5.3.2函数的极值与最值（第1课时） 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
1.函数的极值
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
复习回顾
设函数y=f (x)在区间(a,b)内的导数为f ′(x).
如果f ′(x)>0，
如果f ′(x)<0，
如果f ′(x)=0，
如果f(x)在(a,b)内为增函数，
如果f(x)在(a,b)内为减函数，
则f(x)在(a,b)内为单调递增；
则f(x)在(a,b)内为单调递减；
则f(x)在(a,b)内为常数函数；
则f ′(x)≥0在(a,b)内恒成立；
则f ′(x)≤0在(a,b)内恒成立.
1.函数单调性与导数的关系：
2.判断函数y＝f (x)单调性的一般步骤：
①求函数的定义域;
②求函数的导数f '(x);
③解不等式f '(x)>0得f(x)的单调递增区间;
解不等式f '(x) <0得f(x)的单调递减区间.
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
探究新知
我们再来研究前面学习过的高台跳水问题.观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律
对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
x
y
O
a
b
(1)
放大t=a附近的图象, 如图(2)所示.
(2)
h′(a)=0
可以看出，h′(a)＝０；
在t=a的附近，
当t0；
当t>a时，函数h(t)单调递减，h′(t)<0．
即在t=a附近，函数值先增后减，
即当t在a的附近从小到大经过a时，
h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，
于是有h'(a)=0.
如图，函数y=f(x)在x=a，b，c，d，e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么 规律？
探究
以x=a，b两点为例，可以发现，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f′(a)=0；而且在x=a附近左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0.
类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．
1.函数的极大值和极小值的概念：
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值 (extremum)．
在定义中, 极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.
结论：极值点两侧，导数符号相异.
2.极值点两侧导数正负符号的规律：
x xx1
f'(x)
f (x)
+
-
0
增
减
极小值
x xx2
f'(x)
f (x)
增
0
-
极大值
减
+
概念提升
思考1：函数的极大值一定大于极小值吗？函数的极大值与极小值是否有大小关系？
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．
极小值
极大值
思考2： 若 f ′(x0)=0 ，则 x0是否为极值点
例如：函数f(x)= x3， f ′(x)=3x2
当x=0时， f ′(0)=0
当x≠0时， f ′(x)>0
又因为函数 f(x)= x3是增函数
所以0不是函数 f(x)= x3的极值点.
结论： 若 f ′(x0)=0 ，但 x0不一定是极值点。
追问: f ′(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的什么条件？
必要而不充分条件.
1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
概念应用
2.
例1.
解：
x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞)
f′(x)
f(x)
x
y
O
-2
2
典型例题
如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0 ，那么 f (x0) 为极大值；
+
-
x0
-
+
x0
解方程 f '(x) = 0.当 f '(x0) = 0 时：
如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0 ，那么 f (x0) 为极小值；
1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：
归纳提升
2.总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:
(2)求导数f '(x)
(3)求方程f '(x)=0的根.
(4)列表检查f '(x)在方程根左右的值的符号,
如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取得极小值;
如果左正右负,那 么f(x)在这个根处取得极大值.
(1)求函数定义域
(5)写结论
x (0, e) e (e, ＋∞)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x)
令 f ′(x)＝0，解得 x＝e.
当 x 变化时，f ′(x) 与 f (x)的变化情况如下表：
解：函数 的定义域为 (0，＋∞)，且 .
因此，x＝e 是函数的极大值点，极大值为 f (e)＝ ，没有极小值.
单调递增
单调递减
巩固练习
例2.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
典型例题
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；
所以f(x)在x＝－1时取得极小值．
所以a＝2，b＝9.
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
感悟提升
已知函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数的性质时，应注意两点：
巩固练习
这节课，我们学习了什么？请你来说说.
1.极小值、极大值的概念
3.求可导函数f (x)极值的步骤
2.判断函数f (x)极值的方法
课堂小结
注意：
(1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．
(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．
(3)若f (x)在[a，b]内有极值，那么f (x)在[a，b]内绝不是单调函数，即极值不单调，单调无极值．
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图)．
讨论函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的极值情况.
课外探究