为锐角，若 ，则 sin
6 13 12
（ ）
A 17 2 7 2 7 2 17 2． B． C． D．
26 26 26 26
1 x2 cos x 3π 4．函数 f x 2 的图象大致为（ ）
x
A． B． C． D．
5 1 3
2 tan19 1 cos72
．设 a cos7 sin 7 ，b ， c ，则有（ ）
2 2 1 tan219 2
A． a b c B．b a c C． a c b D． c b a
6．已知 ,
0, π 1 3 2 ，
cos ， sin ，则 tan tan 的值为（ ）
5 5
1 3 5A． 2 B． C． D．25 3
7．已知把函数 f x sin x π cos x 3 π 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，
3 4 3
得到函数 g x 的图象，若 g x g x 11 2 ，且 x1,x2 π, π ，则 x1 x2的最大值为（ ）4
A． π
3π 3π
B． C． D． 2π
4 2
8．已知函数 f x 4cos x ( 0) 在 0, 上的最小值恰为 ，则所有满足条件的 的积属于区间（ ）
12 3
A． 1,4 B． 4,7 C． 7,13 D． 13,
高一上学期第二次月考 第 1页 /共 4页 数学试卷
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二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若 tan 0且 sin 0，则 为第二象限角
B．锐角 终边上一点坐标为 P sin1,cos1 ，则 1
2
C．若 sin cos 1，则 是第一象限角
sin cos
D 2 2．若 是第三象限角，则 取值的集合为 2,0, 2
sin cos
2 2
10．在△ ABC中，下列命题中正确的是（ ）
A． cos A cos(B C)为常数
B．若 sin 2A sin 2B，则△ ABC为等腰三角形
C．若 sin 2A cos2B，则 (1 tan A)(1 tan B) 2
D．若三角形△ ABC是锐角三角形，则 sin(sin A) sin(cosB)
11．如图，正方形 ABCD的长为 2，O为边 AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋
转的过程中，记 AOP为 x，射线OP扫过的正方形 ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为 f x ，则下列说法
正确的是（ ）
A． f
1
4 2
π
B ． f x 在 ,π 上为减函数
2
C． f x f x 4
D．若O，E为DA，AB上的动点，且DO EB OE，则 OCE为定值
12．已知函数 f x tan sin x tan cos x ，则（ ）
A． 2π是 f x 的周期
B． f x 的图象有对称中心，没有对称轴
π
C．当 x 0, 时， f x tan sin x cos x
2
D．对任意 k Z， f x kπ π在 , kπ
上单调
2
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
π
13．已知点 A cos ,sin 与点 B(cos( ),sin( π ))关于 y轴对称，写出一个符合题意的 ．
5 5
π
14．已知函数 f (x) Asin x b（ A 0， 0， ）
2
的一部分图象如图所示，则 f (2 ) ．
4 3 2
x , x 0,3 ,
15．已知函数 f x 9 2 若存在实数 a、b、c、d满足
sin
x, x 3,15
6
f a f b f c f d （其中 a b c d），则 cd a b 的取值范围是 .
16．已知函数 f (x) 6cos( x )( 0,0 )
对 x R都有 f x f ，且 x 是 f（x）的一个零点．
6 6
（1）若 f x 的周期大于 ，则 ＝ ；
（2）若 y f x 6 , 在 上有且只有一个零点，则 的最大值为 ．
15 6
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四、解答题：本小题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数 f (x) tan( 2x )，其中 为三角形的一个内角，且2cos2 cos 1 0.
（1）求函数 f (x)的解析式及定义域；
（2）求函数 f (x)的对称中心及单调区间.
π
18．角 的始边与 x轴的非负半轴重合，终边与如图的单位圆交于点 A x1, y1 ，将射线OA绕点O按逆时针方向旋转 3
后与单位圆相交于点B x2 , y2 ，设 f y1 y2．
（1）求 f
π
的值；
6
（2）若函数 g x f 2 x π 1 f π
3
x 的最小值为 2 3，求实数 的值．
2
sin 2π x cos π x cos π x cos 11π x
2 2
19 ．已知 f x 9π .cos π x sin 3π x sin π x sin x
2
（1）若 f 2，求 sin cos 2sin2 的值；
f 1（2）若 ， f π 1 , 0, ，且 ，求 2 的值.
2 3 2
20．定义在 R上的函数 f x Asin x A 0, 0,0 ，若 f (x)在 x 0,7 内只取到一个最大值和一
2
个最小值，且当 x 时函数取得最大值为3；当 x 6 ，函数取得最小值为 3．
（1）求函数 f (x)的解析式；
2 2 2（ ）求关于m的不等式 f m 2m 3 f m 4 的解集；
1
（3）若将函数 f x 的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的 得到函数 g x ，再将函数 g x 的图像向左平移
3
0 0 0 个单位得到函数 h x ，且函数 y eg ( x) lg h(x)的最大值为 e，求满足条件的 0的最小值.
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21．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影
响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深 y（单位：米）与时间 x（单位：时）
的大致关系：
假设 1月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
π π
（1）请运用函数模型 y A sin( x ) h A 0, 0, ,h R ，根据以上数据写出水深 y与时间 x
2 2
的函数的近似表达式；
（2）根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于 3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载
货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天 0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时 0.3米的
速度匀速减少，卸完货后空船吃水 3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该
船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．
22．已知函数 f (x) sin x acos x
的图象关于 x 对称， g(x)是函数 y ex的反函数.
4
（1）求方程 f (x) cos2x在[0,2 ]上的解集；
F(x) f (x) 3（2）求证：函数 g(x)
2 1 1
有且仅有一个零点 x0，且 g(x 0) sin 2x2 3 3 0
.
3
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一、单选题
1．与 2024 终边相同的最小正角是（ ）
A．136 B． 224 C． 44 D．134
【答案】A【分析】根据任意角的周期性，将 2024 化为360 k (0 360 )，即可确定最小正角.
【详解】因为 2024 360 6 136 ，所以与 2023 终边相同的最小正角是136 .
2．已知扇形的周长为 4，圆心角为弧度数 2，则扇形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． π D． 2π
【答案】A【分析】设扇形的半径为 r，弧长为 l，由扇形的弧长公式结合扇形的周长可求得 r、 l的值，再利用扇形
的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l 2r，扇形的周长为 l 2r 4r 4，可得 r 1，所以， l 2，故该扇形
1 1
的面积为 S lr 2 1 1 .
2 2
3
5
．已知 为锐角，若cos ，则 sin
（ ）
6 13 12
A 17 2 B 7 2 7 2 17 2． ． C． D．
26 26 26 26
【答案】C 【分析】由平方关系得 sin ，然后配角并利用两角差的正弦公式计算 sin .
6 12
【详解】由题意，
2
2 12
6
, ， sin 1 cos ， 6 3 6 6 13
sin sin sin cos cos
sin 7 2 .
12 6 4 6 4 6 4 26
1 x2
4 cos
3π
．函数
x
f x 2
的图象大致为（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】先化简函数解析式，利用奇偶性和函数值的符号可得答案.
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1 x2 cos x 3π 2
【详解】由题可得 2 1 x sinxf x ，且其定义域为 ,0 U 0, ，
x x
1 ( x)
2 sin x 1 x2 sinxf x f x ，所以函数 f x 为偶函数，故排除 C，D选项；
x x
又当 x 0,1 时，1 x2 0， sinx 0，所以 f x 0，故排除 A选项.
5 1 3
2 tan19 1 cos72
．设 a cos7 sin 7 ，b ， c ，则有（ ）
2 2 1 tan219 2
A． a b c B．b a c C． a c b D． c b a
【答案】B【分析】利用辅助角公式化简 a，正切二倍角公式和放缩放化简b，余弦二倍角公式化简 c，然后根据正
弦函数的单调性比较可得.
1 3
【详解】 a cos7 sin 7 sin 30 cos7 cos30 sin 7 sin 30 7 sin 37 ，
2 2
b 2 tan19 tan 38 sin 38 sin 38 2 sin 38 ，1 tan 19 cos38 1
1 cos72 1 1 2sin 236 c sin 36 ，
2 2
因为当0 x 90 时， y sin x单调递增，所以 sin38 sin37 sin36 ，所以b a c .
6.已知 ,
π
0, ，cos
1
， sin 3 ，则 tan tan 的值为（ ）
2 5 5
3 5
A 1． 2 B． C． D．25 3
【答案】B【详解】法一： cos cos cos sin sin 1 ，sin sin cos cos sin 3 ，
5 5
2
由于 ,
π π π 3 4
0, ，所以 ，所以 cos 1 ， 2 2 2 5 5
5
则 cos cos ,sin sin
3
，从而 tan tan
3
= 。
10 10 5
法二： cos cos cos sin sin 1 ， sin sin cos cos sin 3 ，
5 5
cos cos sin sin 1 1 tan tan 1
cos cos
sin cos ，分子分母同时除以 得： ①， cos sin 3 tan tan 3
π π π 2 3 4 sin 3由于 , 0, ，所以 ，所以2 2 2 cos 1 ，所以
tan
5 5 cos 4
，
tan tan 3 3 3 1 tan tan 1
即 , tan tan tan tan 3 3
tan tan 3
1 tan tan 4 4 4 ，代入①得： tan tan 3，解得 .
4 4 5
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7 f x sin π 3 π．已知把函数 x cos x 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，
3 4 3
得到函数 g x 的图象，若 g x1 g x2
1
，若 x ,x π, π ，则 x x 的最大值为（ ）
4 1 2 1 2
π 3π 3πA． B． C． D． 2π
4 2
【答案】C【分析】先化简函数 f x ，然后根据图像的变换得函数 g x 的解析式，通过判断得x ，x g1 2同时令 x 取
1
得最大值或最小值时， g x1 g x2 ，再结合函数 g x 的图像，即可求得 x1 x2 的最大值.4
【详解】 f x sin x π cos x
3
sin x cos
π
cos x sin π cos x
3 1
sin xcos x 3 cos2 x 3
3 4 3 3 4 2 2 4
1
sin 2x 3 1 cos 2 x 3 1 sin π π 2x
．将图象向右平移至 个单位长度，4 2 2 4 2 3 3
1 π
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 g x ，可得 g x sin 4x ，
2 3
所以 g x 1 ， g x 1 max 2 min ，2
∴ x1,x2 同时使得 g x
1 π π π
取得最大值或最小值时， g x1 g x2 ．当 x ,x π, π 时， 4π 4x 4π ，4 1 2 3 3 3
x 3π根据函数的图象可知 1 x2的最大值为3个周期的长度，即 ,故选：C.2
8．已知函数 f x 4cos x
( 0)， f x
在区间 0,
上的最小值恰为 ，则所有满足条件的 的积属于区 12 3
间（ ）
A． 1,4 B． 4,7 C． 7,13 D． 13,
【答案】C【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.
【详解】当 x
0, x 时 , ，因为此时 f x 的最小值为 0，所以
7
12 12 3 12 ，即
.
3 3 12 2 4
若 ，此时 f x 能取到最小值 4，即 4 4 ，代入可得 4 ，满足要求；3 12 3 12
13
若 f x 取不到最小值 4，则需满足 ，即 ，3 12 4
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p 4cos π π 7 13 又因为 在 , 上单调递减，所以存在唯一 符合题意；
3 12 4 4
7 13
所以ω= 4或者 ,4 4 ，所以所有满足条件的
的积属于区间 7,13 ，故选：C
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若 tan 0且 sin 0，则 为第二象限角
B．锐角 终边上一点坐标为 P sin1,cos1 ，则 1
2
C．若 sin cos 1，则 是第一象限角
sin cos
D.若 2 2是第三象限角，则 取值的集合为 2,0, 2
sin cos
2 2
【答案】ABC【详解】A选项： tan 0，则 为第二象限或第四象限角； sin 0，
则 为第一象限或第二象限角，同时满足上述条件，所以 为第二象限角.B正确；
B选项：锐角 终边上一点坐标为 P sin37 , cos37 ，则有 cosa sin 37= = cos53 ，
sin2 37 + cos2 37
sina cos37= = sin 53 tana sina sin 53°，所以 = = = tan 53° ，且 为锐角，所以 53 ，B正确.
sin 2 37 +cos2 37 cosa cos53°
C选项，【法一】平方后发现 sin cos 1且sin cos 0
【法二】由题意得 sin cos 2 sin
π
1 sin π 2 π 2kπ π 3π ，故 ，故 2kπ,k Z，解得 4 4 2 4 4 4
2kπ π 2kπ,k Z，则 是第一象限，C正确；
2
sin cos
D.若
2 2
是第三象限角，则 是第二或第四象限角，因此 取值的集合为 0 ，故选：ABC
2 sin cos
2 2
10．在△ ABC中，下列命题中正确的是（ ）
A. cos A cos(B C)为常数
B.若sin 2A sin 2B，则△ ABC为等腰三角形
C.若sin 2A cos2B，则 (1 tan A)(1 tan B) 2
D.若三角形△ ABC是锐角三角形，则 sin(sin A) sin(cosB)
【答案】AD 【注：C不对，应该还有一种情况！】
11．如图，正方形 ABCD的长为 2，O为边 AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋
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AOP x OP ABCD f x 转的过程中，记 为 ，射线 扫过的正方形 内部的区域（阴影部分）的面积为 ，则下列说法正
确的是（ ）
1
A． f 4
2
B． f x π在 ,π
上为减函数
2
C． f x f x 4
D．若O，E为DA，AB上的动点，且DO EB OE，则 OCE为定值
【答案】ACD
【分析】求出当0 tan x 2时，函数 f x 的解析式，可判断 A选项的正误；利用 f x 的单调性可判断 B选项的正
误；利用对称性可判断 C选项的正误；利用特殊值法可判断 D选项的正误.
AE
【详解】对于 A选项，当0 tan x 2时，设OP交 AB于点 E， tan x tan AOE AEOA ，
1 1 1 1所以， f x OA AE tanx ， 0 tan 2 f ， tan ，A选项正确；
2 2 4 4 2 4 2
对于 B选项，当 x
,
时，射线OP扫过的正方形 ABCD内部的区域（阴影部分）的面积显然逐渐增加，即函数
2
f x π在 ,π
上单调递增，B选项错误；
2
对于 C选项，取 BC的中点G，连接OG，设射线OP与正方形的边的交点为 E，作点 E关于直线OG的对称点 F ，
则 FOD x，所以， AOF x ，
将射线OF 绕O点按顺时针方向旋转扫过正方形 ABCD的面积为S，由对称性可知 S f x ，因为 S f x 4，
即 f x f x 4，C选项正确；
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对于 D选项，改编自教科书 P255T23，D选项正确故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数基本性质的判断问题，在判断函数 f x 的单调性时，需要充分利用 f x 的几
何意义，结合面积的对称性来求解，另外在判断某些结论不成立时，可充分利用特殊值来进行否定.
12．已知函数 f x tan sin x tan cos x ，则（ ）
A． 2π是 f x 的周期
B． f x 的图象有对称中心，没有对称轴
x 0, π C．当 时， f x tan sin x cos x
2
D．对任意 k Z， f x π 在 kπ , kπ 上单调
2
【答案】ACD【分析】对于 A选项：根据函数周期的定义令 x x 2π，即可判断；对于 B选项：根据函数对称性
3π π π
的定义分别令 x x和 x x，即可判断；对于 C选项：根据正、余弦函数的图象和性质得到 sin x cos x，
2 2 2
π
再结合正切函数的单调性得到 tan sin x tan cos x
，最后利用三角恒等变换化简式子，即可判断；对于 D选项：
2
根据 A选项函数的周期得到只需考虑 k 0， k 1即可，再结合复合函数单调性，即可判断.
【详解】对于 A选项：因为 f x 2π tan sin x 2π tan cos x 2π tan sin x tan cos x f x ，
则 2π是 f x 的周期，所以 A选项正确；
f 3π x 对于 B选项：因为 tan
sin 3π x
tan
cos
3π
x
tan cos x tan sin x， 2 2 2
f π x tan sin π x tan cos π x 且 tan cosx tan s inx ， 2 2 2
3π
所以 f x f x
0， f x
π
f x
，则 f x
3π π
的图象关于点
2 2
,0 成中心对称，关于直线 x 成轴对称，
4 4
所以 B选项错误；
π π π
对于 C选项：当 x 0, 时，易知 sin x，cos x 0,1 ，且 sin x cos x 2 sin x
2
π
，即 sin x cos x，
2 4 2 2
sin π cos x
cos cos x则 tan sin x tan π cos x
2 1
，所以0 tan sin x tan cos x 1，
2 cos π cos x
sin cos x tan cos x
2
则 tan sin x tan cos x
tan sin x tan cos x
tan sin x cos x
1 tan sin x tan cos x ，所以 C选项正确；
对于 D选项：由 A选项知： 2π是 f x 的周期，所以只需考虑 k 0， k 1即可，
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k 0 x
π
当 时， ,0
，所以 sin x和 cos x均单调递增，所以 f x 单调递增；
2
当 k 1时， x
π
, π ，所以 sin x和cos x均单调递减，所以 f x 单调递减，所以 D选项正确.．
2
【点睛】方法点睛：（1）函数奇偶性、周期性和对称性的判断常用定义去验证；
（2）要证明周期函数的单调性往往只需证明函数的一个周期的单调性，复杂函数的单调性判断优先尝试利用复合函
数的“同增异减”.
三、填空题
13.若点 A cos ,sin π π与点 B(cos( ),sin( ))关于 y轴对称，写出一个符合题意的 ______.
5 5
2π
【答案】
5
π
14.已知函数 f (x) Asin x b的一部分图象如图所示，其中 A 0， 0， ，则
2 f (2 ) ．
【答案】3【分析】根据函数图象可得最值和周期，进而可求出 A,b, ，再利用待定系数法求出 即可.
A b 4 5π π
【详解】根据图象可知，函数的最大值 4和最小值 0，得 ，解得 A 2,b 2
，函数的最小正周期T 4，
A b 0
12 6
T π 2π π π π π π即 , 2 x ，当 时取最大值 4，即 sin 2 1， 2 2kπ (k Z)，即 2kπ (k Z)， 6 6 6 2 6
| | π , π 故答案为：
2 6 . 3
4 2
x
3
, x 0,3 ,
15. f x 9
2
已知函数 若存在实数 a、b、c、d满足 f a f b f c f d （其中 a b c d ），
sin x, x 3,15 6
则cd a b 的取值范围是 .
【答案】 135,216
【分析】首先作出函数的图像，然后利用对称性得到 a+b,c+d的值，再通过图像求出 c的取值范围，然后消去 d，利
用二次函数的图像和性质求出范围.
【详解】根据函数的性质作出图像，如图所示：
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由图像的对称性可知： a b 3， c d 18(3 c 6)，所以 d 18 c，
所以 a b cd 3c(18 c) 3( c2 18c) 3(c 9)2 243，
因为3 c 6，结合二次函数的图像，3代入有： a b cd 135，
6代入有： a b cd 216，所以 a b cd 135,216 .故答案为： 135,216 .
【点睛】分段函数求值域或者范围的问题一般采用图像法，这里要求对初等函数的图像和性质必须要熟练掌握；另
外求 cd的范围很容易想到用基本不等式，但切忌一定要注意变量的范围，所以这里我们通过消元，最后通过函数的
角度求出范围.
16.已知函数 f (x) 6cos( x )( 0,0
) ，对 x R都有 f x f ，且 x 是 f（x）的一个零点．
6 6
（1）若 f x 的周期大于 ，则 ＝ ；
（2）若 y f x 6 在 ,
上有且只有一个零点，则 的最大值为 ．
15 6
3 69
【答案】 ；
2 2
【分析】（1）根据余弦函数的性质，建立方程组，由题意，可得答案；
（2）根据函数与方程的关系，将问题转化为三角函数求最值，结合三角函数的性质，求得 的取值范围，由大到小
进行检验，可得答案.
k1 , k1 Z
k1 k 2 , k 6 4 2 1, k2 Z
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
k2 , k2 Z
3
3 k1 k , k , k Z 6 2 2 2 1 2
2
由 f（x）的周期大于π，则T ，即0 2，
当 k1 k 0
4
2 时， 3，不符合题意，舍去；
2
3
当 k1 1, k 2 0
4
时， ，符合题意.
3
2
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（2）由 y f x 6 在 , 上有且只有一个零点，则方程6cos x 6 0
在
15 6
, 上有且只有一个根，
15 6
1 cos x 1 f x , x 4 因为 ，所以 在 上有且只有一个 0，使得函数取得最大值，则 2T ，
15 6 6 15 10
解得 40，
k1 k2 , k1, k 4 2 2 Z
由（1）可知 ，
3 3 k1 k , k , k Z 2 2 1 2
1 2k k k , k Z 1 k2 4
令 ，则 ，且 k k 2k ，故 k ,k k 同奇偶， k
2
1 k2 6k 3 , k Z 2
6k 3 83
由 40，则 40，解得 k ，即 k 13，
2 6
k 75 3
75 3 75 3 13 14
当 13时， ，k为奇数，则 ，即 f x 6cos x
，由 x , ，则 x
, ，
2 4 2 4 15 6 2 4 4 2
75 x 3 4 75 3 当 或 x 6
13 21
，即 x 或 x 时，函数 f x 取得最大值，不符合题意；
2 4 2 4 150 150
69
69 69 51
当 k 12时， ，k为偶数，则
，即 f x 6cos x ，由 x , ，则 x
, 6
，当2 4 2 4 15 6 2 4 20
69 x 4 x 10 ，即 时，函数 f x 取得最大值，符合题意.
2 4 92
3 69
故答案为： ，
2 2
【点睛】研究三角函数的最值、零点、对称中心、对称轴时，常常使用整体代入的解题思想，结合三角函数的性质，
可建立方程，解决问题；研究三角函数中参数的最值问题，根据题意，结合三角函数的周期性，给定一个范围，进
行检验，即可解决.
四、解答题
17．已知函数 f (x) tan( 2x )
2
，其中 为三角形的一个内角，且2cos cos 1 0.
(1)求函数 f (x)的解析式及定义域； (2)求函数 f (x)的对称中心及单调区间.
2π 2 2 kπ π
【答案】(1) ， f (x) tan( 2x ) tan(2x )，定义域为 x x ,k Z ，
3 3 3 2 12
π π kπ 5π kπ π
（2）对称中心为 ( k ,0),k Z
;单调递减区间为 , ， k Z；无递增区间。3 4 2 12 2 12
1
【分析】（1）确定 (2cos 1)(cos 1) 0，得到 cos 或 cos 1，根据角度范围得到答案.计算定义域。
2
kπ π 2x 2π kπ π（2）令 ， k Z，解得答案. 【注】对称中心是最易错点！
2 3 2
【详解】（1）○1 2cos2 cos 1 0，则 (2cos 1)(cos 1) 0
1
，得 cos 或 cos 1，
2
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cos 1 2π 2 2 为为三角形内角，则 ，故 .则 f (x) tan( 2x ) tan(2x )
2 3 3 3
2π π kπ π kπ π
○2令 2x kπ ，得 x ， k Z .即函数的定义域为 x x ,k Z
2 12 .3 2 2 12
2x 2π k π x π k π π π（2）○1 ，得 ，故对称中心为 ( k ,0),k Z ;
3 2 3 4 3 4
kπ π 2x 2π kπ π kπ π x kπ 7π○2令 ， k Z，解得 ， k Z，
2 3 2 2 12 2 12
kπ π kπ 7π
即函数的单调递减区间为 ,
， k Z，无单调增减区间.
2 12 2 12
18．角 的始边与 x轴的非负半轴重合，终边与如图的单位圆交于点 A x1, y
π
1 ，将射线OA绕点O按逆时针方向旋转 3
后与单位圆相交于点B x2 , y2 ，设 f y1 y2．
π π π
(1) f 求 的值；(2)函数 g x f 2x 1 f x 的最小值为 ，求实数 的值．
6 3 2
2 3
3
【答案】(1) (2) 0或 2
2
π π
【分析】（1）由三角函数定义可得 y1, y2；方法一：将 直接代入即可求得 f ；方法二：利用两角和差公式6 6
π
和辅助角公式化简得到 f 3 sin
，代入
π
即可；
6 6
（2）结合诱导公式和二倍角公式，采用换元法可将h x 转化为关于 t 1,1 的二次函数的形式，讨论对称轴位置即
可利用最小值构造方程求得 的值.
π
【详解】（1）由题意知： y1 sin ， y2 sin 3
，
π π π π 1 3
方法一： f sin sin 1 ；
6 6 6 3 2 2
f sin sin π sin sin cos π cos sin π 3sin 3cos 3 sin π 方法二： ，
3 3 3 2 2 6
f π π 3 6
3 sin .
3 2
（2）由（1）得： f 2x
π
3 sin 2x π ，
3 6
高一上学期第二次月考 第 14页 /共 4页 数学试卷
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h x 3 sin 2x
π π 2π π
6
3 1 sin x 3 cos 2x 3 1 sin x
3 3 3
2 3 sin2 x π π π
3 1 sin x 3，令 sin
x t，则 t 1,1 ，
3 3 3
m t 2 3t2 3 1 t 3 3[ 2t2 1 t 1] 1是开口方向向下，对称轴为 t 的抛物线，
4
1
①当 0，即 1时，m t m 1 3 3 1 2 3min ，解得： 0；4
1
②当 0，即 1时，m t min m 1 3 3 1 2 3，解得： 2；4
综上所述： 0或 2 .
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数单调区间、与正弦函数有关的复合函数最值的求解问题；本题根据最值
求解参数值的关键是能够结合二倍角公式，将问题转化为关于变量 t的二次函数的形式，进而利用含参数二次函数最
值的求法来进行讨论.
sin 2π x cos π x cos π 11π x cos x
f x 2
19
2
．已知 .
cos π x sin 3π x sin π x sin 9π x 2
(1)若 f 2，求 sin cos 2sin2 的值.
1 1 π
(2)若 f ， f ，且 , 0, ，求 2 的值.
2 3 2
6 π
【答案】(1) (2)
5 4
【分析】（1）利用诱导公式化简 f (x)，并得到 tan 2,将sin cos 2sin2 化为齐次式，转化为正切计算即可;
1 1
（2）结合题意求出 tan( ) ，tan ，再通过配凑角求出 tan(2 )，找到 2 的范围，从而求出 2
3 2
的值.
【详解】（1） f (x) tan x，【见教科书 p193例题 4】
2 2
f ( ) 2, tan 2,， sin cos 2sin2 sin cos 2sin tan 2 tan 2 8 6 2 2 2 .cos sin 1 tan 1 4 5
（2）依题意，由 f (
1 1 1 1
) , f ( ) ，可得 tan( ) ， tan ，
3 2 3 2
1 1
tan(2 ) tan[( ) ] tan( ) tan
3 2 1 .
1 tan( ) tan 1 1
6
, 0, π π π ，
, ，
2 2 2
又 tan(
π
) 0 ,
π
0, ， 2 (0, π)， 2 .
2 4
高一上学期第二次月考 第 15页 /共 4页 数学试卷
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20.定义在 R上的函数 f x Asin x A 0, 0,0 ，若 f (x)在 x 0,7 内只取到一个最大值和一个
2
最小值，且当 x 时函数取得最大值为3；当 x 6 ，函数取得最小值为 3．
（1）求函数 f (x)的解析式；
（2）求关于m的不等式 f m2 2m 3 f m2 4 的解集;
1
（3）若将函数 f x 的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的 得到函数 g x ，再将函数 g x 的图像向左平移
3
0 0 0 个单位得到函数 h x ，已知函数 y eg ( x) lg h(x)的最大值为 e，求满足条件的 0的最小值.
1 3 1
【答案】（1） y 3sin x ；（2） , 2 ，见解析；（3）最小值为10
5 10 2
2
【分析】（1）利用最大值和最小值可确定A，又T 10 ，可求得 ；根据 f 3，结合 的范围可求得 ，
从而得到解析式；（2）首先保证原式有意义可得到 1 m 2；根据二次函数性质可确定0 m2 2m 3 2，
0 m2 4 2；由函数在 4 , 上递增可确定 m2 2m 3 m2 4，解不等式求得结果；（3）根据三角函
数伸缩和平移变化得到 g x 和h x ；由复合函数单调性可确定当 y eg ( x) lg h(x)取最大值时，需
g x sin 1 x 3 1 3 1
1与 h x sin
x
0 1同时取得，从而求得 0 10k ，根据 0 0确定最小值.
5 10 5 10 5
【详解】（1） f x fmax 3， f x f 6 min 3 T
2
A 3， 2 6 10 1
5
f 3sin 3
2k ， k Z解得： 2k
3 3
， k Z，又 0
5 5 2 10 2 10
f x 3sin 1 x 3
5 10
m2m 2m 3 0（2） 满足 2 ，解得： 1 m 2
m 4 0
m2 2m 3 m 1 2 4 4 0 m2 2m 3 2，同理0 m2 4 2
1
由（1）知函数在 4 , 上递增，故 m2 2m 3 m2 4，即m , 2 。
2
（3）由题意知： g x sin 1 x 3 1 ， h x sin
x 3 1
5 10 0 5 10 5
函数 y ex与函数 y lg x均为单调增函数，且 1 g x 1，0 h x 1
1 3 1 3 1
当且仅当 g x sin x 1 h x sin x 与 0 1同时取得才有函数的最大值为 e
5 10 5 10 5
由 g x sin 1 x 3 1
1 x 3 得： 2k ， k Z
5 10 5 10 2
h x sin 1 3 1 1则 x
0 1 cos
0 1 0 10k ， k Z 又 0 0 0的最小值为10
5 10 5 5
高一上学期第二次月考 第 16页 /共 4页 数学试卷
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【点睛】本题考查根据三角函数性质求解函数解析式、三角函数中的能成立问题的求解、根据函数最值求解参数值
的问题；本题利用最值求解参数的关键是能够通过复合函数单调性确定取得最值时 g x 与 h x 的值，进而利用三角
函数的知识求得结果，属于难题.
21．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影
响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深 y（单位：米）与时间 x（单位：时）
的大致关系：
假设 1月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
(1)请运用函数模型 y A sin( x )
π π
h A 0, 0, ,h R
，根据以上数据写出水深 y与时间 x的函数的
2 2
近似表达式；
(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于 3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，
吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天 0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时 0.3米的速度匀
速减少，卸完货后空船吃水 3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽
早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．
π π
【答案】(1) y 3sin( x ) 8, x [0, 24]；
6 6
(2) ①0点到 4点以及 12点到 16点进入港口；
②该船在 0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.
【分析】（1）根据给定的图形，求出函数模型中的各个参数作答.
（2）①根据给定条件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函数关系，数形结合求解作答.
11 5 2π π
【详解】（1）观察图形知， 2A 11 5，解得 A 3， h 8， 14 2，解得 ，
2 6
显然函数 y 3sin(
π x ) 8 (2,11) sin(π ) 1 π π π 的图象过点 ，即 ，又 ，因此 ，
6 3 2 2 6
高一上学期第二次月考 第 17页 /共 4页 数学试卷
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π
所以函数表达式为 y 3sin( x
π
) 8, x [0, 24] .
6 6
π π π π 1
3sin( x ) 8 6 3.5 sin( x )
（2）①依题意， 6 6 ，整理得 6 6 2，
0 x 24 0 x 24
π π π 5π
2kπ x 2kπ(k Z) 12k x 4 12k (k Z)
即有 6 6 6 6 ，即 ，解得0 x 4或12 x 16，
0 x 24 0 x 24
所以该船可以在 0点到 4点以及 12点到 16点进入港口.
②由①的结论知，该船明日 0点即可进港开始卸货，设自 0点起卸货 x小时后，该船符合安全条例的最小水深为
y 0.3x 6 3.5 π π，如图，函数 y 0.3x 6 3.5与 y 3sin( x ) 8的图像交于点 (5,8)，
6 6
即卸货 5小时后，在 5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为 4.5米，
令3sin(
π x π ) 8 4.5 3.5，即 sin(
π x π ) 0，2kπ
π π
x 2kπ π(k Z)，解得12k 1 x 12k 5(k Z)，显
6 6 6 6 6 6
然11 x 17，该船在 11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为 16点，
综上所述，方案如下：该船在 0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.
【点睛】思路点睛：给定 f (x) Asin( x＋ )(A 0, 0)的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）
点定 A，求出周期定 ，由图象上特殊点求 .
高一上学期第二次月考 第 18页 /共 4页 数学试卷
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22．已知函数 f (x) sin x acos x
的图象关于 x 对称， g(x)是函数 y ex的反函数.
4
（1）求方程 f (x) cos2x在[0,2 ]上的解集；
（2）求证：函数 F(x) f (x)
3
g(x) x 2 g(x ) 1 1有且仅有一个零点 0，且 0 sin 2x2 3 3 0
.
3
后续答案此处略。
高一上学期第二次月考 第 19页 /共 4页 数学试卷
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