二次函数总复习
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二次函数总复习
一、内容提要
（一）二次函数的解析式：
1．一般式：y=ax2+bx+c；其中 a≠0, a, b, c 为常数
2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。
3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。
注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。
（二）二次函数的图象：抛物线
（三）性质：
1．对称轴，顶点坐标：
2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。 a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。
3．增减性：（Ⅰ）a>0时， 当x 时，y随x增大而减少
当x> 时，y随x增大而增大
（Ⅱ）a<0时，
当x 时，y随x增大而增大
当x> 时，y随x增大而减小
4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x= 时，
（Ⅱ）a<0时，当x= 时，
5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）
特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。
6．抛物线与x轴的位置关系：
（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。
（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（ ，0）
（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（ ，0）
二、典型例题：
例1．已知 +3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。
解：由题意得 解得 m=-1
∴y=-3x2+3x+6= ,
开口向下，顶点坐标（ ），对称轴x= 。
说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配
方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（ ）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。
例2．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, Δ=b2-4ac的符号，(2)
求证:a-b+c>0, (3)当x取何值时，y>0, 当x取何值时y<0。
解：（1）由抛物线的开口向下，得a<0，由抛物线与y轴的交点 在x轴上方，得c>0，
又由 <0，∴ >0,
∴a、b同号，由a<0得b<0.
由抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2-4ac>0
（2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x=-1.
∴当x=-1时，y=a-b+c>0
（3）由图象可知：当-30 ,
∴当x<-3或x>1时，y<0
例3．已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1,其中m为常数，且满足-1 解：∵-1 ∴m-2<0, 抛物线开口向下，
又m+1>0, 抛物线与y轴的交点在x轴上方。
Δ=4m2-4(m-2)(m+1)
=4m2-4(m2-m-2)
=4m+8
=4(m+1)+4>0.
∴抛物线与x轴有两个不同的交点。
说明：上两道例题是以形判数、由数思形的典型。对于二次函数y= (a≠0)除了解a的含义
以外，还应理解常数c为抛物线与y轴交点的纵坐标，即由c定点（0，c），c的正、负符号决定（或决定于）
抛物线与y轴的交点在x轴上、下方，c的绝对值决定（或决定于）图象与y轴交点到x轴的距离。由y=0，得一
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).它有无实根由判别式Δ=b2-4ac来决定：
若 >0，一元二次方程有两个实根x1,x2，抛物线与x轴有两交点坐标为:（ ，0）、( ,0)
若 ，一元二次方程有两个相等实根，抛物线与x轴有一个交点。
若 <0，一元二次方程无实根，抛物线与x轴无交点，
所以抛物线与x轴的交点情况与Δ=b2-4ac的值相关。
此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x轴有两个不同交点（用抛物线与y轴的交点C在x轴上方，
开口向下，必与x轴有两个不同交点）。
例4．抛物线y=2x2-4x+4的对称轴为x=2m-2n，函数的最小值是4n-3m,求实数m、n。
解：∵y=2x2-4x+4，
∴
∴ 解得
说明：此例是利用顶点坐标公式构造方程组，也可利用配方法先求出抛物线的顶点坐标，再构造方程
组。
例5．已知二次函数y=ax2+ bx+c的图象与 的图象的形状相同，开口方向相反，与直
线y=x-2的两个交点的坐标为（1，n）和(m,1)，求这个二次函数的解析式及其顶点坐标。
分析：交点坐标既在抛物线上，又在直线上，所以既满足二次函数的解析式，又满足一次函数的解析
式，由此可求出字母n、m。
解：依题意，得
∵y=x-2过(1,n)得n=-1,
y=x-2过(m,1)得m=3.
∴抛物线 过（1，-1），（3，1）
∴ 解得
∴
∴这个二次函数的解析式为 ，顶点坐标为（1，-1）。
例6．已知抛物线y=x2+ bx+c与y轴交于点Q（0，-3），图象与x 轴两交点的横坐标的平方和为15，求
函数解析式及对称轴。
分析：可由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值，这样只需待定“b”，即只需构造关于b的方程，由于已
知条件给出图象与x轴两交点的横坐标的平方和为15， ，需用一元二次方程根与系数的关
系，由此作为等量关系来构造方程，解题的关键是用含b的代数式表示 。
解：由点Q（0，-3）知c=-3，则抛物线的解析式为
设图象与x轴交点的横坐标为 ，
∴ 是二次方程 的两个根，
由根与系数的关系得：
∴
解得：
∴所求函数的解析式 ，
对称轴分别为 .
由例5、例6可知用待定系数法求函数解析式一般有两条解题思路：
（1）把已知条件转化为图象上一点的坐标，把坐标代入解析式构造关于“待定系数”的方程；
（2）利用已知的等量关系直接构造关于“待定系数”的方程。
测试
选择题
1．已知y=(n-2)x +n+2是二次函数，那么n的值等于（ ）。
A、2 B、-2 C、±2 D、n≠0
2．二次函数y=-x2-6x+k的图象顶点在x轴上，则k的值为（ ）。
A、0 B、-9 C、9 D、以上都不对
3．二次函数y=1-6x-3x2的图象，顶点和对称轴分别为（ ）。
A、(1,4) , x=1 B、(1,4), x=4
C、(-1,4), x=-1 D、(-1,4), x=4
4．直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1交点的个数是（ ）。
A、0个 B、1个 C、2个 D、不能确定
5．要得到y=-2(x+2)2-3的图象，需要把抛物线y=-2x2作如下的平移（ ）。
A、向右平移2个单位，再向上平移3个单位
B、向右平移2个单位，再向下平移3个单位
C、向左平移2个单位，再向上平移3个单位
D、向左平移2个单位，再向下平移3个单位
6．已知二次函数y=a(x-1)2+b有最小值-1，则a与b之间的大小关系是（ ）。
A、ab D、不能确定。
7．若二次函数y=-x2+2(m-1)x+2m-m2的图象的对称轴为y轴，此图象的顶点A和它与x轴二交点B、C所构
成的三角形的面积是（ ）。
A、 B、1 C、 D、2
8．已知二次函数y=2x2-6x+m的值永远是正数，那么m的取值范围是（ ）。
A、m≤4 B、m≥4 C、m>4 D、以上都不对
9．已知抛物线y=4x2-5x+k与x轴有交点，且交点都在原点的右侧，那么k的取值范围是（ ）。
A、k>0 B、0 10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a、b、c的符号是（ ）
A、a>0, b>0, c<0
B、a<0, b<0, c>0
C、a<0, b>0, c>0
D、a<0, b<0, c<0
答案与解析
答案：1.B 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.C 9.C 10.C
解析：
3．二次函数按降幂排列为y=-3x2-6x+1,
对称轴x=- =-1, 求顶点的纵坐标有两种方法：
一是：将x=-1代入函数解析式得y=-3+6+1=4.
二是：代入顶点坐标公式： =4，
∴ 对称轴x=-1，顶点坐标为（-1，4）。
提示：求顶点纵坐标用第一种方法显然比第二种方法简单，所以通常采用先求对称轴，再代入求最大
（或小）值。
4．解：直线与抛物线交点满足：
将(1)代入(2)得：3x-3=x2-x+1
整理得：x2-4x+4=0
Δ=16-16=0, ∴ x2-4x+4=0有两个相等实根，
所以原方程组有一个解，
∴ 直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1有一个交点。
5．解：由函数y=ax2图象经过平移可得到y=a(x-m)2+n的图象要能根据顶点的移动得到相应的图象的移
动规律，因为顶点由（0，0）移动到了（m,n），
n为正值，y=ax2图象向上移，
n为负值瑈=ax2图象向下移，
m为正值，y=ax2图象向右移，
m为负值，y=ax2图象向左移。
6．解：因为函数有最小值-1，所以a>0, b=-1，故a>b。
7．解：对称轴为y轴: - =- =0,解得m=1.
∴二次函数解析式为：y=-x2+1,
当-x2+1=0时，得：x1=-1, x2=1.
∴ 抛物线与x轴两交点为B(-1, 0)，C(1,0)
∴BC=2，
∴顶点A（0，1）， ∴ = ×BC×| |=1.
8．解：因为抛物线开口向上，只有当Δ=62-8m<0时，抛物线与x轴无交点，抛物线整个在x轴上方，即y
值永为正。
9．解：由题意知方程4x2-5x+k=0有两个（相同或不同）的正根x1,x2,
故应有 即 ，解得：0中考解析
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
考点扫描
1．会用描点法画出二次函数的图象．
2．能利用图象或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置．
3．会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．
名师精讲
1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置
不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
顶点坐标 (0，0) (h，0) (h，k) ( )
对 称 轴 x=0 x=h x=h x=
当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的
图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图
象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其
顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=
，顶点坐标是( )．
3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤ 时，y随x的增大而减小；当x≥ 时，y随x的增
大而增大．若a<0，当x≤ 时，y随x的增大而增大；当x≥ 时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|= ．
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图
象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= 时，y最小(大)值= ．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为
主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
中考典例
1．(北京西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是( )
(A)直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2
考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴．
评析：因为抛锵遹=ax2+bx+c的对称轴方程是：y=- ，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=
1，故选项A正确．
另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所
以对称轴x=1，应选A．
2．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ．
考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法
评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1＜x2，则其图象与y轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，
0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2).
∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8 ①
∵S△ABC=3，∴ (x2- x1)·|a x1 x2|= 3，
即：x2- x1= ②
①②两式相加减，可得：x2=4+ ，x1=4-
∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。
当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±
当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式为：y=± (x-7)(x-1)或y=± (x-5)(x-3)
即：y= x2- x+1 或y=- x2+ x-1 或y= x2- x+3 或y=- x2+ x-3
说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B
(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。
5．( 河北省)如图13-28所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面
积为( )
A、6 B、4 C、3 D、1
考点：二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。
评析：由函数图象可知C点坐标为(0，3)，再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B两点
之间的距离为2。那么△ABC的面积为3，故应选C。
图13-28
6．( 安徽省)心理 ( http: / / www.xj- / Article / xinlijiankang / index.html" \t "_blank )学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数
关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10分时，学生的接受能力是什么？
(3)第几分时，学生的接受能力最强？
考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质。
评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向
下，当x≤13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0≤x≤
30，所以两个范围应为0≤x≤13；13≤x≤30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。
当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步下降。
(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分时，学生的接受能力为59。
(3)x=13时，y取得最大值，
所以，在第13分时，学生的接受能力最强。
9．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一
个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下
问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解：(1)当销售单鄱ㄎ?壳Э 5元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润
为:(55–40)×450=6750(元)．
(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–
40)元，所以月销售利润为：
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2+1400x–40000(元)，
∴y与x的函数解析式为：y =–10x2+1400x–40000．
(3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为：
40×400=16000(元)；
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：
40×200=8000(元)；
由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．
一、内容提要
（一）二次函数的解析式：
1．一般式：y=ax2+bx+c；其中 a≠0, a, b, c 为常数
2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。
3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。
注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。
（二）二次函数的图象：抛物线
（三）性质：
1．对称轴，顶点坐标：
2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。 a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。
3．增减性：（Ⅰ）a>0时， 当x 时，y随x增大而减少
当x> 时，y随x增大而增大
（Ⅱ）a<0时，
当x 时，y随x增大而增大
当x> 时，y随x增大而减小
4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x= 时，
（Ⅱ）a<0时，当x= 时，
5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）
特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。
6．抛物线与x轴的位置关系：
（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。
（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（ ，0）
（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（ ，0）
二、典型例题：
例1．已知 +3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。
解：由题意得 解得 m=-1
∴y=-3x2+3x+6= ,
开口向下，顶点坐标（ ），对称轴x= 。
说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配
方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（ ）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。
例2．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, Δ=b2-4ac的符号，(2)
求证:a-b+c>0, (3)当x取何值时，y>0, 当x取何值时y<0。
解：（1）由抛物线的开口向下，得a<0，由抛物线与y轴的交点 在x轴上方，得c>0，
又由 <0，∴ >0,
∴a、b同号，由a<0得b<0.
由抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2-4ac>0
（2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x=-1.
∴当x=-1时，y=a-b+c>0
（3）由图象可知：当-3
∴当x<-3或x>1时，y<0
例3．已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1,其中m为常数，且满足-1
又m+1>0, 抛物线与y轴的交点在x轴上方。
Δ=4m2-4(m-2)(m+1)
=4m2-4(m2-m-2)
=4m+8
=4(m+1)+4>0.
∴抛物线与x轴有两个不同的交点。
说明：上两道例题是以形判数、由数思形的典型。对于二次函数y= (a≠0)除了解a的含义
以外，还应理解常数c为抛物线与y轴交点的纵坐标，即由c定点（0，c），c的正、负符号决定（或决定于）
抛物线与y轴的交点在x轴上、下方，c的绝对值决定（或决定于）图象与y轴交点到x轴的距离。由y=0，得一
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).它有无实根由判别式Δ=b2-4ac来决定：
若 >0，一元二次方程有两个实根x1,x2，抛物线与x轴有两交点坐标为:（ ，0）、( ,0)
若 ，一元二次方程有两个相等实根，抛物线与x轴有一个交点。
若 <0，一元二次方程无实根，抛物线与x轴无交点，
所以抛物线与x轴的交点情况与Δ=b2-4ac的值相关。
此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x轴有两个不同交点（用抛物线与y轴的交点C在x轴上方，
开口向下，必与x轴有两个不同交点）。
例4．抛物线y=2x2-4x+4的对称轴为x=2m-2n，函数的最小值是4n-3m,求实数m、n。
解：∵y=2x2-4x+4，
∴
∴ 解得
说明：此例是利用顶点坐标公式构造方程组，也可利用配方法先求出抛物线的顶点坐标，再构造方程
组。
例5．已知二次函数y=ax2+ bx+c的图象与 的图象的形状相同，开口方向相反，与直
线y=x-2的两个交点的坐标为（1，n）和(m,1)，求这个二次函数的解析式及其顶点坐标。
分析：交点坐标既在抛物线上，又在直线上，所以既满足二次函数的解析式，又满足一次函数的解析
式，由此可求出字母n、m。
解：依题意，得
∵y=x-2过(1,n)得n=-1,
y=x-2过(m,1)得m=3.
∴抛物线 过（1，-1），（3，1）
∴ 解得
∴
∴这个二次函数的解析式为 ，顶点坐标为（1，-1）。
例6．已知抛物线y=x2+ bx+c与y轴交于点Q（0，-3），图象与x 轴两交点的横坐标的平方和为15，求
函数解析式及对称轴。
分析：可由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值，这样只需待定“b”，即只需构造关于b的方程，由于已
知条件给出图象与x轴两交点的横坐标的平方和为15， ，需用一元二次方程根与系数的关
系，由此作为等量关系来构造方程，解题的关键是用含b的代数式表示 。
解：由点Q（0，-3）知c=-3，则抛物线的解析式为
设图象与x轴交点的横坐标为 ，
∴ 是二次方程 的两个根，
由根与系数的关系得：
∴
解得：
∴所求函数的解析式 ，
对称轴分别为 .
由例5、例6可知用待定系数法求函数解析式一般有两条解题思路：
（1）把已知条件转化为图象上一点的坐标，把坐标代入解析式构造关于“待定系数”的方程；
（2）利用已知的等量关系直接构造关于“待定系数”的方程。
测试
选择题
1．已知y=(n-2)x +n+2是二次函数，那么n的值等于（ ）。
A、2 B、-2 C、±2 D、n≠0
2．二次函数y=-x2-6x+k的图象顶点在x轴上，则k的值为（ ）。
A、0 B、-9 C、9 D、以上都不对
3．二次函数y=1-6x-3x2的图象，顶点和对称轴分别为（ ）。
A、(1,4) , x=1 B、(1,4), x=4
C、(-1,4), x=-1 D、(-1,4), x=4
4．直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1交点的个数是（ ）。
A、0个 B、1个 C、2个 D、不能确定
5．要得到y=-2(x+2)2-3的图象，需要把抛物线y=-2x2作如下的平移（ ）。
A、向右平移2个单位，再向上平移3个单位
B、向右平移2个单位，再向下平移3个单位
C、向左平移2个单位，再向上平移3个单位
D、向左平移2个单位，再向下平移3个单位
6．已知二次函数y=a(x-1)2+b有最小值-1，则a与b之间的大小关系是（ ）。
A、a
7．若二次函数y=-x2+2(m-1)x+2m-m2的图象的对称轴为y轴，此图象的顶点A和它与x轴二交点B、C所构
成的三角形的面积是（ ）。
A、 B、1 C、 D、2
8．已知二次函数y=2x2-6x+m的值永远是正数，那么m的取值范围是（ ）。
A、m≤4 B、m≥4 C、m>4 D、以上都不对
9．已知抛物线y=4x2-5x+k与x轴有交点，且交点都在原点的右侧，那么k的取值范围是（ ）。
A、k>0 B、0
A、a>0, b>0, c<0
B、a<0, b<0, c>0
C、a<0, b>0, c>0
D、a<0, b<0, c<0
答案与解析
答案：1.B 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.C 9.C 10.C
解析：
3．二次函数按降幂排列为y=-3x2-6x+1,
对称轴x=- =-1, 求顶点的纵坐标有两种方法：
一是：将x=-1代入函数解析式得y=-3+6+1=4.
二是：代入顶点坐标公式： =4，
∴ 对称轴x=-1，顶点坐标为（-1，4）。
提示：求顶点纵坐标用第一种方法显然比第二种方法简单，所以通常采用先求对称轴，再代入求最大
（或小）值。
4．解：直线与抛物线交点满足：
将(1)代入(2)得：3x-3=x2-x+1
整理得：x2-4x+4=0
Δ=16-16=0, ∴ x2-4x+4=0有两个相等实根，
所以原方程组有一个解，
∴ 直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1有一个交点。
5．解：由函数y=ax2图象经过平移可得到y=a(x-m)2+n的图象要能根据顶点的移动得到相应的图象的移
动规律，因为顶点由（0，0）移动到了（m,n），
n为正值，y=ax2图象向上移，
n为负值瑈=ax2图象向下移，
m为正值，y=ax2图象向右移，
m为负值，y=ax2图象向左移。
6．解：因为函数有最小值-1，所以a>0, b=-1，故a>b。
7．解：对称轴为y轴: - =- =0,解得m=1.
∴二次函数解析式为：y=-x2+1,
当-x2+1=0时，得：x1=-1, x2=1.
∴ 抛物线与x轴两交点为B(-1, 0)，C(1,0)
∴BC=2，
∴顶点A（0，1）， ∴ = ×BC×| |=1.
8．解：因为抛物线开口向上，只有当Δ=62-8m<0时，抛物线与x轴无交点，抛物线整个在x轴上方，即y
值永为正。
9．解：由题意知方程4x2-5x+k=0有两个（相同或不同）的正根x1,x2,
故应有 即 ，解得：0
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
考点扫描
1．会用描点法画出二次函数的图象．
2．能利用图象或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置．
3．会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．
名师精讲
1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置
不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
顶点坐标 (0，0) (h，0) (h，k) ( )
对 称 轴 x=0 x=h x=h x=
当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的
图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图
象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其
顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=
，顶点坐标是( )．
3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤ 时，y随x的增大而减小；当x≥ 时，y随x的增
大而增大．若a<0，当x≤ 时，y随x的增大而增大；当x≥ 时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|= ．
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图
象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= 时，y最小(大)值= ．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为
主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
中考典例
1．(北京西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是( )
(A)直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2
考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴．
评析：因为抛锵遹=ax2+bx+c的对称轴方程是：y=- ，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=
1，故选项A正确．
另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所
以对称轴x=1，应选A．
2．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ．
考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法
评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1＜x2，则其图象与y轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，
0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2).
∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8 ①
∵S△ABC=3，∴ (x2- x1)·|a x1 x2|= 3，
即：x2- x1= ②
①②两式相加减，可得：x2=4+ ，x1=4-
∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。
当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±
当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式为：y=± (x-7)(x-1)或y=± (x-5)(x-3)
即：y= x2- x+1 或y=- x2+ x-1 或y= x2- x+3 或y=- x2+ x-3
说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B
(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。
5．( 河北省)如图13-28所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面
积为( )
A、6 B、4 C、3 D、1
考点：二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。
评析：由函数图象可知C点坐标为(0，3)，再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B两点
之间的距离为2。那么△ABC的面积为3，故应选C。
图13-28
6．( 安徽省)心理 ( http: / / www.xj- / Article / xinlijiankang / index.html" \t "_blank )学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数
关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10分时，学生的接受能力是什么？
(3)第几分时，学生的接受能力最强？
考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质。
评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向
下，当x≤13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0≤x≤
30，所以两个范围应为0≤x≤13；13≤x≤30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。
当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步下降。
(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分时，学生的接受能力为59。
(3)x=13时，y取得最大值，
所以，在第13分时，学生的接受能力最强。
9．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一
个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下
问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解：(1)当销售单鄱ㄎ?壳Э 5元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润
为:(55–40)×450=6750(元)．
(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–
40)元，所以月销售利润为：
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2+1400x–40000(元)，
∴y与x的函数解析式为：y =–10x2+1400x–40000．
(3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为：
40×400=16000(元)；
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：
40×200=8000(元)；
由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．